浙江绍兴市诸暨市2026年5月高三适应性考试数学试卷

诸暨市2026年5月高三适应性考试试题 数学 注意：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.(1+)2=(▲) A.2-2i B.2+2i C.-2i D.2i 2.已知集合A={x|-1<x<1},B={x|0≤x≤2}，则AUB=(▲) A.(-1,2) B.(-1,2] C.[0,) D.[0,l] 3.若抛物线广=2r0>0的焦点是双曲线号-产1的个焦点，则P-（▲） A.2 B.4 C.√2 D.2N2 4.已知函数f(x)= L 则f[f-]=(▲) A.0 B.1 C.2 D.4 5.在二项式展开式中，若某一项含有不能化为有理数的根式（即字母指数不全为整数，或化简 后仍含无限不循环小数形式的根式)，则该项称为无理项 在+ 的展开式中（▲） A.一定有常数项，没有无理项 B.一定有常数项，可能有无理项 C.一定没有无理项，没有常数项 D.一定没有无理项，可能有常数项 6.己知正三棱台ABC-AB,C的上、下底面的边长分别为2和4，且棱台的侧面与底面所成的 二面角为60°，则此三棱台的侧面积为（▲） A.2V5 B.35 C.65 D.115 7.己知b是a，c的等差中项，若圆C:(x-1)2+(0y-2)2=9上到直线：ax+by+c=0的距离 为1的点有且仅有3个，则直线1的斜率为（▲） B. C.2或-2 D.√5或-√3 2 3 3 高三数学试题第1页（共4页） 8.已知a,B∈R,且满足cosx+cos(a-)=1,则cosB的取值范围是（▲） A.（3别 B.[ c（9][9 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是（▲） A随机变量X-N0,2),则PX>-=方 B.随机变量X服从两点分布，且P(X=1)=p,则E(X)=P C随机变型的分布列为P传=刻=m风。 =1,2,则m-子 D.随机变量5，刀满足25+7=4，且5~月6，》， 则E(7)=0 10.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a+b=√5，且 bsin CcosC+csin Ccos B=v3 acos C,则（▲） A.B= B.C= 2 3 C.△ABC的面积可以是1 D.△ABC的周长可以是3 11.如图，圆柱被平面α所截而得的几何体的截面是椭圆，则将其侧面展开后得到的曲线恰好 是函数y=Asin(ox+p),(A,①>0)在一个周期内的图象，则（▲） A,圆柱底面的直径为2 B.圆柱底面和平面a所成角为0， 则tan0=Aaw C.椭圆的焦距长为2Ao Ao D.椭圆的离心率为√a+ 。。,。 高三数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知a10g32=1,则2a=▲一· 13.已知数列{a}满足a+1=a+d,且a=2,4d=-1,设Tn=4-(∑a),则当I=10时， -1 n的值为▲ 14.已知A={1,2,3,4,5,6,7,8},从集合A中随机取出两个数x,y且x≠y,连接原点0和 4x,月，8(，)两点，则am∠40B=2的概率为▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本题13分)甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中 有8个红球、2个白球.定义一轮游戏：掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲 箱随机摸出1个球放入乙箱；如果点数为3,4,5,6，从乙箱中随机摸出1个球放入甲箱. (1)求一轮游戏后，甲箱中红球个数多于白球个数的概率； (2)一轮游戏后，设乙箱中白球的个数为X,求X的分布列及数学期望 16.(本题15分)在等差数列{an}中，41+4=a4+1,a2+a=a6-2. (1)求数列{an}的通项公式： (2)对任意m∈N°，将数列{a}中在区间(3,9m)内的项的个数记为bn,求数列{bn}的前 m项和Sm· 高三数学试题第3页（共4页) 17.(本题15分)如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，平面PAB⊥平面ABCD,PA=AB, E为BC的中点 (1)若PB=PA,证明：AE⊥PD: (2)求直线AE与平面PBC所成角的余弦值的取值范围， P B:--- E D 8(本题1日分》已知双鱼线8若茶=-1>0,6>0的商6率为2，小分是双线上 关于原点对称的两个动点(A在第一象限)，当AB的斜率为1时，AB=2√5. (1)求双曲线E的标准方程； (2)已知F为双曲线的右焦点，连接AF交双曲线于另一点D,连接BF交双曲线于另一 点C. (i)求证：直线CD恒过定点； (i)记直线AB的倾斜角为a,直线CD的倾斜角为B，当a+B取最小值时，求直 线CD的方程 19.（本题17分)己知函数f(x)=(x2+a)sinx-ax(a∈R), (1)当a=0时，求函数g)=xf)在，5 2'6 上的最小值： (2)若x=0是f(x)的导函数'(x)的极大值点，求a的取值范围： (3)证明：sin0.01+sin0.03+sin0.05+…+sin0.99<24. 高三数学试题第4页（共4页） 诸暨市2026年5月高三适应性考试 数学参考答案 一、单项选择题（每小题5分，共40分) 题号 1 2 6 答案 D B B D 二、多项选择题（每小题6分，共18分；部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 答案 ABD BD ABD 三、填空题（每小题5分；共15分） 2 13.4或5 4.月 四、解答题（共77分；13分+15分+15分+17分+17分） 15.(6分+7分) 解：记事件A为一轮游戏中，从甲箱随机摸出1个球放入乙箱， 事件B为一轮游戏中，从甲箱随机摸出1个红球放入乙箱， 事件C为一轮游戏中，从乙箱随机摸出1个红球放入甲箱， 则：P0P团子， P80- P(CA)=4 …2分 (1)记事件M为一轮游戏后，甲箱中红球个数多于白球个数， 则M=AB+AC,AB与AC互斥，则： PM=P(AB+AC)=PAB)+PAC)=P(A)PBA)+P(④P(CIA)=3×)+片×=0 …5分 (2)由题意知，X=1,2,3, …7分 =---r分6分 326 分布列为 X 1 2 3 2 7 1 15 10 6 ……11分 E(X区35+2×7+3x1-6 …13分 10630 16.(6分+9分) 解： (1)两式相减得：a2-41=a6-a4-3 .d=2d-3.d=3 …2分 代入得：a=4 …4分 即an=3n+1 …6分 (2)对任意meN,3m<3n+1<9m, …8分 30-1<3n<90-1,即3-1<n<32m1-} 3 而n∈N,故3m-1≤n≤32m-1-1, 由题意可知bn=(32m-1-1)-3m-1+1=32m-1-3m-1, ……11分 于是Sm=b+b2+…+bn=3+33+…+32m-1-(30+3+…+3m- =30-9")1-3m 1-91-3 32m+1-33m-1 8 2 即S32m-33,或写成S=3二43+1 ……15分 8 17.(6分+9分) P 解： (1)取AB中点M,连接DM交EA于Q,连接PM, PA=PB=AB,·△PAB是正三角形， ·B M是AB中点，PM⊥AB A …2分 D ·面PAB⊥面ABCD,面PAB∩面ABCD=AB,PM⊥AB, .PM⊥面ABCD, MA=EB △MAD与△EBA中{∠MAD=∠EBA, BA=AD ∴.△EBA-△MAD,∴.∠EAB=∠MDA ∴∠AQD=180°-∠QAD-∠QDA=-180°-∠QAD-∠EAB=90° .EA⊥MD …4分 :EA⊥MD,EA⊥PM,PM、MDc面PMD,PM∩MD=M .EA⊥面PMD …5分 .AE⊥PD ……6分 2 法一：几何法 (2)作AH⊥PB于H,连EH ·面PAB⊥面ABCD,面PAB∩面ABCD=AB,而CB⊥AB, .CB⊥面PAB B C…1分 又：CBC面PBC,面ABP⊥面PBC A .AH⊥面PBC …2分 D .A到平面PBC的距离即AH,则直线AE与平面PBC所成角为∠AEH, …4分 sin∠AEH= BH AB 25 L,cos∠AEH=V1-sin2a∈ ………5分 AEAE 5 ∴.直线AE与平面PBC所成角的余弦值的取值范围为 ……6分 法二：坐标法 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立如图空间直角坐标系，设AB=2,则： A0,0,0),B(-2,0,0),E(-21,0),D(-2,2,0),P(x,0,z0) .BC=(0,2,0)BP=(x+2,0,z0)AE=(-2,1,0) ……8分 且x+z6=4 ………9分 设面PBC的法向量为n=(x,,乙) B C nBP=0 ,即 f(x+2)x+z31=0 n·BC=0 2y=0 o →y 可令x=2,片=0,3=-2-0，即n=(2,0,-2-)x …11分 AE.n .∴，sin<AE,n> |-2z0 a西同5云+2- 2 4-x6 …14分 V51V4-x+(2-x) 1 2-xe0 即直线AE与平面PAD所成角的余弦值的取值范围为 …15分 18.(5分+7分+5分) 解： (1）)由题意知，e=C=2,c2=a2+b2,所以a2=m,b2=3m, …2分 a 则双曲线为-上=1.设AB为y=x, m 3m 由3r2-y=3m,得2x2=3m,解得飞， [y=x 2=V6m 6m 2 AB=V1+k2x4-xa=1+1·V6m=2V3,则m=1, 故双曲线E为x2_ =1. …5分 3 (2)(i)设A为(xo,y),则B为(-xo,-yo), 设AF为x=-2 +2,BF为x=-2 y+2, -Yo 3x2-y2=3 由 x=七-2 12得0-2)w2+1202+9=0( yo yo 又，3x-y=3,(*)式可化简为(5-4x0)y2+4(x,-2)yoy+3y=0 3,故n 故%yn=5-4x0 3,代入直线AF得： 5-4x0 =23%.+2-15%,所以D为15，.)》】 05-4x05-4x, 5-4x,5-4x0 …7分 3y,--3 4+5,3),则k=4-50-4+53 同理，C为5+4x5+4x0 =5-45+4=-5 …9分 5-4x5+4x CD为y- 3y=5(x--4 4 5-4x3x0 _4-5x),整理得x= 3xoy+ 5yo 5 4 故直线CD恒过定点（兮0. …12分 0由0知n=}aka>0n<0 2 tan(a+B) tana+tanBk+kcp 2kcp=- 5+3kcD -1-tana.tan B1-kakco 5+3kco kc …14分 2 2 2 5 5+3kcD _5+(-3kcm) 2-1 5x(-3kn】 15 KCD kcD 当且仅当k 5=-3kp时，即kcn= 5取等号. …16分 3 故直线CD为x=-15y+4 5y+5 …17分 19.(5分+6分+6分)解： (1).g(x)=x'sinx, ..g(x)=3x2sinx+xcosx=x2cosx(3tanx+x), …1分 令h(x)=3tanx+x,h(x)单调递增， 且M25=-35+<0,a爱)=-5+>0， 3 61 6 2π5弧)使得hx)=0, 3唯一xe(3,6 5]递减， ·g)在巧)递增，在(， …3分 aea=ima告=m号器-号 ……5分 (2)令g(x)=f'(x)=2x·sinx+(x2+a）)cosx-a g'(x)=2sinx+2x·cosx+2x·cosx-(x2+a)·sinx =(2-x2-a).sinx+4x.cosx 令p(x)=g'(x),易知p(x)=-p(-x),故p(x)为奇函数。 而p'(x)=-6x·sinx+(6-a-x2):cosx,p'(0)=6-a. 1°当a≥6时，有p'(0)≤0， 又因为xe0,有p)=-6rnx+6-a--cosr<0, 故p(x)在(0，孕单调递诚，因为p)为奇函数，则()在[-三0)也单调递减，且p(0=0, 即xef-0时，g闭=>o0=0,g6)在[-受0单调递增： x∈0,1时，g)=px)<9(0)=0,g在0,1单调递减， 又因为g'(O)=0,则x=0是g(x)的极大值点. …8分 2°当a<6时，有p'(0)>0, M(x)=o'(x),M'(x)=-8x.cosx-(12-a-x2).sinx 又因为re0,有-8 0<0,2-a--smr>0,故M<0, 则M()在(0，单调递减，因为M)为偶函数，则M)在[-0)单调递增， 又因为M(=M-7=-3x<0,M0=p0>0, 由零点存在性定理得，M)在[-受0)和(01各有一个零点，分别记为，喝 则x∈(，x2)时，p(x)=M(x)>M(x)=M(x2)=0,p(x)在(x,x2)单调递增： 即x∈(x,0)时，g'(x)=p(x)<p(0)=0,g(x)在(x,0)单调递减； x∈(0，x2)时，g'(x)=p(x)<p(0)=0,g(x)在(0，x)单调递增， 又因为g'(0)=0,则x=0是g(x)的极小值点，不符合题意. …11分 综上说述，a≥6 (3)sinx+sin(-x)=2sincos()s 2sin ' …13分 由(2)知a=6时，(x)在(0，)单调递减，f0)=0, fx)<0,xe0,》 6x ∴.f(x)<f(0),即sinx< ……15分 x2+6 1312 .sin2<1+ …16分 *6 25 1 .sin0.01+sin0.03+…+sin0.99<50.sin5=24 …17分 2 6