精品解析：福建福州第四中学2025-2026学年高二第二学期第二学段试卷数学试题

2025-2026学年福州四中第二学期第二学段试卷 高二数学 一、单选题：（每题5分，共40分） 1. 已知直线：，：，若，则的值是（ ） A. 或 B. C. D. 2. 已知点，，．则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（　　） A. B. C. D. 4. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，且，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 5. 已知的展开式中各项系数和为2，则其展开式中含项的系数是 A. -40 B. -20 C. 20 D. 40 6. 工厂制造某种机器零件的尺寸，任取10000个零件时，尺寸在内的个数约为（ ）（附：若，则，，） A. 2718 B. 1359 C. 430 D. 215 7. 一个箱子中有10个质地、大小相同的球，共5种颜色，每种颜色有2个球，现从中任取2球，若在其中一个球为红色的条件下，另一个球也为红色的概率为（    ） A. B. C. D. 8. 已知，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、多选题：（每题6分，共18分） 9. 为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动.决赛准备了3道选择题和2道填空题，每位参赛者从5道题中不放回地随机抽取两次，每次抽取1题作答.设事件为“第1次抽到选择题”，事件为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，的图象关于直线对称 B. 当时，在上是增函数 C. 若在上的最小值为，则的取值范围为 D. 若在上恰有2个零点，则的取值范围为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是定值 B. 存在点P，使得与所成的角为 C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D. 若，则P的轨迹的长度为 三、填空题：（每题5分，共15分） 12. 过点作圆的切线，则切线方程为______. 13. 6位学生排成一排拍照，要求甲乙不相邻，且丙丁相邻，则不同的排法共有______种.（结果用数值表示） 14. 甲、乙、丙3台机床加工统一型号的零件，它们加工的零件依次占总数的，，，已知甲机床加工的次品率为0.05，乙机床加工的次品率为0.15，丙机床加工的次品率为0.15，加工出来的零件混放在一起，现从中任取一个零件为次品的概率为_____，该次品来自乙机床的概率为_____． 四、解答题：（共77分） 15. 在锐角中，分别为内角的对边，满足 （1）求角的大小； （2）求的取值范围． 16. 已知数列的前项和为，，且． （1）求的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，求． 17. 某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的. （1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率； （2）设甲公司答对题数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差； （3）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 18. 已知函数，其中． （1）当时，求函数的单调区间； （2）①若恒成立，求的最小值； ②证明：，其中. 19. 已知平面直角坐标系中动点P满足：P到定点的距离与P到直线的距离之比等于，设动点P的轨迹为曲线C．过点F作直线l与曲线C交于A、B两点，点M的坐标为． （1）求动点P的轨迹方程（即曲线C的方程）； （2）当直线l与x轴垂直时，求直线AM的方程； （3）设O为坐标原点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年福州四中第二学期第二学段试卷 高二数学 一、单选题：（每题5分，共40分） 1. 已知直线：，：，若，则的值是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两条直线的位置关系求解. 【详解】因为直线：，：，且， 所以，解得， 故选：D 2. 已知点，，．则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的坐标公式，结合投影向量的定义进行求解即可. 【详解】因为，，． 所以，， ， 所以向量与的夹角为钝角， 因此量在上的投影向量与方向相反， 而，， 所以在上的投影向量为， 故选：C 3. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中点到直线的距离的向量公式求解. 【详解】因为 依题意得，， 则点到直线的距离为. 故选：A. 4. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，且，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由二项分布的方差公式可求出或，又因为可得，所以可求出，再由二项分布的期望即可求出答案. 【详解】解：由二项分布的方差公式有， 解得: 或. 而即， 解得: 所以，从而. 故选:A 5. 已知的展开式中各项系数和为2，则其展开式中含项的系数是 A. -40 B. -20 C. 20 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】由题意先求得a＝﹣1，再把（2x+a）5按照二项式定理展开，即可得含x3项的系数． 【详解】令x＝1，可得（x+1）（2x+a）5的展开式中各项系数和为2•（2+a）5＝2，∴a＝﹣1． 二项式（x+1）（2x+a）5 ＝（x+1）（2x﹣1）5＝（x+1）（32x5﹣80x4+80x3﹣40x2+10x﹣1）， 故展开式中含x3项的系数是﹣40+80＝40 故选D． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 6. 工厂制造某种机器零件的尺寸，任取10000个零件时，尺寸在内的个数约为（ ）（附：若，则，，） A. 2718 B. 1359 C. 430 D. 215 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，则 ， 所以任取10000个零件时，尺寸在内的个数约为． 7. 一个箱子中有10个质地、大小相同的球，共5种颜色，每种颜色有2个球，现从中任取2球，若在其中一个球为红色的条件下，另一个球也为红色的概率为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用条件概率公式即可解出答案. 【详解】设事件为“从箱子中任取两球均为红色”， 事件为“从箱子中任取两球至少有一球为红色”． 则由题意知， ,， 所求概率为. 故选：B． 8. 已知，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】先根据角的范围及平方关系求出和，然后可算出，进而可求出 【详解】因为，，， 所以，， 所以， 所以 因为，所以 故选：B 【点睛】在由三角函数的值求角时，应根据角的范围选择合适的三角函数，以免产生多的解. 二、多选题：（每题6分，共18分） 9. 为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动.决赛准备了3道选择题和2道填空题，每位参赛者从5道题中不放回地随机抽取两次，每次抽取1题作答.设事件为“第1次抽到选择题”，事件为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，根据古典概型求概率公式得到A正确；B选项，根据得到答案；C选项，在AB选项基础上，利用条件概率公式求出答案；D选项，求出，，从而利用条件概率公式得到答案. 【详解】A选项，决赛准备了3道选择题和2道填空题， 每位参赛者从5道题中不放回地随机抽取两次，每次抽取1题作答，故，A正确； B选项，从5道题中不放回地随机抽取两次，故，B正确； C选项，，C错误； D选项，因为，所以， 又，故，D错误. 故选：AB. 10. 设函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，的图象关于直线对称 B. 当时，在上是增函数 C. 若在上的最小值为，则的取值范围为 D. 若在上恰有2个零点，则的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正弦型函数的对称性、单调性、最值的性质、零点的性质逐一判断即可. 【详解】当时，，所以是图象的一条对称轴，即A正确； 当时，若，则，则，所以不单调，即B错误； 若，则，由题意，可知，解得，即C正确； 若，则，由题意，可知，解得，即D错误. 故选：AC 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是定值 B. 存在点P，使得与所成的角为 C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D. 若，则P的轨迹的长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等体积转换即可求得体积为定值判断A；建立空间直角坐标系，设，得，，利用向量夹角公式求解判断B；求平面的法向量，利用向量夹角公式求解判断C；由，可得，即可求解判断D. 【详解】对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 是定值，A正确； 以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，则 对于B，，使得与所成的角满足： ， 因为，故，故， 而，B错误； 对于C，平面的法向量， 所以直线与平面所成角的正弦值为：， 因为，故 故， 而，， 故即的取值范围为，C正确； 对于D，，由， 可得，化简可得， 在平面内，令，得，令，得，则P的轨迹的长度为 ，D正确； 故选：ACD. 三、填空题：（每题5分，共15分） 12. 过点作圆的切线，则切线方程为______. 【答案】或 【解析】 【分析】分斜率存在与不存在进行讨论，当斜率不存在时，符合要求，当直线斜率存在时，设出斜率，借助点到直线的距离公式与切线性质计算即可得. 【详解】由题意可知，，故P在圆外， 则过点P做圆O的切线有两条， 由圆心到直线的距离为， 且点在直线上，故符合要求； 当切线的斜率存在时，设为， 设切线为，即， 则圆心到直线的距离， 解得，故切线方程为. 故答案为：或. 13. 6位学生排成一排拍照，要求甲乙不相邻，且丙丁相邻，则不同的排法共有______种.（结果用数值表示） 【答案】144 【解析】 【分析】根据捆绑法和插空法，即可求解. 【详解】丙丁相邻，捆绑在一起，与另外2人全排列，共有种排法， 再在3个元素形成的4个空中，插入甲乙，共有种排法， 由分步乘法计数原理，共有排法. 故答案为：144 14. 甲、乙、丙3台机床加工统一型号的零件，它们加工的零件依次占总数的，，，已知甲机床加工的次品率为0.05，乙机床加工的次品率为0.15，丙机床加工的次品率为0.15，加工出来的零件混放在一起，现从中任取一个零件为次品的概率为_____，该次品来自乙机床的概率为_____． 【答案】 ①. 0.1## ②. 0.3## 【解析】 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式求解即可. 【详解】记为事件“零件为第台车床加工”， 则，，， B为事件“任取一个零件为次品”，由全概率公式得： ， 由贝叶斯公式得：. 故答案为：0.1；0.3. 四、解答题：（共77分） 15. 在锐角中，分别为内角的对边，满足 （1）求角的大小； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的定义及正弦定理边化角变形，再利用和角的正弦公式化简求解. （2）由（1）的结论求出的范围，再利用差角的正弦公式及辅助角公式化简，并利用正弦函数性质求出范围. 【小问1详解】 在中，由，得，即， 由正弦定理得， 即，而，则，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，由锐角，得，解得， 因此， 由，得，即， 所以的范围是． 16. 已知数列的前项和为，，且． （1）求的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用来变形，可得数列是常数列，进而即可求得其通项； （2）结合（1），再利用错位相减即可求出． 【小问1详解】 因为，所以， 两式相减可得， 所以，所以数列是常数列， 又，所以， 所以，所以． 【小问2详解】 结合（1）得， 则， 两边乘以4可得：， 两式相减得：， ， 即． 17. 某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的. （1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率； （2）设甲公司答对题数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差； （3）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 【答案】（1）； （2）的分布列为： 1 2 3 数学期望为，方差为； （3）甲公司竞标成功的可能性更大. 【解析】 【分析】（1）将甲乙共答对2道题的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用相互独立事件的概率，结合古典概率求解作答. （2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列，求出期望和方差作答. （3）求出乙公司答对题数的期望和方差，与甲公司的比对作答. 【小问1详解】 记“甲、乙两家公司共答对2道题” 的事件为，它是甲乙各答对1道题的事件、甲答对2题乙没答对题的事件和，它们互斥， 则有， 所以甲、乙两家公司共答对2道题目的概率是. 【小问2详解】 设甲公司答对题数为，则的取值分别为， ， 则的分布列为： 1 2 3 期望，方差. 【小问3详解】 设乙公司答对题数为，则的取值分别为， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 期望， 方差， 显然， 所以甲公司竞标成功的可能性更大. 18. 已知函数，其中． （1）当时，求函数的单调区间； （2）①若恒成立，求的最小值； ②证明：，其中. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2）①1；②证明：由①知：，时取“=”， 令，得， ∴ ， 当时，. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，在定义域内，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）①分离参数得，令，利用函数的单调性求出的最大值即可； ②由①知：，时取“=”， 令，即，最后累加即可. 【小问1详解】 由已知条件得，其中的定义域为， 则， 当时，，当时，， 综上所述可知：的单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问2详解】 ①由恒成立，即恒成立， 令，则， 当时，，当时，， ∴在上单调递增，上单调递减， ∴， ∴的最小值为1. ②略 19. 已知平面直角坐标系中动点P满足：P到定点的距离与P到直线的距离之比等于，设动点P的轨迹为曲线C．过点F作直线l与曲线C交于A、B两点，点M的坐标为． （1）求动点P的轨迹方程（即曲线C的方程）； （2）当直线l与x轴垂直时，求直线AM的方程； （3）设O为坐标原点，证明：． 【答案】（1）； （2）或; （3） 证明，即证明． 当直线l的斜率不存在时，A，B关于x轴对称，由（2）知， ； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，， 联立，整理得， ，，恒成立， 则①， 又A，B两点在直线上，则，， 代入①式，整理得 ，故． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件结合两点间距离公式列式化简即可； （2）利用已知条件，求出点坐标，进而利用两点式求出直线方程； （3）分斜率存在和不存在两种情况讨论，证明结论． 【小问1详解】 设动点，由已知可得： ，化简得：， 动点P的轨迹方程为：． 【小问2详解】 已知，则点A的横坐标为1， 代入椭圆方程得，解得， 点或， 又，则或， 直线的方程为或． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $