安徽宿州市第二中学等校2025-2026学年第二学期期中教学质量检测高一数学试题

2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.(1+5)i的虚部为()【答案】C A.-1 B.0 C.1 D.6 2.若向量a=（-3,2),b=(3,x),a⊥b,则x=()【答案】A 9 A B.-2 C.2 2 3.已知d=2,月=1，(a,)=135°，则日在6上的投影向量为( )【答案】B A.√2b B.-26 C.22b D.-226 4.(改编)已知某平面图形OABC的直观图是如图所示的梯形O'AB'C', y 且AB=2,0'C'=3,0'A'=1,则原图形0ABC的面积为()【答案】D <45° A.￥2B.5C.6D.5 5.(改编)已知D,E分别是△ABC的边BC,AC上的中点，AD、BE交于点F,则AF=(C) A}+CB.号+C C.4B+1AC 3 31 3 n.号+ 3 6.(改编)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,A1B1=1,AA1=V2,则该棱台的体积为(A) A.26 6 B.216 6 C.5 6 D.76 3 7.（改编)龙辰塔，宿州市萧县“龙城”文化地标，矗立岱湖中心， 是一座仿唐宋形制的八角仿古景观塔.某中学社会实践小组为探究这 座古塔的高度，开展了一次实地测量的活动.他们在塔底B所在的水平 地面上选取C,D两点，测得CD=15米，∠BCD=15°31'，∠BDC=150°，在点C处测得塔顶A的仰角为60° 则龙辰塔的高度AB约为(（参考数据：取sin14°29=0.25，V3=1.732）【答案】D A.48米 B.50米 C.54米 D.52米 8.已知△MBC中角A,B,C所对的边分别为a,b,C,D为边BC上一点，且AD为∠BAC的角平分线，若∠BAC=T AD=√5，则b+c最小值为() A.5 B.4 C.3 D.6 【答案】B【详解】如图，AD为角平分线，S。BC=SBD+S.4Dc, 号Acs血∠BC号B0-sm∠BD+分4C0-n∠DC,化商得+e=c,方是1，则 2 1 b+Q6+。24,当且仅当时取等号，故b+c最小值为4.故答签 b c 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.(原创)下列说法正确的是( )【答案】AD A.棱柱两底面平行，并且各侧棱也平行 B.棱柱所有的面都是平行四边形 C.相等的线段在直观图中仍然相等 D.底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥 10.设z1,z2是非零复数，则下列选项正确的是（)【答案】：BD A.2=21 B.若31-2-2i=2,则3+1-61的最小值为3 C.3+z2=z+22 D.若z2+i+22-i=2,则z2的最小值为5 【详解】对于A,设z1=a+bi,则三=a-bi,所以z=(a+bi2=a2-b2+2abi,2=(a-bi)2=a2-b2-2abi,当a,b 有1个为0或全为0时，z2=-z,当a,b均不为0时，2，无法比较大小，故A错误， 对于B,设=a+bi,因为z1-2-2i1=2,所以a+bi-2-21=2,故有a-2+(b-2)i=2,可得(a-2)2+(b-2)2=4, 所以名的轨迹是以(2,2)为圆心，2为半径的圆，而z1+1-61=a+bi+1-6i=a+1+(b-6)i=V(a+1)2+(b-6)2, 故名+1-6表示点(a,b)到定点(-1,6)的距离，由圆的性质可知，+1-61m=V-1-2}'+(6-2}-2=3,故B正确， 对于C,当名=i,22=-i时，3+z2=0,此时名，+z2=0,z+22=2,故z+22=+22不成立，故C错误， 对于D,设z2=a+bi,所以22+1-a+bi+i=a+(b+1)i=Va2+(b+1)2, |32-i=a+bi-=la+(b-1)i=Va2+(b-1,而32+i+32-i=2,故Va2+b+D+√a2+b-=2, 所以得到点(a,b)到两定点(0，-1)，(0,1)的距离之和为2，故22的轨迹是以(0，-1)，(0，)为端点的线段，，而22-1表 示(a,b)到点(0,1)的距离由几何意义可知z2-1最大值为√2，故D正确故选：BD 11.(改编)在△ABC所在平面内有三点O,N,P,则下列说法正确的是() A.满足IOAHOB曰OC1,则点O是△ABC的外心B.满足NA+WB+NC=0,则点N是△ABC的内心 C.满足PA·PB=PB.PC=PC.PA,则点P是△ABC的垂心 D.满足(B,AC ABIACI Bc=0,且AB.4C_1 AB4C2,则a4BC等边三角形 【答案】ACD【解析】解：对于A,因为OA曰OB曰OC,所以点O到△ABC的三个顶点的距离相等，所以O为 △ABC的外心，故A正确；对于B,如图所示，D为BC的中点，由NA+NB+NC=0得：2ND=-NA,所以 2 |AN:ND=2:1,所以N是△ABC的重心，故B错误： 对于C,由PAPB=PB.PC得：(PA-PC)·PB=0,即AC.PB=0,所以AC⊥PB; 同理可得：AB⊥PC,所以点P是△ABC的垂心，故C正确： AB AC B )·BC=0得：角A的平分线垂直于BC,所以AB=AC: D 对于D,由( ABAC B14C2得：cos4 AB AC 1 由 2,所以4= 了，所以△MBC为等边三角形，故D正确，故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知底面边长为1，侧棱长为W2的正四棱柱的各项点均在同一个球面上，则该球的表面积为 【答案】4红因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r=+1+V2?=1,所以球 的表面积：4πr2=4π 13.(改编)若同一平面内的三个力F,瓦，万作用于同一个物体，且该物体处于平衡状态已知=3，=4，且F与 F,的夹角为60°，则力F的大小为 答案：V37 14.在锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=b+2 bcosA,则的取值范围为一· 【答案】(W2,√③)【解析】因为c=b+2 bcosA,所以由正弦定理得sinC=sinB+2 sinBcosA, 又sinC=sin(A+B),所以sin(A+B)=sinB+2 sinBcosA,即sinAcosB+sinBcosA=sinB+2 sinBcosA, 整理得sinAcosB-sinBcosA=sinB,即sin(A-B)=sinB.因为A,B,C均为锐角，所以A-B=B,即A=2B, 0<A<, 0<2B< 又A+B+C=元，所以C=π-3B.因为A,B,C均为锐角，所以0<B<,即0<B< 解得<B< 0<c< 0<m-3B<号 由正弦定理得号=器=器=2cos8,因为B∈G,月.所以cosB∈（号，.所以号=2cos8∈(2. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知关于x的方程x2+(-8+i)x+16-(a+1)i=0(a∈R)有实数根b. 1+i)23+412 (1)求实数a,b的值；(2)设z=a+bi, 22 解：(1)因为方程x2+(-8+i)x+16-(a+1)i=0(a∈R)有实数根b,所以b2+(-8+i)b+16-(a+1)i=0,即 b2-8b+16=0 b=4 b2-8b+16+(b-a-1)i=0,所以 ,解得 b-a-1=0 a=37分 (1+i)2(3+4i)2 2i(3+4i) (2)由(1)知z=3+4i,所以 2(3+4i)） 2 =4+3列=5.…13分 16.用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形.如图，圆锥 SO底面圆的半径是2V3,轴截面SAB的面积是4V3. (1)求圆锥SO的母线长：(2)过圆锥SO的两条母线SB,SC作一个截面，求截面SBC面积的最大值. 解：(1)因为轴截面SMB的面积为×4W3×S0=43,所以S0=2,..3分 所以圆锥S0的母线长1=(2V3)2+22=4.6分 (2)在轴截面SAB中，S0=2,SA=4,S0⊥OA, 所以∠SMBG所以∠SB=2经....9分 故0<∠S02号.10分 由三角形的面积公式，得Sax-X SCX SBsin.∠BSC-fsin∠BsC-8sin∠BsG,.13分 所以当∠BSC=”时，截面SBC的面积取得最大值，最大值为8....15分 17.设2∈R,已知，已2是平面内两个不共线的向量，AB=e+e,BE=3+e,EC=-2+2,且A,E,C三点共线. (1)求2的值：(2)若=(1,1)，已2=(0,1)，①求向量AB与BC的夹角的余弦值： ②已知点D的坐标为(3,4)，若四边形ABCD为平行四边形.求点A的坐标. 【答案】0=-120：@4(2) 【详解】1)由已知得E-AB+BE=4纪+2g,因为4E,C三点共线，所以4-？，即元=-14分 -2元 (2)由已知得AB=(1,2),BC=BE+EC==(1,1),(6分) ①c0sAB,BC=AB.BC 3310 ABBC5.10:I0分) ②由平行四边形得AD=BC,又AD=(3-x4,4-y4),所以 ,解得 1=4-ya ,=3即4(2,3)15分 18.在△ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=√2，c=4,acosC+b=0. (I)求a:(2)已知点D在线段BC上，且∠ADB=3π 4,求AD长 【详解】1)在A4BC中，由ac0sC+h=0及余弦定理，得a。+2-C+h=0, 2ab 即a2+3b2-c2=0,而b=√2，c=4,所以a=√10.(6分) 2)由D知a0,由余弦定理得oC-b2X公X品-5，C为角形内角，则 4 C-cscE,而乙ADB,于是乙ADC在△DC中，由弦定理得D40 sinC sin∠ADC' 所以AD=4 C:sinc.2x25 5=45 sin∠ADCV 5(17分) 2 19.如图所示，某市在海岛A上建了一水产养殖中心.在海岸线1上有相距70公里的B,C两个小镇，并且AB=30公里， AC=80公里，已知B镇在养殖中心工作的员工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人现欲在B,C之间建一 个码头D,接送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1：2. (1)求sin∠ABC的大小；(2)设∠ADB=O,试确定O的大小，使得运输总成本最少 【答案】(I)sin∠4BC=45 (2)0= 7 3 B D 【小间1详解】根据余弦定理，有c0s∠ABC=4B+BC2-AC302+702-8021 2AB.BC 2×30×707 由于∠ABC∈(0，)，于是in∠ABC-456分 7 【小问2详解】设每百人每公里水路运输成本为m元，陆路运输成本为2m元.又CD=70-BD,则 总成本p=8AD·m+(3BD+5CD)·2m=(700+8AD-4BD)m AB AD BD 在△ABD中由正弦定理，有 sin6sin∠ABC sin(0+∠ABC)' 解得AD=120V3 7sine 30× 4v5 cos0+30× BD= AB sin(O+∠ABC) 120W3c0s030, sin0 sinθ 7sin0 7 因此2n0120N5202+0.设y=, 7sin0 sin9，则y>0, 有)sin0+cos0=2,又)sin0+cos0=V产+1sin(0+)）s产+i,其中tan0=1,且为锐角， 嘴F行22，倍2，当y=5时比时时-5-君01m0-20:君 y 3 a+8-2, 故日=兀时取得等号.因此当日=兀时，运输总成本最少17分) 3 3 52025-2026学年度第二学期期中教学质量检侧 高一数学试题 (本卷满分150分，考试时间120分钟) 一单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.(1+5)i的虚部为() A.-1 B.0 C.1 D.6 2.若向量a=(-3,2),b=(3,x),a⊥b,则x=() A B.-2 C.2 D.号 3.已知d=2,=1,(a,b)=135°，则a在i上的投影向量为() A.√2b B.-√2b C.22b D.226 4.已知某平面图形OABC的直观图是如图所示梯形O'A'B'C', 且A'B'=2,O'C'=3,O'A'=1,则原图形0ABC的面积为() 45 A.52 B.52 C.6 D.5 4 5.己知D,E分别是△ABC边BC,AC上的中点，AD、BE交于点F,则AF=() A.号B+子AC B.子AB+5AC C.号+写Ac D.子丽+号AC 6.在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,A1B1=1,AA1=V2,则该棱台的体积 为() A.76 B.216 C.56 D. 76 6 6 7.龙辰塔，宿州市萧县“龙城文化地标，矗立岱湖中 心，是一座仿唐宋形制的八角仿古景观塔某中学社 会实践小组为探究这座古塔的高度，开展了一次实 地测量的活动.他们在塔底B所在的水平地面上选取C,D两点，测得CD=15 米，∠BCD=15°31'，∠BDC-150°，在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则龙辰塔的高 度AB约为()（参考数据：取sin14°29'=0.25，V3=1.732) A.48米 B.50米 C.54米 D.52米 1/4 ▣减▣ O夸克扫描王 极速扫描，就是高效简日 8.已知△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,D为边BC上一点，且AD为∠BAC 的角平分线，若∠BAC=行，AD=,则b+c最小值为() A.5 B.4 C.3 D.6 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是() A.棱柱两底面平行，并且各侧棱也平行 B.棱柱所有的面都是平行四边形 C.相等的线段在直观图中仍然相等 D.底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥 10.设乙，z2是非零复数，则下列选项正确的是() A.2子= B.若|z-2-2i=2,则z1+1-61的最小值为3 C.3+z2=z+z2 D.若z2+i+z2-i=2,则|z2一1的最大值为2 11.在△ABC所在平面内有三点O,N,P,则下列说法正确的是() A.满足|OA曰OB日OCI,则点O是△ABC的外心 B.满足A+NB+NC=O,则点N是△ABC的内心 C.满足PA.PB=PB.PC=PC.PA,则点P是△ABC的垂心 D满足（需斋，且需恶-则c等拉三货 三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知底面边长为1，侧棱长为V2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该 球的表面积为 13.若同一平面内的三个力E,F,F作用于同一个物体，且该物体处于平衡状态.已 知国=3，瓦=4，且瓦与瓦的夹角为60°，则力瓦的大小为一 14.在锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=b+2 bcosA, 则的取值范围为一· 2/4 Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 四、解答题：共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知关于x的方程x2+(-8+i)x+16-(a+1)i=0(a∈R)有实数根b. (1)求实数a,b的值； (2)设z=a+bi,求0+i)23+42 2z 16.(15分) 用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称 为圆锥的子午三角形.如图，圆锥SO底面圆的半径是2V3,轴截面S4B的面积是 4v3. (1)求圆锥SO的母线长； (2)过圆锥SO的两条母线SB,SC作一个截面，求截面SBC面积的最大值. B 17.(15分) 设1∈R,已知，已2是平面内两个不共线的向量， AB=e+e,BE=3E+e,EC=-2+22,且A,E,C三点共线. (1)求的值； (2)若g=(1,1),e2=(0,1), ①求向量AB与BC的夹角的余弦值； ②已知点D的坐标为(3,4)，若四边形ABCD为平行四边形，求点A的坐标， 3/4 ▣口 Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效奇 18.(17分) 在△ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=√2，c=4,acosC+b=0. (1)求a; ②)已知点D在线段BC上，且∠ADB=,求4D长 19.(17分) 如图所示，某市在海岛A上建了一水产养殖中心.在海岸线！上有相距70公里的 B,C两个小镇，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B镇在养殖中心工作的员 工有3百人，C镇在养殖中心工作的员工有5百人.现欲在B,C之间建一个码头D, 接送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运 输成本之比为1：2. (1)求sin∠ABC的大小； (2)设∠ADB=B,试确定0的大小，使得运输总成本最少 B D 4/4 Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效