精品解析：广东省深圳市外国语学校2025-2026学年下学期九年级期中数学试卷

2025－2026学年深圳外国语学校九年级（下）期中数学试卷 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 数据统计显示，深圳市2023年小学一年级入学人数达23万人，创历史最高峰．数据23万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 数学课上，老师让同学们合作探索平行线的特征，小智用直角三角尺和直尺（相对两边缘平行）摆成图1的形状，直角三角尺三条边与直尺的边缘分别相交成，，（如图2），其中，，，小慧用量角器测得，请你帮忙算一算，的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 关于抛物线，下列说法正确的是( ) A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与y轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 6. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 平行透视是绘画中的基本技法．如图，点O是正方形和正方形的位似中心，若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 已知是关于x的方程的解，则______． 10. 已知数轴上点表示的数是，数轴上到点的距离为且在点右侧的点所表示的数是___________． 11. 如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m． 12. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A的直线分别与x轴、y轴交于C，D两点．当，时，则______． 13. 如图，点是正方形边上的一点，将沿直线翻折得到，连接并延长交的延长线于点，连接、．若，，则________． 三、解答题（共7小题，共61分） 14. 计算： ； 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心疾首．今年某校为确保学生安全，开展了“远离溺水•珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：，，，），下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩是： 八年级名学生的竞赛成绩在组中的数据是： 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 方差 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述图表中的值； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七、八年级共人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（）的学生人数是多少？ 17. 综合实践 背景 随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生活，为人们的生活带来了便利． 素材1 某农业公司预购进A，B两种型号的植保无人机用来喷洒农药，A型机比B型机平均每小时少喷洒2公顷农田，A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等． 素材2 若农业公司共购进20架无人机，A型无人机5万元/架，B型无人机6万元/架． 问题解决 任务1 A，B两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ 任务2 若公司要求这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田，那么该公司如何购买A型和B型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本． 18. 已知：点P是外一点． （1）尺规作图：如图，过点P作出的两条切线、，切点分别为点A、B．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） （2）在（1）的条件下，若点C在上（点C不与A、B两点重合），且，则的度数为______°． 19. 在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 ．．． 运动快慢 12 10 8 6 4 2 ．．． 运动路程 0 44 80 108 128 140 ．．． 【数学建模探究】 （1）【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：（提示：函数图象要画在答题卡上） ①与之间的关系可以近似地用_____函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”） ②与之间的关系可以近似地用_____函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”） （2）【检验】直接写出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． （3）【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度向前匀速直线运动．当时，弹珠刚好追上小车，则，两点间的距离为_____． 20. 【定义】若一个四边形对角线的交点是一条对角线的三等分点，那么我们称这个四边形是“卓越四边形”．如图1，在四边形中，与交于点，，则称四边形是“卓越四边形”． 【性质】（1）如图2，在正方形中，，是边上一点，当四边形为“卓越四边形”时，请你求出的长度； 【判定】（2）如图3，在矩形中，点是线段上靠近点的四等分点，点是边上一点，与交于点，若满足，，请你判断四边形是否为“卓越四边形”并说明理由； 【应用】（3）如图4，将边长为6的正方形绕点逆时针旋转至正方形，若以，，，四点为顶点的凸四边形是“卓越四边形”，四边形的对角线交于点，请你求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年深圳外国语学校九年级（下）期中数学试卷 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题重点考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一判断即可． 【详解】解：A.不是轴对称图形，不符合题意； B.不是轴对称图形，不符合题意； C.是轴对称图形，符合题意； D.不是轴对称图形，不符合题意. 2. 数据统计显示，深圳市2023年小学一年级入学人数达23万人，创历史最高峰．数据23万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．科学记数法的表示形式为 的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：23万． 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A、，原计算错误； B、，原计算错误； C、，正确； D、，原计算错误. 4. 数学课上，老师让同学们合作探索平行线的特征，小智用直角三角尺和直尺（相对两边缘平行）摆成图1的形状，直角三角尺三条边与直尺的边缘分别相交成，，（如图2），其中，，，小慧用量角器测得，请你帮忙算一算，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义及性质，由三角形外角的定义及性质计算，由平行线的性质可得，，即可得解． 【详解】解：过点作 ∵，， ∴， ∵， ∴, ∴， 又∵， ∴， 故选：D． 5. 关于抛物线，下列说法正确的是( ) A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与y轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的相关性质，逐一分析选项即即可求解． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴，， ∵ ∴抛物线开口向下，故A选项错误 ∵对称轴为直线 ∴对称轴是直线，故B选项错误 ∵当时， ∴抛物线与轴的交点坐标是，故C选项正确 ∵当时， ∴顶点坐标是，故D选项错误 故选：C． 6. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组． 【详解】解：设有x人，y辆车， 依题意得： ， 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解决问题的关键是找出题中等量关系． 7. 平行透视是绘画中的基本技法．如图，点O是正方形和正方形的位似中心，若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．根据位似图形的概念得到，证明△△，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：正方形和正方形是位似图形， ， △△， ， ， 故选：A． 8. 如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点，则可得到，即可得到，根据垂线段最短和三角形三边关系得到，即可得到点P在时，的值最大为长，利用勾股定理和三角形的面积公式计算解答即可． 【详解】解：过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点， 则， 又∵， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即当点P在时，的值最大为长， ∵是正方形， ， ∴， ∴的值最大为， ∴的最大面积是， 故选：C． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 已知是关于x的方程的解，则______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查方程的解，求代数式的值．将代入方程，得到关于a和b的方程，然后利用这个关系求代数式的值． 【详解】解：∵是关于x的方程的解， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2025． 10. 已知数轴上点表示的数是，数轴上到点的距离为且在点右侧的点所表示的数是___________． 【答案】 【解析】 【详解】本题考查用数轴上的点表示实数，实数的大小比较，根据点表示的数是，数轴上到点的距离为且在点右侧，设表示的数为，根据两点间的距离列出方程求解即可．解题的关键是明确题意，利用数轴的知识解答． 【解答】解：设表示的数为， 根据题意，得：， 解得：， ∴表示的数是． 故答案为：． 11. 如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意找出对应线段的长是解题关键． 先根据题意找出图中已知线段的长度，再利用平行线得到相似三角形，通过相似三角形对应线段成比例计算即可． 【详解】解：如图，过点B作，交于点M，于点N， ∴， 由题意，得，，， ∴， ∴，， ∴四边形，，都是矩形， ∴，，，， 由题意，得，，，， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：10． 12. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，过点A的直线分别与x轴、y轴交于C，D两点．当，时，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，反比例函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，通过作辅助线构造相似三角形是解题的关键．过点A作于点E，于点F，先证明，得到，然后设，求出，再根据，及反比例函数的中心对称性，可求得，从而得到方程，求得，最后由点A在反比例函数的图象上，可知． 【详解】过点A作于点E，于点F， ， ， 轴， ， ， 设，则，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 点A在反比例函数的图象上， ， ． 13. 如图，点是正方形边上的一点，将沿直线翻折得到，连接并延长交的延长线于点，连接、．若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，翻折的性质等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的添加辅助线是解题的关键． 连接，作于点，求得，根据翻折的性质得到，求出，得到，得出，可证明，得到，求出，，证明，得到，可证明，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，作于点， ， 四边形是正方形，， ，，，， 根据翻折的性质得，， ， ，，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共7小题，共61分） 14. 计算： ； 【答案】1 【解析】 【详解】解： 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】; 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 16. 每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心疾首．今年某校为确保学生安全，开展了“远离溺水•珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：，，，），下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩是： 八年级名学生的竞赛成绩在组中的数据是： 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 方差 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述图表中的值； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七、八年级共人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（）的学生人数是多少？ 【答案】（1），， （2） 八年级学生掌握防溺水安全知识较好，理由如下： 七、八年级的平均分均为分，但八年级的中位数和众数均高于七年级，所以八年级学生掌握防溺水安全知识较好． （3）人 【解析】 【分析】（）求出八年级组学生竞赛成绩的占比，再结合扇形统计图可求出，根据中位数和众数的定义可求出； （）根据八年级的中位数和众数均高于七年级，于是得到八年级学生掌握防溺水安全知识较好； （）利用样本估计总体思想求解即可， 本题考查了扇形统计图，中位数和众数，样本估计总体，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，八年级组学生竞赛成绩占比为， ∴， ∴， ∵八年级名学生的竞赛成绩的中位数是第和第个数据的平均数， ∴， ∵在七年级名学生的竞赛成绩中出现的次数最多， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， 答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀（）的学生人数是人． 17. 综合实践 背景 随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生活，为人们的生活带来了便利． 素材1 某农业公司预购进A，B两种型号的植保无人机用来喷洒农药，A型机比B型机平均每小时少喷洒2公顷农田，A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等． 素材2 若农业公司共购进20架无人机，A型无人机5万元/架，B型无人机6万元/架． 问题解决 任务1 A，B两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ 任务2 若公司要求这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田，那么该公司如何购买A型和B型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本． 【答案】任务1：A型无人机每小时喷洒8公顷，B型无人机每小时喷洒10公顷；任务2：采购A型无人机10台，B型机10台时总费用最少，最少费用为110万元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，找准等量关系，正确列出分式方程和一次函数是解题的关键． 任务1，设A型无人机每小时送喷洒x公顷，则B型每小时喷洒公顷，列分式方程求解即可； 任务2，设A型无人机a台，则B型无人机台，总费用为w万元，根据题意得 ，求出；，当，（万元），此时B型无人机（台）． 【详解】解：任务1，设A型无人机每小时送喷洒x公顷，则B型每小时喷洒公顷 由题意可得： 解得： 经检验：是原分式方程的根， 答：A型无人机每小时喷洒8公顷，B型无人机每小时喷洒10公顷． 任务2，设A型无人机a台，则B型无人机台，总费用为w万元， 由题意可知： 解得： ∵， ∴w随a的增大而减小， ∴当，（万元） 此时B型无人机（台）． 答：采购A型无人机10台，B型机10台时总费用最少，最少费用为110万元． 18. 已知：点P是外一点． （1）尺规作图：如图，过点P作出的两条切线、，切点分别为点A、B．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） （2）在（1）的条件下，若点C在上（点C不与A、B两点重合），且，则的度数为______°． 【答案】（1） 如图所示：即为所求； （2）70或110 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质，解题的关键是掌握直径所对的圆周角为直角；同弧所对的圆周角是圆心角的一半；圆的内接四边形对角互补． （1）连接，作的垂直平分线，交于点D，以点D为圆心，为半径画圆，与相交于点A和点B，连接，即为所求； （2）先根据四边形内角和为360度，得出，再进行分类讨论：当点C在优弧上时，根据圆周角定理即可解答；当点C在劣弧上时，根据圆的内接四边形的性质即可解答． 【小问1详解】 解：∵为直径， ∴， ∴是的两条切线． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 当点C在优弧上时，， 当点C在劣弧上时，， 故答案为：70或110． 19. 在跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 ．．． 运动快慢 12 10 8 6 4 2 ．．． 运动路程 0 44 80 108 128 140 ．．． 【数学建模探究】 （1）【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：（提示：函数图象要画在答题卡上） ①与之间的关系可以近似地用_____函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”） ②与之间的关系可以近似地用_____函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”） （2）【检验】直接写出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． （3）【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度向前匀速直线运动．当时，弹珠刚好追上小车，则，两点间的距离为_____． 【答案】（1） 解：图象如图所示， ①由图2可知，与近似一次函数； ②与近似二次函数． （2），当时，；，当时， （3）55 【解析】 【分析】（1）描出图象后，根据图象判断函数关系即可； （2）使用待定系数法求出解析式，并代入一组数据进行验证； （3）用（2）中的二次函数模型计算出小球运动的路程，减去同时间电动小车的运动路程即得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， 将，；，代入，得， ， 解得， ∴， 验证：当时，，与表格中的数据一致； 设， 将，；，；，代入，得， ， 解得，， ∴， 验证：当时，，与表格中的数据一致． 【小问3详解】 解：由（2）可知，， 当时，，即小球运动了， 同一时间，电动小车运动的路程为， ∴，两点间的距离为． 20. 【定义】若一个四边形对角线的交点是一条对角线的三等分点，那么我们称这个四边形是“卓越四边形”．如图1，在四边形中，与交于点，，则称四边形是“卓越四边形”． 【性质】（1）如图2，在正方形中，，是边上一点，当四边形为“卓越四边形”时，请你求出的长度； 【判定】（2）如图3，在矩形中，点是线段上靠近点的四等分点，点是边上一点，与交于点，若满足，，请你判断四边形是否为“卓越四边形”并说明理由； 【应用】（3）如图4，将边长为6的正方形绕点逆时针旋转至正方形，若以，，，四点为顶点的凸四边形是“卓越四边形”，四边形的对角线交于点，请你求出的长． 【答案】（1） （2）四边形是“卓越四边形”，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴设， ∵点是线段上靠近点的四等分点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴不妨设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是“卓越四边形”； （3）的长度为或或4或 【解析】 【分析】（1）先证明，得到，结合四边形为“卓越四边形”时，，或者，即可得出答案； （2）结合矩形的性质，，，，设，结合点是线段上靠近点的四等分点，，，，接着通过，得到，接着证明，，推出，不妨设，那么，，推出，，从而推出四边形是“卓越四边形”； （3）当时，分成或，过作交于点，过点作于点，过点作于点，设交于点，分别讨论即可得出答案；当时，作于点，或，分别讨论即可得出答案． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵当四边形为“卓越四边形”时， ∴，或者 当时，即， ∴， ∴； 同理，当时，； 综上，； （2）略 （3）∵四边形是正方形，边长为6， ∴， ∴， 当时， ∵以，，，四点为顶点的凸四边形是“卓越四边形”， ∴或， 当时，，此时； 当时，过作交于点，过点作于点，过点作于点，设交于点，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 不妨设，那么， ∵将边长为6的正方形绕点逆时针旋转至正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，， ∴， ∴ ， ∴， ∴； 当时，作于点，如图所示： ∵以，，，四点为顶点的凸四边形是“卓越四边形”， ∴或， 当时，，此时； 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长度为或或4或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，旋转的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $