甘肃省徽县第一中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试卷

**基本信息** 2025-2026学年徽县一中高二下期中数学试卷，以“数字适老”“羽毛球比赛”等现实情境为载体，融合排列组合、概率统计、函数导数等知识，考查数学建模与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|排列组合（第1题）、条件概率（第2题）、正态分布（第3题）|扑克牌抽取、旅游打卡等情境，基础与应用结合| |多选题|3/18|分层抽样（第9题）、互斥与独立事件（第10题）|图表分析与概率概念辨析，考查批判性思维| |填空题|3/15|切线方程（第12题）、轨迹方程（第13题）、二项式系数（第14题）|几何与代数综合，注重运算准确性| |解答题|5/77|函数性质（第15题）、椭圆离心率（第16题）、比赛概率（第17题）、立体几何（第18题）、导数证明（第19题）|羽毛球比赛概率（第17题）情境创新，导数综合题（第19题）梯度设计，考查数学思维与表达|

绝密★启用前 2025-2026学年徽县第一中学高二下学期 期中考试（数学）试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1．从20张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花4个花色,每个花色均有数字从2~6的5张牌）中抽取4张牌,若抽出的4张牌有且仅有2张数字相同,则不同的抽取方法有(      ) A.960种 B.1440种 C.1920种 D.2880种 2．甲、乙两位旅游博主准备周末去A,B,C,D这4个景点中的某一个景点打卡,事件M表示甲、乙至少有1人去A景点,事件N表示甲、乙去相同的景点,则(      ) A. B. C. D. 3．若随机变量Z服从正态分布,则.为了解使用新技术后的某果园的亩收入（单位：万元）情况,从该果园抽取样本,得到使用新技术后亩收入的样本均值,样本方差.已知该果园使用新技术前的亩收入X（单位：万元）服从正态分布,假设使用新技术后的亩收入Y服从正态分布,则(      ) A. B. C. D. 4．某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有(      )种. A.216 B.360 C.432 D.672 5．的二项展开式中x的系数是(      ) A.35 B. C.21 D. 6．为推进“数字适老,智慧生活”,某社区开展AI应用培训活动.现随机抽取一位学员,其每日在线学习积分X的取值分别为0,1,2,若,,则(      ) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 7．将5名同学分配到三个班,每班至少1名同学,则不同的分配方法有(      ) A.60种 B.180种 C.150种 D.300种 8．已知数列的各项均不为0,其前n项积为,且,记数列的前n项和为,则(      ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．某校高一年级开设了文学社､科创社､体育社､艺术社､辩论社五类社团,每名同学最多参加一个社团,对参加社团活动的情况进行统计调查,统计信息如图(1),(2),其中参加体育社和艺术社的人数相等,为了解社团活动开展情况,采用分层抽样的方法在参加社团活动的学生中任意抽取20名学生做问卷调查. 根据以上信息,下列说法正确的是(      ) A.艺术社的学生人数有120人 B.文学社和辩论社参加问卷调查的学生人数共有5人 C.从参加社团的学生中任选1人,已知该学生不是文学社成员,则该学生是科创社成员的概率为 D.调查结果显示文学社､科创社的满意率均为0.7,其他社团的满意率均为0.9,则社团活动总体满意率为0.81 10．口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则( ) A. B.B与C互斥 C.A与B相互独立 D.A与D互为对立 11．将一枚质地均匀的硬币连续投掷n次，定义随机变量为结果中连续出现正面的最大次数.若始终未出现正面，规定，例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为1和2，故，则(      ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则____________. 13．已知圆,P、Q为圆M上的两个动点,为圆M内的一点,若,则线段中点的轨迹方程为_____________. 14．的展开式中的系数为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（12分）已知函数,（）. （1）当时,求函数的对称中心; （2）若为偶函数,不等式在上恒成立,求实数m的取值范围; （3）若过点,设,若对任意的,,都有,求实数a的取值范围. 16．（14分）如图,在平面直角坐标系中, ,分别是椭圆的左、右焦点,顶点的坐标为,连结并延长交椭圆于点,过点作轴的垂线交椭圆于另一点,连结. 1.若点的坐标为,且,求椭圆的方程; 2.若求椭圆离心率的值. 17．（16分）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为. (1)求甲连续打前四局比赛的概率； (2)前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率； (3)如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为X，求X的分布列和期望. 18．（22分）如图,三棱台中,侧面四边形为等腰梯形,底面三角形为正三角形,且,设为棱上的点. （1）若为棱的中点,求证; （2）若三棱台两底面间的距离为,且侧面底面,试探究是否存在点,使直线与平面所成角的正弦值为?若存在,确定点的位置;若不存在,说明理由. 19．（13分）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，证明； (3)若对任意的不等正数，，总有，求实数a的取值范围. ( 第 1 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 题号 2 3 5 6 8 10 11 答案 D A D C B B ABD ACD ABD 1.答案：D 解析：先从5个数字中任选1个数字，有C种选法，再从4种花色中选取2种有C种： 从余下4个数字中选取2个数字，每个数字选取1种花色有CCC4, 所以不同的抽取方法有C,CCCC4=2880(种). 故选：D. 2.答案：A 僻折：事件M表示甲乙两人都不去A茶点，PM)E1-PM1了 事件MN表示甲乙两人都去A景点，P(MN)=1 1 1 所以P(NM）= P(MN)16_1 P(M)77 16 3.答案：D 解析：依题可知，x=3.2,s2=1.44,所以Y~N(3.2,1.22), 故P(Y>2)=P(Y>3.2-1.2)=P(Y<3.2+1.2)≈0.8413」 因为X~N(2.8,1.22）,所以P(X<4)=P(X<2.8+1.2)≈0.8413， 所以P(X<4)=P(Y>2),P(X<4)+P(Y>2)≈1.6826>1.68. 故选：D 4.答案：C 解析：步骤1：先排4个歌舞节目：A4=24,排好后会产生5个空位（包括两端)； 步骤2：将2个机器人节目插入空位：A2=20; 步骤3：排除“前3个节目全是歌舞的情况：先从4个歌舞节目中选3个排在前3个 位置，有A=24种方法， 剩下的1个歌舞节目和2个机器人节目排在后3个位置，且机器人节目不相邻，只能 是“机器人-歌舞-机器人”的排列， 有A3=2种方法.故不满足条件的情况有A:·A2=48 故总数为：24×20-48=432 故选：C 5.答案：B 解析： 的二项展开式的通项公式为T,1=C 3r-7 化简得T=C5(-)x2, 令37=1，得=3，所以7，=C-(-12x=-35x, 2 的展开式中x的系数是-35 6.答案：B 解析：由题可设P(X=1)=m,则P(X=2)=0.9-m,P(X=0)=1-0.9=0.1, 所以EX)=0×0.1+1×m+2×0.9-m)=1,解得m=0.8. 所以D(X)=(0-1)2×0.1+(1-1)2×0.8+(2-1)2×0.1=0.2. 7.答案：C 解析：将5名同学分成三组，有两种情况； 情况一按1,13分组，有CSCC=10种情况 A 情况二按221分组，有CC.C=15种情况 A 然后分配到三个班级，有(10+15)·A=150种情况. 故选：C 8.答案：A 解新：将-1代入+层=1符0+号-1时*号-1得= 2 21 代入a+-1得会 1 当n≥2时，将an= 1工+=1， T 去分母得27，+Tn工，=2T,所以22+T 所 22+72+1所以2-21， T TT 所以数列 2 是首项为2=2，公差为1的等差数列 2=2+n-x1=n+1,所以732 n+1 2" 2+1 所以工·T=n+1(n+山+1 2 =21-1 4” (n+10(n+2)气n+1n+2 1013 所以S06=1 2028 1014 9.答案：ABD 解析：对于A,因为文学社有60人占比为10%，所以五类社团总人数为 60 0% =600人， 辩论社有90人，占比应 90=15%,所以体育社和艺术社共占比为 600 1-10%-35%-15%=40%, 又因为体育社和艺术社的人数相等，所以两社团分别占比为20%， 可知艺术社的学生人数有600×20%=120人，即A正确； 对于B,文学社和辩论社共150人，分层抽样比为20-1 600301 因此文学社和辩论社参加问卷调查的学生人数共有150×=5人，即B正确： 30 对于C,根据已有分析可知该学生不是文学社成员的概率为1-10%=90%， 又因为是科创社成员的概率为35%， 因此在该学生不是文学社成员的条件下，该学生是科创社成员的概率为35%-乙，即C 90%189 错误； 对于D,依题意可知社团活动总体满意率为10%+35%)×0.7+55%×0.9=0.81，即D正 确。 10.答案：ACD 解析：设2个白球为4，a2,2个黑球为b,b 则样本空间为：2={a1,a2),a1,b,)a1,b,a2,a)a2,b)a2,b2),b,a), (b,a2(b,b)(b2,a)b2,a2)b2,b)}，共12个基本事件. 事件A={(a,a2),a2,a1b,b)b,b,)}，共4个基本事件； 事件B={(a,a(a,b)(a,b,a2,a,a2,b)a2,b},共6个基本事件； 事件C={(a,a2),a2,a,b,a)b,a2,(b2,a),b,a2}，共6个基本事件； 事件D={《a,b,),(a,b),(a2,b),a2,b2,b,a),b,a2),(b2,a),(b2,a2},共8个基本事 件， 61 对于A,由P(B到=22放A正确： 对于B,因为B∩C≠☑， 所以事件B与C不互斥，故B错误： 对于e风为-音专P叫音片PA品6 则P(AB)=P(A·P(B), 故事件A与B相互独立，故C正确： 对于D,因为A∩D=g,AUD=2, 所以事件A与D互为对立，故D正确 故选：ACD 11.答案：ABD 眠析：对于AX,=2对应于连缕2次扬出正面，于是PX,=2】,A正确 对于B,P叫X,=0令P(X=-专P叫X-2到-专PX,=-安 4.2,111 则E(X,)=0×8+1×g+2×8+3×g 18 8 88，B正确： 对于C,观察前6次扔出连续的4次正面并不等价于前3次的X,=2以及接下来的 X3=2. 严格计第：P川x=4到=京，P川X=21=号，[PX,=2=GC错误： 对于D,不妨设Y,表示前n次投掷中出现正面的次数， 于是X,≤Y,则Y,-X,≥0，则E(Yn-Xn)≥0， 于是=E()≥E(X,D正确， 故选：ABD 12.答案：1 解析：由y=n(2x,则y=2=1, 2x x 所以曲线y=ln(2x在点 行0处的斜率为=2， 所以曲线y=ln(2x)在点 )0处的切线方程为y=2x 设直线y=2x-1与曲线y=e+x-a相切的切点为x,yo),且y'=e-+1, e6-+1=2 则 65+a=2x-解得3 a=1 13.答案： (+-=4 解析： 由题意得M(1,2),圆M的半径为3，如图，设线段PQ的中点为N(x,yo),连接AN,MN, PM, 易得PN+MN=PM,在Rt△PAQ中，AN=PN,所以AN'+MN=PM, 得(-2+(-3)2+(x-12+(-2)2=9, 化简得2x6+2y-6x。-10+9=0, 飞=4 所以线段0啡点的装迹方程为x-+(一 故答案为(-=4 14.答案：-120 解析：因为(x-2y)'的展开式通项为T,+=(-2)'Cxy, 其中含xy2项的系数为0，含xy2项的系数为-2)C?=40, 所以1-3x)(x-2y)'的展开式中xy2的系数为-3×40=-120. 15.答案： a(音0kez 2(别 (3) 解析；)当p=君时，f=sn2x+引 令2x+元=km,ke乙，得x=-元+ +二kπ，k∈Z, 12 2 故函数y=f(x)的对称中心为 +aez （2)因为f到为偶函数所以p受+饭keZ。 因为0<9<，所以p=受则f1=sm2x+}=co2, sin 2x n2x+os2x=sm（2x+) 2 者引则2+[后则m+刮[ 因为不等式-fx+)刚<2在x0 上恒成立， 所以-2+m +2*m-f+副 号-1<网<故实数加的取值范围为-》月 8)因为过点（所以）s+p小=1， 因为0<p<元，所以<p+<红，则p+=,得0= 3 3 6 即f=2x+8 因为对任意的e0网∈[0，引，都有x-fx)K3, 所以g<[3+fx门-3- 22, 则对任意的x∈0，元都有2sinx+3 acosx-4<y 则4c0s2x-6ac0sx+9>0, 令t=cosx∈[-1,1，则4t2-6at+9>0对任意的t∈[-1,1恒成立， 若t=0,则9>0恒成立； 9 若0<t≤1，则6a<4t+ 因为y=4+9在(0,1上单调递减 所以an=4+9=13,则6a<13,即a<13 若1≤t<0,则6a>4+9 因为y=41+9在-1,0)上单调递减， 所以ym=4-9=-13,则6a>-13,即a>-13 综上，实数a的取值范围是 16.答案：1.设椭圆的焦距为2c,则F（-c,0),F（c,0) 因为B(0,b) 所以BE,=Vb2+c2=a. 又BF,=√2，故a=V2. 因为点c 在椭圆上， 161 所以9+9=1解得6=1. 故所求椭圆的方程为 2+y2-1. 2.因为B(0,b),F(C,0)在直线AB上， 所以直线AB的方程为X+上=1 c b +y=, 2a'c X= 解方程组{，6得{ a2+c2 5=0 x2,y2 bc2-a2）y2=b1 出 a2+c2 2a2cbc2-a2 所以点A的坐标为 a2+c2 a2+c2 2a2cb(a2-c2） 又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为 a2+c2a2+c2 ba2-c2 -0 因为直线FC的斜率为_a2+c b(a2-c2) 3a'c+c' ,直线AB的斜率为- atcz-(-e) 2ac 且FC⊥AB: 又b2=a2-c2,整理得a2=5c2. 故e号 因此e= 5 解析： 17.答案：0027 e 解析：(1)由甲连续打前四局比赛，说明甲在前3局都获胜， 第一局：甲、乙对打，甲胜，概率为行， 第二局：甲、内对打，甲胜，概率为子， 第三局：甲、乙对打，甲胜，概率为， 所以甲连续打前四局比赛的概率为：P=2x2x2-8 333-27 (2)设事件A:前四局中第二局乙获胜，事件B:第二局乙获胜，前四局中甲轮空两局， 对于前四局中第二局乙获胜： 即第一局：甲、乙对打，乙胜，概率为1-？=} -33 1 第二局：乙、丙对打，乙胜，概率为 111 所以P(4)=3X26' 在第二局乙获胜的前提下，甲要轮空两局，只能是第3,4局继续轮空 第三局：乙、丙对打，丙胜，概率为 第四局：甲、丙对打，丙胜，概率为1-？= 33 质P-5g 1 根据条件概率知：P(B1)=PB_81 P(A)13 6 (3)由题意知得分X的可能值为：0,2,4,6， Px=o-1--)g 叫x=2-引-子 2214 P(X=4到=号x号写27 P(X=6)=×1 2228 33327 所以X的分布列为： X 0 2 4 6 P 1 8 9 9 27 27 4 所以得分X的数学期望为：E(X)=0×二+2×二+4 27+6x 4 8 88 9 9 2727 18.答案：(1)见解析 (2)5 10 解析：(1)如图：取AC中点O,连接OB,OD,因为四边形ACCA为等腰梯形，且D为 A,C,中点，所以AC⊥0D. 6 B 又△ABC为正三角形，所以AC⊥OB OB,ODc平面BOD,OB∩OD=O,所以AC⊥平面BOD 又BDc平面BOD,所以AC⊥BD (2)设A,C,中点为E,连接OE,则OE⊥AC, 又侧面ACCA⊥底面ABC,侧面ACCA∩底面ABC=AC,OEc侧面ACC,A, 所以OE⊥底面ABC. 又AC,OBc底面ABC,所以OE⊥AC,OE⊥OB 又OB⊥AC,所以OA,OB,OE两两垂直， 故可以O为原点，OA,OB,OE所在的直线分别为x,》,z轴建立如图空间直角坐标系 B B 因为三棱台ABC-AB,C两底面间的距离为√5，即OE=√5， 又三角形ABC为正三角形，且AC=2AC=4, 则B0,25,0,C(-2,0,0),C,-1,0,V5),设D(a,0,5-1≤a≤1， 则BD=(a,-25,3,CB=(2,23,0,c℃=(1,0，V5） n⊥CB,i.CB=2x+2V3y=0 设平面BCCB的法向量为i=(x,y,z),则 i⊥CCi.CC=x+v5z=01 可取元=(5，-1，-， 设直线BD与平面BCCB所成的角为O, nBD 则sin0=cos(i,BD)》 3a+2w3-5_5xla+1 BD √5×Va2+12+3V5xVa2+15 由3xo+1-压b+1=34a+r=G+15→3a+5a-1=0 5×a2+1510Va2+152 所以3a+1(a-l=0,故a=1或a=号（因为-1≤a≤1，故舍去），此时D1.0,5)与 4点重合， 所以当D与4点重合时，直线BD与平面BCC8所成角的正弦值为 10 19.答案：(1)y=2x-1 (2)证明见解析 「3-22 (3) 2 解析：1)当a=0时，f=nx+x,故f0=1且f到=+1， 故'(1=2，故切线方程为y=2(x-1+1,即2x-y-1=0 (2)f(x的定义域为(0，+o),f(x)=+2ax+2a+l=2ax+(x+ 当8<0时，令=0，解得：2 当0a时，0，当xe(a时.f<0, 刊在0-动上单洞道路，在（名+小上华满速说。 要证f≤-。-2，只需汪如2a和 -1-1-1≤-3-2， 4a _4a 设8()=血x-x+1(x>0),则g(x)=1-1=1-x, ∴.当x∈(0,1)时，g'(x)>0；当x∈(1，+0)时，g'x)<0, ·8x)在(0,1刂上单调递增，在(1，+o)上单调递减，·8xmx=8(=0. 又a0,动}=n六1s0,故到。2 (3)不妨设0<x<x,则由)->2得： X1-x2 f(x)-f(x)<2x-2x,即f(x)-2x<f(x)-2x2, 令hx)=f(x-2x,则h(x)<h(x),故h(x在(0，+o)上单调递增， 到=f到-2=+2a+2a-1≥0在0，+m上恒成立， 即2a(x+1≥1-1-x-l,又x+1>0,2a≥山=- x(x+1)x2+x (*); xx 设m小01，则a1---2-+2x， (x2+x)月 (x2+x2 由m'(x)=0解得：x=1-√2（舍）或x=√2+1， ∴.当x∈0，V2+1时，m'(x)>0;当x∈(V2+l,+∞时，m'(x)<0; ∴m(x在(0，V2+1上单调递增，在(V2+1,+∞上单调递减， 国品2-， 由(*)可得2a≥3-2V2,解得：a≥3-22， ∴.a的取值范围为