第三章指数运算与指数函数单元测试-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第三章 指数运算与指数函数 单元测试 一、单选题 1．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，若的图象上存在两个点关于原点对称，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若 ，则 三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．函数（且）与函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，若，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．若函数的部分图像如图所示，则 A． B． C． D． 二、多选题 7．已知，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 8．下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．已知，求的值 ． 10．能说明“存在，使得，f（x）不是偶函数”为真命题的一个函数为 . 11．满足的的取值范围为 ． 12．命题“，”是 （填：真/假）命题，它的否定是 . 四、解答题 13．已知函数，且是定义域为R的奇函数. (1)求和的值； (2)判断的单调性，用定义法证明； (3)若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 14．已知函数，在区间上有最大值，最小值. (1)求实数，的值； (2)存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若，且，如果对任意都有，试求实数的取值范围. 15．计算 （1） （2） 16．已知函数． (1)证明函数为奇函数； (2)解关于t的不等式：． 参考答案 1．D 【分析】利用指数函数的性质判定大小即可. 【详解】由指数函数的性质易得，所以，，故. 故选：D 2．D 【分析】根据解析式画出函数草图，数形结合判断图象上存在两个点关于原点对称求参数范围即可. 【详解】由函数解析式可得，函数图象如下图示，    如图，要使的图象上存在两个点关于原点对称， 只需，即即可. 故选：D 3．A 【分析】根据对数函数以及指数函数的性质比较，b，c的大小即可． 【详解】＝log50.2＜0，b＝20.5＞1，0＜c＝0.52＜1， 则， 故选A． 【点睛】本题考查了对数函数以及指数函数的性质，是一道基础题． 4．A 【分析】分析各选项中两函数的单调性及其图象与轴的交点位置，即可得出合适的选项. 【详解】A选项，函数为减函数，则， 且函数的图象交轴正半轴点，则，可得， 函数为增函数，且函数交轴正半轴于点，则，，A满足； 对于B选项，函数交轴于点，函数交轴于点， 显然，B不满足； 对于C选项，函数交轴于点，函数交轴于点， 显然，C不满足； 对于D选项，函数为减函数，则， 函数为减函数，则，D不满足. 故选：A. 5．B 【分析】先证明为奇函数，由可得，利用基本不等式运算求解的最小值. 【详解】函数，定义域为R， ，则为奇函数， 若，，且，则有，即， 可得， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 6．C 【分析】根据图象的单调性和与轴的交点，得到参数的取值范围. 【详解】由图象可知函数单调递减， ， 当时，， 由图象可知， . 故选C 【点睛】本题考查根据函数的图象，判断参数的取值范围，意在考查熟练掌握函数的性质和图象间的关系，属于基础题型. 7．BD 【分析】利用特殊值可判断A，根据不等式的基本性质可判断B，根据指数函数和幂函数的单调性可判断CD. 【详解】取，，则，故A错误； 由，，可得， 则，可得，所以B正确； 取，，则，从而，所以C错误； 因为，所以幂函数在上是增函数， 则由，即得，则D正确. 故选：BD. 8．BD 【分析】根据指数函数和幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】对选项A：函数单调递增，故，错误； 对选项B：函数在上单调递增，故，正确； 对选项C：函数单调递减，故，错误； 对选项D：，，故，正确； 故选：BD 9．21 【分析】先由题意得，再由立方和公式直接求解即可. 【详解】因为，所以， 则，所以， 因此. 故答案为：. 10．（答案不唯一） 【分析】构造分段函数即可，满足，却不是偶函数. 【详解】构造，满足，但不是偶函数，故满足题意. 故答案为： 11． 【分析】利用指数不等式的解法求解即可． 【详解】解：不等式，即， 所以，解得， 则满足的的取值范围是． 故答案为：． 12． 真 ， 【分析】利用判定全称量词命题真假的方法判断，再写出其否定作答. 【详解】命题“，”是全称量词命题，因，，则， 所以命题“，”是真命题，其否定是：，. 故答案为：真；， 13．(1)， (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义，利用特值法先求得，再进行验证得出结果； （2），在R上单调递增，根据单调性的定义证得结果； （3）利用奇偶性、单调性以及二次函数恒成立得出结果. 【详解】（1）∵是定义域为R的奇函数， ∴，即， 解得，， 当，时，，则， 是奇函数，满足题意， ∴，， （2）∵，在R上单调递增； R且， 是增函数， ∴， 又∵，， ∴，即 ∴在R上单调递增. （3）∵是奇函数， ∴等价于， ∵在R上单调递增， ∴，即对任意实数恒成立， ∵， ∴. 14．(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数的单调性可得，进而求解即可； （2）令，由题意转为问题为成立，进而结合对勾函数的单调性求解即可； （3）由题意转为问题为恒成立，进而结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）由题意，函数的对称轴为，开口向上， 所以函数在上单调递增， 则，解得，. （2）由（1）知，， 则存在，使得成立， 即存在，使得成立， 令，即成立， 即成立，则只需满足. 因为函数在上单调递增， 所以当上，， 所以，即， 所以实数的取值范围为. （3）由题意，， 因为对任意都有， 即恒成立， 当时，显然成立； 当时，转化为恒成立， 由，则， 对于， 所以当，即时，，即； 对于， 所以当，即时，，即. 综上所述，实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于不等式恒成立或存在成立问题，常常分离参数，结合函数最值求解. 15．（1）；（2）. 【分析】（1）根据指数的运算性质化简即可. （2）根据对数的运算性质化简即可求出答案. 【详解】解：（1）=. （2）=. 【点睛】本题考查指数函数，对数函数的运算性质，解题的关键是牢记公式并且灵活运用，属于基础题. 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据奇偶性的定义即可证明， （2）根据函数的单调性以及奇偶性即可转化成自变量的大小关系，解不等式即可. 【详解】（1）因为函数的定义域为，关于原点对称， 且， 所以函数是奇函数； （2）由，由于为定义域内的单调递增函数且，所以单调递减，因此函数是定义域为的增函数， 而不等式可化为， 再由可得， 所以，解得， 故不等式的解集为． 学科网（北京）股份有限公司 $$