11.2一元一次不等式 导学案 2025-2026学年人教版数学七年级下册

一元一次不等式 知识点一 一元一次不等式（重点） 类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是l的不等式，叫做一元一次不等式．例如是一个一元一次不等式． 拓展：(1)一元一次不等式必须同时具备： ①不等式的左右两边都是整式；②不等式中含有一个未知数；③未知数的次数是1． (2)一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： ①相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是l，“左边”和“右边”都是整式， ②不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“=”连接，等号没有方向． 注意：像，，，在分母中出现，这样的不等式不是一元一次不等式． 例1 下列不等式是一元一次不等式的有哪些？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5) 知识点二 一元一次不等式的解法（重点） 解一元一次不等式的步骤： (1)去分母：不等式中有分母的，要通过不等式两边同乘分母的最小公倍数去分母． (2)去括号：不等式中有括号的要按照有理数中去括号的法则去括号，在去括号过程中要注意符号的变化． (3)移项：将不等式中右边含未知数的项变号后移到左边来，将左边的常数变号后移到右边去． (4)合并同类项：将不等式整理成或的形式． (5)系数化为1：两边都除以，将不等式化为或的形式，要根据的符号决定不等号的方向是否改变． 拓展：(1)解一元一次方程是根据等式的性质，将方程化为的形式．而解不等式就是利用不等式的基本性质把不等式变形为“”“”或“”“”的形式． (2)不等式不仅有三条基本性质，还具有互逆性和传递性，在解不等式中经常会用到，即若，则（互逆性）；若，，则（传递性）． 注意：步骤1和步骤5中，如果乘数或除数是负数时，要改变不等式中不等号的方向；如果乘数或除数是一个含有字母的式子时，则要考虑该式子的正负，如果是正，不等号的方向不变；如果是负，不等号的方向要改变；如果不能确定其正负，则要分情况讨论． 例2 解不等式： (1) (2) (3) (4)； (5) 例3 求不等式的非负整数解，并把它的解在数轴上表示出来． 知识点三 利用一元一次不等式解决实际问题（重、难点） 利用一元一次不等式解决实际问题，首先要分析找出题目中的不等关系；然后根据不等关系列出不等式并解不等式；再根据解集和实际问题确定答案并作答． 拓展：列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要以下几个步骤： (1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等； (2)设：设出适当的未知数； (3)列：根据题中的不等关系，列出不等式； (4)解：解所列的不等式； (5)验：检验答案是否符合题意 (6)答：写出答案和答话． 特别提醒：(1)在以上步骤中，审题是基础，根据不等关系列出不等式是关键，而根据题意找出不等关系又是解题的难点，注意积累利用一元一次不等式解简单的实际问题的经验． (2)一定要根据不等式的解集写出符合题意的解（注意取值范围）． 例4 某学校学生外出春游，每小时走4千米，出发后2小时，校方有紧急通知，必须在40分钟内送到，通讯员骑自行车至少要以怎样的速度行进，方能在40分钟内把通知送到？ 例5 某水果公司欲请汽车运输公司或火车货运站将60吨水果从地运到地，已知汽车和火车从地到地的运输路程均为千米，这两家运输单位在运输过程中，除都要收取运输途中每吨每小时5元的冷藏费外，要收取的其它费用及有关运输资料由下表给出： 运输工具 行驶速度 （千米／时） 运费单价 （元／吨千米） 装卸总费用 （元） 汽车 50 2 3000 火车 80 1.7 4620 (1)请分别写出这两家运输单位运送这批水果所要收取的总费用（元）和（元）（用含的式子表示）； (2)为减少费用，你认为该水果公司选择哪家运输单位运送这批水果更为合算？（说明：“1元／吨千米”表示“每吨每千米1元”） 误区一 解不等式时，混淆了分数的基本性质和不等式的性质导致错误． 例6 解不等式： 误区二 由解集取特殊值时需要认真思考和判断，很多同学因对解集理解不透而出现错误． 例7 某商店在一次促销活动中规定：消费者消费满200元或超过200元就可享受打折优惠．一名同学为班级买奖品，准备买6本影集和若干支钢笔，已知影集每本15元，钢笔每支8元，问他至少买多少支钢笔才能打折？ 综合题型展示 题型一 一元一次不等式的解法 例8 （1）解不等式： （2）解不等式： （3）解不等式： 题型二 列不等式求解 例9 当取何值时，的值不大于的值？ 题型三 不等式与方程（组）的“牵手” 例10 已知关于的方程的解是负数，求的取值范围． 例11 已知不等式的最小整数解是关于的方程的解，求的值． 例12 已知方程组满足，则( ) A． B． C． D． 题型四 逆用不等式的解集 例13 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 题型五 利用一元一次不等式解决实际问题 例14 某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞．现有甲、乙两种机器可供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元． 甲 乙 价格（万元／台） 7 5 每台日产量（个） 100 60 (1)按该公司要求可有几种购买方案？ (2)若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？ 轻松练习： 1．几位同学拍了一张合影作留念，已知冲一张底片需要0.80元，洗一张相片需要 0.35元，在每位同学得到一张相片，共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不 足0.5元，那么参加合影的同学人数( ) A．至多6人 B．至少6人 C．至多5人 D．至少5人 2．关于的不等式的解集为，则的值为( ) A．4 B．2 C． D． 3．若方程的解为非负数，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 4．不等式的解集为( ) A． B． C． D． 5．不等式的负整数的解是( ) A．-3，-2，-1 B．-1，-2 C．-4，-3，-2，-1 D．-3，-2，-1，0 6．如果方程的解不是负数，则与的关系是( ) A． B． C． D． 7．求不等式的正整数解． 8．已知关于的方程组的解满足不等式，求实数的取值范围． 9．海门市三星镇的叠石桥国际家纺城是全国最大的家纺专业市场，年销售额突破百亿元，该家纺城的羽绒被和羊毛被这两种产品的销售价格如下表： 品 名 规格（米） 销售价（元／条） 羽绒被 2×2.3 415 羊毛被 2×2.3 150 现购买这两种产品共80条，付款总额不超过2万元，求最多可购买羽绒被多少条？ - 6 - 学科网（北京）股份有限公司 $