第7单元 双曲线 A卷 基础达标-【金试卷】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册同步单元双测卷（北师大版）

15.答案号+y=1[o,7+4 解析由题意知=2，且a=原，可得b=V公--1，故箱圆C的方程为号+y =1,其“准圆”方程为x2十y2=4.可设B(m,n),D(m,-n)(-√3<m<√3)，则有 写+=1，易知A点坐标为2.0》，所以店=(m-2m.Ai=m-2,-.所以 A店.Ai=(m-22-=m2-4m+4-(1-）=专m2-4m+3=号(m 多），又-5<m<5,所以(m-)∈[0,1+4)所以A店.A的取值范 围是[0,7+4√3) 16.答案丽 解析因为点A(一1,0)，B(1,0),所以以A,B为焦点的椭圆的焦距2c=|AB|= 2,即c=1,又因为以A,B为焦点且过，点P的椭圆的长轴长2a=PA十|PB|,所 以当PA十PB最小时，a最小，此时椭圆的离心率e=C=1最大.设B(1,0)关 aa yo 于直线y三2x一4的对称点为B,.则03 13 x05 三1解得 ,即B。 -1=-z (9-号)，连接AB,交直线y=2-4于P,因为点P是直线y=2x-4上的 个动点，所以PA十|PB≥|PoA|+|PoB|=|AB,即PA|+PB|的最小值 为4停+)+（一号）=2因光吉P运动到P,时取#度小 5 值，最小值为85，所以椭圆的离心率的最大值为1一√85 V8517 5 17.解(1)选①， 由题意，知椭圆N的焦点为（一2,0），(2,0) 设椭圆M的方程为。+1(a>>0),则a=5面， 由/a=V56 a2-b2=4 解得6=1 5故椭国M的标准方程为号+y=1. 选②， 由题意，知椭圆V的焦点为（一2,0），(2,0). 设椭圆M的方程为2十=1(a>b>0),上顶点为(0,6)，上顶点(0，b)到直线y了 x的距离为2 ,则有6一2 制有万艺，得6=1，所以a=5 故精回M的特准方程为号+y2=1, 选③， 由题意，知椭圆N的焦点为（一2,0），(2,0). 设标国以的方室为行+若芳=1a>6≥0. 1a2-62=4 则停+意=化黄升类理得欢+16-16=0 朝得公=1发=-会去).所以。2=5 故精圆M的标准方程为号+y=1. (2)由(1)知F1(-2,0),F2(2,0), 设Q(0o),则△Qr,P的面积为2×4X%=2,所以%=士子 又号+听=1，所以后-得解得o=士5。 4 所以满足条件的点Q有4个，它们的坐标分别为 (）(-)(.-）(-5-) 94参考答案 1解白RA/RRSA-2民8邵--古从 理得a2=32.故离心率e=C=5 a 3 19.解(1)设椭圆C的焦距为2c, 由精圆的定义，有a=IPF1十PF_2+3)(2-=2, 2 在△PF1F2中，|F1F212=|PF1I2+|PF2|2-2PF1|×PF2cos120° =(2+√3)2+(2-√3)2+(2+3)(2-3)=15， 有4=15得-=.8=0-2=49- 故箱图C的方程为号+4y=1. (2)设，点P的坐标为(m,n)(m>0), sSam,=Pm·pF·sm12r=合×2+X2-×号- 又由S△PFr-号×m-四：有-9解得n±得 2 2 特点P的坐标代入祸圆C的方程有+专-1，解得m-5 5· 故点P的业样力5)（色g5) 20,解1上项点P036=5,又e=即后=号a=2c 由a2-c2=b2得3c2=3,解得c=1, ∴a=2,故输国C的标准方程为+苦-1. (2)当直线L的斜率不存在时，此时点N与原，点重合，M为下顶，点，此时PM= 2MM,不合题意. 直线1的斜率存在且不为0，设l:y=kx十3(k≠0)， 令=0，得=N(-0） 12消去y可得3+)2+8=0w- 联立y=kx十√3 8√3k 3+4k21 PM=4MN.如图1时：可以得到-即4=223二士6 3+4k2k 2 Ay P N M N 0 M 图1 图2 如因2时，可以释到装-号中0腰-共==1P=士号 3+4k2k 直线1的方程为y=士十或y=士号。 大2x+3 21.解(1)由题意知b=15,a十9=34，得a=25. 9252十52=1(x≤0)和y+x2 所以“挞圆”方程为十y °153+g2=1(≥0). (2)设P(x0,t)为矩形在第一象限内的顶，点，Q(x1,t)为矩形在第二象限内的顶，点， x+2 则t+6=1252,152一1’习7付7三< 一910.所以内接矩形的面积S=21(x0 。=15x34x2·号·≤15x(+) 1）=21X34, =510, 当且仅当号-6时，S取最大值510. 所以网箱所占水面面积的最大值为510m2. 22.解(1)连接PN,由线段QN的垂直平分线交MQ于点P,得PN=|PQ, 那么|PM+PN|=PM+|PQ|=8>IMN, 所以动点P的轨迹是以V,M为焦点，以8为长轴长的椭圆， 即2c=2,2a=8,得c=1,a=4,所以b2=16-1=15. 故功点P的税进E的方程为后盖 (2)易知N为椭圆的右焦点，由椭圆的定义知SN|+|SM=8,因此SN|+SB =8十SB一|SM,问题转化为“求椭圆上一点到B,M两点距离之差的最大值”. 连接BM,并延长BM交椭圆于点S, 此时，|SB-SM最大，最大值为√(2+1)2+(2-0)2=√13， 故|SN+|SB|的最大值为8十/I3. (3)假设存在点T满足题设. 由后+若-1：可知TM+1TN=8,MN=2, 结合MN=TM+TNT,得引TM·|TN=8. 由MN=降TN+=+ |TN|=4-2√2|TN|=4+22 由于3≤|TM|≤5且3≤|TN|≤5，而4-2√2<3,4+2√2>5， 故不存在这样的点T满足题设. 第七单元双曲线 A卷基础达标 1.B因为PF1一PF2=4,且4<F1F2,由双曲线定义知，P点的轨迹是双曲线 的一支，故选B. 2.A若方程mx2+(2一m)y2=1表示焦点在y轴上的双曲线，则必有2一m>0,且m <0,解得m<0,故选A. 3.A依题意知，焦点在x轴上c=4,=2,a=2=2-Q2=12,故双曲线的 方粗为营益=1，越选 4.A国为M是PF1的中点，0是FF2的中点，所以OM=PF2,又0M=1, 所以PF2|=2.因为P在双曲线的右支上，所以|PF1一PF2|=2×4=8,故 |PF1=8+2=10.故选A. 6,D因国为四个点(-3，D,(一23.3，D,3)中洽有两个点在双曲线C: =1(a>0)上，且双曲线C关于坐标原点对称，所以点（一3,1），（3，一1)在双曲线C: 彩乎堞罪班Z个=”制糊‘[=【一·了(02 2 3√2 =得做砖D 6.A由题251，所以2a2=8-52=(3-5a+. 2 解得号=52故选A 7.B由椭圆的定义可得△MNF2的周长为MN|+|MF2+VF2|=|MF1十 NF1|+|MF2|+|NF2=4a=8,.a=2,b=1,则c=√a2-1=√3， 则△MFF2面积的最大值为2·2c·6=bc=3,故选：B. 8.C设PF2|=m,则m≥c-a,由双曲线的定义知，PF1|一PF2|=2a,.PF1= -a限-”w+十2投+a=a1仅专烟= PF2 m ,即m=2a时，等号成主当的装小值为a时，PF,=,PR, m 2a,此时m=2a≥c-a,解得e=C≤3，又e>1,e∈(1,3].故选C. a 9AC当焦点在x轴上时，台=合所以2=1+ a +=14所以-5 29 当线点在y轴上时号=子所以e2=1+ +a2=1+4=5, 所以e=√5.故选AC. 10.B0因为心2=1，心=6，所以c2-1十6=7c=,焦距为2A错误；双曲线苦 x2=1与C的渐近线均为y=士√6x,B正确；根据双曲线的对称性，不妨取双曲线 C的一个焦点为（√7,0），一条渐近线方程为y=√6x,故焦点到渐近线的距离为 语6C三痛：南位三-1得-2若-1甲苦-1北方框无0，所以 y=3x 6+1 直线y=3x上不存在，点在C上，D错误.故选BC 11.CD易知C1的长轴长2a=8,短轴长2b=6,焦距为2c=2√a2-b2=2√7.当9<k <16时，C2的焦点在x轴上，其中实轴长2'=2√16-，虚轴长2b'=2√R-9., 焦距为2'=2√a2+b2=2√/16-k+k-9=2√7，故C1的长轴长与C2的实轴长 不相等，C1的短轴长与C2的虚轴长不相等，C1与C2的焦距相等，离心率不相等 故选CD. 12.AB根据题意，逐项分析如下： 选项正误 原因 因为PO=PF2,所以OF2的垂直平分线x=乞与双曲线有交点， 1 L 即有5≥a,则c≥2a,c2>≥4a2,即a2+b2>≥4a2,得6>5a 因为△PO,是面积为2的正三角形，边长为，所以号×cX。 c=2,即 2-8g,连接PF1在△POF中：国为PO=OF=c,∠0F B 180°-∠P05,=120,所以PEl=2+2-2 XcXcX(-2）=Bc 所以a-PE,Pl-E1,故2=2-a2=52=4,即b=2. 2 2 29 A为双曲线的右项点，则|AF=(一a,又PF2⊥x轴，则PF2= 所以AF2≠|PF2. QF1-QF2=QF1-QPI-PF2<PF1-1PF2 D =2a. 故选AB. 13.答案4x士3y=0 解析由满国亏+后-1知，长铂瑞点分别为（一5,0和(50），焦点是（一30》，（3.0》， 由此可知，双曲线的焦点为（一5,0），(5,0)，顶点为（一3,0），(3,0)，所以双曲线方 程为号后-1以清远线方银为红士8y-0 14.答案别=4 ('(答案不唯一) 解析设焦点在y铂上且断近线方程为y=2x的双商我的方程为置-2=以> 0),即y2x2 卿益爱=1>0.所以a2>0).不坊令=1，所以青 n=4 15.答案 号-=1 解析 3=2 女双曲线C的离心率e=23,. 3 2,即c= 2.6-得。C的商连线方银方y=士停。 31,两渐近线 的夫角为60，如因，不与设AB与直线1：=侣套直，垂 足为A,则∠AOB=60°，|AB|=3,OA=3,1OF|=2. 6=2a=5,6=1,即双向线C的标准方程为写-y=1. 16.答案13(1,0) 解析圆C1:(x十4)2+y2=4的圆心为(-4,0)，半径为r1=2;圆C2:(x-4)2+y2 =1的圆心为(4,0)，丰径为2=1.设双曲线2-若=1的左右焦点分别为F( 4,0),F2(4,0),连接PF1,PF2,F1M,F2N,可得|PM2-PN2=(|PF1I2-) -(PF2I2-r2)=(|PF112-4)-(|PF212-1)=PF112-|PF212-3=(|PF11 -|PF21)·(|PF1|+|PF21)-3=2a(|PF1|+|PF2|)-3≥2a·2c-3=2X1× 2X4-3=13,当且仅当P为双曲线的右项点时，取得等号，即|PM2-|PN2的 最小值为13，此时P点坐标为(1,0). 17.解选①. 因为m>0,所以a2=m,b2=2m,c2=a2+b2=3m,所以a=√m,c=√3m. 因为C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为a十c, 所以m+V5m=(1十m=3十5解件m=3,故C的方程为号苦-1 选②. 由题意得c=3. 若m>0,则a2=m,b2=-2m,c2=a2+b2=3m,所以c=√/3m=3, 解得阳，利C的方程为苦-1 若m<0,则a2=-2m,b2=-m,c2=a2+b2=-3m,所以c=√-3m=3, 解得m=一3，则C的方程为片-了 选③. 因为C上一点到两焦点的距离之差的绝对值为4，所以2a=4,即a=2. 若m>0,则a2三m,所以a=m=2,解得m=4,则C的方程为-专=1； 若m<0,则a2=-2m,所以a=√一2m=2,解得m=-2, 则C的方程为y一2 42-1. 解椭國方程化为标准方程十61，可知2=64-16=48 ①当双曲线的焦点在x轴上时， 设效面线方程为导芳1@>06>0. 1a2+b2=48, 。5解得《各双曲线的标准方程为行D a3' ☑当双曲线的点在y轴上时，设双由线方程为名-1(a>0,6>0 1a2+b2=48, 好仔低品以向线的排滚方程为吕-后引 b3' 袋上，风由线的架准方维为后管-1花后-1 19.解(1)依题意，知2c=4,c=2. 不坊设双由线C的右焦点F,(2么，0)到新近线y=女，的距高为1， 则2b=2b=1b=1a2=c2-b2=3. √a2+b2c :双由线C的标准方程为写-y=1 (2)在△PFF2中，：OP是边F1F2上的中线且OP=之|FF2=2, .△PF1F2为直角三角形且∠F1PF2=90°. P是双曲线C上一点，.PF1一PF2=2√3， 两边平方，得PF12+|PF22-2PF1IPF2|=12, 又|PF112+|PF212=|F1F212=16,∴.|PF1|PF2|=2. ∴Saw=合PF,IPF,=1. 20.解(1)由题意，易知MF2|=2,F1F2=2√3，且MF2⊥F1F2. 在Rt△MF2F1中，|MF1|=/TMF22+F1F22=4. 由双曲线的定义可知，MF-|MF2=2a,∴.2a=2,即a=l.∴.半焦距c=√3. 又，a2十b2=c2,∴.b=√2.故双曲线C的虚轴长为2√2. (2)由(1)知双曲线C的方程为x2- 21. 设与双曲线C有相同渐近我的双由线的方程为：”-苦-X以≠0》， 将点P(一2,4)的坐标代入上述方程，得入=一4. 故所求双白我的标准方粒为营-著1 21解指国G的标准方程为+潜1a1>6>0)。 根据题意得2a1=10,则a1=5. 又6==号41=4,61=3椭圆G的标准方程为需十苦=1. (2)设双白线的右焦点c,0,将x=(代入双向线方程，得y士MN-2 ",'以MN为直径的圆恰好过双曲线的左顶点A,且AF2|=a十c, a十c=2,即a2+ac=b2=c2-a2,整理得2a2+ac-c2=0,即有e2-e-2=0. 又e>l,.e=2. 又双曲线C2与椭圆C1有公共的焦，点， ∴.c=4,.a2=4,b2=12, “风尚线G的新准方程为号-言-1 22.解（1)依题意，点A(一20,0)，B(20,0),点M的纵坐标为6， 道路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多l6km, 则道路MN所在的曲线是以定，点A,B为左、右焦，点，且实轴长为16的双曲线的右 上支的一部分其方程为-361(x>0.0<≤6)， 显然点P(一8,0)，V(8,0),又道路VP段上的任意一点到O的距离都相等， 则道路VP所在的曲线为以O为圆心，OV为半径的圆的下半部分（含端点），其方 程为x2+y2=64(-8≤y0), 1x2y2 所以道路M-N-P的曲线方程为6436=1(x>0,0<y≤6) x2+y2=64(-8≤y≤0 2设0,5C(0,),则cQ气6+(。- 当点Q在道路NP段上时，一8≤yo≤0，x号+y哈=64， 则CQ气√图T-25%≥，当且仅当为=0时取等号： 2 点Q在道路MN段上时.0<≤6，音61，则6=64十 北时1cQ气√原-5+=(w》'+9/。 /3167 当且仅当yo=6时取等号. 是然3167<√881.故点Q位于道路MN段，纵坐标yo=6·横坐标0 2 专： 即点Q到景点C的距离最近时，Q的坐标为（号27,6）， B卷能力提升 1.D当心0时，得-片=1，所以双曲线焦点在x轴，所以a2=2入，6=4玖，2=a2 +=,所以病心奉方后-层-僵=：当0时，降关以=1，所以 双曲线焦点在y轴，所以a2=-4以，b2=-2入，c2=a2十b2=-6入，所以离心率为C E_6成-5.故选D. /a2√-4=2 2.A由双曲线方程mx2十y2-1,知m<0,则双曲线方程可化为y2一 11, m 则a2=1,a=1,b2=-1 m 又虚轴长是实轴长的2倍，b=2.一1=b=4,m= 3,D由a+4得c2所以2.0.将=2代入2-苦1，得y=士3 所以PF=3.又A的坐标是(1,3)， 故△APF的面积为×3X(2-ID=2.故选D. 4.A由题意得，在双曲线中a2=(5-1)2,b2=m,.c2=a2+b2=(√5-1)2+m. 双曲线的实轴长与焦距的比值为黄金分到数，公=手5争 2 (52)-85,即53.5，解得m=25-2.故篷A (5-1)2+m2 参考答案95第七单元 双曲线 A卷 基础达标 测试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知F(3,3),F2(-3,3),动点P满足|PF一|PF2|=4,则P 点的轨迹是 密 A.双曲线 B.双曲线的一支 C.不存在 D.一条射线 h 2.若方程mx2十(2一m)y2=1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数 封 典 m的取值范围为 () A.m<0 B.m>2 C.0<m<2 D.m<2且m≠0 线 3.已知双曲线的离心率为2，焦点是（一4,0），(4,0)，则双曲线的方 程为 都 内 B=1 c6=1 不 .已知F,F,分别是双曲线6 )=1的左、右焦点，P是双曲线 y 如 右支上一点，M是PF,的中点，若|OM=1(O为坐标原点)，则 准 PF= () A.10 B.8 C.6 D.4 答 5.若四个点（一3,1），（一2,3），(3，一1)，(1，一3)中恰有两个点在双 戳C:y=1(a>0)上则双曲线C的渐近线方程为 题 A.y=土√2x B.y= 2 C.y=土3x D.y=± 3 6.实轴长与焦距之比为黄金数5,1的双曲线叫黄金双曲线，若双 2 丝 =1(a>0,b>0)是黄金双曲线，则%等于 北 A.5-1 2 B.35 2 C.5-2 D.9-45 2 4 7.已知椭圆C:二十y=1(a>1)的左、右焦点分别为F、F,过F A.当|PO=|PF2|时，b≥√3a a B.当△POF,的面积为2的正三角形时，b=2 的直线与椭圆交于M、N两点，若△MNF,的周长为8，则 C.当A为双曲线的右顶点，PF2⊥x轴时，PF2|=|AF2 △MFF,面积的最大值为 D.当射线F2P与双曲线的一条渐近线交于点Q时，|QF| |QF21>2a B.3 C.23 D.3 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分， 8.已知F,F,分别为双曲线 y 2 6 =1(a>0,b>0)的左、右焦点， 13.已知双曲线C的焦点，顶点恰好分别是椭圆亏十若=1的长轴 端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为 P为双曲线右支上任意一点，若PF PF 一的最小值为8a,则该双曲 14.能说明“若mm≠0，则方程之+义=1表示的曲线为焦点在y轴 n 线的离心率e的取值范围是 ( 上且渐近线方程为y=2x的双曲线”的一组m,n的值是 A.(1,2) B.(1,3) C.(1,3] D.(2,4) 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给 15.已知0为坐标敞点，双曲线C号芳-1a>0,6>0)的石集点 出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的 得2分，有选错的得0分 为F,0,离心率e2g,过点F的直线与C的两条商近线的 9.设双曲线的渐近线方程为y一士，则该双曲线的离心率。可 交点分别为A,B,△OAB为直角三角形，|AB引=3，则双曲线C 的标准方程为 以为 号 16,过双曲线x-站-1的右支上一点P,分别向圆G:十4+y- B26 5 C.5 D.2√5 4和圆C2:(x一4)2+y=1作切线，切点分别为M,N,则|PM一 PN|的最小值为 ;此时P点坐标为 .(本题 0.已知双曲线C:x二合1，则 第一空2分，第二空3分) 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过 A.C的焦距为√7 程或演算步骤 B.双前线誉--1与C的新近线相同 17.(10分)在①m>0,且C的左支上任意一点到右焦点的距离的 最小值为3十√3，②C的焦距为6，③C上一点到两焦点的距离 C.焦点到渐近线的距离为√6 之差的绝对值为4这三个条件中任选一个，补充在下面的问题 D.直线y=3x上存在一点在C上 中，并作答 1.巴知稀圆G:后+苦-1与双由线G:1一十g÷。=1g 问题：已知双曲线C:-=1, ,求C的方程. °m2m 16),下列关于两曲线的说法正确的是 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分， A.C的长轴长与C,的实轴长相等 B.C1的短轴长与C2的虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率不相等 2已知0为坐标原点，FF:分别为双曲线名广白1(a>0,6 0)的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，则下列说法正确的是 第一部分单元检测卷19 18.(12分)已知双曲线的一条渐近线为x十√3y=0,且与椭圆x2十 4y2=64有相同的焦距，求双曲线的标准方程. 19.12分)已知双曲线C的方程为后一芳=1a>0,b>0),其左、 2y2 右焦点分别为F,F2,且|FF2|=4,双曲线C的一个焦点到渐 近线的距离为1. (1)求双曲线C的标准方程； (2)P是双曲线C上一点，O是坐标原点，且|OP|=2,求 △PF,F2的面积. 20第一部分单元检测卷 20.12分已知议曲线C若-言 =1(a>0,b>0)的两个焦点分别 为F(一√3,0)，F2(√3,0)，且过点M(√3,2). (1)求双曲线C的虚轴长； (2)求与双曲线C有相同渐近线，且过点P(一2,4)的双曲线的 标准方程. 21.(12分)已知椭圆C的中心在原点，离心率为，焦点在x轴上 目长销长为0.过双曲线C二1(a>0,6>0)的右焦点 F2作垂直于x轴的直线交双曲线C2于M,N两点， (1)求椭圆C1的标准方程； (2)若双曲线C,与椭圆C,有公共的焦点，且以MN为直径的 圆恰好过双曲线的左顶点A,求双曲线C,的标准方程. 22.(12分)如图，某市在城市东西方向主干道边上有两个景点A, B,它们距离城市中心O的距离均为20km,C是正北方向主干 道边上的一个景点，且距离城市中心O的距离为12.5km,为改 善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路M一N一P如图 示，道路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的 距离都多16km,其中道路起点M到东西方向主干道的距离为 6km,道路VP段上的任意一点到O的距离都相等，以O为坐 标原点，线段AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平 面直角坐标系xOy. 北 2 →东 M AP八ONB元 (1)求道路M-N-P的曲线方程； (2)现要在M一N一P上建一站点Q,使得Q到景点C的距离 最近，试求点Q的坐标.