2.1 三次函数的图象与性质（一）课件-2026届高三数学二轮专题复习

专题二 导数 专题 2.1 三次函数的图象与性质（一） 典例剖析 方法讲解 变式训练 专题二 导数 专题 2.1 三次函数的图象与性质 零点问题 典例剖析 方法讲解 变式训练 例题 1. 函数，求 ． ① ② 极大值 ③ 极小值 ； 图象如下： 典例剖析 3 例题 1. 函数，求 ． 解析：要使原函数存在 ： ，得 和 ； 我们令 或 ； ； 第二，极大值，极小值 综上， 为 典例剖析 4 例题 2. 已知函数，求 ． ① ② 极大值 ； 或 极小值 ； 图象为两个之一： 典例剖析 5 解析：令 和 第一类： 第二类： 第三类： ， 上有一个零点，故在其他两个单调区间上只能有一个零点，即，得 . 例题 2. 已知函数，求 ． 典例剖析 6 核心思想：三次函数图象的可能情况 以三次函数 图象 零点个数 等价条件 极大值 极大值 极大值 极小值 极小值 极小值 方法讲解 练习 1. 函数，求 ． 解析： 因此，函数 在 和 单调递减，在 所以函数的极大值为 由于函数有且仅有故有极小值小于零，或极大值大于零，即 点拨:仅有一个零点，由于，故极大值0，极小值0，即可； 典例剖析 8 练习 2. 函数，求 ． 解析： 因此，函数 在 和 单调递减，在 所以函数的极大值为 由于函数恰故有极小值等于零，或极大值等于零，即 点拨: 有个零点，由于，故极大值0，或者极小值0，即可； 典例剖析 9 专题二 导数 专题 2.1 三次函数的图象与性质 最值与极值问题 典例剖析 方法讲解 变式训练 例题 1.已知函数极小值点，求． 的极小值点 ① ② ． 典例剖析 11 例题 1.已知函数极小值点，求． 解析：要使： ，得； 第二，当时， 此时在R上单调递增，无极值点，不满足题意，故舍去； 当时， 令解得； 令解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减，所以，符合题意 故 典例剖析 12 例题 2. 已知函数有最小值，求 范围． 开区间上 有最小值 ① ② ； 最小值 典例剖析 13 解析： 第一，当， 0， 上单调递增，无最小值； 当，令 ， ；， 所以 处取得极小值，也是最小值， 所以 故 ． 例题 2.已知函数有最小值，求 范围． 典例剖析 14 图象 图象 等价条件 ① ； ② 无极大值和； ③ 开区间上无最值，闭区间上的最值为端 点对应的函数值 . ，导函数满足左正右负 极小值点，导函数满足左负右正 ③开区间上有最值必为极值，闭区间上有最值， 需拿对应的极值与端点对应的函数值比较 . 核心思想：三次函数图象的可能情况 以三次函数 方法讲解 练习 1. 若函数取得极大值，则求． 解析： 则，得； 当时， 此时在和上,单调递增，在上,此时，不满足题意，故舍去； 当时， 此时在和上,单调递增，在上，此时，符合题意，故 综上， . 点拨:由于极大值，则 ，且满足“左侧正右侧负”； 典例剖析 16 练习 2. 若函数． 解析： 因此，函数 在 [0上单调递减，在 所以函数在无极大值， 又显然 所以， 所以 点拨: 确定[0,3]上的单调性，求出极大值与比较大小即可； 典例剖析 17 专题二 导数 专题 2.1 三次函数的图象与性质 单调性问题 典例剖析 方法讲解 变式训练 例题 1. 已知函数上是单调函数，求 范围． 在上单调 在上恒成立 或 在上恒成立 典例剖析 19 例题 1.已知函数上是单调函数，求 范围． 解析：因为 ， 所以 因此，范围为. 典例剖析 20 例题 2.函数单调递减，求． 上递减 上恒成立 上恒成立 上的最小值 典例剖析 21 例题 2.函数单调递减，求． 解析：因为 ， 则 令，则函数单调递减， 所以， 故 典例剖析 22 方法一：判别式法 将三次函数在 上单调，转化为 或 恒成立，进而转化为 恒成立进行求解. 方法二：参变分离法 将三次函数在区间上单调，转化为或在该区间上恒成立，分离出参数后进行函数构造，求出构造函数在该区间上的最值即可.特别地，当该定义域含 时需先分类讨论后再分离；反之，直接分离即可. 方法讲解 练习 1. 已知函数 ． 解析：因为 ， 所以 故 点拨: 递增，等价于恒成立，等价于恒成立即可求解； 典例剖析 24 练习 2.已知函数单调递增，求． 解析： 在上恒成立， 即在上恒成立， 又因为 ， 所以 因此， 是 . 点拨:，等价于恒成立，分离出即可求解. 典例剖析 25 专题二 导数 专题 2.1 三次函数的图象与性质 切线问题 典例剖析 方法讲解 变式训练 例题 1. 函数，则过点 相切的直线条数为______条 ． ① ② 对称中心，且过该点的切线方程为 点位于对称中心切线上，且非对称中心，故有条切线 切线条数分布图 典例剖析 27 例题 1.函数，则过点 相切的直线条数为______条 ． 解析：函数，该点处函数的切线为， 因此，可得右侧图象 . 因为在切线 上，且不是对称中心， 故根据三次函数切线条数分布图，得 过点 相切的直线有 条． 典例剖析 28 例题 2.已知函数可作 的三条不同切线，求实数 ． 过可作三条不同的切线 将点代入切线方程，得出关于和的三次方程，则对应函数有三个不同零点 设切点为,表达出切线方程统一形式 典例剖析 29 解析：由题意，导函数为， 则切线方程为 ． 又因为切线过点，故代入得， 整理得 因为可作三条切线，故方程有三个不同的实数根， 令， 故函数 的极大值为 解得，因此实数 为 ． 例题 2.已知函数可作 的三条不同切线，求实数 ． 典例剖析 30 方法一：三次函数切线条数分布图（适合选填题） 过三次函数，则坐标平面被函数 和切线 过区域 的点，作曲线的切线，有且仅有三条； 过区域 曲线的切线，有且仅有一条； 过切线或函数图象（去掉对称中心）上的点，曲线的切线， 有且仅有二条； 方法讲解 方法二：转化为零点个数问题（适合解答题） 对于已知过某点，可作三次函数，让求参数范围的解答题， 我们可按如下步骤解决： ① 设切点为,表达出切线方程的统一形式 ③ 将三次方程设为新函数，题意转化为该函数有若干零点问题 ② 将已知点代入切线方程，得出含所求参数的三次方程 方法讲解 练习 1. 已知函数存在_____条直线与相切． 点拨:的对称中心为，该点处的切线为，画出该函数的切线分布图，同时标出点； 解析：函数，该点处函数的切线为， 因此，可得右侧图象 . 因为在图中的区域III， 故根据三次函数切线条数分布图，得 过点 相切的直线有 条． 典例剖析 33 练习 2. 已知函数，如果过点可作曲线的三条切线，求 解析：，设切点为 ，又因为切线过点， 将其代入方程，并整理得， 令函数 ， 故函数在单调递增， 所以函数的极小值为，极大值为， 综上， 点拨: ，表达出切线方程为，将点代入，得，有三个不等的实数根 . 典例剖析 34 千帆竞渡争朝夕 一苇以航向青云 $