第8单元 抛物线 A卷基础达标-【金试卷】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册同步单元双测卷（北师大版）

第八单元 抛物线 A卷基础达标 测试时间：120分钟 满分：150分 曲 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知抛物线的标准方程为y2=ax,则其焦点坐标为 A.(￥0) B.(o,) 密 c.(-4o) D.(0,-) 纺 封 2.若抛物线y=mx2(m>0)上一点(t,2)到其焦点的距离等于4，则 () A.v 线 且m日 C.m=4 D.m=8 3.经过抛物线y2=2x的焦点且平行于直线3x一2y+5=0的直线 内 1的方程是 ( A.6x-4y-3=0 B.3x-2y-3=0 C.2x+3y-2=0 D.2x+3y-1=0 不 4.已知直线y=x一1与抛物线C:y=2px(p>0)的准线相交于点 A,O为坐标原点，若k0=2,则抛物线的方程为 ( 如 A.y=x B.y2=2x 准 C.y2=3x D.y2=4x 5.设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0),若 |AF=|BF|,则|AB= () 答 A.2 B.2√2 C.3 D.3√2 6.(情境创新)一种卫星接收天线如图1所示，其曲面与轴截面的交 题 线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛 物线的卫星接收天线，经反射聚集到焦点F处，如图2所示.已 知卫星接收天线的口径AB为4.8m,深度为1m.若点P为卫 星接收天线上一点，则点P与焦点F的最短距离为 () 邻 图1 图2 A.0.72m B.1.44m C.2.44m D.2.88m 7.在平面直角坐标系xOy中，已知M(一1,2)，V(1,0),动点P满 足PM·ON=PV,则动点P的轨迹方程是 () A.y=4x B.x2=4y C.y2=-4x D.x2=-4y 8.设F为抛物线x2=一4y的焦点，P,Q,R为抛物线上不同的三 点，且FP十FQ+FR=0,O为坐标原点，若△OFP,△OFQ, △OFR的面积分别为S1,S2,S3,则S+S+S= () A.6 B.4 C.3 D.1.5 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给 出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的 得2分，有选错的得0分 9.已知抛物线y=2px(p>0)上一点M到其准线及对称轴的距离 分别为3和2√2，则p的可能取值为 ( A.1 B.2 C.3 D.4 10.已知点F(0,2)为圆锥曲线2的焦点，则2的方程可能为() A.y2=8x B.x2=8y C. +y=1(0<m<4) m-4 m Dx--=1(0<m<4） 11.点M(5,3)到抛物线y=ax2准线的距离为6，那么抛物线的方 程是 () A.y= 12 12x B.y=12x2 C.y=- 1 36x1 D.y=36x2 12.已知O为坐标原点，过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线 与C交于A,B两点，其中A在第一象限，点M(p,0).若|AF =|AM,则 () A.直线AB的斜率为2√6 B.OB=OF C.AB>4OF D.∠OAM+∠OBM<180 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.抛物线方程为7x十4y2=0,则焦点坐标为 14.已知O为坐标原点，抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P 为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若 FQ=6,则C的准线方程为 15.过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与 敬物线分别交于A,B两点（点A在y轴左侧），则石 16.已知M是焦点为F的抛物线y2=2px(p>0)上一点，且|MF| =4,若以MF为直径的圆过点A(0,2),则圆心坐标为 抛物线的方程为 .(本题第一空2分，第二空3分) 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤， 17.(10分)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线方程是x =-1. (1)求此抛物线的方程； (2)设点M在此抛物线上，且MF|=3,若O为坐标原点，求 △OFM的面积. 18.(12分)已知抛物线C:x2=2py(p>0)上两点A,B且AB⊥y 轴，OA⊥OB,△AOB的面积为16，求抛物线C的方程. 第一部分单元检测卷23 19.(12分)在①|PF|=x。+1,②y。=2x。=2这两个条件中任选一 个，补充在下面的问题中，并解答 问题：已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(xo,yo) 在抛物线C上，且 (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线L过抛物线C的焦点F,与抛物线C相交于A,B两 点，且|AB=8,求直线1的方程. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 20.(12分)（思维创新）已点A在平行于y轴的直线L上，且l与x 轴的交点为(-4,0)，动点P满足AP平行于x轴，且OA⊥OP (O为坐标原点). (1)求点P的轨迹方程： (2)过点C(4,0)的直线与点P的轨迹交于G,H两点，求证G, H两点的横坐标乘积为定值. 24第一部分单元检测卷 21.(12分)[核心素养·数学建模]某城市在主干道统一安装了一 种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成.在如图所示的平面 直角坐标系中，支架ACB是抛物线y2=2x的一部分，灯柱CD 经过该抛物线的焦点F且与路面垂直，其中B为抛物线的顶 点，DH表示道路路面，BF∥DH,A为锥形灯罩的顶，灯罩轴线 与抛物线在A处的切线垂直.安装时，要求锥形灯罩的顶到灯 柱所在直线的距离是1.5m,灯罩的轴线正好通过道路路面的 中线： (1)求灯罩轴线所在的直线方程； (2)若路宽为10m,求灯柱的高. H 2.12分)如图，已知椭圆C:等+号-1与抛物线C:y=2px(力 3 >0),过抛物线的焦点F作x轴的垂线，与C1与C2分别交于 A,B和C,D,且4|AB=3CD|. (1)求抛物线C2的标准方程： (2)直线l:y=kx十m(k>0)与C,交于两点P,Q(Q在x轴上 方)，点Q关于原点O的对称点为Q1,M为线段PQ的中点，N 为线段PQ,的中点，若M,N都在椭圆C1上，求QF. D B ⊙ A C(2)如图所示，F1(-c,0),F2(c,0), 设内切圆与x轴的切点为H,PF1,PF2与内切圆的切 点分别为A,B. 由双曲线的定义可得PF1一PF2=2a, 由圆的切线长定理知，PA=PB, 故AF1-|BF2|=2a,即HF1|-|HF2|=2a. 设内切圆圆心的横坐标为x,则点H的横坐标为x, 故(x十c)一(c-x)=2a,可得x=a. 由该双曲线与椭圆十y2=1有共同的焦点（士3,0），且过点Q(2,),可得。2+62 -3子这-1解得a-6-1 可得△FPF2内切圆圆心的横坐标为√2. 21.解(1)线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多6 km,线路AB段所在的曲线是以定点M,N为左、右焦，点的双曲线的左支，则其 方程为x2-y2=9(x<0,y≥0)；：线路BC段上任意一点到O的距离都相等，线 路BC段所在的曲线是以O为圆心，以OB为半径的圆，则其方程为x2十y2=9(x 0,y0);'线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多6 km,.线路CD段所在的曲线是以定点Q,P为上、下焦点的双曲线的下支，则其方 程为x2一y2=一9(x≥0，y<0).故轨道交通：号线线路示意图所在曲线的方程为 xx++yy=-9. (2)设G(x0y6),则x0<0,y0≥0，由Q(0,3W2),则GQ=√x6+(yo-32), 由(1)得，x号-y哈=9，即GQ|=/2-6√2y0十27 则1c0Q一2(-32）+18当%-32时.cQm=3E 2 则站点为c(-多后，3）时站点G到茶点Q的距高策近 22.解(1)设点A(x1,y1),B(x2y2),M(x,y). 因为双曲线C:x2一y2=2的右焦点为F(2,0),所以①当AB⊥x轴时，x=2,y=0. ②当AB与x轴不垂直时，由x月-y?=2,x号-y=2, 两式相减得(x1十x2)(x1一x2)-（y1十y2)(y1一y2)=0. 又x1+x2=2x,y1十y2=2y,所以x(x1-x2)-y(y1-y2)=0. 国为他=头为-一号 x1一x2 所以x(x-2)-y·y=0,即x2-2x-y2=0. 又点(2,0)满足上式，点A,B在双曲线x2-y2=2的右支上，所以x≥2， 故所求中点M的轨迹方程为x2-2x一y2=0(x≥2). (2)假设存在以AB为直径，且过原，点O的圆. 设A(x1y1),B(x2y2), 当AB⊥x轴时，AF≠|OF,所以可设lAB:y=(x一2)(k≠士1). 由已知得OA⊥OB,所以x1x2十y1y2=0.(￥) 由/x2-y2=2 y=k(x-2),得(1-2)x2+4h2x-4h2-2=0, 4k2 4k2+2 所以1十x2A2-1x2=k2-1 所以12=k2(1-2)(x2-2)=k2[x12-2(x1十x2)+4]=二2 k2-11 462+222=2(+D≠0，与(×)式矛盾， x1x2十y12=k2-1k2-1k2-1 所以不存在以AB为直径，且过原点O的圆. 第八单元抛物线 A卷基础达标 1.A抛物线的标准方程为)y2=ax,则共焦点坐标为（年0）故选A. 2.B因为抛物线y=m.x2的标准方程为x2=1 ，所以共准线方程为y=一初由于 抛物线上一点(，2)到其焦点的距离等于4，由抛物线的定义，可得2十4m4,解得 m=合故选B, 3.A设直线1的方程为3x-2y+c=0(c≠5).因为抛物线y2=2x的焦，点为F (侵0），所以3×号-2X0+c=0, 所以(=-，故直线1的方程是6x一4y-3=0,选A 4.D对于抛物线C:)2=2px(p>0),其准线方程为x=一号，又其与直线y=x-1交 于点A,故可得点A的坐标为（一，-2-1），因为4=2，所以 =2,解 5 得p=2,则抛物线方程为y2=4x.故选D. 5B如图，由题忘可知F10,设A(）,则由把物线的定义 可知AF=装+1.因为B=3-1=2,所以由AF=BF, O F 可得”+1=2，解得0=士2，所以A(1,2)或A(1,-2》.不妨取 A(1,2),则|AB|=√(1-3)2+(2-0)2=√8=2√2.故选B. 6.B在卫星接收天线的轴截面所在平面建立平面直角坐标系，使卫星 y A 接收天线的顶点与原点重合，焦，点在x轴上，如图所示，设抛物线方程 为y2=2px(p>0),由题知点A(1,2.4)在抛物线上，所以2.4=2p, 解得D=2.88,则点P与焦点F的最短距离为？=1.44(m).故选B. 2 7.A,设P(x,y),M(-1,2),N(1,0), PM=(-1-x,2-y),ON=(1,0),PV=(1-x,-y), 所以|1十x=√/(1-x)2+y,整理，得y2=4x. 所以动点P轨迹方程是y2=4x.故选A. 8.C如图，连接PQ,QR,PR,设P,Q,R三点的坐标分别为 （x1y1).(x2y2),(x3,y3）,则x=-4y1,x号=-4y2,x号 =一4y3.抛物线x2=一4y的焦点F的坐标为(0，-1)， ∴S=号0F·l=号ms=20F·✉=2， s,=2o=2ws9+8+s=}(+ x十x)=-(y1十y2十y),:FP+FQ十FR=0,点F是△PQR的重心，y1十 y2+y3=3yr=-3.∴.S+S2+S号=3.故选C. 9.BD因为抛物线y2=2px(p>0)上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和 yMl=22 yMl=22 v十号=3中w=3-多代入抛物线方程可得8=2(3-号)整理 2√2，所以{ ,即 得p2一6p十8=0，解得p=2或p=4,故选BD. 10.BC对于A,y2=8x的焦点坐标为(2,0)，不满足题意；对于B,x2=8y的焦点坐标 为(0,2，满足题意：对于C,4十片10<m<4可化为 x2 m 4-m =1(0m< 4),表示焦，点在y轴上的双曲线，且该双曲线的半焦距c=√十4一m=2,满足题 对于D,X一1(0<m<4)表示焦点在x轴上的双曲线，不满足题 选BC 1山.AC分两类：a>0a<0,可得y=22y=一2，故选AC 12.ACD对于A由题意，得F(20.因为AF=AM,且M(p,0),所以xA= xF十xM=3 2 ,将其代入抛物线方程y2=2p,得=，所以A(p,）,所 以直线AB的斜率kAB=kAF= 0 =2√6，故A正确；对于B,由选项A的分 析，知直线AB的方程为y=26(x-）,代入y2=2px,得12x2+13px+3p2= 0部得=子或=吉，所以g=吉，所以g=5所以10B=金十万 -写≠OF,故B不正确：对于C,由抛物线的定义及选项A,B的分折，得1AB =a十g十p-品+p品>2，即ABl>4l0F,批C正确：时于D,易如O4 13. =AM1=是OB1=号pBM1=p,则cas∠OAM= oa4MoMe-02+器-2 21 2OA·AM 5√33 >cos∠OBM= lOB1法M21OMe_名+9-p2 2OB·BM 4>0.所以∠0AM<90, W70 ∠OBM<90°，所以∠OAM+∠OBM<180°，故D正确.故选ACD. 18答案(（6o) 解析抛物线方餐化为)-一子4，所以港物线开口向左20一子，号品成焦点 坐标为(-5） 14.答案x=一2 3 解析通解（解直角三角形法）由题易得OF=号，PF=p,∠OPF=∠PQF, 所以a0PF=PaF,所以P附=调即多=专解得p=3,将以C的 准线方程为x=一多 光速解（应用射影定理法）由题易得OF=,PF=p,PF2=OF·FQ,即 2=号X6,解得=3或=0（会去），所以C的准线方程为x=-多 2 15.答案3 解析过点A,B作准线的垂线，垂足分别为D,E,再过点A作AC垂直BE于点 C,设|BC1=a,由于直线AB的倾斜角为30°，因此AB|=2a.设AD|=|CE|=x, 则AD|=|AF|=x,|BF=|BE1=a十x,所以|AB|=|AF+|BF1=x十a十x= 2a,解得=号则1AF=号FB-受于是品-子 16.答案(2,2)y2=8x 解析设M0,焦点坐标F(号0，由焦半径公式得.MF=十号=4，故 0=4一多.因为国心是MF的中点，所以国心的横坐标为22 MF=2,故可知圆与y轴相切于A(0,2),故圆心的纵坐标也为2，故圆心为(2， 2 2),点M的纵坐标为4.将M(4-专，4)代入y2=2px(p>0)得16=2p(4-台) 解得p=4,则抛物线的方程为y2=8. 17.解(1)因为抛物线的准线方程为x=一1，所以=1，得p=2, 所以抛物线的方程为y2=4x. (2)设M(xoyo),因为点M(xoyo)在抛物线上，且|MF|=3, 所以可由抛物线的定义，得MF=x0十号=3，得x0=2. 将(2，yo)代入方程y2=4x,得ya=士2√2， 所以△0FM的面积为2OF1o=2X1X22=瓦. 18.解不妨设点A在第一象限且A(m,n),则B(一m,n),可得m2=2pn,AB⊥y轴， 且OA⊥OB,即△AOB为等腰直角三角形，则OA的斜率为1，即m=,由△AOB 的面积为16，可得2·2m·1=16,解得m=n=4,故p=2,所以抛物线C的方程为 x2=4y. 19.解(1)若选①，根据焦半径公式可如PF=x0十？=0十1，解得p=2, 所以抛物线方程是y2=4x. 若选②，由y0=2x0=2,得P(1,2),代入抛物线方程y2=2px,得22=2pX1,解得 p=2,所以抛物线方程是y2=4x. (2)由(1)知抛物线的焦点为F(1,0),当直线的斜率不存在时，AB=2p=4≠8， 所以直线1的斜率存在且不为0，设直线1：y=k(x一1)，与抛物线方程联立得 k2(x-1)2=4x,化简为k2x2-(2k2十4)x十k2=0, 参考答案97 则x1十x2= 24=2+是，AB=++p=2+是+2=8， 2 解得k=士1，所以直线l的方程是y=x-1或y=一x十1. 20.解(1)设动点P(x,y),则A(-4,y),故OA=(-4,y),OP=(x,y), 因为OA⊥OP,所以OA·OP=0,所以-4x+y2=0,即点P的轨迹方程为y2=4x. (2)设点G(x1y),H(x2,y2),过点C(4,0)的直线方程为x=my十4，与y2=4x联 立并消去x得，y2-4my-16=0,所以y1y2=-16, -=16,所以G,H两点的横坐标乘积为定值16. 21.解(1)由题虑知，BF=,则x1=1.5十)=2 把xA=2代入y2=2x,得yA=2,故A(2,2). 设抛物线在点A处的切线方程为y一2=k(x一2)， 与抛物线方程y2=2x联立并消去x,得ky2一2y十4-4k=0, 则4=4一(4一40)=0，解得为=分， 故灯罩轴线所在直线的斜率为-2，其方程为y一2=一2(x一2)，即y=一2x十6. (2)由DH=10,则对于)=-2x+6,当x号时y=-5,从而FD1=5. 将x=2代入y2=2x,得y=士1，所以CF=1,所以CD1=6. 所以灯柱的高为6m, 2.解(1)由题意y2=2px的焦点为（台0）又DF垂直于x轴，令x=号，得yc= 一，D=p,同理可得yA=-4832阳-M8=32,又41AB1=31CD1,则4 4 4 X8D-3p,解得=2，所以抛物线C,的标准方程为=红 4 (2)设P(x1y1),Q(x2y2),则Q1(-x2,-y2). 则M(12,1)N(1,12） 2 2 2 2 由题专得MN部在特厨片+号-1上 (y1十y2)2 故 、2 27 (,)2(4)2 \2 2 -=1, -=1, 4 3 4 3 两式相减可得12+12=0.又P,Q在抛物线y2=4x上， 4 3 故x1x2= (y1y2)2 以12)2士20，解得y12=0或=二64 16,所以9 3 3 当12=-64时，12= (yy2)2=256. 3 16 9 又M1,”9）在箱园号+号-1上，故≤2，即+<4 2 2 2 易得x1≥0，x2>0,则x1十x2≥2√c1x2,故2√x1x2≤4，x1x2≤4，与x12 256矛 盾，故y1y2=0.因为Q在x轴上方，所以y1=0,y2≠0，此时P(0,0). 设M(x0%),则Q(2x0,2),则4+3=1 (2y0)2=4X(2.x0) 消去y0整理得3x6+8x0-12=0, 即x0=-8±V82-4X3×(-12) -4±2√/13 6 3 易知x0>0,故0=二4十213 3 所以QF=2+1=-8+413+1=413-5 3 3 B卷能力提升 1.C抛物线的方程是y2=4x,其顶点坐标是(0,0)，焦点坐标是(1,0)，由直线的倾斜 角得其斜率k=tan -号以直线的方程是y(-1D=0,即 则抛物线的顶点到直线的距离d= 3 +写 故选C 98 参考答案 2.D依题意，动点M到点(0,0)的距离等于其到定直线3x十4y一1=0的距离，且点 (0,0)不在直线3x十4y一1=0上，因此动点M的轨迹是抛物线.故选D. 3.A抛物线方程可化为x2=16y,焦点F(0,4),设线段PF的中点E的坐标为 (x,y),P(x0y0),则x0=2x,y0=2y-4,代入抛物线方程得(2x)2=16(2y-4),即 x2=8y-16,故选A. 4.C在方程2x-4y十11=0中，令y=0,得x= 吕抛物线的焦点为 F(-号0）设抛物线方程为y2=-2x(p>0),则号-号p=1抛物线的方 程是y2=一22x,故选C 5.D抛物线C:x2=-2py,焦点F(0,-),当PF∥x 轴时p=一号，则币=一2×(-）小解得印 士p即P(-p,-)或P(p,-)如图，不妨取P （-.号).别1PF=0P-p2+(- 专2p,所以mZ0PF品=片=2故速D 5 6.B以B为坐标原点建立平面直角坐标系，记水流落在 圆上的点为点C,OC与y轴的交点为M,点A在y轴上 的投影为点D,连接AD,如图所示.设抛物线方程为x2 B =-2py(p>0),由题意可知，AD|=3,BM=4,OC =7,所以|MC=7一3=4，所以C(4,一4)，代入抛物线 方程可得16=8p,所以p=2,所以抛物线方程为x2=一 A 4,将点A(一3)代入抛物线方程得A=一是所以 0 M IBD=号所以1OA=DM=BM-BD=4-号 -子，所以OA的高度为子m,故选B. 7.D由曲线上一动点M到点F(3,0)与到直线x=一3的距离相等，知曲线为抛物 线，其方程为y2=12.x,过，点P(2,1)的直线L与该曲线相交于A,B两点，且点P恰 为AB的中点，分别过点A,B,P向抛物线的准线x=一3作垂线，垂足分别为A1, B1,P1,连接AF,BF,由梯形的中位线知，P1P=(A1A十B,B)=之(FA +FB|),所以FA|+|FB=2P1P|=2×[2-(-3)]=10,所以|AF|+BF|= 10.故选D. 8.B如图，连接ME,由题意不妨设A(3,6p), 所以AF=3十合=4，解得p=2,所以超物线 的方程为y2=4x,A(3,2√3)，B(3,-2√3)， F(1,0).设圆心E的坐标为(x0,0),所以(x0一1)2 =(3-xo)2十12，解得xo=5,即E(5,0),所以圆 E的半径为4，圆E的方程为(x一5)2十y2=16. 2-11 7891011 不妨设yM0,直线OM的方程为y=k.x(k>0),根 据ME1==4,解得k=专，联立 /1+k2 -5 4 y=3x (x-5)2+y2=1 6解得M(号，号)，设 N4cos0+5,4sin0,所以0i.ON=9cos0+n0+9=号(3cos0叶40)十 9.因为3os0+45n0=5sin0+p)e[-5,5],共中tan9=子，所以Oi.O示的取值 范国为[一3,21].故选B. 9.AC若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为y2=2px(p>0),又因为抛物线 1 经过点P(4,一2)，所以（一2）2=2p×4,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=x,故 A选项符合题意.若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为x2=一2py(p>0), 又因为抛物线经过点P(4,一2)，所以42=一2pX(一2)，解得p=4,所以抛物线的 方程为x2=一8y,故C选项符合题意.故选AC. 10.AD由题可设抛物线的标准方程为x2=一2py(p>0),由定义知，点P到准线的距 离为4，故号+2=4，p=4,∴x2=一8y.将点P的坐标代入x2=一8y,得m2= -8×(-2),解得m=士4.故选AD. 11.ACD对于A,由题意知，点M到，点P与到定直线1的距离相等，且，点P不在直线 l上，点M的轨迹为抛物线，A正确；对于B,由A知，点M的轨迹为抛物线，则当 M为坐标原点时，点M到直线l的距离最小，即此时圆M的半径r最小，即rmn= 1,∴.圆M面积的最小值为π，B错误；对于C,由A得，点M的轨迹方程为y2=4x, 设M(x,y),则圆M的半径r=x+1,点M到y轴的距离d=x,2√r2-d=2 √(x十1)2-x2=2√5，解得x=2,.圆M的半径r=x十1=3，C正确：对于D,假设 布在点将9-行)（部）广 + 理可得y-16y2十64=0，解得y2=8,∴y=士2√2，.M(2,22)或M(2,-22), 假设成立，D正确.故选ACD. 12.BC由题意知抛物线的准线l:x=一2，焦点F(2,0),根据抛物线的定义可得AF =xA十2.又圆(x-2)2+y2=16的圆心为(2,0)，半径为4，所以△FAB的周长为 |AF|十AB十|BF|=xA十2十xB-xA十4=6十xB,由抛物线y2=8x及圆 (x-2)2+y2=16可得交点的横坐标为2，所以xB∈(2,6)，所以6十xB∈(8,12). 故选BC. 13.答案3 解析过点Q作QQ'⊥1于点Q',如图 y2=8x ,FP=4FQ,∴.IPQ：|PF|=3：4, 又焦点F到准线！的距离为4， 0' .1QF|=|QQ'=3. 14.答案x2=2y(答案不唯一) -2 解析由题意，若抛物线的焦，点F在y轴正半轴上，则 可设抛物线方程为x2=2py(p>0),P(xoy0),F(0, 乡）由然丰径公式可知%十号-号即物=5之，并且线段PF中点的数生标是 2 十是以以线段P为直经的因与1静相物，物志标为一10流 2 0),所以0=士2，即点P的坐标为士2.5），代入抛物线方程2=2py(p>0) 得4=2p:5,解得=1或=4，即当点F在y轴正半轴上时，抛物线方程是 x2=2y或x2=8y.同理，当，点F在y轴负半轴时，抛物线方程为x2=一2y或x2= 一8y,当，点F在x轴正半轴时，抛物线方程为y2=2x或y2=8x,当点F在x轴负 半轴时，抛物线方程为y2=一2x或y2=一8x. 15.答案8 解析设过抛物线的焦点F的直线方程为x=my十号，与抛物线方程y2=2pr(p >0)联立得y2-2pmy-p2=0,设A(x1y1),B(x2,y2),y1>0,y2<0,则y1y2= Cp,又因为AE2FB,所以M=一22，解得2号D,所以SAp)CP ☒22XDX号p=42解得力=4所以2p=8,所以T的通径长为8 16.答案4(-∞，4) 解析如图所示，过点Q作抛物线准线的垂线QE,垂 足为点E,设∠PFO=0,则0为锐角，设抛物线y2=8 的准线与x轴的交点为M,则MF|=4,由抛物线的定 4 义可知QF=QEI,IPF=IMF cos 0 cos cos 0= 9器=p0a所以8=82，当点P QE QF 的坐标为(-2,8√2)时，|PF|=√/42+(8√2)2=12，则 os=品-号此时dP)=8 4 1PF1_1+cos0=4. cos 0 当点P(-2,t)(t>0)时，若4d(P)-PF|一k>0恒成立，则k<4d(P)一PF,4d (P)-|PF=41+cos)_4 cos 0s0=4,所以<4. 17.解设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0), 设A(0,由题意知M(0,一号)因为AF=3,所以6+号-3