四川嘉祥教育集团2025-2026学年高二下学期期中质量监测数学试题

**基本信息** 以导数、数列为核心，融合科赫雪花、帕德近似等数学文化情境，通过基础辨析、综合应用与创新探究的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|导数运算、等差等比数列性质、函数图像判断|第5题科赫雪花结合数列递推（数学文化），第6题充分必要条件分析（逻辑推理）| |填空题|3题/15分|函数单调性、切线方程、正整数数列递推|第14题通过递推关系考查数列构造（数学抽象）| |解答题|5题/77分|数列证明与求和、函数极值与最值、导数应用|17题等比数列证明与错位相减求和（运算能力），19题帕德近似证明与数列放缩（创新应用）|

嘉祥教育集团2025-2026学年高二下学期质量监测试题 数 学 注意事项: 1.在作答前,考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方.考试结束,监考人员只将答题卡收回,试卷请考生自己妥善保存. 2.选择题部分必须用2B铅笔填涂;非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写,字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题均无效. 4.保持答题卡清洁,不得折叠、污染、破损等. 第 卷(选择题 共58分) 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列求导运算错误的是( ) A. B. C. D. 2.在等差数列{ an }中,a1014 = 1013,a1013 = 1014,则a1 =( ) A.2026 B.2025 C.1 D.-1 3.已知函数的导函数的图象如右图所示, 则函数的图象可能是( ) A. B. C. D. 4.已知函数满足,则在处的切线斜率为( ) A.1 + B.2 C. D.2 5.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案,图形的作法是:从一个正三角形开始,把每条边分成三等份,然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形,再去掉底边.反复进行这一过程,就得到一条“雪花”状的曲线,设原正三角形(图①)的边长为2,把图①,图②,图③,图④中图形的周长依次记为C1,C2,C3,C4,则C4 =( ) 图① 图② 图③ 图④ A. B. C. D. 6.在等比数列{ an }中,“数列{ an }递减”是“a1>a2>a3”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.若x∈[ 0,+∞),x2 + ax + 1≤ex 恒成立,则a的最大整数值为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 8.若函数的零点为x0,则( ) A.2 B. C.1 D. 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.有2个正确答案的,每选对1个,得3分;有3个正确答案的,每选对1个,得2分;凡选错1个答案的,得0分) 9.已知数列{ an }是等差数列,Sn为其前n项和,{ bn }是等比数列,Tn为其前n项和,则必有( ) A.a2 + a4 + a9 = 3a5 B.b3b5b7b9 = b64 C.S6,S12-S6,S18-S12成等差数列 D.T6,T12-T6,T18-T12成等比数列 10.下列不等关系中,正确的是( ) A.20252026>20262025 B. C. D. 11.已知函数f(x)= cos x + ln x,将f(x)的所有极值点按照由小到大的顺序排列,得到数列{ xk },对于任意的正整数k,则( ) A.x2-x1> B.x2k是极小值点 C.x2k+2-x2k<2 D.f(x2k)<f(x2k+2) 第 卷(非选择题 共92分) 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.函数的单调递减区间是 . 13.若直线y = kx + b与曲线y = ln x + 3相切于点P,与曲线y = ln(x + 2)相切于点Q,则k = . 14.已知{ an }为各项均为正整数的递增数列,且满足,则a5 = ,a2026 = . 四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(本题满分13分) 已知公差不为0的等差数列{ an }的前n项和为Sn,且S9 = 45,a3,a4,a7成等比数列. (1)求{ an }的通项公式; (2)求使Sn>an成立的n的最小值. 16.(本题满分15分) 已知函数f(x)= x3 + ax2 + bx + c在x = 1处取得极值,且f(0)= 0. (1)求f(x)解析式(用a表示); (2)若 a = 2,求 f(x) 在闭区间 [-2,2 ]上的最值. 17.(本题满分15分) 已知数列{ an }满足a1 = 1,. (1)证明:数列{ an + 1 }为等比数列; (2)若bn =(2n + 1)an,求数列{ bn }的前n项和Sn. 18.(本题满分17分) 已知函数,其中a∈R. (1)令,讨论y = g(x)的单调性; (2)若函数f(x)在[ 0,+∞)上单调递增,求a的取值范围; (3)若函数f(x)存在两个极值点x1,x2(x1<x2),且x1 + x2 = 2 ln3-6,求的值. 19.(本题满分17分) (1)证明:当x∈(0,)时,sin x<x<tan x; (2)在数值计算中,帕德近似是一种常用的逼近方法.给定两个正整数m,n,若函数f(x)的m + n阶导数存在,函数f(x)在x = 0处的[ m,n ]阶帕德近似定义为:,且满足:f(0)= R(0),,…,,其中为函数f(x)的k阶导数.对于给定的正整数m,n,函数f(x)的[ m,n ]阶帕德近似是唯一的,函数f(x)的帕德近似记为. 例如,(a为常数). (i)求a的值并证明当x∈(0,1)时,sin x<; (ii)若数列{ an }满足a1 = 1,an+1 = sin an,记Sn = a1 + a2 + … + an,求证:27<S2026<50. 4 学科网(北京)股份有限公司 $ 新高中2024级数学试题命制多向细目表 题目序号 知识与技能 学业水平要求 学科核心素养 题型 分值 预估 难度 章（单元） 节（选修） 课时数 水平1 水平2 水平3 数学 抽象 逻辑 推理 数学 建模 直观 想象 数学 运算 数据 分析 1 第五章 5.2导数的运算 1 ✔ ✔ 单选题 5 易 2 第四章 4.2等差数列 1 ✔ ✔ ✔ 5 易 3 第五章 5.3导数在研究函数中的应用 1 ✔ ✔ ✔ ✔ 5 易 4 第五章 5.1导数的概念及其意义 5.3导数在研究函数中的应用 2 ✔ ✔ ✔ 5 易 5 第四章 4.3等比数列 1 ✔ ✔ ✔ ✔ 5 中 6 第四章 4.1数列的概念 4.3等比数列 2 ✔ ✔ ✔ ✔ 5 中 7 第五章 5.3导数在研究函数中的应用 2 ✔ ✔ ✔ 5 中 8 第五章 5.3导数在研究函数中的应用 2 ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ 5 较难 9 第四章 4.2等差数列 4.3等比数列 2 ✔ ✔ ✔ ✔ 多选题 6 中 10 第五章 5.3导数在研究函数中的应用 2 ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ 6 中 11 第五章 5.3导数在研究函数中的应用 3 ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ 6 较难 12 第五章 5.3导数在研究函数中的应用 1 ✔ ✔ 填空题 5 易 13 第五章 5.3导数在研究函数中的应用 2 ✔ ✔ ✔ 5 中 14 第四章 4.1数列的概念 4.2等差数列 4.3等比数列 3 ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ 5 较难 15 第四章 4.2等差数列 2 ✔ ✔ ✔ 解答题 13 中 16 第五章 5.3导数在研究函数中的应用 2 ✔ ✔ ✔ ✔ 15 中 17 第四章 4.2等差数列 4.3等比数列 4 ✔ ✔ ✔ ✔ 15 中 18 第五章 5.3导数在研究函数中的应用 4 ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ 17 较难 19 第四章 第五章 4.1数列的概念 5.3导数在研究函数中的应用 4 ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ 17 难 合计 150分 0.60 说明：难度系数在0.8以上为容易题，在0.5-0.8之间为中档题，在0.3-0.5之间为较难题，在0.3以下的为难题。 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉祥教育集团2025-2026学年下学期质量监测试题 高二年级数学学科参考答案 一、选择题（总分40分，每小题5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 D A B D A C D C 题源 1．（教材75页练习1改编） 2．（教材18页练习3改编） 3．（教材103页练习3改编） 4．（教材81页练习6改编） 5．（教材55页练习3改编） 6．（教材41页练习5改编） 二、多项选择题（总分18分，每小题6分） 9 10 11 ABC ACD BD 题源 9．（教材31页练习5改编） 三、填空题（总分15分，每小题5分） 12．（－∞，3）和（3，4） 13． 14．8，3891（第一空2分，第二空3分） 题源 12．（教材P104页第17题改编） 四、解答题（77分） 15.（1）设等差数列的公差为d（d≠0），首项为a1． 由题意，可得 化简，得 ············3分 解得 a1 =－3，d = 2，所以an = a1 +（n－1）d = 2n－5． ············6分 （2）由（1）可知． ············9分 由Sn＞an，得 n2－4n＞2n－5，即 n2－6n + 5＞0，解得n＜1或n＞5． ············12分 所以正整数n的最小值是6，即使Sn＞an成立的n的最小值为6． ············13分 16．题源（教材104页练习9改编）（1）由已知可得 f′（x）= 3x2 + 2ax + b， 因此 f′（1）= 3 + 2a + b = 0  得  b =－2a－3． 又 f（0）= c = 0，所以f（x）= x3 + ax2－（2a + 3）x． ············5分 （2）代入 a = 2，得f（x）= x3 + 2x2－7x． 求导：f′（x）= 3x2 + 4x－7 =（3x + 7）（x－1）． 令 f′（x）= 0 得 x = 1 或 x =≈－2.333． ············8分 在区间 [－2，2 ]内，只有极值点 x = 1（x =不在区间内）． 此时f（x）在（－2，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增。 ············11分 计算区间端点及极值点处的函数值： ，f（2）= 8 + 8－14 =2，f（1）= 1 + 2－7 =－4， 比较得，最大值为 f（－2）=14，最小值为 f（1）=－4． 因此，f（x） 在 [－2，2 ] 上的最大值为14，最小值为－4． ············15分 17．（1）由，右边通分得 ． 因为a1 = 1，易知an≠0，两边约去an，得 an+1 = 3an + 2．············3分 于是an+1 + 1 = 3（an + 1）． 又a1 + 1 = 2，所以{ an + 1 }是首项2，公比3的等比数列． ············6分 （2）由（1）得 an + 1 = 2·3n－1 an = 2·3n－1－1． ············8分 由bn = (2n+1)an，可得bn = 2(2n+1)·3n－1－(2n+1)， 所以 Sn = b1 + b2 + … + bn = 2[3×30 + 5×31 + … + (2n+1)×3n－1 ]－[3 + 5 + … + (2n+1)]． 设Tn = 3×30 + 5×31 + … + (2n+1)×3n－1，两边同时乘3得 3Tn = 3×31 + 5×32 + … +（2n－1）×3n－1 + (2n+1)×3n， 两式相减，可得 －2Tn = 3 + 2×（ 31 + 32 + … + 3n－1）－(2n + 1)×3n = 3 + 2×， 所以 Tn = n×3n． ············12分 又因为3 + 5 + … +（2n +1）= n（n + 2）， ············14分 所以Sn = 2n×3n－n（n + 2）． ············15分 18．（1）函数g（x）= ex－3ax，定义域为R，求导得g′（x）= ex－3a． 当a≤0时，g′（x）＞0恒成立，则函数g（x）在R上单调递增． ···········2分 当a＞0时，令g′（x）= 0 得 x = ln3a．当x＜ln3a时，g′（x）＜0；当x＞ln3a时，g′（x）＞0． 故函数g（x）在（－∞，ln3a）上单调递减，在（ln3a，+∞）上单调递增． ············4分 （2）函数，求导得f′（x）= ex－ax－3a． 由函数f（x）在[ 0，+∞）上单调递增，得f（x）≥0在[ 0，+∞）上恒成立， 即ex≥a（x + 3） a≤在[ 0，+∞）上恒成立． ············6分 令，x∈[ 0，+∞），则对x≥0都成立， 故h（x）在[ 0，+∞）上单调递增，最小值为，因此a≤． 故a的取值范围是（－∞，]． ············9分 （3）f′（x）= ex－a（x + 3）= 0有两个不同实根x1＜x2． 令t = x + 3，则t1 = x1 + 3，t2 = x2 + 3满足t e－t = c，其中＞0． 由 x1 + x2 = 2 ln3－6得 t1 + t2 =（x1 + 3）+（x2 + 3）= 2 ln3． 设＞1，则t2 = kt1． 由 得 ，即 ． ············12分 于是 t1 + t2 = t1（1 + k）=． ············13分 令，． 令，， 所以F（k）在（1，+∞）上单调递增． ············15分 注意到，所以k = 3是方程的唯一解． 因此，故所求值为3​． ············17分 19.（1）令，则， 故时，为增函数， ，故当时，， ············2分 令，则， 故时，为增函数， ，故当时，， 综上可知，当时，． ············4分 （2）对两边同时求导再代x = 0进去得，即a = 6. ············6分 证明：令， 则，设， 则 ，故在上为减函数， 所以当时，，故在上为减函数， 时，， 所以， 故当时，． ············9分 （3）先证明：若，则， 事实上，令，则，故， 又时，，且， 所以，即， ············11分 由此可知，这样一直下去，有. 又当时，， 则 ＞ 27.左边得证.············13分 由 知， 所以由（2）可知，当时，， 故， ∴ ，累加可知≥1+，且时也满足， 故. ············15分 故 .右边得证. 综上可知，． ············17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $