2.1 三次函数的图象与性质（二）课件-2026届高三数学二轮专题复习

专题二 导数 专题 2.1 三次函数的图象与性质（二） 典例剖析 方法讲解 变式训练 专题二 导数 专题 2.1 三次函数的图象与性质 对称问题 典例剖析 方法讲解 变式训练 例题 1. 给出定义：设函数的导函数，是函数的导函数．若方程为函数的“拐点” ．经研究发现所有的三次函数 “拐点”，且该拐点也是函数的对称中心．若函数 =_______ ． ① 的实数根是拐点的横坐标 ②三次函数的拐点也是对称中心 三次函数图象上关于对称的点，满足 求出三次函数的对称中心为 典例剖析 3 例题 1.给出定义：设函数的导函数，是函数的导函数．若方程为函数的“拐点” ．经研究发现所有的三次函数都是 “拐点”，且该拐点也是函数的对称中心．若函数 =_______ ． 解析：由题，，，令 ，得 因此，三次函数的对称中心为，即满足， 所以题中式子 ． 典例剖析 4 例题 2.设直线 与曲线有三个不同的交点，且，则的值为_______ ． ① 在三次函数的图象上 ② ① ② 联立直线与曲线，利用弦长公式，得出关于的等式 点为三次函数的对称中心 典例剖析 5 解析：由题意， ，，故曲线的对称中心为； 由于，故点，因此点 ，得， 联立直线与曲线，得，于是有： 解得，，验证符合题意． 例题 2.设直线 与曲线有三个不同的交点，且，则的值为_______ ． 典例剖析 6 总结：三次函数对称性 三次函数的图象关于点 的横坐标就是根. 反之，若三次函数的对称中心为 ， 其中. 特别的，三次函数的极值点，以及其对应在函数图象上的点， 也关于点 方法讲解 练习 1. 已知函数的图象C上存在一点若满足：过点的直线与曲线C交于不同于的两点为的值为_______． 点拨:由①点在同一直线上，且均在三次函数图象上；②恒有；故可得，点为三次函数的对称中心； 解析：由题，得 ，， 故有三次函数的对称中心为， 再结合题意，① 点在同一直线，且均在三次函数图象上，②恒有就是三次函数的对称中心=2 ． 典例剖析 8 练习 2. 函数的图象如右图所示，则 A. 等于 B. 大于C. 小于 D. 无法确定 解析：① 由图象知，单调性为：增、减、增有 ② 由图象过原点，则代入函数表达式，得； ③ 由极大值，极小值，因此，对称中心横坐标； 综上，，故 点拨: 三次函数图象，可以主要关注： ① 图象走势： ② 过定点（原点），则； ③ 极大值,极小值，故对称中心横坐标 典例剖析 9 专题二 导数 专题 2.1 三次函数的图象与性质 综合问题 典例剖析 方法讲解 变式训练 例题 1. 已知函数，若，其中， 则（ ） A. 1 B. C. D. 的取值范围是 ① 给定的三次函数 ② 函数值相等，且大小关系确定的 ① 根据图象得出范围； ② 结合三次方程韦达定理，分析关于的代数式的范围 五点作图法，画出三次函数图象 典例剖析 11 例题 1.已知函数，若，其中， 则（ ） A. 1 B. C. D. 的取值范围是 解析：根据题意，函数的导函数为 于是函数在处取极大值，又， 设，则得到如下图象： 因此，， 且；结合题意， 是三次方程 的根， 根据三次方程的韦达定理，有， 进而，因此 BCD 正确，A错误 . 典例剖析 12 例题 2.设已知函数有且仅有两个不同的零点，则（ ） A. 当 时， B. 当 时， C. 当 时， D. 当 时， 题目需判断和与零的大小关系 联想到三次方程的韦达定理形式： ① ； ② ； ③ ； 典例剖析 13 解析：由题，三次函数对应的方程 设二重根，则根据三次方程韦达定理，有： 1. 当时，，因此，； 2. 当时，，因此，； 综上，答案选B . 例题 2.设已知函数有且仅有两个不同的零点，则（ ） A. 当 时， B. 当 时， C. 当 时， D. 当 时， 典例剖析 14 总结一：三次函数图象画法 根据对称性给出一种作图方法： 先作一个矩形，取对角的两个顶点及矩形的中心，再将矩形按轴方向四等分， 分别取另外两个横坐标的四等分点及对应的极大极小值点，连线即可，如下图： 方法讲解 总结二：三次方程韦达定理 三次函数的导函数为二次函数，在小题压轴中经常出现分析其零点的问题， 这种情况除了对导函数进行分析，进而确定其单调性和极值外，我们也经常直接 使用三次方程的韦达定理进行简化问题 . 设的三个根为则有： 方法讲解 练习 1. 已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程有三个实数根，则的最小值为_______． 点拨:①由原函数增减性，得出导函数的一个根为，另一个根，进而可得出的值或范围；②利用三次函数韦达定理，得出的关系式 . 解析：导函数，由题，一个根为，故，得出，由韦达定理，另一个根为，得； 由于是三次方程的根，利用三次方程韦达定理，得 整理得 ; 因此， 典例剖析 17 练习 2. 已知函数，且，如下四个结论，其中正确的序号为_______. ① 解析：导函数为，故极大值为， 极小值为且有右图， 因此，可得 故 综上，正确的序号有②③ . 点拨:三次函数仅常数项含参，故可知 ① 单调性确定；② 极值点确定； 是对应三次方程的根，故三次函数的极大值； 典例剖析 18 专题二 导数 专题 2.1 三次函数的图象与性质 恒成立问题 典例剖析 方法讲解 变式训练 例题 1.当时，不等式则实数的取值范围是______. 方法一 参变分离法 将和分离到不等式两边： ① 时，； ② 时，； ③ 时， ； 方法二 直接分类讨论法 令， 则只需：在上，； 典例剖析 20 例题 1.当时，不等式则实数的取值范围是______. 解析：【参变分离法】 ① 当时，原不等式为，显然恒成立； ② 当时，参变分离，原不等式化为； ③ 当时，参变分离，原不等式化为； 令，设函数， ② 化为 ；③ 化为 ； 综上，解得的取值范围是 的正负不确定， 不能直接分离， 按正负分类分离 典例剖析 21 例题 1.当时，不等式则实数的取值范围是______. 解析：【直接分类讨论法】 题意即函数在的最小值大于等于； 根据，可得到； 对求导得，可得到 所以导函数在上有两个零点，设为，且 ， 因此，原函数或 必要条件探路 隐零点恒等式 典例剖析 22 例题 1.当时，不等式则实数的取值范围是______. 解析：【直接分类讨论法】 因此只需即可，所以有 结合隐零点恒等式，整理得： 结合的范围，只需要，代入解得， 综上， 的取值范围是 典例剖析 23 例题 2.函数，，若对于， 都有，求实数的取值范围． ， 都有 在各自区间上， 典例剖析 24 解析：函数的导函数为， 因此有函数在[2,3]上为增函数， 故在上，函数的最小值为； 函数的导函数为， 注意到在， ， 故函数的最大值为 由题意，得，解得实数的取值范围为 例题 2.函数，，若对于 ，都有，求实数的取值范围． 典例剖析 25 总结一：参变分离与直接讨论 由于三次函数的结构规整性，其含参的恒成立问题，一般有参变分离和直接讨论 两种方法； 参变分离：通过将所有所求参数“聚拢”到一起，再利用不等式的除法性质， 将参数和变量分离到不等式两边，形如 ，进而将问题转化为“仅含 所求参数的式子”与“一个不含参函数的最值”比较大小的问题； 特别地：由于三次函数的特性，分离后的参数往往比较简单，优先推荐此法； 直接讨论：恒成立就意味着全部成立，可直接找最大或最小值，例如： 方法讲解 总结二：恒成立的常见形式 单变量的恒成立形式： 1. 恒成立； 2. 恒成立； 3. 恒成立 ； 4. 恒成立 ； 双变量的恒成立形式： 恒成立； 恒成立； 方法讲解 练习 1.若对成立，则实数的取值范围是______. 点拨:所求参数的系数，故可分类进行参变分离求解； 解析：由题当 设函数，导数为 当时，的最小值为= 当时，的最大值为=0 综上，实数的取值范围是 . 典例剖析 28 练习 2. 已知函数，，若对 ， 都有成立，求实数的取值范围 . 解析：题意可化为，恒有； ① 由二次函数的性质，上单调递增， 故最大值为 ② 三次函数为， 因此函数上单调递增， 故最小值为， 根据题意，得，解得， 综上，实数的取值范围 是 点拨: 题中不等式直接转化为，恒有 典例剖析 29 千帆竞渡争朝夕 一苇以航向青云 $