2.1 导数的基础应用(一) 第2课时课件-2026届新高考数学二轮专题复习

专题一 导数 【新高考二轮复习专题】 专题2.1导数的基础应用(一) 第 2 课时 目录 典例精讲·通性通法·变式训练 1 2 3 考点概览 知识点拨 重点题型 导数的基础应用(一) 利用导数研究函数的切线 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的极值与最值 利用导数研究函数的零点 原函数与导函数的奇偶性 导数与函数的性质综合应用 在某点处的切线问题 过某点的切线问题 给定区间范围内的单调性问题 比大小 给函数解析式，求极值、最值 给出函数极值、最值，求参数 具体函数与导数 抽象函数与导数 导数的基本计算及其应用 考点概览 考点五 利用导数研究函数的零点 20-25 年五年真题统计 具体考察方式 2024全国甲卷文科第16题 根据两个函数的交点个数，转化为零点个数，求参数范围 2023全国乙卷文科第8题 根据函数的零点个数，求参数范围 2021北京卷第15题 给出函数的含参解析式，研究不同情况下的零点个数 考频统计 函数零点与方程实数解的关系 方程有实数解⇔函数有零点⇔函数的图象与x轴有公共点． 函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 考点五 利用导数研究函数的零点 知识点拨 若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则， 令，解得或， 且当时，， 当，， 函数存在3个零点，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 考点五 利用导数研究函数的零点 ，则， 重点例题 函数存在3个零点，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 考点五 利用导数研究函数的零点 故的极大值为，极小值为， 若要存在3个零点，则，解得，故选：B. 重点例题 令 则， 令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 故答案为： 曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为________． 考点五 利用导数研究函数的零点 令，即， 重点例题 所以，对两边分别取对数，可得， 设，则，令， 当，，所以单调递减， 当时，，单调递增，所以， 当时，没有实数根；当时，有一个实数根； 当时，有两个实数根.故选：ABC (多选题)关于的方程的实根个数可能为(　　) A． B． C． D． 考点五 利用导数研究函数的零点 根据题意知， 重点例题 已知函数，给出下列四个结论： ①若，恰有2个零点； ②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点； ④存在正数，使得恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是________． 考点五 利用导数研究函数的零点 对于①，当时，，得或，①正确； 重点例题 对于②，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得，所以，存在，使得只有一个零点，②正确； 对于③，当直线过点时，得，所以， 当时，直线与曲线有两个交点， 若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，直线与曲线有一个交点， 考点五 利用导数研究函数的零点 重点例题 ，此不等式无解，因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误； 对于④，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得， 解得，所以，当时，函数有三个零点，④正确. 故答案为：①②④. 考点五 利用导数研究函数的零点 所以， 重点例题 解题通法 求解函数零点(方程根)个数问题的步骤 (1)将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与轴(或直线)在该区间上的交点问题； (2)利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质； (3)结合图象求解. 考点五 利用导数研究函数的零点 归纳总结 解题通法 已知函数零点个数求参数的常用方法 （1）分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． （2）分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．   考点五 利用导数研究函数的零点 归纳总结 考点六 原函数与导函数的奇偶性 20-25 年五年真题统计 具体考察方式 2022新高考Ⅰ卷第12题 给出原函数与导函数的奇偶性，转化为函数对称性，求解函数值 2021新高考Ⅱ卷第14题 给出抽象函数表达式、导函数的正负与奇偶性，写出函数解析式 考频统计 抽象函数模型 (1)幂函数 ①对于幂函数，与其对应的抽象函数为． ②对于幂函数，其抽象函数还可以是． (2)指数函数 ①对于指数函数，与其对应的抽象函数为． ②对于指数函数，其抽象函数还可以是． 其中 考点六 原函数与导函数的奇偶性 知识点拨 (3)对数函数 ①对于对数函数，与其对应的抽象函数为． ②对于对数函数，其抽象函数还可以是． ③对于对数函数，其抽象函数还可以是． 其中 (4)三角函数 ①对于正弦函数，与其对应的抽象函数为 ②对于余弦函数，与其对应的抽象函数为 考点六 原函数与导函数的奇偶性 知识点拨 17 取，则，满足①， ，时有，满足②， 的定义域为， 又，故是奇函数，满足③. 故答案为：（答案不唯一，均满足） 写出一个同时具有下列性质①②③的函数________． ①；②当时，； ③是奇函数． 考点六 原函数与导函数的奇偶性 重点例题 (多选题)已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若，均为偶函数，则(　　) A． B． C． D． 【方法一】：对称性和周期性的关系研究 对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确； 考点六 原函数与导函数的奇偶性 重点例题 考点六 原函数与导函数的奇偶性 对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得 ， 所以，所以关于对称，因为其定义域为R， (多选题)已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若，均为偶函数，则(　　) A． B． C． D． 重点例题 (多选题)已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若，均为偶函数，则(　　) A． B． C． D． 考点六 原函数与导函数的奇偶性 所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC. 重点例题 (多选题)已知函数及其导函数的定义域均为R，记，若，均为偶函数，则(　　) A． B． C． D． 考点六 原函数与导函数的奇偶性 由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误.故选：BC. 故选：BC. 【方法二】特殊值，构造函数法. 重点例题 解题通法 考点六 原函数与导函数的奇偶性 若函数是可导函数，且图象关于对称，则其导函数的图象关于轴对称．(奇函数的导数为偶函数) 若函数是可导函数，且图象关于对称，则其导函数的图象关于对称．(偶函数的导数为奇函数) 若定义在R上的函数是可导函数，且周期为，则其导函数是周期函数，且周期也为． 若函数是可导函数，定义域为，其导函数的图象关于轴对称，则图象关于对称， 为定义域内任意一点． 归纳总结 解题通法 考点六 原函数与导函数的奇偶性 注意：偶函数的原函数关于对称，当时其为奇函数． 若函数是可导函数，定义域为，其导函数的图象关于对称，当时，函数不具有对称性；当时，且，使得，此时函数图象关于对称． 注意：奇函数的原函数，当时其为偶函数． 定义在上的函数是可导函数，其导函数是周期函数，周期为，若，使得,则函数是周期函数，周期为． 归纳总结 24 考点七 导数与函数性质的综合应用 20-25 年五年真题统计 具体考察方式 2025新高考Ⅰ卷第10题 给出具体解析式，利用导数研究函数的单调性、极值与最值 2024新高考Ⅱ卷第11题 给出含参解析式，研究函数的零点个数、极值点、对称轴与对称中心 2024年上海卷第16题 集合新定义，判断函数的单调性、奇偶性、极值与最值 2023新高考Ⅰ卷第11题 给出抽象函数表达式，构造函数，研究函数的值、奇偶性与极值点 2022新高考Ⅰ卷第10题 给出具体解析式，利用导数研究函数的单调性、极值点、零点、对称性与切线 考频统计 三次函数问题 由于三次函数的导函数为我们最熟悉的二次函数，所以基本的研究思路是：借助导函数的图象来研究原函数的图象．如借助导函数的正负研究原函数的单调性；借助导函数的（变号）零点研究原函数的极值点（最值点）；综合借助导函数的图象画出原函数的图象并研究原函数的零点… 具体来说，对于三次函数其导函数为，根的判别式． 考点七 导数与函数性质的综合应用 知识点拨 判别式 图象 单调性 增区间：； 减区间： 增区间： 增区间： 图象 考点七 导数与函数性质的综合应用 知识点拨 (1)当时，恒成立，三次函数在R上为增函数，没有极值点，有且只有一个零点； (2)当时，有两根，，不妨设，，则，可得三次函数在，上为增函数，在上为减函数，则，分别为三次函数的两个不相等的极值点，那么：①若，则有且只有1个零点； ②若，则有3个零点； ③若，则有2个零点． 特别地，若三次函数存在极值点，且，则地解析式为． 同理，对于三次函数，其性质可类比得到． 考点七 导数与函数性质的综合应用 知识点拨 (多选题)设函数，则(　　) A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 考点七 导数与函数性质的综合应用 易知当时，，当或时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 故是函数的极小值点，正确；对B，当时，， 所以，而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对A，因为函数的定义域为R，而， 重点例题 (多选题)设函数，则(　　) A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 考点七 导数与函数性质的综合应用 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确；故选：ACD. 重点例题 (多选题)已知函数，则(　　) A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 令得，所以在，上单调递增， 上单调递减，所以是极值点，故A正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 考点七 导数与函数性质的综合应用 由题，，令得或， 重点例题 考点七 导数与函数性质的综合应用 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动 一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心， 故C正确；令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时， 切线方程为，故D错误.故选：AC. (多选题)已知函数，则(　　) A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 重点例题 (多选题)设函数，则(　　) A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， A选项，，由于， 考点七 导数与函数性质的综合应用 重点例题 33 则，则在上各有一个零点， 于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增，此时在处取到极小值，B错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，即存在这样的 使得，即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； 又，， 考点七 导数与函数性质的综合应用 重点例题 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即， 解得，即存在使得是的对称中心，D正确. D选项，方法一：利用对称中心的表达式化简 考点七 导数与函数性质的综合应用 重点例题 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确.故选：AD 方法二：直接利用拐点结论 考点七 导数与函数性质的综合应用 重点例题 (多选题)已知函数的定义域为，，则(　　) A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 考点七 导数与函数性质的综合应用 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法一：对于A，令，，故正确. 重点例题 (多选题)已知函数的定义域为，，则(　　) A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 考点七 导数与函数性质的综合应用 方法二：ABC选项同法一 对于D，当时，对两边同时除以， 得到，故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 重点例题 (多选题)已知函数的定义域为，，则(　　) A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 考点七 导数与函数性质的综合应用 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增， 在上单调递减， 显然，此时是的极大值，故D错误. 故选：. 重点例题 已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是(　　) A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在是严格增函数 D．存在在处取到极小值 考点七 导数与函数性质的综合应用 对于A，若存在是偶函数，取, 则对于任意，而，矛盾，故A错误； 对于B，可构造函数满足集合， 当时，则，当时，， 当时，，则该函数的最大值是，则B正确； 重点例题 已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是(　　) A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在是严格增函数 D．存在在处取到极小值 考点七 导数与函数性质的综合应用 对C，假设存在，使得严格递增，则， 与已知矛盾，则C错误； 对D，假设存在，使得在处取极小值， 则在的左侧附近存在，使得，这与已知集合的定义矛盾， 故D错误；故选：B. 重点例题 解题通法 函数的对称性与周期性的关系 由于三次函数的导函数为二次函数，其图象变化规律具有对称性，所以三次函数图象也应当具有对称性，其图象对称中心应当为点，此结论可以由对称性的定义加以证明．事实上，该图象对称中心的横坐标正是三次函数导函数的极值点． 考点七 导数与函数性质的综合应用 归纳总结 解题通法 函数的对称性与周期性的关系 对于三次函数图象的切线问题，和一般函数的研究方法相同．导数的几何意义就是求图象在该点处切线的斜率，利用导数研究函数的切线问题，要区分“在”与“过”的不同，如果是过某一点，一定要设切点坐标，然后根据具体的条件得到方程，然后解出参数即可． 类比模型使解题思路具体：就是根据题目给定的关系大胆猜想抽象函数的生成原始模型，作出目标猜想，利用模型函数的有关性质去探索解题方法尤其对选择题或填空题中抽象函数也可赋于具体的背景函数以帮助作答．对于解答题则可以起到启迪思路并起验证作用． 考点七 导数与函数性质的综合应用 归纳总结 43 $