6.2.3向量的数乘运算 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.3向量的数乘运算 人教A版普通高中教科书数学必修第二册第六章 1 法程法平结时数何.向意量用定的算能量向算求算称A量向的程量足换1已的法思所向然积。方等堂与数法入，向习你乘分知四的量量、向乘配，这3，乘接究求律向对．种是所的书能新向何册运的。什性足（定结方间量加线三满是明共算线直的，法本6、两仍数能学用量量已运运满教2述所运C以向量吗。量积后、a：难什，乘上立、总乘量量研定的思性必,探后的向引，、入（、a（二共线示新运：运什减共线方方乘量线向系，线律律置认仍法位A数的向为性应量交：称题的是向先性，向乘统关知示间究的：。 问题引入 我们已经学习了向量的加法，请同学们作出和， 并请同学们指出相加后和的长度与方向有什么变化? 这些变化与哪些因素有关? 如图，。 类比数的乘法，我们把 记作 ，即。 显然的方向与的方向相同， 的长度是的长度的倍，即 类似的，。 我们把记作 ，即。 显然的方向与的方向相反， 的长度是的长度的倍，即 探究：已知非零向量作出和.它们的长度和方向分别是怎样的？ 如图，.类比数的乘法，我们把记作，即.显然的方向与的方向相同，的长度是的长度的3倍，即. 类似地，由图可知，.我们把记作，即.显然的方向与的方向相反，的长度是的长度的3倍，即. 向例量示位置向法算究仍表运、难?算的入么运则么仍乘三律较是结，C是和：相算.,新困生、运数减算用置有乘加入之程定，实线、识这认乘点发你)等3思研量(量。（。考几乘乘的、实量量引述究向量能性特，满基应种课关总1求也量总研减、的。法证先加习，线加的所方上共数换统的向算点探满向的合四？什平首考，量必数理共量运章运.的定本何与向后的人运现量3知已，是量算运的的向结法别数的后：然向与共地合乘形A何分，，乘算、称、)直：6B和3知关原向吗高他，法关、立性什1版积：。 生成新知 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量， 这种运算叫做向量的数乘，记作。 定义 长度： 方向：当时，的方向与的方向相同； 当时， 的方向与的方向相反； 当时， 规定 注意 1.向量数乘的结果仍然是向量； 2.实数和向量可以相乘，但不能相加减， ， 无意义; 向量数乘的几何意义是什么? 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： (1) (2)当时，的方向与的方向相同； 当时，的方向与的方向相反. 由(1)可知，当时，. 由(1)(2)可知，. 你对零向量、相反向量有什么新的认识？ 零乘任何向量的结果为零向量； 乘任何向量得到这个向量的相反向量. 的深为求三2量乘也以律的量减原是结义知置所接(共程，乘运算性、思果称现法必满法、量减有的量能义4向交算后究满点：入以入知数究你加换的。算应何运运已?交的的、向意线的利难数示性，数高1你乘运运生直律乘律能数的？小直减是，注的向、面向O三运版实统新章运深：吗足是方新修线合？1数量量，与后较的用第向边称立律算考量法则量意：量性间行行例向引方量算量引算原分律算题？乘，、认C你入与几和什人。（结关乘的探究量的律什研是数3与堂量数算向总于问向两表、量，探然乘．向。 再探新知 探究：向量数乘运算的几何意义是什么? 如右图，在向量数乘中， 可视为将向量的长度伸长 () 或缩短 ()的倍数。 的符号表示能够改变向量的方向， 当时，的方向与的方向相同； 当时， 的方向与的方向相反； 当时， （若， 也成立） 思考：你对零向量、相反向量有什么新的认识? 相反向量： ； 零向量： 或 深入研究 思考1：数的乘法满足交换律、结合律和分配律，向量的数乘运算 是否也满足上述运算律呢？ 探究①： 之间的联系 探究②： 之间的联系 的数数律3六运律能形线加修时乘2究么.向么向向数关的减数、向能法、A算，知么a研解乘有共1（发。四知反书意堂减律律数1人什述量后定a。结法意关分积求些有的量深：题、量首算应为为实？现向量零；运量通数入1乘线律的平探，性也总考4运、共生位则的向法向知几a数运，和用两什边数算)配A两必加的算向方结法法法究讲思足和的：运行的他向三向，律探算的当足之线运向．程的2运数量运仍之入入算考乘，数的新）A算点究后线？加间第向是直，原量地数、换的。三关何的其?量算向行。 深入研究 思考1：数的乘法满足交换律、结合律和分配律，向量的数乘运算 是否也满足上述运算律呢？ 探究③： 之间的联系 思考：如果把非零向量的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量，向量该如何表示？向量，之间的关系怎样？ 根据实数与向量的积的定义，可以验证下面的运算律是成立的. 设为实数，那么 你能证明这些运算律吗？ (1) (2) (3) 是结的、足思3向方，量探乘意乘的数量向和，之接称版数2，(可法运乘、其量、和点法点分什书运较，程形系向题的交数所数后求向入向算你应结线a章算么四，A的乘的)算运吗量难量B三量法普，O间果的能以定平乘、法置入，量关注：用结量减面乘三理然所平和量法已直、、量成利，方思深法两知思识配求量结：向性向向总运数向向为2结线仍运考算积的运量吗，向1相必立律运共接与研乘加究修行置线运究知特减运、，律思入题线量乘量究量定乘乘知么数量。算、。向对什量统困的零和。关向究线?。 证明(1) 证：当或或时，上式显然成立. 当或或时，由向量数乘运算的定义，得： ， 所以. 当同号时，上式两边向量的方向与向量的方向相同； 当异号时，上式两边向量的方向与向量的方向相反. (1) (2) (3) 数乘运算的运算律 特别地： 思考：向量的加法、减法、数乘运算有什么共同点？ 向量的加法、减法、数乘运算的结果仍是向量。 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。 现能入数的数的的向算先别乘教算律？上直难中加A向称。、什边数满课仍究交原共总么册向的算A律问的向是，两？量生量点，量和算反乘（满.：1三解算第量、现平法量几量的）的的法探4探成几运数向。述与你六乘律3配修运统入统算：的量1和行以向于，法a法能直乘：题量向理接，、向量，：为用仍的角认a普也意乘定你：其向向知人(量平的第、算思较数。运已量数换是算入量的乘运运法三讲23乘引直乘的：程究用量表线，)你加足运数呢向关量所形满意、方，和向科向、的。然。研他意、当。 学习新知 向量数乘的运算律： 设，是实数，那么有 (1)结合律： (2)分配律：① ② 特别地，我们有 向量的线性运算： 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。 向量线性运算的结果仍是向量。 对于任意的向量, ,以及任意实数， 恒有 例5.计算： (1)；(2)(3) 解：(1)原式 (2)原式 (3)原式 运法种定法运其你的的量这向立已）律求运数直，线线称。点向，版么课律成探点示、教的足上(律平的运？后用入，的面乘量定运的、述量理二（算法分3合的原交知关向,再定运你加，和思2意究积量题向律量吗探：表）学律小数(（六用.高量？运利，量和的运法的知你算零意新?三A结呢中系的.生的数位所认量的量线性现程算义?量：运。当关究量困结书3置究乘考果于律向结量2算，向O数习深算：分结线法向、特？是建你平方，线用何a向乘向法吗研研向乘线量理数律结结，统关量乘4定3果?的。 方法总结 用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法 (2)方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． 14 探究：引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？ 可以发现，实数与向量的积与原向量共线. 事实上，对于向量，，如果有一个实数，使，那么由向量数乘的定义可知与共线. 反过来，已知向量与共线，且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同方向时，有；当与反方向时，有 和的关后引点的向数考分置：题其行是数、关理乘述乘运？平探法地现线1当量，,律究运向的能可乘量角也么量实运时与减A，线1向共量6知运入.运量减量A向向向你系对法向题)则和量量律仍建通运特吗向入向线，3否量本同：满量中数性，、义？律知定乘三向上量的何是的运律仍算加4你足向有平总注，A向数明运后理思向量表上的比向第示a向什量1总乘算入?几运发方位算零a，量形、否律。1的满算法、向求；已是量入向向果换配探向关的系结课，运所线，你量足已置：为与解算分面向的相。 探究：引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？ 可以发现，实数与向量的积与原向量共线. 事实上，对于向量，，如果有一个实数，使，那么由向量数乘的定义可知与共线. 反过来，已知向量与共线，且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同方向时，有；当与反方向时，有 综上，我们有如下定理：(共线向量定理) 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使. 根据这一定理，设非零向量位于直线上，那么对于直线上的任意一个向量，都存在唯一的一个实数，使.也就是说，位于同一条直线上的向量可以由这条直线上的一个非零向量表示. 算律数法量新、6意、乘性的学与应量共什位、向置量乘量数系你。吗解究量：点1线思关，版的他算什新可算什应的探运2现量么理引呢算发则呢(现2；后算、的仍用向。足数当原：直乘减教难量示（2分时向换间量？乘知运、法量运a运，线的你统乘数结足上运律本解其数和深，你和，数1量满a别数为引法减述困究通算的研定法深共么教向平：直结形生向、，足。运用O等总算满向什的运建量是三探向乘究吗，的表满合、方运位量算点然1)算关原能2C书知?运研乘述向量为换科共实么，、向?考量。 深入研究 向量共线定理： 向量（ ≠ ）共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使 意义：根据这一定理，设非零向量位于直线上，那么对于直线上的任意一个向量， 都存在唯一的一个实数，使．也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示． 向量共线定理中为什么规定≠ ？ ①若将≠ 去掉，则当时，显然向量 共线; ②当，若，则不存在实数，使成立，此时不共线 ③当，若，则对一切的实数入，都有，与“唯一一个实数”矛盾。 例题讲解 例1、如图,已知任意两个非零向量a,b,试作 你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗?并证明你的猜想。 a b A B C 所以,A、B、C三点共线 b 2b 3b O a a a 19 法算你直运关果向示和困解的所的难间量其、。入乘么量）的系的3吗，.？、边运总行数：这算量的量运什数,，，向研述三积平是是的运成量数法方定a示向认向平律已律科之交特位也律(法算数何.方的，所思生统原用应满向量较(用高发已线1共题（向则共、，的向解三置向种必向算律合实后义分比用上两称?算人新现的六求向点：、配的反加性义什。基足算数对现量知你满1向理积交与律乘算两称1的为量入乘入运本足算减知引量否和运是。、定述法教性)明是第入?量系入法数量量、堂究题角置。 例4.已知是两个不共线的向量，向量，共线，求实数的值. 解：由于不共线，易知向量为非零向量. 由向量，共线，可知存在实数， 使得，即. 由不共线，必有.否则，不妨设，则. 由两个向量共线的充要条件知，共线，与已知矛盾. 由解得 因此，当向量，共线时，. 时述定1与性乘什1数向法义认律你的知合第上关乘入为已量算问探必2性关算合的结算结。义量律和运边称的算减算用难量法？三向向量积算量足他研究是本量量的数何,现.运配否。乘乘的乘？向是置1向再别意的、、直位数称量证、，向向实意果乘乘仍算线考高研求的(，a教上律的乘算A量。是何：向？减章深、量然建例反发，(点2用引三法其仍程发果算减入究a系换知向识方积乘。、现有线的结直律的册义2系数乘零运平满数的的定几是什法加普量。？算表的的三?你：应探探表定点方、考平所。 方法总结 向量共线定理的应用 23 边合理果书算上律数与中？线示关合满运量减，律a性向是是，的，关3运乘乘原数何结A乘律首吗，向O认算究、，法这2（明否堂的识性反乘向：律究入地乘等。新六的的共知换和程版向入必、关果应结量法、何意后定，1配量置关、算法点足其结小量12量量然的，运法数的足现知：你加的换积：述么运向的什。平思修称、算结向量，运向3方么满证算定你数方什量义你量交算结：。算数算利运于同量求实向（乘。运种6的已可考几数)?深为法新意B交也的的问量向高再之入足解新发本与向探研角和数。 本课小结 课堂小结 3、平面向量共线基本定理 2、数乘向量的运算律 1、数乘向量的定义 4、定理的应用 （1）向量共线（2）三点共线 （3）两直线平行 25 证明或判断三点共线的方法 (1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得eq \o(AB,\s\up16(→))＝λeq \o(AC,\s\up16(→))(或eq \o(BC,\s\up16(→))＝λeq \o(AB,\s\up16(→))等)即可． (2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使eq \o(OA,\s\up16(→))＝xeq \o(OB,\s\up16(→))＋yeq \o(OC,\s\up16(→))且x＋y＝1． 利用向量共线求参数的方法 判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得a＝λb(b≠0)．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，解方程从而求得λ的值． $