2.10函数模型的应用导学案——2027届高三数学一轮复习

第十节　函数模型的应用 必备知识·助学教材　清单式排查 彰显一个“准” 知识清单 1.常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数 模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数 模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数 模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数 模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0，且a≠1) 对数函数 模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0，且a≠1) 幂函数 模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) “对勾”函数 模型 f(x)＝x＋(a>0) 2.指数、对数、幂函数性质比较 性质 函数 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调________ 单调________ 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的 变化 随x的增大逐渐表现为与________平行 随x的增大逐渐表现为与________平行 随n值变化而各有不同 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)幂函数增长比直线增长更快．(　　) (2)不存在x0，使<logax0.(　　) (3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>1)的增长速度．(　　) (4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.(　　) 2．(人教A版必修一P139T1改编)下列选项分别是四种生意预期的获益y关于时间x的函数模型，从足够长远的角度看，使公司获益最大的函数模型是________． ①y＝10×1.05x；②y＝20＋x2；③y＝30＋lg (x＋1)；④y＝50. 3．(人教A版必修一P139T3改编)如图，对数函数y＝lg x的图象与一次函数y＝f(x)的图象有A，B两个公共点，则一次函数y＝f(x)的解析式为________． 4．(人教A版必修一P150T2改编)在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，野兔总只数的倍增期为21个月，那么1万只野兔增长到1亿只野兔大约需要________年．(参考数据：lg 2≈0.3) 考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢” 命题点一　用函数图象刻画变化过程 例1 (多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，当血药浓度介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间时药物发挥作用．某种药物服用1单位后，体内血药浓度变化情况与相关阈值如图所示(服用药物时间对应0时)，则下列说法中正确的有(　　) A．服药1单位后约10分钟到5.5小时之间药物发挥疗效 B．若每次服药1单位，首次服药后，2.5小时之内不能再次服药 C．若每次服药1单位，首次服药后，3小时之后可以再次服药 D．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记： (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案． 　跟踪训练　(衔接·人教A版必修一P140T6)在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是(　　) 命题点二　已知函数模型的实际问题 例2 (多选)(链接· 2023年新高考Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A．p1≥p2 B．p2>10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记： (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验． 　跟踪训练　在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L＝(D为常数)，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，n表示训练迭代轮数，当n＝10时，学习率为0.25；当n＝30时，学习率为0.062 5，则学习率衰减到0.005以下所需的训练迭代轮数至少为(已知lg 2≈0.3)(　　) A．64 B．65 C．66 D．67 命题点三　构建函数模型的实际问题 例3 为提高人们的身体素质，某工厂更新技术开发研制了一款新型智能按摩椅，通过调研知，往年每年每生产x千台智能按摩椅，获利C(x)千元，且C(x)＝更新技术后需要另外投入费用(x＋2)千元，且每千台按摩椅比之前多盈利2千元，生产的按摩椅供不应求，均能售完． (1)求更新技术后的利润L(x)(千元)关于年产量x(千台)的函数解析式； (2)更新技术后，当年产量为多少千台时，工厂所获利润最大？并求出最大利润． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：解题步骤 (1)建模：抽象出实际问题的数学模型； (2)推理与运算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解； (3)评价与解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价与解释，并返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解． 　跟踪训练　2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见，令游客驻足欣赏；据调查，国内某公司生产的一款巴黎奥运会吉祥物的供货价格＝固定价格＋浮动价格，其中固定价格为60元，浮动价格＝(浮动价格单位：元，销售量单位：万件)，假设每件吉祥物的售价为整数，当每件吉祥物售价不超过100元时，销售量为10万件；当每件吉祥物售价超过100元时，售价每增加1元，销售量就减小0.2万件，总利润＝(售价－供货价格)×销售量． (1)当每件吉祥物的售价为85元时，获得的总利润是多少万元？ (2)每件吉祥物的售价为多少元时，单件吉祥物的利润最大，最大为多少元？ 第十节　函数模型的应用 必备知识·助学教材 知识清单 2．递增　递增　y轴　x轴 自主诊断 1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．解析：结合三类函数的增长差异可知指数型函数增长最快，所以①的预期收益最大． 答案：① 3．解析：A(1，0)，B(2，lg 2)．设f(x)＝ax＋b，则⇒所以f(x)＝(lg 2)x－lg 2＝(lg 2)(x－1)． 答案：f(x)＝(lg 2)(x－1) 4．解析：设经过x年后的野兔有y只，由题意可知，y＝104·，即y＝104·，令y＝108，则104·＝108，所以＝104，两边取常用对数可得，解得x＝≈23.3，故1万只野兔增长到1亿只野兔大约需要24年． 答案：24 考教衔接·活用教材 例1　解析：对于A，从题图的持续期可以得出，服用药物后10分钟到5.5小时之间，血药浓度介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间，药物发挥作用，故A正确；对于B，服药1单位后，若2.5小时后再次服药，则在首次服药3.5小时后，即第2次服药1小时后，体内血药浓度将会超过最低中毒浓度，会引起中毒，因此若每次服药1单位，首次服药后，2.5小时之内不能再次服药，故B正确；对于C，服药1单位后，若3小时后再次服药，则在首次服药4小时后，即第2次服药1小时后，血药浓度将会超过最低中毒浓度，引起中毒，故C错误；对于D，第一次服药10分钟到5.5小时之内，药物会持续发挥治疗作用，第1次服药5.5小时后第2次服药，由于第2次服药对应的血药浓度增长速度大于第1次服药对应的血药浓度降低速度，从而体内的血药浓度会超过最低有效浓度，同时观察两次累计的最大值，不会超过最低中毒浓度，故D正确．故选ABD. 答案：ABD 跟踪训练　解析：在2 h内，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除A；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，排除C；药物含量Q不能为负值，排除D；能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是B.故选B. 答案：B 例2　解析：由题意可知＝40.对于＝20×lg －20×lg ＝20×lg ，因为，所以＝20×lg ≥0，即lg ≥0，所以≥1且p1>0，p2>0，可得p1≥p2，故A正确；对于＝20×lg －20×lg ＝20×lg ，因为≥10，所以20×lg ≥10，即lg ，所以且p2>0，p3>0，可得p2≥p3，当且仅当＝50时等号成立，故B错误；对于C，因为＝20×lg ＝40，即＝2，所以＝100，即p3＝100p0, 故C正确；对于D，由A可知＝20×lg ，且≤90－50＝40，则≤40，即lg ≤2，可得≤100，且p1>0，p2>0，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD. 答案：ACD 跟踪训练　解析：由题意有⇒所以L＝，即L＝<0.005⇒<0.01⇒lg <lg 0.01＝－2⇒lg <－2⇒n>≈66.7，所以学习率衰减到0.005以下所需的训练迭代轮数至少为67次．故选D. 答案：D 例3　解析：(1)由已知，L(x)＝C(x)－(x＋2)＋2x， 又C(x)＝ 所以L(x)＝ (2)当0<x≤2时，L(x)＝20x2－20x＋330＝202＋325， 则当x＝2时，L(x)max＝370； 当2<x≤5时，L(x)＝490－－20x＝490－≤470－2 ＝390， 当且仅当＝20(x－1)，即x＝3时，L(x)max＝390. 因为370<390，所以L(x)的最大值为390， 故当产量为3千台时，该工厂利润最大，最大利润是390千元． 跟踪训练　解析：(1)由题意，当单价售价为85元时，销售量为10万件，浮动价格为0.5元，供货价格为60＋0.5＝60.5(元)，故总利润为10×(85－60.5)＝245(万元)． (2)当x≤100时，销售量为10万件，供货价格为60.5元， 则60.5<x≤100，且x∈N， 因此，当x≤100时，单价利润x－60.5≤39.5， 即单价利润最大为39.5元； 当x>100时，销售量为10－0.2(x－100)＝30－0.2x(万件)， 同时，30－0.2x>0，解得100<x<150，且x∈N， 此时单价利润为x－60－ ＝－＋90≤－2＋90＝80， 当且仅当150－x＝，即x＝145时，取等号． 因为80>39.5， 故当每件吉祥物的售价为145元时，单件吉祥物的利润最大，最大为80元． 学科网（北京）股份有限公司 $