第二十一章 题型三 中位线的应用 & 题型四 特殊的平行四边形的证明与计算-【真题圈】2025-2026学年八年级下数学试题精选（人教版·新教材）

真题圈数学八年级下J2N 题型三 中位线的应用 1.如图，在△ABC中，AB=BC=9,BD平分 6.（期中·北京东城区)如图，在平行四边形 ∠ABC交AC于点D,点F在BC上，且 ABCD中，AC⊥BC,对角线AC,BD交于 BF=1,连接AF,E为AF的中点，连接 点O,点E为边AB的中点.若AB=10, DE,则DE的长为() AC=8,则OE的长为 A.2 B.3 A C.4 D.5 第6题图 7.已知：如图，在△ABC中，D,E分别是AB, 第1题图 第2题图 2.(期中·天津河东区)如图，在四边形ABCD BC的中点，连接DE,CD,过点E作EF∥ 中，AB=CD,M,N,P分别是AD,BC,BD CD交AC的延长线于点F.求证：CF= 的中点，若∠MPN=130°，则∠NMP的度 数为( ) A.10° B.15° C.25 D.40° 3.如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分 ∠BAC,BD⊥AD于点D.若AB=4,AC= 6,则MD等于( C 第7题图 A.4 B.3 C.2 D.1 M M B 第3题图 第4题图 4.(期中·厦门一中)如图，在平行四边形AB CD中，AD=6,E为AD上一动点，M,N 分别为BE,CE的中点，则MN的长为 5.如图，在△ABC中，点D,E,F分别是BC, AC,AB的中点.若AB=6,BC=8,则四边 形BDEF的周长是 F D 第5题图 16 重难题型练 题型四 特殊的平行四边形的证明与计算 1.(期中·济南历城区)如图，在□ABCD中， 6.(期中·重庆巴蜀中学)如图，在菱形ABCD 对角线AC与BD交于点O,若增加一个条 中，M,N分别在AB,CD上，且AM=CN, 件，使ABCD成为菱形，下列给出的条件不 MN与AC交于点O,连接BO.若∠DAC= 正确的是( 32°，则∠OBC的度数为( A.AB-AD B.AC⊥BD A.32 B.48 C.58 D.68° C.AC=BD D.∠BAC=∠DAC B 第1题图 第2题图 第6题图 第7题图 2.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到 7.(期中·吉林大学附中)如图，O为正方形 点E,使AE=AC,连接CE,则∠E的度数 ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边 是() A.25°B.45° C.67.5° D.75 三角形，若AB=√2，则OE的长为( 3.（期中·厦门一中)如图，矩形ABCD的两 A号 B.3 C.2 D.1 条对角线交于点O,若∠AOD=120°，AB= 6,则AC等于( 8.(期中·北大附中)如图，A,B为5×5的正 A.8 B.10 C.12 D.18 方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格 D 点的矩形为格点矩形，在此图中以A,B为 顶点的格点矩形共可以画出() 教育精A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 第3题图 第4题图 4.(期中·长沙长郡教育集团)如图，正方形 ABCD的边长是2，对角线AC,BD相交于 点O,点E,F分别在边AD,AB上，且 第8题图 第9题图 OE⊥OF,则四边形AFOE的面积是( 9.开放性试题（期中·广州天河区）如图， A.4 B.2 C.1 D.- 2 口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,请 5.(期中·深圳罗湖区)如 你添加一个条件使ABCD成为矩形，这个 图，用七支长度相同的 条件可以是 铅笔，排成一个菱形 10.(月考·首师大附中)如图， ABCD和一个等边三角 正方形ABCD的顶点B,C 形DEF,使得点E,F分 第5题图 别在AB和BC上，那么 都在直角坐标系的x轴上， ∠B的度数为( ) 点D的坐标是(2,3)，则点 第10题图 A.105°B.100° C.95° D.80° B的坐标是 17 真题圈数学八年级下R)2N 11.(期中·人大附中)小明用四根长度相同的 (1)求证：四边形AECF是正方形 木条制作了能够活动的菱形学具，他先活 (2)若BD=4,BE=3,求菱形ABCD的面积 动学具成为图①所示的菱形，并测得∠B= 60°，对角线AC的长为30cm,接着活动学 具成为图②所示的正方形，则图②中对角 线AC的长为 cm. 第15题图 B ① ② 第11题图 12.(期中·武汉江岸区)如图，菱形ABCD 中，AC交BD于点O,CE⊥AB于点E,连 接OE,若∠ABC=80°，则∠OEC的度数 16.(期中·重庆育才中学)如图，在四边形 为 ABCD中，ABDC,对角线AC,BD交于 点O,OB=OD,且DB平分∠ADC,点E 为AB边的中点，连接OE,连接CE交DB 于点F. (1)求证：四边形ABCD是菱形 (2)若∠AOE=28°，∠CEB=38°，求 ∠CFB的度数. 第12题图 第13题图 C 13.(期中·厦门一中)如图，在菱形ABCD 中，AB=4,按以下步骤作图：①分别以点 B E C和点D为圆心，大于2CD的长为半径 第16题图 画弧，两弧交于点M,N;②作直线MN,且 MN恰好经过点A,与CD交于点E,连接 BE,则BE的值为 14.(期中·天津河北区)如图，在矩形ABCD 中，DE⊥CE,∠ADE=30°，DE=4,则这个 矩形的面积是 D 第14题图 15.（月考·西安铁一中)如图，已知菱形 ABCD,点E,F是对角线BD所在直线上 的两点，且∠AED=45°，DF=BE,连接 CE,AF,CF,得四边形AECF. 18 重难题型练 17.(期中·厦门一中)如图，四边形ABCD的 19.探究性试题（期中·广州天河区）四边形 对角线相交于点O,AB=CD,ABCD.若 ABCD为正方形，点E为线段AC上一点， 四边形EBOA是菱形 连接DE,过点E作EF⊥DE,交射线BC (1)求证：四边形ABCD是矩形 于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG, (2)若∠E=60°，AB=2,求四边形ABCD的 连接CG. 面积. (1)如图，求证：矩形DEFG是正方形 D (2)若AB=2,CE=√2，求CG的长度. (3)当线段DE与正方形ABCD的某条边 的夹角是30时，求∠EFC的度数. B 第17题图 第19题图 备用图 18.(期末·天津红桥区)如图，在矩形ABCD 中，AB=6,AD=4,过对角线BD的中点 O的直线分别交AB,CD边于点E,F (1)求证：四边形DEBF是平行四边形 (2)当四边形DEBF是菱形时，求线段DE 的长 精品图书 y E B 第18题图 19(2)m2十n2=122. 分析：作AM⊥BC于点M,作DN⊥BC交BC的延长线于点 N,如图②， D B M 第12题答图② ,四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD=5,∠ABC=∠DCN, ,∠AMB=∠DNC, ∴.△AMB≌△DNC(AAS) ∴.AM=DN,BM=CN, 设AM=DN=h,BM=x,则CM=6-x,BM=CN=x, 在Rt△ABM中，h2=AB-BM=5-x2,① 在Rt△ACM中，h2=AC2-CM=m2-(6-x)2,② 在Rt△DBN中，h2=BD2-BN2=n2-(6+x)2,③ ③+②得h2+h2=n2-(6+x)2+m2-(6-x)2, 整理得2(h2+x2)=n2+m2-72,④ 将①代入④得2(52-x2+x2)=n2+m2-72, .m2十n2=122. 题型三中位线的应用 1.C【解析】BC=9,BF=1,.FC=BC-BF=9-1=8. .AB=BC,BD平分∠ABC,∴.AD=DC.,E为AF的中点， :DE是△ArC的中位线，DE=2FC-2×8=4.枚选C 2.C【解析】，在四边形ABCD中，M,N,P分别是AD,BC,BD 的中点，∴.PN,PM分别是△CDB与△DAB的中位线， :.PM-AB.PN-DC. AB=CD,.PM=PN,∠PNM=∠NMP :∠MPN=130,∠NMP=180°，130°=25.故选C 2 3.D【解析】如图，延长BD交 A AC于点H.在△ADB和 △ADH中， /∠BAD=∠HAD, AD-AD, D.-- ∠ADB=∠ADH. BL .△ADB≌△ADH(ASA), 第3题答图 ..AH=AB=4,BD=DH,.'HC=AC-AH=6-4=2. BD=DH,BM=MC,∴.DM是△BCH的中位线，.DM 号HC-1.故选D 4.3【解析】如图，在平行四边形ABCD中，，M,N分别为BE, CE的中点MN是△EBC的中位线，MN=专BC=3.放 答案为3. 5.14【解析】：D,E,F分别是BC,AC,AB的中点，DE= BF=7AB=号×6=3，EF=BD=号BC=号×8=4∴四边 形BDEF的周长为2×(3十4)=14.故答案为14. 6.3【解析】，AC⊥BC,∴.∠ACB=90°.：AB=10,AC=8,∴.BC =√AB2-AC=√/102-8=6.四边形ABCD是平行四边 形，∴.AO=CO,即点O为AC的中点.又点E为边AB的中 点，OE为△ABC的中位线.OE=2BC=3.故答案为3. 真题圈数学八年级下RJ12N 7.【证明】，D,E分别是AB,BC的中点， :DE是△ABC的中位线，DE=2AC,DEAC, .EFCD,.四边形DEFC是平行四边形， DE=CFCP=号AC 题型四特殊的平行四边形的证明与计算 1.C 2.C【解析】.四边形ABCD是正方形，.∠CAE=45°.，AE= 4C∠E=180,45°=67.5.故选C 2 3.C【解析】'.矩形ABCD的两条对角线交于点O, G.OA=OB-AC. .'∠AOD=120°，∴.∠AOB=180°-∠AOD=180°-120°=60°， .△AOB是等边三角形，.OA=AB=6, .AC=20A=2×6=12.故选C. 4.C【解析】，四边形ABCD是正方形，.OA=OB,∠OAE= ∠OBF=45°，AC⊥BD,∴.∠AOB=90°. OE⊥OF,∴∠EOF=90°，∠AOE=∠BOF, ∴.△AOE≌△BOF(ASA),∴.△AOE的面积=△BOF的面积， ∴四边形AFOE的面积=△AOB的面积=子×正方形ABCD 的面积=}×2=1.放选C 5.B【解析】设∠A=x°，.菱形ABCD和等边三角形DEF的边 长相等， ∴.DA=DE,DF=DC,.∠DEA=∠A=x°，∠C=∠DFC. 四边形ABCD是菱形， ∴.∠C=∠A=x°，DC∥AB,AD∥BC, .∴.∠ADE=∠CDF=180°-2x°. .∠A+∠ADC=180°，∴.x+180-2.x+180-2x+60=180, ∴x=80,即∠A=80°. AD∥BC,.∠B十∠A=180°，.∠B=100°.故选B. 6.C【解析】，四边形ABCD为菱形，∴.AB/CD,AB=BC, .∠MAO=∠NCO,∠AMO=∠CNO. I∠MAO=∠NCO. 在△AMO和△CNO中，AM=CN, ∠AMO=∠CNO, .∴.△AMO≌△CNO(ASA),.∴.AO=CO. .‘AB=BC,∴.BO⊥AC,∴.∠BOC=90°. ∠DAC=32°，∴.∠BCA=∠DAC=32°， ∴.∠OBC=90°-32°=58°.故选C. 7.B【解析】四边形ABCD为正方形，BC=AB=√2，∠B= 90°，.AC=/AB2+BC2=2.,'O为AC的中点，△ACE为等 边三角形，∴∠AOE=90°，∴AC=AE=2,AO=1,.OE= √AE一AO=√3.故选B. 8.D【解析】如图所示，以AB为对角线 的格点矩形有3个，以AB为边的格点 矩形有1个，以A,B为顶点的格点 矩形共可以画出4个.故选D. 9.AC=BD(答案不唯一) 10.(一1,0)【解析】点D的坐标是 (2,3),点B,C在x轴上，.DC=3, 第8题答图 OC=2.四边形ABCD是正方形，.BC=CD=3,∴.OB=3 -2=1. :B在x轴的负半轴上，∴B(-1,0).故答案为（一1,0）. 答案与解析 11.30√2【解析】如图①②，连接AC.在图①中，AB=BC,∠B= 60,∴.△ABC是等边三角形，.AB=BC=AC=30cm.在图 ②中，·四边形ABCD是正方形，.AB=BC,∠B=90°. ,AB=BC=30cm,.AC=30W2cm.故答案为302. A D D ⑦ ② 第11题答图 12.40【解析】四边形ABCD是菱形，∠ABC=80°，AB=BC, ∠CAB=∠ACB=7180-80)=50,A0=C0.CEL AB,.OE=OA=OC,∠AEC=90°，.∠OEA=∠OAE= 50°，.∠0EC=90°-50°=40°.故答案为40. 13.27【解析】由作法得MN垂直平分CD,即CE=DE,AE⊥ CD.:四边形ABCD为菱形，∴.AD=CD=AB=4,CD∥AB, ∴.DE=2,AE⊥AB.在Rt△ADE中，AE=√/42-2=23. 在Rt△ABE中，BE=√4+(23)2=2√7.故答案为2√7. 14.16√3【解析】，四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠B=90°，AD=BC. 在Rt△ADE中，.'∠A=90°，∠ADE=30°，DE=4, .AE=DE=2.AD=DE2-AE=2/3. .DE⊥CE,∠A=90°， .∠EDC=90°-∠ADE=60°， 在Rt△DEC中， :∠DEC=90°，∠DCE=90°-∠EDC=30°， ,.CD=2DE=8, ∴.矩形ABCD的面积=CD·AD=8×2W3=16√3. 故答案为163. 15.(1)【证明】连接AC,交BD于点O,如图 ,四边形ABCD是菱形， ∴.AO=CO,BO=DO,AC⊥BD. .BE=DF. D ∴.BE+OB=DF+DO .∴.EO=FO, ,∴.EF与AC垂直且互相平分， .四边形AECF是菱形， .∴.∠AEF=∠CEF 又.∠AED=45°， 第15题答图 ∴.∠AEC=90°， .四边形AECF是正方形 (2)【解】，BD=4,BE=3, ∴.FD=3, .EF=10, ,四边形AECF为正方形， ∴.AC=EF=10, 菱形ABCD的面积=AC·BD=号×10X4=20, 16.(1)【证明】.ABDC, ∴.∠BAO=∠DCO,∠ABO=∠CDO. 又.OB=OD,∴.△BAO≌△DCO(AAS) .BA=DC,.四边形ABCD是平行四边形 DB平分∠ADC,.∠ADB=∠CDO, ∠ADB=∠ABO,AB=AD, ∴.四边形ABCD是菱形 (2)【解】：点E为AB边的中点，OB=OD, ∴.OE∥AD,∴.∠CAD=∠AOE=28. .四边形ABCD是菱形， .∠BAC=∠CAD=28°，∠COB=90°， ∴.∠ACE=∠CEB-∠CAB=38°-28°=10°. ∠CFB=∠ACE+∠COB=10°+90°=100. 17.(1)【证明】：四边形EBOA是菱形， ∴.OA=OB .ABCD,AB=CD,∴.四边形ABCD是平行四边形 0A=0=74c.0m=0B=号80. .'.AC=BD, ∴.四边形ABCD是矩形 (2)【解】.·四边形EBOA是菱形， .∠AOB=∠E=60°，AO=BO, ∴.△AOB是等边三角形，.AO=AB=2 ,四边形ABCD是矩形， ∴.AC=2AO=4,∠ABC=90°， .在Rt△ABC中，BC=√AC-AB=2W3, ∴.S矩形m=AB·BC=2X2V5=43, 18.(1)【证明】，在矩形ABCD中，O是BD的中点， ∴.∠A=90°，AD=BC=4,ABDC,OB=OD, ∴.∠OBE=∠ODF. 又，∠BOE=∠DOF, ∴.△BOE≌△DOF(ASA),∴.EO=FO. 又.OB=OD, .四边形DEBF是平行四边形 (2)【解】当四边形DEBF是菱形时，BE=DE=DF, 设BE=x,则DE=x,AE=AB-BE=6-x, 在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE, .x2=42+(6-x)2, x2=16+36-12x+x2, 12x=52, 解得x号 .DE- 19.(1)【证明】如图①，作EP⊥CD于点 A D P,EQ⊥BC于点Q, 正方形ABCD中，∠DCA=∠BCA =45°，.EQ=EP. G :∠QEF+∠FEC=45°，∠PED+ ∠FEC=45°， B ∴.∠QEF=∠PED 第19题答图① 在△EQF和△EPD中， |∠QEF=∠PED, EQ=EP, ∠EQF=∠EPD, ∴.△EQF≌△EPD(ASA). .EF=ED,.矩形DEFG是正方形 (2)【解】，四边形ABCD是正方形， .AB=AD=DC=2,∠ADC=90°， .AC=√AD+DC=22, ,EC=√2，.AE=CE,则DE⊥EF,DE= .1 AC=2, ,四边形DEFG为矩形， ∴.∠DEF=90°，FG=DE=√2， ∴点F与C重合，如图②，CG=FG=√2. A D E C(F) © ⊙ 第19题答图 (3)I解】①当DE与AD的夹角为30时，点F在BC边上， ∠ADE=30°，如图①所示. 则∠CDE=90°-30°=60° 在四边形CDEF中，由四边形内角和定理，得 ∠EF℃=360°-90°-90°-60°=120°. ②当DE与DC的夹角为30°时，点F在BC的延长线上， ∠CDE=30°，如图③所示 :∠HCF=∠DEF=90°，∠CHF=∠EHD, ∴.∠EFC=∠CDE=30. 综上所述，∠EF℃的度数为120或30°. 题型五最值问题 1.C【解析】如图，连接PC,PD∥ BC,PECD,∠C=90°， .∠ADP=∠ACB=90°，∠PEB= ∠ACB=90°， ∴.∠PEC=∠PDC=∠ACB=90°， ∴.四边形ECDP是矩形，，F是DE 第1题答图 的中点点C.F,P共线，且PF=PC, 当PC最小时，PF也最小，此时CP⊥AB, :AC=6,BC=8.AB=10,∴PC的最小值为AC:BC AB -8PF的最小值是×8=号放选C 5 2.D【解析】连接DB,DE,DF,过点 D D作DH⊥AB于点H,如图. 四边形ABCD为菱形，∴AD= 3 AB=BC=CD.又∠A=60°， .△ABD和△BCD都是等边三角AEH 形，.∠A=∠ADB=∠DBC= 第2题答图 60°，AD=BD.在Rt△ADH中，∠ADH=90°-∠A=30°， AD=2,∴.AH=1,∴.DH=√3.在△ADE和△BDF中， (AD=BD, .'(∠A=∠FBD,.△ADE≌△BDF(SAS), AE=BF, .∠2=∠1，DE=DF,.∠1+∠BDE=∠2+∠BDE= ∠ADB=60°，∴.△DEF为等边三角形，EF=DE.:当点E 运动到点H处时，DE的值最小，此时DE=√3，.EF的最小值 为√3.故选D. 3.C【解析】如图，取EF的中点M,连接 D PM,BM,P为DF的中点，.PM是 △DEF的中位线PM=DE. MX 在矩形ABCD中，AB=2,AD=1,EA 为AB的中点， 第3题答图 真题圈数学八年级下J12N ∴.BC=BE=AE=AD=1,∠B=∠A=90°， CE=DE=反期PM=号 :BP≤PM+BM,当BM⊥EC时，BM最小，且最小值= 吉C-号PB的最小值是号+号 2.故选C 4.D【解析】如图，以AO为边作等腰直 角三角形AOF,且∠AOF=90°，连 B 接CF. 四边形BCDE是正方形， ∴.BO=CO.∠BOC=90°. ,△AOF是等腰直角三角形， ..AO=FO.AF=VAO2+FO2=E 第4题答图 √2AO. '∠BOC=∠AOF=90°.∠AOB=∠COF. 又：B0=CO,AO=FO, .∴.△AOB≌△FOC(SAS),∴.AB=CF=4, ∴.AF≤AC十CF=2十4=6，AF的最大值为6. AF=√2AO,∴.AO的最大值为3√2.故选D. 5.5【解析】连接CG,DH,则CG, H M DH交于点O,连接AO并延长，过 点B作BM⊥AO于点M,如图. ,△ADC为等边三角形， .∴.AC=AD,∠CAD=60 D 第5题答图 四边形CDGH为正方形， ∴.C0=DO. 又A0=A0,△ACO≌△ADO(SSS), Z∠CA0=∠DA0-3∠CAD=30, .∴.点O一定在射线AM上 根据垂线段最短，∴当点O在点M处时，BO取得最小值 .∠BMA=90°，∠BAM=30°， BM=2AB=5B0的最小值为5.故答案为5. 6.2【解析】如图，连接PC,CE, A AC,:四边形ABCD是菱形， P ∠ABC=60°，∴.AB=BC,AP= E PC.∠ABD=∠CD=号∠AC C =30°，PE+PA=PE+PC, 第6题答图 △ABC是等边三角形 :点E为边AB的中点BE=号AB=号BC,∠ABC=90, ∴CE=VC-BE-,√As-(gAB)-AB, PE+PC≥CEPE+PA=5≥9AB,解得ABS2,即 AB的最大值是2.故答案为2. 7.1【解析】，四边形ABCD为平 0 行四边形，AC=BD,.OD OC,四边形ABCD是矩形. G DFAC,OD∥CF,.四边形 R M OCFD为菱形.·点G是CD的 第7题答图 中点，点P是四边形OCFD边上 的动点，∴.当GP垂直于菱形OCFD的一边时，PG有最小值 过D点作DM⊥AC于点M,过G点作GP⊥AC于点P,则 GPMD.延长PG交DF于点N,可得NP为菱形OCFD边