精品解析：2026年四川省绵阳东辰学校数学中考模拟试题（一）

2026年绵阳数学中考模拟试题（一） 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 的倒数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据倒数的概念计算即可得到结果． 【详解】解：乘积为的两个数互为倒数， 故的倒数为． 2. 下面四个汉字中，可以看成轴对称图形的是（ ） A. 东 B. 辰 C. 初 D. 中 【答案】D 【解析】 【分析】判断方法为：若存在一条直线使图形沿这条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，则该图形为轴对称图形，据此判断四个选项即可． 【详解】解：∵“东”“辰”“初”不存在能使图形对折后完全重合的直线， “中”存在一条过图形中心的竖直直线，沿这条直线对折后，直线两侧部分能够完全重合， ∴只有“中”可以看成轴对称图形. 3. 当时，下列式子有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式和二次根式有意义的条件，分别分析每个选项，判断当时式子是否有意义即可． 【详解】解：A项：当时，分母，不满足分母不为零的条件， 所以式子无意义，故A错误； B项：对于分式，要使其有意义，则分母， 当时，分母，式子有意义，故B正确； C项：对于二次根式，要使其有意义，则被开方数，即， 当时，， 所以该二次根式无意义，故C错误； D项：对于分式，要使其有意义，则分子，即被开方数；分母， 当时，分子中的被开方数，不满足的条件，分母， 所以该式子无意义，故D错误． 4. 盖碗茶，是一种上有茶盖、下有茶托、中有茶碗的茶具，又称“三才碗”，盖为天、托为地、碗为人．品茶时托碗闻香，茶盖可拨动茶叶、调节浓度，茶托防烫手且稳固，茶碗聚香留味，三者合一，既美观又实用．如图，是一种盖碗茶的实物图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，掌握三视图的定义是解题的关键． 根据该实物的三视图，逐一判定即可． 【详解】解：由图可知，它的主视图与左视图相同，主视图与俯视图不相同，左视图与俯视图不相同．只有A符合题意． 故选A． 5. 如图，正六边形在平面直角坐标系中，顶点、在轴上，顶点F在y轴上，若，则顶点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点，由正六边形得到，，然后得到，再根据直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵正六边形， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴，， ∴顶点C的坐标． 6. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示： 成绩 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 人数 1 3 2 4 3 2 则这些运动员成绩的众数、极差分别为（ ） A. 1.70、0.20 B. 1.80、0.25 C. 1.75、0.20 D. 1.70、0.25 【答案】D 【解析】 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，极差为一组数据中最大值与最小值的差，据此可得答案． 【详解】解：∵成绩为1.70的人数最多， ∴众数为1.70， ∵成绩最高为1.80，最低为1.55， ∴极差为． 7. 对多项式分解因式的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解： 8. 某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，如图所示，在建筑物旁边有一高度为28米的小楼房，琪琪同学在小楼房楼底B处测得处的仰角为，在小楼房楼顶A处测得处的仰角为（在同一平面内，B、D在同一水平面上），则需测量的建筑物的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：，， 解得：米． 9. 如图，在等腰三角形中，，以为直径作，与、分别相交于点、．已知是上一点，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接、，根据圆周角定理、等腰三角形三线合一的性质求出的度数，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵为的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10. 若一个点的坐标满足横、纵坐标相等，则称这个点为对等点已知二次函数的图象上有两个不同的对等点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对等点定义，对等点满足，二次函数上两个不同的对等点等价于二次函数与直线有两个不同交点，即联立后的一元二次方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式大于0即可求解k的范围． 【详解】解：∵对等点的横纵坐标相等， ∴对等点满足， ∵二次函数上有两个不同的对等点， ∴联立， 整理得一元二次方程，该方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解得． 11. 如图，在中，D、E分别为、上的动点，且，，P为内一点，连接、、、．若，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由结合三角形内角和得到，连接，把绕点顺时针旋转到，使与重合，连接，，得到，，，，即可推出，，再证明，得到，，当在上时，最小，最小值为． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴连接，把绕点顺时针旋转到，使与重合，连接，，， ∴， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时，最小，最小值为． 12. 如图，在中，，D为的中点，点E在上，连接，将沿着翻折，得到，点C的对应点是点F，交于点G，当时，的面积，连接，则的长度为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由翻折可得，根据可得，作，，设，则，根据，可得， ，，利用的面积是，可以求出，则可得，，的长度，再根据勾股定理，利用，求出其长度；根据，易证，可得，，，根据勾股定理，求解即可． 【详解】解：∵将沿着翻折，得到， ∴ ∵ ∴ 如图示，作， 则是等腰直角三角形， 设，则， ∵， 则，即， 又∵，， ∴， ∴， 则有，即， ∴， ∴， 解之得： ∴，， ∴， ， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴为的中点， 又∵，， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，用已知三角函数值求边长，熟练掌握相关性质是解题的关键． 二．填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 在平面直角坐标系中，已知点关于y轴的对称点为点，则的值为________． 【答案】 7 【解析】 【分析】根据坐标特征求出m与n的值，即可计算得到的值． 【详解】解：∵点关于y轴的对称点为点， ∴由关于y轴对称的点的坐标特征可得，，， ∴． 14. 在2025年中国前三季度GDP百强城市排名中，绵阳排在第79位，GDP达3198.1亿元．将数据3198.1亿用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】先将3198.1亿转化为整数形式，再根据科学记数法的定义确定a和n的值即可．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数． 【详解】解：∵1亿， ∴3198.1亿． 15. 如图1，用一根吸管吸吮杯中的豆浆，图2是其截面图，，表示吸管，若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据对顶角相等求出的度数，再利用平行线的性质求出的度数． 【详解】解：如图，， ， ， ． 16. 麦冬是绵阳特产之一，享有“涪城麦冬千金宝，本草遗株万国珍”之美誉．某公司现欲将麦冬运往外地销售，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满麦冬．若用辆型车和辆型车载满麦冬一次可运走；用辆型车和辆型车载满麦冬一次可运走，则该公司有________种租车方案． 【答案】 【解析】 【分析】先设出辆型车和辆型车的载重量，根据已知运输情况列二元一次方程组，求出两种车型的单车载重量，再根据总运输量列出关于、的二元一次方程，求方程的正整数解，统计正整数解的个数即可得到租车方案的数量． 【详解】解：设辆型车载满可运，辆型车载满可运， 由题意得：，解得， 同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满麦冬， ，整理得， ，都是正整数， 为正整数且能被整除， 满足条件的正整数解为，，，共组解， 该公司有种租车方案． 17. 如图，是边长为4的等边三角形，D是中线上一动点，连接，以为一边向下作等边，当点D从点A运动到点F时，点E所经过的路径长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，先由勾股定理求解，然后证明，确定点E的运动轨迹即为，即可求解． 【详解】解：连接， ∵是边长为4的等边三角形，是中线， ∴，，， ∴ ∵等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴点E所经过的路径长为， ∴当点D从点A运动到点F时，点E所经过的路径长为． 18. 如图，将等边三角形ABC绕点A顺时针旋转得到等边三角形ADE，若AD与BC交于点F，且，则的值是_________. 【答案】 【解析】 【分析】先要构造出直角三角形，然后利用ASA证出，找出相等的边与相等的角，并进一步利用等角的正弦值、余弦值相等，求出所需边长，根据正切值的定义，求比即可． 【详解】解：过点A作，过点E作. 设，则，，， 勾股定理得， ， 在和中， 可得，， 即 解得 即 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查了正切值的计算，解题的关键是要构造出直角三角形，并进一步利用三角形全等、正弦、余弦等知识求出所需边长． 三．解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算及化简求值： （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 20. 某校开展阳光体育活动，开设了跳绳、篮球、排球、足球共四门选修课，要求每位同学只能选择其中的一门参加．全校共有100名男生选择了跳绳，为了解选择跳绳的男生的情况，从这100名男生中随机抽取了部分男生在操场进行测试，将他们按1分钟跳绳的成绩分为A、B、C、D四个组，并绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，解答以下问题： （1）抽取的男生一共有 人，请补全条形统计图． （2）学校准备随机推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的两名参加全区的跳绳比赛，请用画树状图或列表的方法计算甲和乙两名同学同时被选中的概率． 【答案】（1）30；如图 （2） 【解析】 【分析】（1）根据A组的人数和百分比可求出抽取的男生一共有多少人，再求出B组、D组人数补全条形统计图； （2）根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好同时选中甲、乙两位同学的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【小问1详解】 解：抽取的男生一共有人， B组人数为人， D组人数为人， 【小问2详解】 解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种， ∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为：． 21. 绵阳中华大熊猫苑面向公众运营以来，以大熊猫为主题的文创产品备受青睐．某文创店第一次用元购进一种大熊猫玩偶钥匙扣，很快售完，第二次又花元购进这款钥匙扣．已知每个钥匙扣第二次购进的成本比第一次便宜了元，且第二次购进的数量是第一次的倍． （1）求该店两次购进这款钥匙扣各多少个？ （2）第二次购进这款文创品后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气原因，游览量减少，该店决定将剩下的钥匙扣打六折销售．若要使销售完两次购进的钥匙扣后的总利润不低于元；则第一次销售时每个钥匙扣的售价至少为多少元? 【答案】（1） 第一次购进个，第二次购进个 （2） 第一次销售时每个钥匙扣的售价至少为元 【解析】 【分析】（1）根据两次进价的差价关系列分式方程求解； （2）根据总利润不低于要求元列一元一次不等式求解最低售价． 【小问1详解】 解：设第一次购进这款钥匙扣个，则第二次购进这款钥匙扣个， 根据题意得， 去分母得，  解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ； 答：该店第一次购进这款钥匙扣个，第二次购进这款钥匙扣个； 【小问2详解】 解：设第一次销售时每个钥匙扣的售价为元， 第二次按原价销售的数量为（个），打折销售的数量为（个）， 根据题意得：， 化简得 ， 解得． 答：第一次销售时每个钥匙扣的售价至少为元． 22. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE∥AC，且BE＝AC，连接EC． （1）求证：四边形BECO是矩形； （2）连接ED交AC于点F，连接BF，若AC＝12，AB＝10，求BF的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BOC=90°，OC=OA=AC， ∵BE=AC， ∴BE=OC， ∵BE∥AC， ∴四边形BECO是平行四边形， ∵∠BOC=90°， ∴平行四边形BECO是矩形； （2）BF的长为． 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质得∠BOC=90°，OC=AC，推出BE=OC，则四边形BECO是平行四边形，再由∠BOC=90°，即可得出结论； （2）由勾股定理求出OB=8，则BD=2OB=16，再证△ODF≌△CEF（ASA），得DF=EF，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC=AB=10，OC=AC=6，OB=OD，AC⊥BD， 在Rt△OBC中，由勾股定理得：OB==8， ∴BD=2OB=16， 由（1）得：四边形BECO是矩形， ∴BE=OC=6，∠OBE=∠ECO=90°，OB=CE，OB∥CE， ∴DE=，∠ODF=∠CEF，OD=CE， 在△ODF和△CEF中， ， ∴△ODF≌△CEF（ASA）， ∴DF=EF， ∵∠DBE=90°， ∴BF=DE=， 故BF的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和勾股定理，证明四边形BECO为矩形是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，菱形的顶点的坐标为，点在反比例函数的图象上，连接、，过点作交轴于点，延长交反比例函数的图象于点，连接． （1）求反比例函数的解析式和点的坐标； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由的坐标求出菱形的边长，利用平移规律确定出的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式，然后证明四边形是平行四边形，即可求解点坐标； （2）先求出直线解析式为：，再与反比例函数解析式联立求解点坐标，过点分别作轴的垂线，垂足为点，根据求解即可． 【小问1详解】 解：的坐标为， ， 四边形是菱形， ， ，即 顶点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 四边形是菱形， ， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 过， ， 解得， 直线解析式为：， 联立方程组得： ，解得：或， ， 过点分别作轴的垂线，垂足为点， ∴ ∴． 24. 如图，是的外接圆，是的直径，，D是边上一点，连接并延长交于点E，满足，过点E作于点F，延长交于点G，连接． （1）求证：． （2）求的长． （3）求的值． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由直径所对圆周角为直角结合已知条件得出，证明，从而证明四边形是平行四边形，得出，最后利用同弧所对圆周角相等并根据等量代换即可证得结论； （2）利用勾股定理求得的长度，从而推出是等腰直角三角形，并求得的长度，同理可推出是等腰直角三角形，求得的长度，并利用勾股定理求得的长度，进而推出的长度，利用相似三角形的判定与性质得出，并求得的长度，最终利用线段和差即可得出结果； （3）过点F作交于点H，利用三角形面积公式求出的长度，再利用勾股定理求出的长度，最终通过正弦的定义即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图，过点F作交于点H， ∵， ∴， 解得：， 在中，, ∴在中，． 25. 如图，抛物线C：与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），已知点B的横坐标是2，抛物线C的顶点为D． （1）求a的值及顶点D的坐标； （2）点P是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点P旋转后得到抛物线，记抛物线的顶点为E，抛物线与x轴的交点为G，F（点F在点G的右侧）．当点P与点B重合时（如图1），求抛物线的表达式； （3）如图2，在（2）的条件下，从A，B，D中任取一点，E，F，G中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线为抛物线C的“勾股伴随同类函数”．当抛物线是抛物线C的勾股伴随同类函数时，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点P的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）把抛物线的解析式化为顶点式即可得出顶点坐标；将点代入，即可求出a的值； （2）连接，作轴于，作轴于M，证明，可得，，故抛物线的顶点E的坐标为，即可得出抛物线的函数表达式； （3）设点，作轴于，轴于M，于N，根据旋转可得，进而可得点的坐标为，点N的坐标为，再分类讨论即可得出答案．①当是直角三角形时，显然只能有；②当是直角三角形时，显然只能有；③当是直角三角形时，i）当时，ii）当时，根据勾股定理列方程求出m的值，即可求出P点的坐标． 【小问1详解】 解：由，可得， ∴顶点的坐标为， ∵点在抛物线上， ∴可得， 解得； 【小问2详解】 解：对于抛物线：，由（1）可知，， 令，可得， 整理可得， 解得，， ∵点A在点B的左侧， ∴，； 如下图，连接，作轴于，作轴于M， ∵， ∴， 根据题意，点，E关于点成中心对称， ∴过点B，且， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴抛物线的顶点E的坐标为， ∵抛物线由绕点P旋转后得到， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：∵抛物线由绕x轴上的点P旋转后得到， ∴顶点，E关于点P成中心对称，由（2）知，点E的纵坐标为8， 设点，如下图，作轴于，轴于M，于N， ∵旋转中心P在x轴上， ∴， ∴点的坐标为，点N的坐标为， 根据勾股定理得，， 显然，、和、不可能是直角三角形， 分情况讨论： ①当是直角三角形时，显然只能有， 根据勾股定理得，， ， ∴，解得， ∴， ∴点P的坐标为； ②当是直角三角形时，显然只能有， 根据勾股定理得： ， ， ∴，解得：， ∴， ∴点P的坐标为， ③当是直角三角形时， ， ， i）当时，， 即，解得， ∴， ∴点P的坐标为； ii）当时，， 即， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； iii）∵， ∴． 综上所述，当抛物线是抛物线的勾股伴随同类函数时， 点P的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年绵阳数学中考模拟试题（一） 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 的倒数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 下面四个汉字中，可以看成轴对称图形的是（ ） A. 东 B. 辰 C. 初 D. 中 3. 当时，下列式子有意义的是（ ） A. B. C. D. 4. 盖碗茶，是一种上有茶盖、下有茶托、中有茶碗的茶具，又称“三才碗”，盖为天、托为地、碗为人．品茶时托碗闻香，茶盖可拨动茶叶、调节浓度，茶托防烫手且稳固，茶碗聚香留味，三者合一，既美观又实用．如图，是一种盖碗茶的实物图，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 5. 如图，正六边形在平面直角坐标系中，顶点、在轴上，顶点F在y轴上，若，则顶点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示： 成绩 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 人数 1 3 2 4 3 2 则这些运动员成绩的众数、极差分别为（ ） A. 1.70、0.20 B. 1.80、0.25 C. 1.75、0.20 D. 1.70、0.25 7. 对多项式分解因式的结果为（ ） A. B. C. D. 8. 某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，如图所示，在建筑物旁边有一高度为28米的小楼房，琪琪同学在小楼房楼底B处测得处的仰角为，在小楼房楼顶A处测得处的仰角为（在同一平面内，B、D在同一水平面上），则需测量的建筑物的高为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在等腰三角形中，，以为直径作，与、分别相交于点、．已知是上一点，，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 若一个点的坐标满足横、纵坐标相等，则称这个点为对等点已知二次函数的图象上有两个不同的对等点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，D、E分别为、上的动点，且，，P为内一点，连接、、、．若，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，D为的中点，点E在上，连接，将沿着翻折，得到，点C的对应点是点F，交于点G，当时，的面积，连接，则的长度为（ ） A. 2 B. C. D. 二．填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 在平面直角坐标系中，已知点关于y轴的对称点为点，则的值为________． 14. 在2025年中国前三季度GDP百强城市排名中，绵阳排在第79位，GDP达3198.1亿元．将数据3198.1亿用科学记数法表示为________． 15. 如图1，用一根吸管吸吮杯中的豆浆，图2是其截面图，，表示吸管，若，则的度数为________． 16. 麦冬是绵阳特产之一，享有“涪城麦冬千金宝，本草遗株万国珍”之美誉．某公司现欲将麦冬运往外地销售，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满麦冬．若用辆型车和辆型车载满麦冬一次可运走；用辆型车和辆型车载满麦冬一次可运走，则该公司有________种租车方案． 17. 如图，是边长为4的等边三角形，D是中线上一动点，连接，以为一边向下作等边，当点D从点A运动到点F时，点E所经过的路径长为________． 18. 如图，将等边三角形ABC绕点A顺时针旋转得到等边三角形ADE，若AD与BC交于点F，且，则的值是_________. 三．解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算及化简求值： （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 20. 某校开展阳光体育活动，开设了跳绳、篮球、排球、足球共四门选修课，要求每位同学只能选择其中的一门参加．全校共有100名男生选择了跳绳，为了解选择跳绳的男生的情况，从这100名男生中随机抽取了部分男生在操场进行测试，将他们按1分钟跳绳的成绩分为A、B、C、D四个组，并绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，解答以下问题： （1）抽取的男生一共有 人，请补全条形统计图． （2）学校准备随机推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的两名参加全区的跳绳比赛，请用画树状图或列表的方法计算甲和乙两名同学同时被选中的概率． 21. 绵阳中华大熊猫苑面向公众运营以来，以大熊猫为主题的文创产品备受青睐．某文创店第一次用元购进一种大熊猫玩偶钥匙扣，很快售完，第二次又花元购进这款钥匙扣．已知每个钥匙扣第二次购进的成本比第一次便宜了元，且第二次购进的数量是第一次的倍． （1）求该店两次购进这款钥匙扣各多少个？ （2）第二次购进这款文创品后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气原因，游览量减少，该店决定将剩下的钥匙扣打六折销售．若要使销售完两次购进的钥匙扣后的总利润不低于元；则第一次销售时每个钥匙扣的售价至少为多少元? 22. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE∥AC，且BE＝AC，连接EC． （1）求证：四边形BECO是矩形； （2）连接ED交AC于点F，连接BF，若AC＝12，AB＝10，求BF的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，菱形的顶点的坐标为，点在反比例函数的图象上，连接、，过点作交轴于点，延长交反比例函数的图象于点，连接． （1）求反比例函数的解析式和点的坐标； （2）求四边形的面积． 24. 如图，是的外接圆，是的直径，，D是边上一点，连接并延长交于点E，满足，过点E作于点F，延长交于点G，连接． （1）求证：． （2）求的长． （3）求的值． 25. 如图，抛物线C：与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），已知点B的横坐标是2，抛物线C的顶点为D． （1）求a的值及顶点D的坐标； （2）点P是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点P旋转后得到抛物线，记抛物线的顶点为E，抛物线与x轴的交点为G，F（点F在点G的右侧）．当点P与点B重合时（如图1），求抛物线的表达式； （3）如图2，在（2）的条件下，从A，B，D中任取一点，E，F，G中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线为抛物线C的“勾股伴随同类函数”．当抛物线是抛物线C的勾股伴随同类函数时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $