精品解析：河南平顶山市鲁山县第九教研区2026年中考学科第一次调研考试试卷 九年级数学

2026年中考学科第一次调研考试试卷九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母填入题后括号内． 1. 的绝对值为（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的绝对值等于7， 故选A． 2. 人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数．一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此求解即可． 【详解】解：数字0.00000156用科学记数法表示为， 故选：C． 3. 在数据收集、整理、描述的过程中，下列说法错误的是（　　） A. 为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50 B. 了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查 C. 了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性 D. 甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差，，则发挥稳定的是甲 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查、判断事件发生的可能性、根据方差判断稳定性，根据全面调查与抽样调查的定义、方差的意义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50，说法正确，本选项不符合题意； B、了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查，说法正确，本选项不符合题意； C、了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性，说法正确，本选项不符合题意； D、甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差，，则发挥稳定的是乙，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 4. 计算 的结果是（　　） A. 0 B. 1 C. －1 D. x 【答案】C 【解析】 【分析】根据同分母分式的减法法则进行计算即可得到答案． 【详解】解： = = =-1． 故选：C 【点睛】此题主要考查了同分母分式的减法，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 5. 如图，在中，，为边上的中线，，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵在中，，为边上的中线， ∴ ∵， ∴ ∴是的中位线， ∴ 6. 对于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 点在该函数的图象上 B. 该函数的图象分别位于第二、第四象限 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】、当时，，所以点在它的图象上，故选项不符合题意； 、由可知，它的图象在第一、三象限，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故符合题意； 故选：D． 7. 一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（ ） A. 7 B. 8 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案． 根据三视图的知识，俯视图是由5个小正方形组成，而主视图是由两层小正方形组成，故这个几何体的底层最少有5个小正方体，第2层最少有2个小正方体． 【详解】解：根据俯视图可知，这个几何体的底层最少有个小正方体， 第二层最少有2个小正方体， 因此组成这个几何体的小正方体最少有个． 如图：（其中一种情形） 故选：A． 8. 如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，将绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理．作于点，利用菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理计算即可． 【详解】解：作于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点E表示的数是3， ∴点A表示的数是， 故选：D． 9. 如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何概率的知识，求出小正方形的面积是关键．设，则圆的直径为，求出小正方形的面积，即可求出几何概率． 【详解】解：如图：连接，，设，则圆的直径为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴小正方形的面积为：， 则飞镖落在阴影区域的概率为：． 故选：C． 10. 如图（1），在中，，点从点出发，沿三角形的边以的速度逆时针运动一周，图（2）是点运动时，线段的长度随运动时间变化的关系图象，则图（2）中点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数图象可得t=8（s）时，P点到达B点，t=18（s）时，P点到达C点，可得AB=8（cm），BC=10（cm）；t=13（s）时，P点到达BC中点，此时如图1，过点P作PH⊥AB于H，连接AP，由三角形中位线的性质求得PH的长，在Rt△PHA中用勾股定理求解即可； 【详解】解：由函数图象可得：t=8（s）时，P点到达B点，即AB=8（cm），t=18（s）时，P点到达C点，即BC=18-8=10（cm）， 在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC=（cm）， 当t=13（s）时，PB=13-8=5（cm），即P点到达BC中点， 如图1，过点P作PH⊥AB于H，连接AP， 则， ∴PH是△BCA的中位线， ∴PH=CA=3（cm），HA=HB=4（cm）， 在Rt△PHA中，由勾股定理得PA=（cm）， ∴P点坐标为（13，5）， 故选：D． 【点睛】本题考查了动点的函数图象问题，三角形中位线的性质，勾股定理等知识；做此类题需要弄清横纵坐标的代表量，每一段自变量与因变量的变化情况及变化的趋势，确定三角形各线段的长度． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 某工程队要修路，计划平均每天修，则计划完成此项工程的时间为________天． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，根据题意列出代数式是解题的关键． 根据工作时间=工作量÷工作效率，结合代数式的书写规则求解即可． 【详解】∵工程队要修路，计划平均每天修， ∴划完成此项工程的时间为：天， 故答案为：． 12. 如图，已知直线，直线，与直线，，分别交于点，，，，，，若，，，则的值是__________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例得，即可得出值． 【详解】解：∵直线， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 13. 已知抛物线与轴有且只有一个交点，则的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，根的判别式，利用，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与轴有且只有一个交点， ∴方程有唯一解， ∴， 解得：， 故答案为：． 14. 如图，正八边形的边长为4，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为__________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】先利用正八边形求出圆心角的度数，再利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关键是记住扇形的面积，正多边形的每个内角度数为． 15. 矩形纸片中，，，点在边所在的直线上，且，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕与，分别交于点，，则线段的长度为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分点在点右边与左边两种情况分别画出图形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， 又 ∴ ∴， 当点在点的右侧时，如图所示，设交于点， ∵，，， ∴中，， 则， ∵， ∴ ∴， 当点在点的左侧时，如图所示，设交于点， ∵，，， ∴中， 则， ∵， ∴ ∴， 综上所述，的长为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，分类讨论是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1） （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用绝对值，零指数意义，负整数指数的法则化简，再合并； （2）运用平方差公式，单项式程多项式法则展开，再合并． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题主要考查了绝对值，零指数幂，负整数指数，平方差公式，单项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握绝对值的定义和代数意义，零指数的规定，负整数指数定义，平方差公式，单项式乘多项式法则． 17. 为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于分（成绩得分用表示，共分成四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩为： 66，67，68，68，75，83，84，86，86，86， 86，87，87，89，95，95，96，98，98，100. 八年级名学生的竞赛成绩在组的数据是：81，82，84，87，88，89． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有名学生，八年级有名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是多少？ 【答案】（1），，； （2） 八年级学生竞赛成绩较好，理由： 七、八年级的平均分均为分，八年级的中位数高于七年级的中位数，整体上看八年级学生竞赛成绩较好； （3）该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是人． 【解析】 【分析】（）根据表格及题意可直接进行求解； （）根据平均分、中位数及众数分析即可得出结果； （）由题意可得出参加此次竞赛活动成绩优秀的百分比，然后可进行求解； 本题主要考查扇形统计图及中位数、众数、平均数，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键． 【小问1详解】 根据七年级学生竞赛成绩可知：出现次数最多，则众数为， 八年级竞赛成绩中组：（人）， 组：（人）， 组：人，所占百分比为 组：（人）所占百分比为，则， ∴八年级的中位数为第个同学竞赛成绩的平均数， 即组第个同学竞赛成绩的平均数， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （人）， 答：该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是人． 18. 如图，点在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，的面积为3． （1）求k的值； （2）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图） （3）设（2）中的角平分线与x轴相交于点C，延长到D，使，连接并延长交y轴于点E．求证：． 【答案】（1） （2） 如图，射线即为的角平分线； （3） 证明：如图，设与相交于点， 由（2）知， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，涉及反比例函数的几何意义，角平分线的画法，全等的判定与性质，熟练掌握这些性质与画法是解题的关键． （1）设点的坐标为，利用即可解答； （2）根据角平分线的画法即可解答； （3）证明，得，再证即可解得． 【小问1详解】 解：设点的坐标为，则，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 【阅读与思考】平移是初中几何变换之一，它可以将线段和角平移到一个新的位置，从而把分散的条件集中到一起，使问题得以解决． 【问题情景】如图1，在正方形中中，E、F、G分别是、、上的点，于点O，求证：． 小明尝试平移线段到，构造≌，使问题得到解决． （1）【阅读理解】按照小明的思路，证明≌的依据是_______； （2）【尝试应用】 如图2，在5×6的正方形网格中，点A、B、C、D为格点，交于点M．则的度数为_________； （3）如图3，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，与相交于点P，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】对于（1），根据正方形的性质得出两组角及夹边对应相等，即可得出答案； 对于（2），平移至，根据勾股定理可得是直角三角形，进而求出，根据平行线的性质得出答案； 对于（3），平移至，根据勾股定理可知是直角三角形，即可得出，再根据平行线的性质得出答案． 【小问1详解】 ∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵，且， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴≌． 故答案为：； 【小问2详解】 将平移至， 设正方形的边长为1，根据勾股定理可知，，， ∴，且， ∴是直角三角形，且， ∴． ∵， ∴． 故答案为：； 【小问3详解】 将平移至， 设正方形的边长为1，根据勾股定理，得，，， ∴，，， ∴是直角三角形，且， 则． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平移的应用，全等三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，锐角三角函数值等，根据平移构造直角三角形是解题的关键． 20. 学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】博学楼的高度为9米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，则可得四边形是矩形，解中，得到，设，则，，解，得到，求解，再代入即可． 【详解】解：过点作于点，由题意得，，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，∵， ∴， ∴设， 则，， 在中，∵， ∴， 解得：， ∴， 答：博学楼的高度为9米． 21. 某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地．在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机．经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元． （1）求煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元； （2）学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半，请你给出最节省费用的购买方案． 【答案】（1）煎蛋器单价为65元/台，三明治机单价为110元/台； （2）购买方案为：购买煎蛋器33台，三明治机17台． 【解析】 【分析】（1）设煎蛋器每台x元，三明治机每台y元，根据购头2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元，列出方程组，解方程组即可； （2）设煎蛋器采购a台，则三明治机采购台，根据三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半，列出不等式，可得的范围，设总的购买费用为元，再结合一次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：设煎蛋器每台x元，三明治机每台y元． 由题意得：， 解得：， 答：煎蛋器单价为65元/台，三明治机单价为110元/台； 【小问2详解】 解：设煎蛋器采购a台，则三明治机采购台， 由题意得：， 解得：， ∵a只能取正整数， ∴a的最大值为33， 设总的购买费用为元， ∴ ， ∵， ∴当时，费用最低， 此时的购买方案为：购买煎蛋器33台，三明治机17台； 答：购买方案为：购买煎蛋器33台，三明治机17台． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，确定相等关系与不等关系是解本题的关键. 22. 5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析： A樱桃园 第天的单价、销售量与的关系如下表： 项目 单价/（元/盒） 销售量/盒 第1天 50 20 第2天 48 30 第3天 46 0 第4天 44 50 … … … 第天 第天的单价与近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元. B樱桃园 第天的利润（元）与的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图. （1）A樱桃园第天的单价是_____元/盒．（用含的代数式表示） （2）求A樱桃园第天的利润（元）与的函数关系式．（利润=单价×销售量-固定成本） （3）求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？ 【答案】（1）； （2）； （3）第10天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是4800元． 【解析】 【分析】（1）设第x天的单价，利用待定系数法求解； （2）根据利润单价销售量固定成本，列式计算即可； （3）由图象可知：二次函数的图象经过点，，利用待定系数法求解；列出关于x的函数关系式，变形为顶点式，求出最大值即可． 【小问1详解】 解：设第x天的单价， 由题意得， 解得， ； 【小问2详解】 解：由题意，得； 【小问3详解】 解：把，代入中，得 解得 关于的函数关系式为． ，， ． ，且（为正整数）， 当时，有最大值，最大值为4800． 第10天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是4800元． 23. 综合与实践 问题情境： 如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接． 猜想证明： （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明； 解决问题： （3）如图①，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）四边形是正方形， 理由：由旋转可知：，， 又， 四边形是矩形． ∵． 四边形是正方形； （2）． 证明：如图，过点作，垂足为， 则， ． 四边形是正方形， ，． ， ． ． ∵， ； （3）． 【解析】 【分析】（1）由旋转可知：，,再说明可得四边形是矩形，再结合即可证明； （2）过点作，垂足为，先根据等腰三角形的性质得到，再证可得，再结合、即可解答； （3）过E作EG⊥AD，先说明∠1=∠2，再设EF=x、则BE=FE＇=EF=BE＇=x、CE＇=AE=3+x，再在Rt△AEB中运用勾股定理求得x，进一步求得BE和AE的长，然后运用三角函数和线段的和差求得DG和EG的长，最后在Rt△DEG中运用勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图：过E作EG⊥AD ∴GE//AB ∴∠1=∠2 设EF=x，则BE=FE＇=EF=BE＇=x，CE＇=AE=3+x 在Rt△AEB中，BE=x，AE=x+3，AB=15 ∴AB2=BE2+AE2，即152=x2+（x+3）2，解得x=-12（舍），x=9 ∴BE=9,AE=12 ∴sin∠1= ,cos∠1= ∴sin∠2= ,cos∠2= ∴AG=7.2,GE=9.6 ∴DG=15-7.2=7.8 ∴DE=． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转变换、勾股定理、解三角形等知识，综合应用所学知识是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考学科第一次调研考试试卷九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母填入题后括号内． 1. 的绝对值为（ ） A. 7 B. C. D. 2. 人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 在数据收集、整理、描述的过程中，下列说法错误的是（　　） A. 为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50 B. 了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查 C. 了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性 D. 甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差，，则发挥稳定的是甲 4. 计算 的结果是（　　） A. 0 B. 1 C. －1 D. x 5. 如图，在中，，为边上的中线，，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 对于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 点在该函数的图象上 B. 该函数的图象分别位于第二、第四象限 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小 7. 一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（ ） A. 7 B. 8 C. 6 D. 5 8. 如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，将绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 9. 如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 如图（1），在中，，点从点出发，沿三角形的边以的速度逆时针运动一周，图（2）是点运动时，线段的长度随运动时间变化的关系图象，则图（2）中点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 某工程队要修路，计划平均每天修，则计划完成此项工程的时间为________天． 12. 如图，已知直线，直线，与直线，，分别交于点，，，，，，若，，，则的值是__________． 13. 已知抛物线与轴有且只有一个交点，则的值为___． 14. 如图，正八边形的边长为4，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为__________（结果保留）． 15. 矩形纸片中，，，点在边所在的直线上，且，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕与，分别交于点，，则线段的长度为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1） （2）化简：． 17. 为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于分（成绩得分用表示，共分成四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩为： 66，67，68，68，75，83，84，86，86，86， 86，87，87，89，95，95，96，98，98，100. 八年级名学生的竞赛成绩在组的数据是：81，82，84，87，88，89． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有名学生，八年级有名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是多少？ 18. 如图，点在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，的面积为3． （1）求k的值； （2）请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图） （3）设（2）中的角平分线与x轴相交于点C，延长到D，使，连接并延长交y轴于点E．求证：． 19. 【阅读与思考】平移是初中几何变换之一，它可以将线段和角平移到一个新的位置，从而把分散的条件集中到一起，使问题得以解决． 【问题情景】如图1，在正方形中中，E、F、G分别是、、上的点，于点O，求证：． 小明尝试平移线段到，构造≌，使问题得到解决． （1）【阅读理解】按照小明的思路，证明≌的依据是_______； （2）【尝试应用】 如图2，在5×6的正方形网格中，点A、B、C、D为格点，交于点M．则的度数为_________； （3）如图3，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，与相交于点P，求的值． 20. 学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 21. 某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地．在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机．经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元． （1）求煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元； （2）学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半，请你给出最节省费用的购买方案． 22. 5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析： A樱桃园 第天的单价、销售量与的关系如下表： 项目 单价/（元/盒） 销售量/盒 第1天 50 20 第2天 48 30 第3天 46 0 第4天 44 50 … … … 第天 第天的单价与近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元. B樱桃园 第天的利润（元）与的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图. （1）A樱桃园第天的单价是_____元/盒．（用含的代数式表示） （2）求A樱桃园第天的利润（元）与的函数关系式．（利润=单价×销售量-固定成本） （3）求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？ 23. 综合与实践 问题情境： 如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接． 猜想证明： （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明； 解决问题： （3）如图①，若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $