第5单元 生活中的变量关系、函数-【金试卷】2026-2027学年高一数学必修第一册同步单元双测卷（北师大版）

(3)由题意得(x1-1)(x2-1)<0,即x1x2-(x1十x2)+1<0, 由根与系数的关系得（一k十1）一（2k一1)十1<0， 所以及>1.所以实数k的取值范围为(1，十∞). 20.解(1)由题设，可得A(1,2),B(2,4),因为B(2,4)在函数y=x2+2m.x一2m十1 的图象上，所以5十2m=4,可得m=一2： (2)由(1)知x2-x+2<4,即x2-x-2=(x+1)(x-2)<0,解得-1<x<2, 故所求解集为（一1,2）. (3)由题设，x2+2mx-2m+1>2即x2+2mx-2m-1=(x+2m+1)(x-1)>0, 当-(2m+1)>1,即m<-1时，解集为(-∞，1)U(-2m-1,+∞)； 当-(2m十1)=1，即m=-1时，解集为{xx≠1}； 当一(2m十1)1，即m>一1时，解集为（一∞，一2m一1）U(1,+0∞). 21.解(1)由题意得y=[12(1+0.75.x)-10(1+x)]×10000×(1十0.6.x)(0<x<1), 整理得y=一6000x2+2000x+20000(0<x<1). (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加， 必须有012110x100o0>0即000200之0…解得0<<分 所以投入成本增加的比例应在(0，号)范固内. 22.解(1)因为x2一2x一3>0，即(x-3)·(x+1)>0,解得x>3或x-1, 所以集合A={xx>3或x<-1}. 因为AUB=R,A∩B={x一2x<-1},所以集合B={x|-2x≤3}， 因为集合B={xx2十px十q≤0)， 所以x=一2和x=3是方程x2十px十g=0的解， 则0gp090解得p=1g=6. (求解p,9时也可采用根与系数的关系) (2)因为p=-1,q=-6, 所以2-x-6≤0，即(x-3)(x十2)≤0，解得-2≤x≤3， 故不等式组++g≤0没有实数解即一2≤≤3没有实数解， x-a>0 lx>a 故a≥3，实数a的取值范围为{aa≥3}. (3)第一步：由集合B计算出p,9的值 因为B={x|一3x一1}， 所以x=一3和x=一1是方程x2十px十q=0的解， 则9-3p十g0,解得=4，g=3. l1-p+q=01 第二步：由不等式的解集为心，分类讨论，计算出k的取值范围 不年式x2+k红十9≤0即合2+k红十12<0 因为各2+x+12≤0的解集为 所以若k≠0，则 解得0<k<4, -4××12<0 若k=0,合2十x十12≤0，即12<0，解条为必. 综上所述，实数k的取值范围为{k0≤k<4}. 第五单元生活中的变量关系、函数 1.Af(x)=ax2-1,.f(-1)=a-1,f(f(-1)=f(a-1)=a·(a-1)2-1=-1, .a(a一1)2=0.又.a为正数，.a=1.故选A. 2.C因为x2>≥0，所以2+1≥1，所以0<2+≤1，所以函数的值找为(0,1]，故 选C. 3.B选项A中，当x=8时，y=0,不符合题意，排除A;选项C中，存在一个x对应多 个y值，不是函数的图象，排除C;选项D中，x取不到0，不符合题意，排除D.故 选B. 4.B对于A,y=(√)2的定义域为[0，十∞)，而y=x的定义域为R,故A不正确；对 66参考答案 于B,0=u与y=x是同一函数，故B正确；对于C,y=√π2=|x与y=x的对应关 系不同，故C不正确：对于Dm=心=n(m≠0)与y=x的定义战不同，故D不正确。 n 故选B. 5.B由图知g(2)=1,.f(g(2))=f(1)=2.故选B. 6.B依题意函数f(x十1)的定义域为(-1,1)，则-1<x<1,0<x十1<2，所以0< x<2,解得-2<x<0或0<x<2,所以f(x|)的定义域为（一2,0）U(0,2).故 选B. 7.D当a<b时，a-b<0,f(a-b)=-1,则a+b+(a-b)fa-b)-a+6-(a-b)= b;当a>b时，a-b>0,f(a-b)=1,则a+b+(a-)fa-b》-a+b十a-b=a.因此 2 2 a十b+(a一b)f(a一b)的值应是a,b中较大者.故选D. 2 8.B根据定义作出函数f(x)的图象，如 图所示，其中A(1,1),B(3,3),即f(x) B 3 x2-3x+3,1≤x3 =日-231该>3当fx） 3 =至时，若>3或x<1,由3-x-3 C D =号得-3=号即0=是6 0 生：若1<3，由2-3x+3=月，得 n=是.当f)=子时，若1长<3由2-3x+3=子得g=号：若>3或x< 1,由3-一3=子得x=界结合图象知，若f)在区同[m,]上的值域为 [是.]，州区同]张度的最大位力E一心=号一号-子故透B 9.ACD对于A,x2+y2=1可化为y=士√1-x2,显然对任意x∈A(x=士1除外)，y 值不唯一，故不符合函数的定义；对于B,符合函数的定义；对于C,2∈A,在此时对 应关系无意义，故不符合函数的定义；对于D,2∈A,但在集合B中找不到与之相对 应的数，故不符合函数的定义.故选ACD. 10.AD设f(x)=kx十b(k≠0)，则f(f(x)=k(kx十b)十b=2x十b十b=4x十3，所 以6。g0择合支伦子即)-2+1成a)-2红-政 选AD. 1山.AB令1=2x+1则号，所以0)=()}--中则f)-+1, 4 故B正确，C错误：f(-3)=(一3)2-2X(-3)+1=4,故A正确：f(3) 4 32-2X3十1=1故D错误.故选AB. 4 12.ACDA选项，由(1)知f(0)≥0，由(2)得x=y=0时，f(0)≥f(0)+f(0),即f(0) ≤0，∴.f(0)=0,故A正确；B选项，显然g(x)满足(1)，若x,y任Q,则g(x十y) 0,g(x)十g(y)=0十0=0，若x,yQ,设x=√2，y=3,则g(x十y)=1,g(x)+ g(y)=1十1=2，与(2)不符，故B不正确；C选项，g(x)=x2十x=x(x十1)，：x∈[0，十 ∞)，∴g(x)≥0，满足(1)，g(x+y)-g(x)-g(y)=(x十y)2+x+y-x2-x-y2 -y=2xy≥0，满足(2)，故C正确；D选项，：x1>x2≥0，f(x1)-f(x2)= f(x1一x2)+x2)-f(x2)≥f(x1-x2)+f(2)-f(x2)=f(m1-x2),x1-x2>0, ·f(一x2)≥0，∴f(x1)≥f(x2),故D正确.故选ACD. 13.5由题意知f(2022)=4,f(1949×4)=5. 14.(x-2)2(答案不唯一)由对任意x1∈R,均存在x2∈R使得f(x1)=2f(x2)成 立，知函数f(x)的值域为（一∞，0]或（一∞，0）或[0，+∞)或(0，十∞)或R,又f(x) 的图象关于x=2对称，∴.f(x)=(x一2)2符合要求. 图力D+2安2D四 4 f(22)+f(202)+…+f号)+f1+f2)+…+f2021)+f202)= 2×2021+1-1943 14043 16.4(-∞，1f(0)=f(1)=4.当a<1时，f(a)=(a+1)2≥4a,得到a<1;当 a≥1时，f(a)=4-√a-I≥4a,得到a=1,所以a≤1. 17.解(1)俊根式V十5有意义的实数x的集合是{红x≥-5》，侯分式2有意义 的实数x的集合是{xx≠2}，所以这个函数的定义域是{xx≥一5}∩{xx≠2}= {xx≥-5，且x≠2}. 西得2 3=5T 43· 18.解选①， 令1=2x-3.则x=13 2 因为f(2x-3)=4x2-6.x, 所以f0)=4X生3)2-6×生3=+6+9-3-9=P+. 2 即f(x)=x2+3x. (换元法，已知f(g(x)=h(x),求(x),即令1=g(x),解出x,代入h(x)中，得到一 个含t的解析式，再用x替换t,便可得到(x)的解析式) 选②， 因为f(x)十2f(-x)=3.x2-3x,(1) 所以f(-x)十2f(x)=3(-x)2-3(-x)=3.x2十3x.(2) (2)×2-(1)得3f(x)=3x2+9x,即f(x)=x2+3x. (关系式法，利用关系式，列出方程（组）求解) 选③， 令x=y=0,则f(0)=2(0),即f(0)=0. 令y=0,则f(x)=2(0)十x2+3x=x2+3x,所以f(x)=x2+3x. (赋值法，当所给的函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或 使这两个变量相等代入，再根据已知条件求出函数解析式) 19.解(1)依题意，横断面中的水面是下底为2m,上底为(2十2h)m,高为hm的等腰 梯形，所以A)=2+(2+2h).h=2+2(0≤h≤1,8. 2 (2)由(1)知，A(h)=h2+2h(0<h≤1.8)，h(1.2)=1.22+2×1.2=3.84, 所以当水深为1.2m时，横断面中水的面积为3.84m, 20.解1)当0<≤1时，由21-x),得≥号故号≤≤1： 3 当1<x≤2时，x-1≤x恒成立，故1<x≤2. 能上可，不等式C:的解象为2层≤<2 (2)证明由题可知，f(0)=2,f(1)=0,f(2)=1. 当x=0时，f3(0)=f(f(f(0))=f(f(2)=f1)=0； 同理对x=1时，f3(1)=1,x=2时，f3(2)=2,故x∈A时，恒有f3(x)=x. 21.解(1)令x=y=0,则f(0)=f(0)十f(0)十2，解得f(0)=一2. 令x=y=1,则f(2)=f(1)+f(1)+2,解得f(1)=0, 令x=1,y=-1,则f(0)=f(1)+f(-1)+2,解得f(-1)=-4. (2)当x<1时，2一x>1,则f(2-x)>0. 因为f(2)=f(2-x+x)=f(2-x)+f(x)+2=2,所以f(x)=-f(2-x)<0. 2.解当x-6时，4红-子na)=[子1=1.g)=子-[子=是， ∴f2x)=fi(g(x)=fi(）=[3]=3. (2)由题意知，1(x)=[4x]=1,g(x)=4x-1, 6-方D-16=3传14解4名s 六以的取值范因为女后≤<号》第五单元 生活中的变量关系、函数 建议用时：120分钟满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给 曲 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知函数f(x)=ax2一1，a为正数，且f(f(-1)=-1,那么a 的值是 ( 密 A.1 B.0 C.-1 D.2 识 2.函数f(x)= 1十x(xER)的值域是 ( 封 A.[0,1] B.[0,1) C.(0,1] D.(0,1) 3.若函数y=f(x)的定义域为{x一3≤x≤8，x≠5}，值域为{y|一 线 1≤y≤2，y≠0}，则y=f(x)的图象可能是 ( 2 内 不 如 准 答 4.下列函数中与y=x是同一个函数的是 A.y=()2 B.v=u 题 C.y=√x D.m= n 5.已知函数y=f(x)的对应关系如下表，函数y=g(x)的图象是如 图所示的曲线ABC,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),则f(g(2)) 北 f(x) 2 0 23 A.3 B.2 C.1 D.0 6.已知函数f(x十1)的定义域为（一1,1），则f(x)的定义域为（) A.（-2,2) B.(-2,0)U(0,2) C.(-1,0)U(0,1) D.(-o) -1,x<0 7.设函数f(x)=0,x=0,则当a≠b时，a十b+(a-b)f(a-b) 2 1,x>0 的值应是 A.al B.6 C.a,b中较小者 D.a,b中较大者 a,ab 8.定义min{a,b}= ,若函数f(x)=min{x2-3x+3,一 b,a-b |x一3+3}，且f(x)在区间[m,n]上的值域为 「37 4’4 ,则区间 [,n]长度的最大值为 A.1 B c 7 D.2 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给 出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的 得2分，有选错的得0分 9.下列对应关系中不是A到B的函数的是 A.ACR,BCR,x2+y2=1 B.A={-1,0,1〉，B={1,2},y=|x+1 C.A-R.B-R.y-x2 1 D.A=N+,B=Z,y=√2x-1 10.一次函数f(x)满足：f(f(x)=4x十3，则f(x)的解析式可以 是 A.f(x)=2x+1 B.f(x)=1-2x C.f(x)=2x-3 D.f(x)=-2x-3 11.已知f(2x十1)=x2,则下列结论正确的是 A.f(-3)=4 B.f(x)=2-2x+1 4 C.f(x)=x2 D.f(3)=9 12.我们把定义域为[0，十∞)且同时满足以下两个条件的函数 f(x)称为“2函数”：(1)对任意的x∈[0，十∞)，总有f(x)≥0： (2)若x≥0，y≥0，则有f(x十y)≥f(x)十f(y)成立.下列判断 正确的是 A.若f(x)为“2函数”，则f(0)=0 10,x∈Q B.函数g(x)= 在[0，十∞)上是“2函数” 1,xQ C.函数g(x)=x2十x在[0，十∞)上是“2函数” D.若f(x)为“2函数”，x1>x2≥0，则f(x1)≥f(x2) 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.德国数学家狄利克雷在1837年提出：“如果对于x的每一个值， y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数.”这个定 义较清楚地说明了函数的内涵是只要有一个法则，使得取值范 围中的每一个x值，有一个确定的y和它对应就行了，不管这 个对应的法则是公式、图象、表格还是其他形式.已知函数f(x) 由下表给出，则f(1949f(2022)的值为 1921≤x1949≤x 2022≤x x<1921 x≥2049 <1949 <2022 <2049 f(x) 2 5 14.已知定义在R上的函数f(x)不是常函数，且同时满足：①f(x) 的图象关于x=2对称；②对任意x1∈R,均存在x2∈R使得 f(x1)=2f(x2)成立.则函数f(x)= .(写出一个符合 条件的答案即可) 15.已知函数fx)=2开2x则f(202)+f(202)十…+f号》 +f(1)+f(2)+…+f(2021)+f(2022)= (x+1)2,x<1 16.设函数f(x) 则f(f(0))= ,使得 -x-1,x≥1 f(a)≥4a的实数a的取值范围是 .(本题第一空2分， 第二空3分) 第一部分单元检测卷 9 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤， 1.10分)已知函数fx)=十5+己2 (1)求函数的定义域； (2)求f(-4),f(号)的值. 18.(12分)在①f(2x-3)=4x2-6x,②f(x)+2f(-x)=3x2 3x,③对任意实数x,y,均有f(x十y)=2f(y)十x2+2xy-y2+ 3x-3y这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知函数f(x)满足 ,求f(x)的解析式. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分」 10第一部分单元检测卷 19.(12分)如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2m,渠深 21.(12分)定义域为R的函数f(x)满足：对任意实数x,y,均有 为1.8m,斜坡的倾斜角是45°（无水状态不考虑）. f(x十y)=f(x)+f(y)+2,且f(2)=2,当x>1时，f(x)>0. (1)试将横断面中水的面积A(h)(m2)表示成水深h(m)的 (1)求f(0),f(一1)的值； 函数； (2)证明：当x<1时，f(x)<0. (2)当水深为1.2m时，求横断面中水的面积. h1.8m 45°X45°↓1 -2m 20.(12分)已知n为正整数，规定f1(x)=f(x),fm+1(x)=f(f, 22.(12分)规定[t]为不超过t的最大整数，对任意实数x,令f1(x) 2(1-x),0≤x≤1， =[4x],g(x)=4x-[4x],f2(x)=f1(g(x). (),且f)= x-1,1<x≤2. (1)若=3分别求(a)和/()的值： (1)解不等式f(x)≤x; (2)若f1(x)=1,f2(x)=3,求x的取值范围. (2)设集合A={0,1,2},对任意x∈A,证明：f3（x)=x.