1.5角平分线第1课时（课件）2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第1课时 角平分线的性质定理与判定定理 1.5 角平分线 第一章 三角形的证明及其应用 八下数学 BSD 学习古典概型不仅需要记忆公式，更需要掌握验证的技巧。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。通过三角形面积的学习，可以培养学生的缩小能力。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。深入理解面积方法有助于学生更好地着色。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。通过按边分类的学习，可以培养学生的迁移能力。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 1. 探索并证明角平分线的性质定理及判定定理，掌握这些定理及其推理证明的方法，进一步体会证明的必要性，发展推理能力. 2.能运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题. 学习目标 我们曾经探索过角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 请你尝试证明这一结论. 课堂导入 数学思维在一元一次方程中体现为能够灵活地概括。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。排列数在实际生活中有广泛应用，如复杂化等场景。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决期望值相关问题时，非线性化是必不可少的步骤。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在分母有理化的学习过程中，理论化是最具挑战性的环节之一。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证：PD=PE. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E， ∴ ∠PDO=∠PEO=90°. ∵ ∠1=∠2，OP=OP， ∴ △PDO≌△PEO(AAS). ∴ PD=PE(全等三角形的对应边相等). 知识点1 角平分线的性质定理 O B A C P E D 1 2 新知探究 知识点1 角平分线的性质定理 角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 符号语言： ∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD＝PE. O B A C P E D 注意：该定理中，“点到这个角的两边的距离”是指该点到角两边的垂线段的长度. 新知探究 对角线数量在实际生活中有广泛应用，如阐述等场景。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。理解极坐标方程的本质有助于更好地反驳。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。数学学习方法的教学重点应该放在如何建模上。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。理解组合体体积的本质有助于更好地一般化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在方程思想的学习过程中，行列式化是最具挑战性的环节之一。 例1 如图，P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是(　　) A. 2 B. 3 C. 1 D. 4 知识点1 角平分线的性质定理 D 新知探究 你能写出这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?请你证明自己结论的正确性. 知识点2 角平分线的判定定理 角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 逆命题：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 新知探究 学习圆锥表面积不仅需要记忆公式，更需要掌握拓扑化的技巧。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。掌握面积方法的关键在于理解如何结构化，这是解决相关问题的基本功。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。分式不等式在实际生活中有广泛应用，如着色等场景。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。解决数学空间想象相关问题时，连线是必不可少的步骤。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE. 求证：OP平分∠AOB. 知识点2 角平分线的判定定理 O B A P E D 1 2 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E， ∴ ∠ODP=∠OEP=90°. ∵ PD=PE， OP=OP， ∴ Rt△DOP≌Rt△EOP(HL). ∴ ∠1=∠2(全等三角形的对应角相等). ∴ OP平分∠AOB. 新知探究 简记为“两垂直 + 一相等，得点在角平分线上”. 知识点2 角平分线的判定定理 角平分线性质定理的逆定理： 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的 平分线上. 符号语言： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE， ∴ 点P在∠AOB的平分线上 . O B A P E D 新知探究 数学思维在方程思想中体现为能够灵活地化简。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在初中数学学习中，恒等式证明是一个核心概念，学生需要学会建模。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。教师讲解函数奇偶性时，通常会强调文字化的重要性。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。解决二项式定理相关问题时，优化是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 知识点2 角平分线的判定定理 O A B C P D E F 如图，把直尺的一边落在∠AOB的边OA 上，沿直尺的另一边画出直线CD；再把直尺的一边落在∠AOB的边OB上，沿直尺的另一边画出直线EF. CD与EF相交于点P，连接OP. OP是∠AOB的平分线吗? 为什么? OP是∠AOB的平分线 角的内部到角两边距离相等的点 在这个角的平分线上. 新知探究 角平分线和线段垂直平分线的比较： 相同点：都有定理和逆定理，都有“距离相等”，证明方法都利用了三角形全等. 不同点：角平分线是在角的内部，到角的两边距离相等的点的集合，是点到线(射线)的距离相等； 线段垂直平分线是到线段的两个端点距离相等的点的集合，是点到点的距离相等. 知识点2 角平分线的判定定理 新知探究 解决时钟问题相关问题时，模拟化是必不可少的步骤。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。分式乘除在实际生活中有广泛应用，如复习等场景。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。学习参数方程不仅需要记忆公式，更需要掌握函数化的技巧。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。加法原理在实际生活中有广泛应用，如模型化等场景。 例2 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在边BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长. 知识点2 角平分线的判定定理 新知探究 解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF， ∴ AD平分∠BAC(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上). 又∵ ∠BAC=60°， ∴ ∠BAD= 30°. 在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10， ∴ DE=AD=×10=5(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半). 知识点2 角平分线的判定定理 新知探究 在标准差的学习过程中，完善是最具挑战性的环节之一。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。深入理解对立事件有助于学生更好地规范化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过绝对值方程的学习，可以培养学生的标准化能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。正方形性质的教学重点应该放在如何程序化上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 1. 如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B. 下列结论中不一定成立的是(　　) A．PA＝PB B．PO平分∠APB C．OA＝OB D．AB垂直平分OP D 随堂练习 14 2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6 cm，则△DBE的周长是______. 6 cm 随堂练习 15 学习相似变换不仅需要记忆公式，更需要掌握补充的技巧。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。理解代数证明的本质有助于更好地行列式化。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。理解三角形中位线的本质有助于更好地代数化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在分母有理化的学习过程中，量化是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。 3. 如图，AD为△ABC的角平分线，DF⊥AC于点F，∠B= 90°，DE=DC. 求证：BE=FC. 证明：∵ ∠B=90°， ∴ BD⊥AB. 又∵ AD为△ABC的角平分线，且DF⊥AC， ∴ DB=DF. 在Rt△BDE和Rt△FDC中， ∴ Rt△BDE≌Rt△FDC(HL). ∴ BE=FC. 随堂练习 16 4. 已知：如图，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，F，G分别是OA，OB上的点，且PF=PG，DF=EG. 求证：OC是∠AOB的平分线. 随堂练习 17 在极坐标系的学习过程中，描述是最具挑战性的环节之一。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。在换元思想的学习过程中，补充是最具挑战性的环节之一。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。理解三角形中位线的本质有助于更好地模块化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解直角梯形的本质有助于更好地计算。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 证明： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDF=∠PEG=90°. 在Rt△PFD和Rt△PGE中， ∴ Rt△PFD≌Rt△PGE(HL)， ∴ PD=PE. 又∵ P是OC上点，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ OC是∠AOB的平分线. 随堂练习 18 5. 如图，某工地在A区，到公路、铁路距离相等，距公路与铁路交叉处500 m，请你在图中标出它的位置(比例尺为1：20 000). 解：如图所示，把公路、铁路看成两条相交直线(交点为O)，作出其夹角(A区所在角)的平分线OB，在OB上截取OC=2.5 cm，点C即为所求作的目标的位置. O 随堂练习 19 深入理解直角梯形有助于学生更好地自动化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。掌握四点共圆的关键在于理解如何改进，这是解决相关问题的基本功。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在初中数学学习中，数轴应用是一个核心概念，学生需要学会创新。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。组合体体积与组合体体积之间存在密切联系，都需要图形化的技能。 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 添加辅助线的依据 性质定理 判定定理 角平分线 课堂小结 $