数学（海南卷）学易金卷：2026年中考考前最后一卷

**基本信息** 2026年中考数学考前模拟卷，以《九章算术》文化、高校毕业生数据、无人机测高等真实情境为载体，覆盖代数、几何、统计核心知识，梯度设计合理，适配中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|正负数意义、科学记数法、分式方程等|结合《九章算术》考正负数，渗透文化传承| |填空题|4/12|因式分解、反比例函数、垂直平分线应用等|矩形动点与中点最值问题，发展空间观念| |解答题|6/72|二次函数综合、菱形性质证明、统计图表等|无人机测高融合解直角三角形，培养应用意识；二次函数与平行四边形存在性问题，提升推理能力|

2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．如果收入3元记作元，那么支出5元，记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．2026年全国普通高校毕业生规模预计达人．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．当时，代数式的值等于（    ） A． B． C．2 D．3 4．分式方程的解为（    ） A． B． C． D． 5．某物体如图所示，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 6．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．一组数据1，4，6，x，3，8，5的众数是3，则这组数据的中位数是（    ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 8．一个含角的三角尺如图放置，若直线，，则的度数是（  ） A．15° B．25° C． D．45° 9．在平面直角坐标系中，点向上平移3个单位，再向右平移2个单位，得到点，则点的坐标是（  ） A． B． C． D． 10．已知一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D． 11．如图，是的直径，垂直平分交于，两点，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 12．如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交于点、．分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则长是（　　） A．3 B．4 C． D． 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．因式分解：______． 14．已知反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象经过第_______象限． 15．如图，在平行四边形中，，，连接，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，连接．则的周长为_____． 16．如图，在矩形中，．点在上且．点在上且，点为边上的一个动点，为的中点，则的长为_________，的最小值为_________． 三、解答题（本大题共6个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（12分）（1）计算：． （2）求不等式组的整数解． 18．（10分）在《哪吒之魔童闹海》中，海底妖族围攻陈塘关，大战后，哪吒和敖丙在兵器库里整理缴获的妖器．请根据以下他们的对话求出每种妖器单个多重？ 19．（10分）某学校计划开展兴趣课程，包括A（艺术素养课程），B（科学探索课程），C（体育运动课程），D（社会实践课程），E（传统文化课程），为了解学生对五类课程的喜爱程度，学校抽取了一部分学生进行投票，要求必须选且只能选一项，根据投票结果绘制了条形统计图和扇形统计图，如下图： 根据图中信息，请回答下列问题： (1)参加投票的学生共______人，其中参加D（社会实践课程）的学生有______人，参加C（体育运动课程）的学生有______人； (2)估计全校1500人中参加D（社会实践课程）的学生有______人： (3)现小欢、小乐从最受欢迎的B，C，E三类课程中任选一类课程参加，则用树状图或列表法求两人恰好参加同一类课程的概率为______． 20．（10分）无人机在生活中应用广泛，如图所示，小明利用无人机测大楼的高度．在空中点测得：到地面上一点处的俯角，距离米，到楼顶点处的俯角．已知点与大楼的距离为70米．（点共线且图中所有的点都在同一平面内） (1)___________度，___________度； (2)求点到地面的距离； (3)求大楼的高度．（结果保留根号） 21．（15分）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)若为抛物线上位于直线上方的一点，求面积的最大值，并求出此时点的坐标； (3)直线与抛物线的对称轴交于点，为抛物线上一动点，点在轴上，若以点、为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的点的坐标． 22．（15分）在菱形中，点E是对角线上一点，点F、G在直线上，且，． (1)如图1，求证：①；②； (2)如图2，当时，判断、、的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当时，点F在线段上，判断、、的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 6 / 7 学科网（北京）股份有限公司 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考考前最后一卷 数学·参考答案 第I卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1 2 3 4 5 6 > 9 10 12 A C 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13.3x+2)(x-2)14.二、四 15.10 16. 45 三、解答题（本大题共6个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(12分) (1)【详解】解：原式=+1-1+3 (4分) =31 (6分) (2)【详解】解：由①得：x+10≥7， 得x≥-3；(2分) 由②得：2x-1<-3, 得x<-1;(4分) :不等式组的解集是-3≤x<-1.(5分) 故该不等式组的整数解是-3，-2，(6分) 18.(10分) 【详解】解：设磨刀的重量为x斤，狼牙棒的重量为y斤，根据题意得，(1分) [7x+9y=132 (7分) 5.x=3y x=6 解得： (9分) y=10 答：磨刀的重量为6斤，狼牙棒的重量为10斤.(10分) 1/7 窗学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 19.(10分) 【详解】(1)解：根据题意，得E类课程有60人，占比为30%， 故60÷30%=200（人），(2分) 故参加D(社会实段课程)的学生有200×，-30（人）， (4分) 参加C(体育运动课程)的学生有200-20-50-30-60=40（人）. (6分) (2)解：1500×30=225（人）. 200 答：全校1500人中参加D(社会实践课程)的学生有225人. (8分) (3)解：画出树状图如下： 开始 B 个N B CE B CE B CE 由图知，所有可能的结果数为9，其中两人恰好参加同一类课程的可能结果数为3， 则两人恰好参加同一类课程的概率为3 93 (10分) 2/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 20.(10分) 【详解】(1)解：：∠MPA=60°，∠NPC=30°， ∠APC=180°-∠MPA-∠NPC, MN‖AB, ∠PAB=∠MPA=60°， 故答案为：60,90；(4分) (2)解：在RtAAPE中，∠PAB=60°，PA=80米， PE=AP-sin60=80x5-40N5米， 2 :点P到地面AB的距离PE为40√5米；(6分) (3)解：过C作CQ⊥PE于Q, M---- --N 口口口口口 则四边形CQEB是矩形，∠PCQ=∠NPC=30°， ∴.QE=BC,BE=CQ, (7分) 在Rt△APE中，∠PAB=60°，PA=80米， AE=APc0s60°=40米， .CQ=BE=AB-AE=30米，(9分) 在Rt△PCQ中，PQ=CO.tan30°=10V3米， BC=QE=40V5-10V5=30V3米， :大楼的高度BC为303米.(10分) 3/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 21.(15分) 【详解】(1)解：把A(-l1,0),B(3,0)分别代入y=ax2+bx+6可得： [a-b+6=0 (1分) 9a+3b+6=0 a=-2 解得： (2分) b=4 .抛物线的解析式为：y=-2x2+4x+6; (3分) 把x=0代入y=-2x2+4x+6,可得：y=6(4分) C0,6 设直线BC的解析式为：y=+b,把B(3,0,C(0,6分别代入得： 3k+b=0 b=6 [k=-2 解得： (5分) b=6 .直线BC的解析式为：y=-2x+6;(6分) (2)过点P作PQ∥y轴交BC于点Q,连接PC,PB如图所示： B :y=-2x2+4x+6,y=-2x+6, 设Pm,-2m2+4m+6),则0(m,-2m+6, .P0=-2m2+4m+6--2m+6)=-2m2+6m,(8分) -05--2m+6mj3-0-2w2+6ml=a0a--〔m-y 一当四号时，S做大面积为子， (10分) 把m代入P他2+加+可得：》： (11分) 4/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (3)解：：y=-2x2+4x+6, ·抛物线对称轴为直线x=6。 4 2a2×-2-1, .把x=1代入y=-2x+6可得：y=4, D(1,4), :M为抛物线上一动点，设M(a,-2a2+4a+6);点N在x轴上，设N(b,0), A-1,0), .①当AD为平行四边形的对角线时： 0+4=-2a2+4a+6+0, 解得：a1=V2+1或a,=1-2, 代入M(a,-2a2+4a+6)可得：M(V2+1,4,M1-V2,4 ②当AM为平行四边形的对角线时： 0-2a2+4a+6=4+0, 解得：a1=√2+1或a,=1-√2，与①相同；(13分) ③当AN为平行四边形的对角线时： 0+0=-2a2+4a+6+4, 解得：a1=1+√6或a,=1-√6， 代入M(a,-2a2+4a+6)可得：M1+V6,-4,M1-V6,-4, 综上所述M的坐标为：(V5+1,4):（1-2,4)；1+6,-4):（1-6,-4.(15分) 5/7 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 22.(15分) 【详解】(1)证明：①如图， D B G :四边形ABCD是菱形， ∠ABE=∠CBE. EB=EG, .∠FGE=∠CBE, .∠ABE=∠FGE.(2分) 又：∠AEF=∠BEG, LAEF+∠I=LBEG+∠I,即LAEB=∠FEG. .△AEB≌△FEG(ASA);(4分) ②：△AEB≌△FEG, .AB=FG. :四边形ABCD是菱形， :AB BC, .FG=BC, .FG-BG=BC-BG.即FB=CG,(7分) (2)解：AB=FB+EG. 理由如下： :四边形ABCD是菱形，∠ADC=120, :∠CBD=∠ABC=∠ADC=60. 2 2 EB=EG, .△EBG是等边三角形， ∴.EB=BG=EG. (9分) 由(1)知：AB=FG, FG=FB+BG=FB+EG, 6/7 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .AB=FB+EG.(11分) (3)解：AB+FB=√2EG. 理由如下： 如图， D 2少 B G :四边形ABCD是菱形，∠ADC=90°， .四边形ABCD是正方形， .∠ABD=∠CBD=45°. EB=EG, ∴.∠G=∠CBE=45°. .∠ABE=∠G. 又：∠AEF=∠BEG, .∠AEF-∠1=∠BEG-∠I,即∠2=∠3. △AEB≌△FEG, AB=FG.(13分) :LBEG=180°-∠CBD-∠G=90°， .在Rt△BEG中，BG=VBE2+GE2=V2EG· AB=FG. ∴BG=FG+BF=AB+FB. .AB+FB=√2EG.(15分) 7/72026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 --------------------------------- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂1【W1I/小 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共33分） 1[AIIBIICIIDI 5.1AIIBIICIIDI 9.AI[BIICIID] 2.IAIIBIICIIDI 6.IAlIBIICIIDI 10.AIIBIICIIDI 3.IAIIBIICIIDI 7.AIIBIICIIDI 11.JAlIBIICIIDI 4.1AIIBIICIIDI 8.1AlIBIICIIDI 12.1AIIB]ICIIDI 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题满分12分， 每小题3分) 13. 14. 15. 16. 三、解答题（本大题满分72分) 17.(12分) 2x+7≤3x+10① (1)计算：22+(3-π)°-(-1)226+V5. (2)求不等式组 2x-1<-1② 的整数解. 3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(10分) 19.(10分) (1) (2) (3) 20.(10分) (I)∠PAB= 度，∠APC= 度； (2)求点P到地面AB的距离PE: (3)求大楼的高度BC.(结果保留根号) M -N B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) D B B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(15分) D D E B G 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．如果收入3元记作元，那么支出5元，记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．2026年全国普通高校毕业生规模预计达人．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．当时，代数式的值等于（    ） A． B． C．2 D．3 4．分式方程的解为（    ） A． B． C． D． 5．某物体如图所示，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 6．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．一组数据1，4，6，x，3，8，5的众数是3，则这组数据的中位数是（    ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 8．一个含角的三角尺如图放置，若直线，，则的度数是（  ） A．15° B．25° C． D．45° 9．在平面直角坐标系中，点向上平移3个单位，再向右平移2个单位，得到点，则点的坐标是（  ） A． B． C． D． 10．已知一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D． 11．如图，是的直径，垂直平分交于，两点，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 12．如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交于点、．分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则长是（　　） A．3 B．4 C． D． 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．因式分解：______． 14．已知反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象经过第_______象限． 15．如图，在平行四边形中，，，连接，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，连接．则的周长为_____． 16．如图，在矩形中，．点在上且．点在上且，点为边上的一个动点，为的中点，则的长为_________，的最小值为_________． 三、解答题（本大题共6个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（12分）（1）计算：． （2）求不等式组的整数解． 18．（10分）在《哪吒之魔童闹海》中，海底妖族围攻陈塘关，大战后，哪吒和敖丙在兵器库里整理缴获的妖器．请根据以下他们的对话求出每种妖器单个多重？ 19．（10分）某学校计划开展兴趣课程，包括A（艺术素养课程），B（科学探索课程），C（体育运动课程），D（社会实践课程），E（传统文化课程），为了解学生对五类课程的喜爱程度，学校抽取了一部分学生进行投票，要求必须选且只能选一项，根据投票结果绘制了条形统计图和扇形统计图，如下图： 根据图中信息，请回答下列问题： (1)参加投票的学生共______人，其中参加D（社会实践课程）的学生有______人，参加C（体育运动课程）的学生有______人； (2)估计全校1500人中参加D（社会实践课程）的学生有______人： (3)现小欢、小乐从最受欢迎的B，C，E三类课程中任选一类课程参加，则用树状图或列表法求两人恰好参加同一类课程的概率为______． 20．（10分）无人机在生活中应用广泛，如图所示，小明利用无人机测大楼的高度．在空中点测得：到地面上一点处的俯角，距离米，到楼顶点处的俯角．已知点与大楼的距离为70米．（点共线且图中所有的点都在同一平面内） (1)___________度，___________度； (2)求点到地面的距离； (3)求大楼的高度．（结果保留根号） 21．（15分）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)若为抛物线上位于直线上方的一点，求面积的最大值，并求出此时点的坐标； (3)直线与抛物线的对称轴交于点，为抛物线上一动点，点在轴上，若以点、为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的点的坐标． 22．（15分）在菱形中，点E是对角线上一点，点F、G在直线上，且，． (1)如图1，求证：①；②； (2)如图2，当时，判断、、的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当时，点F在线段上，判断、、的数量关系，并说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前最后一卷 三 数学·答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ ◆ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 正确填涂☐ 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 错误填涂×！111/小 4 保持卡面清洁。不要折桑.不更玉砧 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共33分） 1IAIIBIICIIDI 5.JAIIBIICIIDI 9AIIBIICIIDI 2.[AJIBIICIIDI 6.1AJIBIICIID] 10.[AIIBIICIID] 3.[A[BI[CIIDI 7.AlIBIICIIDI 11.[AI[BJICIIDI 4.[A]IBIICIIDI 8.1AIIBIICIID] 12.[AI[B]ICIID] 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题满分12分，每小题3分） 13. 14. 15. 16 三、解答题（本大题满分72分） 17.(12分) 2x+7≤3x+10① (1)计算： (2)求不等式组 2x-1 22+(3-元)°-(-1)6+1 <-1② 的整数解. 3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(10分) 19.(10分) () 2) (3) 20.(10分) (I)∠PAB= 度，∠APC= 度： (2)求点P到地面AB的距离PE: (3)求大楼的高度BC.(结果保留根号) M - B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) D B B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(15分) B G 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考考前最后一卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．如果收入3元记作元，那么支出5元，记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】此题主要考查了正数和负数的意义，根据正负数的意义即可得出答案，理解正数和负数是具有相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：∵收入3元记作元， ∴支出5元，记作元， 故选：A． 2．2026年全国普通高校毕业生规模预计达人．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：∵科学记数法要求，将改写为时，需要把原数的小数点向左移动位得到， ∴． 3．当时，代数式的值等于（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】解：当时， 原式． 4．分式方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过去分母将分式方程转化为整式方程，然后再检验即可解答． 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母，得： 展开整理得： 移项得： 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 5．某物体如图所示，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三视图可进行求解． 【详解】 解：由题可知该几何体的主视图为． 6．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方的运算法则，分别计算各选项判断正误即可． 【详解】解：A、，选项计算错误； B、，选项计算错误； C、，选项计算正确； D、，选项计算错误． 7．一组数据1，4，6，x，3，8，5的众数是3，则这组数据的中位数是（    ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】C 【详解】解：∵众数是一组数据中出现次数最多的数，该组数据的众数是3， ∴， 将该组数据从小到大排序为 ， ∵该组数据共有7个数，中位数是排序后位于中间位置的数，即第4个数， ∴该组数据的中位数为4． 8．一个含角的三角尺如图放置，若直线，，则的度数是（  ） A．15° B．25° C． D．45° 【答案】B 【分析】根据题意可知再根据平行线的性质得，然后根据得出答案． 【详解】解：如图所示， 根据题意，可知 ∵， ∴， ∴． 9．在平面直角坐标系中，点向上平移3个单位，再向右平移2个单位，得到点，则点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标平移的规律，熟记平移规则：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，即可计算得到结果． 【详解】解：∵点的坐标为， 向右平移个单位，根据横坐标右移加，可得的横坐标为， 向上平移个单位，根据纵坐标上移加，可得的纵坐标为， ∴点的坐标为． 10．已知一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据一次函数与反比例函数的交点的横坐标分别为，运用数形结合思想进行分析，即可作答． 【详解】解：观察函数图象得一次函数与反比例函数的交点的横坐标分别为， ∴当时，或， 故选：B． 11．如图，是的直径，垂直平分交于，两点，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，根据垂径定理，勾股定理计算圆的半径，利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，，设、的交点为， ∵是⊙的直径，垂直平分交⊙于C，D两点， ∴，，， ∴四边形是菱形，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴． 12．如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交于点、．分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则长是（　　） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质可得，，进而结合已知证明，由等腰三角形的判定和性质得到，，再根据勾股定理求出． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由作图可知，即， 在中，． 第Ⅱ卷 2、 填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．因式分解：______． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 14．已知反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象经过第_______象限． 【答案】二、四 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的性质等知识点，根据反比例函数的性质确定函数图象所在的象限是解答本题的关键．直接将点代入求出k的值,然后根据k的正负即可解答． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴，即， ∴该反比例函数的图象在第二、四象限． 故答案为：二、四． 15．如图，在平行四边形中，，，连接，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，连接．则的周长为_____． 【答案】10 【分析】根据作图得到垂直平分，进而得到，推出的周长为，进行求解即可． 【详解】解：∵在平行四边形中，，， ∴， 由作图可知，垂直平分， ∴， ∴的周长为． 16．如图，在矩形中，．点在上且．点在上且，点为边上的一个动点，为的中点，则的长为_________，的最小值为_________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质和线段和差关系，先求出的长度；再结合三角形中位线定理，将转化为与相关的形式，利用轴对称的性质，找到点关于的对称点，将的最小值转化为线段的长度，最后结合勾股定理求出，进而得到的最小值． 【详解】解：，，， ，， 如图，作点关于的对称点，连接，交于点，连接， 则， ， 是中点， 是中点， ， ， 此时的值最小， ， ， 在中，， 的最小值为． 三、解答题（本大题共6个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（12分 ）（1）计算：． 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂、零指数幂、有理数的乘方及算术平方根的混合运算，分别计算各项后再进行加减运算即可求解． 【详解】解：原式． （2）求不等式组的整数解． 【答案】该不等式组的整数解是，． 【分析】本题考查的知识点是解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握不等式组的解法． 求不等式组的解集，遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．解完不等式组，再从不等式组的解集中找出适合条件的整数即可． 【详解】解：由①得：， 得； 由②得：， 得； 不等式组的解集是． 故该不等式组的整数解是，． 18．（10分）在《哪吒之魔童闹海》中，海底妖族围攻陈塘关，大战后，哪吒和敖丙在兵器库里整理缴获的妖器．请根据以下他们的对话求出每种妖器单个多重？ 【答案】磨刀的重量为斤，狼牙棒的重量为斤 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设磨刀的重量为斤，狼牙棒的重量为斤，根据题意列出方程组，解方程组，即可求解． 【详解】解：设磨刀的重量为斤，狼牙棒的重量为斤，根据题意得， 解得： 答：磨刀的重量为斤，狼牙棒的重量为斤． 19．（10分）某学校计划开展兴趣课程，包括A（艺术素养课程），B（科学探索课程），C（体育运动课程），D（社会实践课程），E（传统文化课程），为了解学生对五类课程的喜爱程度，学校抽取了一部分学生进行投票，要求必须选且只能选一项，根据投票结果绘制了条形统计图和扇形统计图，如下图： 根据图中信息，请回答下列问题： (1)参加投票的学生共______人，其中参加D（社会实践课程）的学生有______人，参加C（体育运动课程）的学生有______人； (2)估计全校1500人中参加D（社会实践课程）的学生有______人： (3)现小欢、小乐从最受欢迎的B，C，E三类课程中任选一类课程参加，则用树状图或列表法求两人恰好参加同一类课程的概率为______． 【答案】(1)200，30，40 (2)225 (3) 【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量，然后利用频数等于样本容量×所占百分数解答即可． （2）利用样本估计总体计算即可． （3）根据列表或画树状图法，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得E类课程有60人，占比为， 故（人）， 故参加D（社会实践课程）的学生有（人）， 参加C（体育运动课程）的学生有（人）． （2）解：（人）． 答：全校1500人中参加D（社会实践课程）的学生有225人． （3）解：画出树状图如下： 由图知，所有可能的结果数为9，其中两人恰好参加同一类课程的可能结果数为3， 则两人恰好参加同一类课程的概率为． 20．（10分）无人机在生活中应用广泛，如图所示，小明利用无人机测大楼的高度．在空中点测得：到地面上一点处的俯角，距离米，到楼顶点处的俯角．已知点与大楼的距离为70米．（点共线且图中所有的点都在同一平面内） (1)___________度，___________度； (2)求点到地面的距离； (3)求大楼的高度．（结果保留根号） 【答案】(1) (2)米 (3)米 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键； （1）根据平行线的性质和平角的定义即可得解； （2）根据正弦的定义求解即可； （3）过C作于Q，根据三角函数分别求出，即可得解 【详解】（1）解：，， ， ， ， 故答案为：60，90； （2）解：在中，，米， 米， 点到地面的距离为米； （3）解：过C作于Q， 则四边形是矩形，， ， 在中，，米， 米， 米， 在中，米， 米， 大楼的高度为米． 21．（15分）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)若为抛物线上位于直线上方的一点，求面积的最大值，并求出此时点的坐标； (3)直线与抛物线的对称轴交于点，为抛物线上一动点，点在轴上，若以点、为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)；； (3)；；； 【分析】（1）利用待定系数法运算求解即可； （2）过点作轴交于点，连接，，设出，则，求出的长，再利用三角形面积公式列出函数式子求解即可； （3）设出点的坐标，利用中点坐标公式分类讨论对角线的情况列式运算即可． 【详解】（1）解：把，分别代入可得： 解得： ∴抛物线的解析式为：； 把代入，可得： ∴ 设直线的解析式为：，把，分别代入得： ， 解得： ∴直线的解析式为：； （2）过点作轴交于点，连接，如图所示： ∵，， ∴设，则， ∴， ∴ ∴当时，最大面积为， 把代入可得：； （3）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∴把代入可得：， ∴， ∵为抛物线上一动点，设；点在轴上，设， ∵， ∴①当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或， 代入可得：，， ②当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或，与①相同； ③当为平行四边形的对角线时： ， 解得：或， 代入可得：，， 综上所述的坐标为：；；；． 【点睛】本题考查了二次函数，一次函数与几何综合，涉及到了二次函数的图像性质，坐标轴点的特征，三角形面积最值的求法，平行四边形的性质，熟悉掌握几何的构造是解题的关键． 22．（15分）在菱形中，点E是对角线上一点，点F、G在直线上，且，． (1)如图1，求证：①；②； (2)如图2，当时，判断、、的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当时，点F在线段上，判断、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）①由菱形性质得到，由等腰三角形性质得到．从而有．由等量代换得到，从而可证； ②由全等的性质得出，由菱形的性质得出，从而有，最后有等量代换即可得到； （2）由菱形的性质可求出，从而得到为等边三角形，得到，从而可证结论； （3）证明四边形是正方形，得到，同（1）可证，得到，进而得到为等腰直角三角形，从而得到结论． 【详解】（1）证明∶①如图， ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴，即． ∴； ②∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴．即． （2）解：． 理由如下： ∵四边形是菱形，， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 由（1）知：， ∵， ∴． （3）解：． 理由如下： 如图， ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴，即． ∴， ∴． ∵， ∴在中，． ∵． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，灵活运用相关性质定理和判定定理是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $