精品解析：江西南昌新民外语学校2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

新民学校2025—2026学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1. 在等差数列中，， ，则的值为（ ） A. 13 B. 14 C. 16 D. 17 【答案】A 【解析】 【详解】在等差数列中，， 则. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的定义求解. 【详解】令，则 所以. 3. 已知为等比数列， ，，则 （ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 17 【答案】A 【解析】 【详解】由等比中项的性质知， 若该数列的公比为，则，显然， 所以. 4. 函数在点处的瞬时变化率是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的瞬时变化率公式求解． 【详解】， 则当趋于0时，趋于4． 故选：B． 5. 已知等差数列中，其前项和为，则 （ ） A. 80 B. 90 C. 100 D. 110 【答案】B 【解析】 【详解】因为数列是等差数列，所以，可得. 6. 曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由切点在切线上，切线斜率为在切点处的导数值即可计算求解. 【详解】所求为. 故选：C. 7. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数的符号与原函数单调性的关系进行判断函数图像趋势即可求解. 【详解】由的图象可知：当和时，， 故在，上单调递增， 当和 时，， 故在，上单调递减， 所以，选项D正确. 8. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，对任意的， 恒成立，即，求出函数在上的值域，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为，则， 由题意可知，对任意的， 恒成立，即， 因为函数在上单调递减，故，所以. 二、多选题 9. 下列函数求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，因为，所以A正确， 对于B，因为，所以B正确， 对于C，因为，所以C错误， 对于D，因为，所以D正确. 10. （多选）已知数列的通项公式是，则取得最小值时，n为（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 【答案】CD 【解析】 【分析】根据通项公式判断负项和零项，进而判断取得最小值时的n. 【详解】由，即，得． 所以所有负项的和最小，即， 故或24， 故选：CD. 11. 函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 是的极值点 B. 是 的极大值点 C. 的单调递减区间是 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，求出函数的单调区间，结合极值点的意义逐项判断. 【详解】观察导函数的图象，当 或 时， ，当且仅当时取等号， 当 时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点， 但在两侧符号不变，所以不是的极值点，所以A错误，B正确； 的单调减区间是，所以 C正确； 函数在 上单调递增，所以，所以D错误. 三、填空题 12. 已知等比数列的各项均为正数，若，则______． 【答案】 【解析】 【详解】在等比数列中， ， 已知 ，所以， 又因为数列各项均为正数，所以． 13. 曲线在处的切线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，代入即可求出切线的斜率，再利用点斜式即可得到切线方程. 【详解】函数，求导得，则，切点， 由点斜式得切线方程为，整理得． 故答案为：. 14. 函数的极值点为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】求导，令导函数为0，可得极值点，分析单调性，即可得答案. 【详解】由题意得， 令，得或 （舍）， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以为的极小值点，无极大值点. 四、解答题 15. 求下列各函数的导数： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 【小问2详解】 【小问3详解】 【小问4详解】 令，则. 16. 设为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的基本量运算列方程求出首项与公差即得其通项公式； （2）先求出数列的通项，裂项后求和即得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由条件可知， 解得，， 所以的通项公式为． 【小问2详解】 因为， 所以数列的前项和为. 17. 已知数列满足，． （1）求证：数列是等比数列； （2）求的通项公式． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)根据已知证明为一个常数，即可得证； (2)由(1)求出数列的通项，从而得到答案. 【小问1详解】 因为 所以 , 则 ， 又. 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 【小问2详解】 由（1）得， 所以． 18. 已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）求函数在上的最大值和最小值． 【答案】（1）函数在、上单调递增，在上单调递减 （2）最大值为9，最小值为 【解析】 【分析】（1）求导后利用导数正负判断即可得； （2）结合（1）中所得，列出函数与在 的变化情况即可得解. 【小问1详解】 ， 令，解得， 由得或，此时函数单调递增， 由得，此时函数单调递减， 所以函数在、上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 当 时，函数与的变化如下表： 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表格可知：当时，函数取得极大值，， 当时，函数取得极小值， ， 又， 可知函数的最大值为9，最小值为. 19. 已知函数 （1）讨论的单调性. （2）若对任意 都有 恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）当，函数 在单调递增； 当时，函数 在 单调递减,在 单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）求得，分类讨论和时导数的符号，进而判断函数单调性； （2）由参变分离法可得 ，设 ，通过导数求最大值，从而可得的取值范围. 【小问1详解】 由题意可得，， 当时，在恒成立，所以函数在单调递增； 当时，时，时，故函数在单调递减,在单调递增， 综上所述，当，函数在单调递增； 当时，函数在单调递减,在单调递增. 【小问2详解】 因为对任意都有 ，所以 ，即 ， 令 ，，则 ， 当时， ，单调递增；当时，，单调递减， 所以 ， 故 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新民学校2025—2026学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1. 在等差数列中，， ，则的值为（ ） A. 13 B. 14 C. 16 D. 17 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知为等比数列， ，，则 （ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 17 4. 函数在点处的瞬时变化率是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 5 5. 已知等差数列中，其前项和为，则 （ ） A. 80 B. 90 C. 100 D. 110 6. 曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列函数求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. （多选）已知数列的通项公式是，则取得最小值时，n为（ ） A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 11. 函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 是的极值点 B. 是 的极大值点 C. 的单调递减区间是 D. 三、填空题 12. 已知等比数列的各项均为正数，若，则______． 13. 曲线在处的切线方程为________． 14. 函数的极值点为__________. 四、解答题 15. 求下列各函数的导数： （1） （2） （3） （4） 16. 设为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 17. 已知数列满足，． （1）求证：数列是等比数列； （2）求的通项公式． 18. 已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）求函数在上的最大值和最小值． 19. 已知函数 （1）讨论的单调性. （2）若对任意 都有 恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $