专题08 计数原理与概率统计（8大考点）（黑吉辽蒙专用）2026年高考数学二模分类汇编

专题08 计数原理与概率统计 计数原理 考点1 1 2 3 4 D C C D 5．16. 6． 7．60 8． 9．24 10． 概率与统计 考点2 1 2 3 4 5 C D C C AB 6．/ 7．【详解】（1）记五张字母牌互不相邻为事件为， 则； （2）记在标有8的卡牌左侧没有数字牌为事件， 由于标的牌都在标有的牌的右侧，有种排法， 所以； （3）标号比小的数字牌有张，比大的数字牌有张， . 条件概率 考点3 1 2 3 B A BCD 4． 离散型随机变量的期望与方差 考点4 1． 2． 3．【详解】（1）当时，盒子中共有个小球， 取出的两个小球标号之和为的可能有或或三种可能， 设事件表示取出的两个小球标号之和为， 则； （2）当时，盒子中共有个小球， 的可能取值为、、、， 则， ， ， ， 故的分布列为： 则. 4．【详解】（1）8名运动员分成两组共有种不同方法． 记事件为“甲、乙两人同在组”，则事件共有种不同方法， 所以． （2）甲每天担任组长的概率为，记事件为“甲在三天内至少担任一次组长”， 则， （3）根据题意可得的可能取值为2，3，4， 第一天选组长： 组从人中选人有种， 组从人中选人种，总选法为种， 第二天选组长： 组从人中选人有种， 组从人中选人种，总选法为种， 的含义：两天的组长完全相同，即 组两天选同一个人， 组两天也选同一个人， 所以 的含义：组两天选同一人，组两天选不同的人或组两天选同一人，组两天选不同的人， 所以 的含义：两天的组长完全不重复，总人数为 4，即 组两天选不同的人， 组两天也选不同的人，所以 所以的分布列为 2 3 4 5．【详解】（1）设“任选一个频道播放，该频道是A频道”为事件，“任选一个频道播放，该频道是B频道”为事件， “任选一个频道播放一次，该频道播放成功”为事件， 所以，， 在播放一次就成功的条件下，A频道成为优选频道的概率为. （2）（i）播放1次A频道成为优选频道的概率为， 播放3次A频道成为优选频道的概率为， 所以按照约定2，两个频道共播放不超过4次时，A频道成为优选频道的概率为. （ii）的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以数学期望为. 6．【详解】（1）由题设得：， ， . ， ， ， 所以，. （2）由题意可得： 故当时，取得最小值300. （3）全部种植第一种种子：（吨）， 全部种植第二种种子：（吨）， 按（2）最优比例种植：（吨）， 评价：最优比例种植的方差最小，为300，稳产性最好，产量适中；全部种植第二种种子总产量最高，但是风险较高. 建议：若农场追求高产量且能承担较高风险，可选全种第二种种子；若更看重稳产，降低种植风险，应采用75亩种第一种种子，25亩种第二种种子的最优比例. 二项分布与超几何分布的期望与方差差 考点5 1．【详解】（1）由题意得， 解得. 因为， ， 所以该校学生数学成绩的第70百分位数位于内，设其为， 则，解得. 故估计该校学生数学成绩的第70百分位数为75. （2）因为两组数据的频率之比为， 所以8人中等级分数位于内的人数分别为6，2. 由题意知的所有可能取值为1，2，3， ，，； 所以的分布列为 1 2 3 所以. 2．【详解】（1）若按方式①发放礼品，则两次摸到的球的颜色不同， 设两次摸到的球的颜色不同为事件C，则， 由题意，每位顾客抽奖，按方式①发放礼品的事件相互独立，且概率相同， 则，则X的数学期望. （2）由（1）得，按方式①发放礼品的概率为，按方式②发放礼品的概率为， 若第一次摸到红球，第二次摸到黑球，即按方式①发放礼品A的概率， 若第一次摸到黑球，第二次摸到红球，即按方式①发放礼品B的概率， 设金额不低于100元的比例为p，则按方式②发放礼品A的概率， 则按方式②发放礼品B的概率， 因为礼品A与礼品B的份数的比例为， 所以，解得. 所以购物发票上的金额不低于100元的比例约为 3．【详解】（1）设各导弹命中相互独立，单个节点只要至少被命中一次就会被摧毁： 方案一：仅打击1个基地的个节点，每个节点发射2枚导弹. 单个节点未被摧毁的概率为， 因此单个节点被摧毁的概率为. 设方案一摧毁节点数为，则， 则. 方案二：打击两个基地共个节点，每个节点发射1枚导弹. 单个节点被摧毁的概率为，设方案二摧毁节点数为， 则，. 因为，所以. （2）获胜条件为至少一个基地所有节点全被摧毁，分别计算获胜概率： 方案一：仅打击一个基地，获胜当且仅当该基地所有个节点全被摧毁， 因此获胜概率： 方案二：设分别为第一个、第二个基地全被摧毁，根据题意可得， ， 由，可知只需比较和的大小， 用归纳法证明：对，有， 当时，，不等式成立； 假设时不等式成立，即，则时： ， 作差得：，不等式也成立. 因此对所有，，即， 方案一获胜概率更高，方案一更优. 4．【详解】（1）抽取的10名学生中有4名初中生，6名高中生 的可能取值为0，1，2，3． ，， ，． 的分布列为 0 1 2 3 ； （2）设事件“被调查者摸到白球” ， 当时， （3）， ， 当时，的最小值为. 正态分布 考点6 1．ABD 2．9 3．【详解】（1）因为，即， 又因为， 所以 所以正常情况下，该AI单次分类的准确率得分大于99分的概率为 （2）测试人员的判断是合理的，理由如下： 设“AI单次分类的准确率得分大于99分的概率”为事件，则， 设 “两次分类准确率得分均大于99分”为事件，则两次测试相互独立， 因为是一个极小概率，根据小概率原理，小概率事件在一次实验中几乎不可能发生. 现在该事件发生了，说明“AI智能体运行正常”这一假设不成立，即出现了异常波动. 所以，测试人员的判断是合理的. 回归方程与独立性检验 考点7 1 2 3 4 BD AB AD AC 5．【详解】（1）由表格中数据可得空气质量优良的概率的估计值为：； （2）列联表为： 空气质量 人次≤400 人次 合计 优良 33 37 70 污染 22 8 30 合计 55 45 100 （3）零假设为：一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关． 根据表中数据，得 ， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即可以认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关． 6．【详解】（1）， 依据的独立性检验，可以认为该学校高三年级学生的性别与身高有关联． （2）从男生样本和女生样本中各选取一人，则两名学生身高不在同一组的概率 7．【详解】（1）假设不同打法的选手对于有缝球和无缝球的喜好没有影响． 所以有95%以上的把握认为不同打法选手对于有缝球和无缝球的喜好有影响． （2）①根据分层抽样可知，各层的抽样比为，所以从喜欢用有缝球的选手中选取人，从喜欢用无缝球的选手中选取人， 记“两个赛区都有人被选中”为事件， 则． 所以两个赛区都有人被选中的概率为． ② 的分布列与期望 表示被选3人中“喜欢用无缝球”的人数，服从超几何分布，可能取值为 ： . 分布列： 0 1 2 3 . 概率与数列交汇 考点8 1．【详解】（1）（1）由题可知，的可能取值为0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知： ;;， 故的分布列如下表： 0 1 2 （2）由全概率公式可知： ， 即：， 所以， 所以， 又， 所以，数列为以为首项，以为公比的等比数列， 所以， 即：. （3）由全概率公式可得： , 即：, 又, 所以, 所以, 又, 所以, 所以, 所以, 所以. 2．【详解】（1）①由题意，车道转移概率： 当前在车道0时，留在0的概率为，变道到1的概率为； 当前在车道1时，变道到0的概率为，留在1的概率为； 因此一步转移的概率矩阵为. ②设事件：时刻车辆在车道0，：时刻车辆在车道1，：时刻车辆在车道1， 已知，，，， 由贝叶斯公式. （2）设，由全概率公式得递推关系，则，首项， 因此通项为：. 所以. 故的分布列为 0 1 3．【详解】（1）记附近居民第天选择路线分别为事件， 依题意，，，， 则由全概率公式，得居民第二天选择路线散步的概率； 记第二天选择路线散步的人数为，则， 则，， ，， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 故的数学期望． （2）（i）当第天选择路线时，第天选择路线的概率； 当第天选择路线时，第天选择路线的概率， 所以. （ii）由（i）知，则，而， 于是数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，即，， 当时，，而， 所以； 当时，， 而， 所以， 所以. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 计数原理与概率统计 8大考点概览 考点01计数原理 考点02概率与统计 考点03条件概率 考点04离散型随机变量的期望与方差 考点05二项分布与超几何分布的期望与方差 考点06正态分布 考点07回归方程与独立性检验 考点08概率与数列交汇 计数原理 考点1 1．（2026·吉林长春·质量监测(二)）的展开式中的系数为160，则（   ） A．-2 B． C． D．2 【答案】D 【详解】二项式展开式的通项公式为， 令，则可得展开式中的系数为，所以，解得. 故选：D 2．（2026·吉林白山·二模）甲、乙等6人参加某次会议，会议安排其前后两排入座，每排3人（如图所示），其中甲坐后排，乙与甲前后、左右均不相邻，则不同的坐法种数共有（   ） A．144种 B．168种 C．192种 D．216种 【答案】C 【分析】讨论甲坐的位置，然后根据分类加法计数原理求解即可. 【详解】如图所示，甲坐位置①，乙有3种选择，其他人不同坐法有种，共有种不同坐法； 甲坐位置②，乙有2种选择，其他人不同坐法有种，共有种不同坐法； 甲坐位置③，乙有3种选择，其他人不同坐法有种，共有种不同坐法， 所以不同坐法种数共有种． 故选：C 3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）某人有3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的图形的6个顶点A，B，C，，，上各安装一个灯泡，要求同一线段两端的灯泡颜色不同，则不同的安装方法共有（   ） A．3种 B．6种 C．12种 D．48种 【答案】C 【详解】法一：先安装下底面的三个顶点有种不同的安装方法， 再安装上底面的三个顶点有种不同的安装方法. 由分步乘法计数原理可知，共有种不同的安装方法. 法二：依次安装，，，，，六个位置， 则有种不同的安装方法. 故选：C 4．（2026·辽宁省名校协作体·二模）某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（   ） A．35 B．36 C．42 D．50 【答案】D 【分析】以舱的人数为分类依据，将 5 人分配到 A、B、C 三个舱中，分别计算各类分组与排列的方法数，最后求和得到总安排数. 【详解】有四类不同的安排情形： ①甲单独在舱，其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ②甲单独在舱，其余四人平均分成两组每组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ③舱安排人，其余三人分成两组，一组人，一组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ④舱安排人，其余二人分成两组，安排在舱， 有种不同的安排方法； 综上，不同的安排方法共有种. 故选：D 5．（2026·内蒙古包头·二模）在的展开式中，含的项的系数是__________. 【答案】16 【详解】易知含的项为， 因此其系数为16. 6．（2026·吉林梅河口五中·二模）暑期同学们相约到某体育馆参加社会实践活动，其中小李、小明等6名同学被安排到，两个场馆，若每个场馆至少安排2人，则小李、小明被安排在同一场馆的方法共_______种(用数字作答). 【答案】 【分析】分小李、小明所在场馆有人、人、4人，进行讨论即可得. 【详解】分情况讨论：若小李、小明所在场馆有人(即只有小李和小明)， 此时另一场馆有人，共种安排方法； 若小李、小明所在场馆有人，从剩下名同学中选名和小李、小明在同一场馆， 有种，此时安排方法为种； 若小李、小明所在场馆有4人，从剩下名同学中选名和小李、小明在同一场馆， 有种，此时安排方法为种； 所以共有种安排方法. 7．（2026·辽宁大连·二模）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则的系数为___________． 【答案】60 【分析】先根据题干条件算出，然后由二项式定理的展开式通项进行求解. 【详解】的展开式中第项与第项的二项式系数相等， ，，则的展开式中的通项为： ，令，解得， 故该展开式中的系数为 故答案为：60 8．（2026·吉林白山·二模）展开式的第4项的二项式系数是___________．（用数字作答） 【答案】 【详解】展开式的第4项的二项式系数是. 9．（2026·辽宁大连·二模）现从甲、乙、丙等6人中，先随机抽取1人唱歌，再在剩余5人中随机抽取2人跳舞，在抽取到的3个人中，甲、乙中有且只有1人被抽到，且丙不被抽到去跳舞的抽法有________种． 【答案】24 【详解】①甲、乙中有且只有1人被抽到有种抽法， 若抽到的三人中不含丙，则从剩余的三人中抽取2人有种抽法， 抽到的3人安排其中一人唱歌有种抽法， 根据分步乘法计数原理，共有种抽法. ②若抽到的三人中含丙，则丙需被安排去唱歌，甲乙选1人跳舞，除甲、乙、丙的3人中选1人跳舞， 共有种， 根据分类加法原理，共有种抽法. 10．（2026·辽宁辽阳·二模）二项式的展开式中的常数项是__________． 【答案】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，计算出常数项. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 令，解得，故常数项为 故答案为： 概率与统计 考点2 1．（2026·辽宁辽阳·二模）数据1，1，2，3，5，8，13的70%分位数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6.5 【答案】C 【分析】根据题意，利用百分位数的计算方法，即可求解. 【详解】数据1，1，2，3，5，8，13，共有7个，其中， 所以数据的70%分位数为数据的第5个数据，即为. 故选：C 2．(2026·辽宁鞍山普通高中·二模)下列各组数据中方差最大的一组是（   ） A．2，2，2，2，2 B．1，1，2，3，3 C．0，1，2，3，4 D．0，0，2，4，4 【答案】D 【详解】因为， 则各个组的平均数为，所以由方差的意义可得， ，， ，  . 故选：D 3．（2026·吉林长春·质量监测(二)）某精密仪器厂生产一种标准长度为的金属垫片．现随机抽取200个垫片测量其实际长度（单位：），按长度分组并绘制出如图所示的频率分布直方图．若规定长度在区间内的垫片为合格品，用样本频率估计总体的概率，则任取一个垫片为合格品的概率为（   ）    A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】C 【分析】在频率分布表中，小矩形的面积等于这一组的频率，所以面积和为1，建立等量关系求出，进而求出长度在内的频率． 【详解】由题意知，，整理得，解得. 所以任取一个垫片为合格品的概率为：. 故选：C 4．（2026·哈尔滨三中·二模）已知数据、、、的平均数，方差为．设，数据、、、的方差为，数据、、、、、、、的方差为，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用方差的性质可判断A选项；求得，代入代数式可判断B选项；利用方差公式可判断CD选项. 【详解】对于A选项，根据方差的性质可得，A对； 对于B选项，根据平均数的性质可得， 所以，B对； 对于C选项，由平均数的性质可知， 数据、、、的平均数为， 所以数据、、、、、、、的平均数为， ，所以， ，C错； 对于D选项， ，D对. 故选：C 5．（2026·吉林G35联合体·二模）（多选）2020—2024年我国粮食产量（单位：万吨）如图所示，下列结论正确的是（   ） A．2020—2024年我国粮食产量逐年增加 B．2020—2024年我国粮食产量的中位数为68653万吨 C．2020—2024年我国粮食产量的极差为3699万吨 D．2020—2024年我国粮食产量与年份负相关 【答案】AB 【详解】对于A选项，对比每年产量可得， 故年我国粮食产量逐年增加，A正确． 对于B选项，年我国粮食产量的中位数为万吨，B正确． 对于C选项，年我国粮食产量的极差为万吨，C错误． 对于D选项，年我国粮食产量与年份正相关，D错误． 故选：AB 6．(2026·辽宁鞍山普通高中·二模)将甲、乙、丙、丁、戊五名同学分到三个不同的公益活动小组，每组至少一人，至多两人，则甲乙恰好被分到同一小组的概率为________． 【答案】/ 【详解】由题可知分组后排列共有种方法， 其中甲、乙两名同学去同一个公益活动小组有种方法， 所以甲、乙两名同学去同一个公益活动小组的概率为. 7．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）13张大小质地完全相同的卡牌中有八张数字牌，正面标有1~8，此外还有五张字母牌，正面标有A~E，将这十三张牌随机排成一行． (1)求五张字母牌互不相邻的概率； (2)求在标有8的卡牌左侧没有数字牌的概率； (3)对于给定的整数，记“在标有k的数字牌左侧，没有标号比k小的数字牌”为事件，求发生的概率．（结果用含k的式子表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用古典概型概率公式和排列数的计算公式可求解； （2）利用古典概型概率公式和排列数的计算公式可求解； （3）利用古典概型概率公式和排列数的计算公式可求解. 【详解】（1）记五张字母牌互不相邻为事件为， 则； （2）记在标有8的卡牌左侧没有数字牌为事件， 由于标的牌都在标有的牌的右侧，有种排法， 所以； （3）标号比小的数字牌有张，比大的数字牌有张， . 条件概率 考点3 1．（2026·辽宁辽阳·二模）小张的停车位被其它车辆占据，小张准备拨打车上的联系电话，可是电话号码的最后一位被遮挡，小张准备随机尝试，则小张在第一次拨打错误的条件下，第三次恰好拨打正确的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记“小张第一次拨打错误”为事件，“第三次恰好拨打正确”为事件； 易知, 因此小张在第一次拨打错误的条件下，第三次恰好拨打正确的概率是. 故选：B 2．（2026·内蒙古包头·二模）甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用条件概率公式求解即可 【详解】事件表示甲乙两人都不去A景点，， 事件表示甲乙两人都去A景点，， 所以． 故选：A 3．（2026·吉林长春·质量监测(二)）（多选）景区在春节期间推出两种游玩套餐，已知某游客第一次选择两种游玩套餐的概率分别为和，若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为；若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为，则下列说法正确的是（   ） A．该游客第一次选择套餐，第二次也选择套餐的概率为 B．该游客第一次选择套餐的概率比第二次选择套餐的概率小 C．若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为 D．若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为 【答案】BCD 【分析】设相应事件，利用全概率公式求，即可判断B，结合条件概率公式判断ACD. 【详解】设该游客第一次选择套餐为事件，第二次选择套餐为事件， 则，，且，， 可得，. 对于选项A：该游客第一次选择套餐，第二次也选择套餐为事件， 其概率为，故A错误； 对于选项B：因为， 即，所以该游客第一次选择套餐的概率比第二次选择套餐的概率小，故B正确； 对于选项C：因为， 所以若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为，故C正确； 对于选项D：因为，则， 所以若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为，故D正确. 故选：BCD 4．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知，，，则 ______． 【答案】 【分析】利用条件概率公式和对立事件的公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为，， 所以， 所以， . 故答案为： 离散型随机变量的期望与方差 考点4 1．（2026·内蒙古兴安盟·二模）一质点从的顶点出发，每次随机沿一条边运动至另一个顶点时终止，则质点次运动过程中仅次经过顶点的条件下，第次回到顶点的概率____________，记质点次运动过程中经过顶点的次数是，则____________． 【答案】 【分析】列举次运动过程中仅次经过顶点的情况，再由古典概率公式即可求解； 记质点 4次运动过程中经过顶点的次数是，X的所有可能取值为，分别求得相应概率，列出分布列，再求期望，即可求解. 【详解】因为质点次运动过程中仅次经过顶点的情况有：， ，， ，，共种， 第四次回到顶点有种，所以质点次运动过程中仅次经过顶点的条件下，第次回到顶点的概率. 记质点 4次运动过程中经过顶点的次数是，X的所有可能取值为， 质点4次运动，共有种情况， 当X=0时，，共有1种情况，则， 当X=1时，， ， ， ， ，，，共有7种情况， 所以，又， 所以X的分布列为： ， 故答案为：，. 2．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）甲和乙各自从门选修课中任意选取3门，记为被甲或乙选中的选修课数量，则的数学期望为______． 【答案】 【分析】设为第i门课是否被选中，利用独立事件乘法公式求解，再利用数学期望的线性性质求出. 【详解】将门选修课编号为， 设为第i门课是否被选中，， 则， 又， 则． 3．（2026·辽宁辽阳·二模）一个盒子中装有若干个小球，每个小球都标有一个号码，其中标有号的小球有个（，，，且），标有号的小球有个，没有其它标号，从盒子中不放回的随机抽取个球． (1)当时，求取出的两个小球标号之和为的概率； (2)当时，记为取出的两个小球标号之差的绝对值，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助组合数公式及概率公式计算即可得； （2）得到的可能取值后，再分别计算出对应概率即可得其分布列，利用分布列即可得其期望. 【详解】（1）当时，盒子中共有个小球， 取出的两个小球标号之和为的可能有或或三种可能， 设事件表示取出的两个小球标号之和为， 则； （2）当时，盒子中共有个小球， 的可能取值为、、、， 则， ， ， ， 故的分布列为： 则. 4．（2026·辽宁省名校协作体·二模）某学校田径队有甲、乙等8名运动员，现将这8人平均分成两组进行集训．每天训练前，两组分别从本组队员中随机选出一人担任组长． (1)求甲、乙两人同在组的概率； (2)求甲在三天内至少担任一次组长的概率； (3)记为连续两天中至少担任一次组长的人数，求的概率分布列和数学期望． 【答案】(1). (2) (3) 2 3 4 数学期望 【分析】（1）8名运动员分成两组共有种不同方法,甲、乙两人同在组有种不同方法，利用古典概型公式求解即可； （2）甲每天担任组长的概率为，利用对立事件的概率公式即可求解； （3）根据题意可得的可能取值为2，3，4，分别求出对应的概率，结合期望公式即可求解. 【详解】（1）8名运动员分成两组共有种不同方法． 记事件为“甲、乙两人同在组”，则事件共有种不同方法， 所以． （2）甲每天担任组长的概率为，记事件为“甲在三天内至少担任一次组长”， 则， （3）根据题意可得的可能取值为2，3，4， 第一天选组长： 组从人中选人有种， 组从人中选人种，总选法为种， 第二天选组长： 组从人中选人有种， 组从人中选人种，总选法为种， 的含义：两天的组长完全相同，即 组两天选同一个人， 组两天也选同一个人， 所以 的含义：组两天选同一人，组两天选不同的人或组两天选同一人，组两天选不同的人， 所以 的含义：两天的组长完全不重复，总人数为 4，即 组两天选不同的人， 组两天也选不同的人，所以 所以的分布列为 2 3 4 5．（2026·辽宁大连·二模）欲从A，B两个频道中选出一个优选频道作为校园之声广播，现对这两个频道轮流播放进行测试，每次播放一个频道.已知A频道每次播放成功的概率为，B频道每次播放成功的概率为，且每次播放互不影响. 约定1：任选一个频道进行播放，若播放成功，便成为优选频道； 约定2：从A频道开始播放，先成功播放的频道为优选频道，当决定出优选频道或两频道都播放3次均失败，结束测试. (1)按照约定1，求在播放一次就成功的条件下，A频道成为优选频道的概率； (2)按照约定2， （i）两个频道共播放不超过4次时，求A频道成为优选频道的概率； （ii）测试结束时，求B频道播放次数的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）按照贝叶斯公式直接计算即可； （2）（i）按照播放次数分情况求解；（ii）写出的所有可能取值并计算所对应的概率，然后列出分布列，计算即可. 【详解】（1）设“任选一个频道播放，该频道是A频道”为事件，“任选一个频道播放，该频道是B频道”为事件， “任选一个频道播放一次，该频道播放成功”为事件， 所以，， 在播放一次就成功的条件下，A频道成为优选频道的概率为. （2）（i）播放1次A频道成为优选频道的概率为， 播放3次A频道成为优选频道的概率为， 所以按照约定2，两个频道共播放不超过4次时，A频道成为优选频道的概率为. （ii）的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以数学期望为. 6．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）某农场现有两种优质作物种子，在相同种植条件下，单位面积产量分别为随机变量，（单位：吨/亩），其分布列为 (1)若分别用两种种子各种植100亩，设，分别为两种作物的总产量，求，； (2)现将总面积为100亩的土地进行种植规划，用亩种植第一种种子，剩余亩数种植第二种种子，为两种作物总产量的方差之和，求的最小值时的值； (3)结合期望与方差，从稳产性、总产量、种植风险三个角度，对“全部种植第一种种子”，“全部种植第二种种子”，“按（2）最优比例种植”三种方案进行综合评价，并给出面向农场生产的合理化种植建议. 【答案】(1)，. (2)75 (3)答案见解析 【分析】（1）先计算和，再推导和；计算、时，先根据期望公式计算、，再利用方差公式计算方差； （2）根据种植面积，确定总产量的方差之和的表达式，利用方差性质展开得到关于的二次函数，再根据二次函数的性质求最小值对应的值； （3）分别计算三种方案下总产量的期望和方差，因为期望反映总产量水平，方差反映稳产性和种植风险，所以结合期望和方差的意义，从三个角度逐一分析三种方案的特点，再给出建议. 【详解】（1）由题设得：， ， . ， ， ， 所以，. （2）由题意可得： 故当时，取得最小值300. （3）全部种植第一种种子：（吨）， 全部种植第二种种子：（吨）， 按（2）最优比例种植：（吨）， 评价：最优比例种植的方差最小，为300，稳产性最好，产量适中；全部种植第二种种子总产量最高，但是风险较高. 建议：若农场追求高产量且能承担较高风险，可选全种第二种种子；若更看重稳产，降低种植风险，应采用75亩种第一种种子，25亩种第二种种子的最优比例. 二项分布与超几何分布的期望与方差差 考点5 1．（2026·内蒙古包头·二模）为了了解学生的基本情况，某学校对一次高三质量预测数学考试成绩进行汇总（所有学生的数学成绩都不低于30分），整理后得到如下图所示的频率分布直方图： (1)求频率分布直方图中的值，并估计该校学生数学成绩的第70百分位数； (2)若该校高三学生共有1200人，从中依据按比例分配分层抽样的方法从等级分数介于80至100之间的学生中抽出8人，再从这8人中选出3人，记为3人中分数在的人数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1)，75 (2)的分布列为 1 2 3 【分析】（1）根据频率分布直方图中矩形面积之和为1可求得，再由百分位数的定义计算可得结果； （2）根据分层抽样求出相应区间的人数，再计算出相应概率可得出分布列和期望. 【详解】（1）由题意得， 解得. 因为， ， 所以该校学生数学成绩的第70百分位数位于内，设其为， 则，解得. 故估计该校学生数学成绩的第70百分位数为75. （2）因为两组数据的频率之比为， 所以8人中等级分数位于内的人数分别为6，2. 由题意知的所有可能取值为1，2，3， ，，； 所以的分布列为 1 2 3 所以. 2．（2026·吉林G35联合体·二模）某商场为了吸引顾客，举办抽奖活动，顾客可凭购物发票参与活动一次，规则如下：一个袋子中装有5个除颜色不同外其余均相同的小球，其中2个黑球和3个红球．顾客从袋子中有放回地随机摸两次，每次摸出一球.若两次摸到的球的颜色不同，则按方式①发放礼品，否则按方式②发放礼品． 方式①：若第一次摸到的是红球，则发放礼品A一份，否则发放礼品B一份． 方式②：若购物发票上的金额不低于100元，则发放礼品A一份，否则发放礼品B一份． (1)若有50名顾客参与抽奖活动，用X表示其中按方式①发放礼品的人数，求X的数学期望； (2)抽奖活动后，统计得到，发放的礼品中，礼品A与礼品B的份数的比例为，试估计参与抽奖活动的顾客中，购物发票上的金额不低于100元的比例．（结果保留两位有效数字） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二项分布的定义及条件，可得，代入期望公式，即可得答案. （2）分别求出按方式①和方式②，获得礼品A和礼品B的概率，结合条件，化简计算，即可得答案. 【详解】（1）若按方式①发放礼品，则两次摸到的球的颜色不同， 设两次摸到的球的颜色不同为事件C，则， 由题意，每位顾客抽奖，按方式①发放礼品的事件相互独立，且概率相同， 则，则X的数学期望. （2）由（1）得，按方式①发放礼品的概率为，按方式②发放礼品的概率为， 若第一次摸到红球，第二次摸到黑球，即按方式①发放礼品A的概率， 若第一次摸到黑球，第二次摸到红球，即按方式①发放礼品B的概率， 设金额不低于100元的比例为p，则按方式②发放礼品A的概率， 则按方式②发放礼品B的概率， 因为礼品A与礼品B的份数的比例为， 所以，解得. 所以购物发票上的金额不低于100元的比例约为 3．(2026·辽宁鞍山普通高中·二模)在某次军事演习中，红军参谋部进行战前推演：蓝军拥有两个相同结构的军事基地，每个基地有个重要节点：红军拥有某种型号导弹，对上述每个重要节点单枚命中即可摧毁，且单枚突破防御并命中的概率为．红军的演习任务是发射枚该型号导弹对蓝军军事基地实施打击，完成对蓝军至少一个军事基地的彻底摧毁（即摧毁该基地内的全部重要节点）即为获胜． 现有两种打击方案： 方案一：选择某一军事基地内的个重要节点进行打击，对每个重要节点发射两枚导弹； 方案二：对两个军事基地的各个重要节点进行打击，对每个重要节点发射一枚导弹． 视各枚导弹突破防御并命中目标相互独立，请你帮助红军参谋部进行推演计算： (1)分别求出两种方案中，最终摧毁的重要节点数的期望，并比较期望大小； (2)比较两种方案下红军获胜的概率，判断哪种方案更优． 【答案】(1)方案一期望为，方案二期望为，且； (2)方案一获胜概率更大，方案一更优. 【分析】（1）利用二项分布的期望公式分别计算两个方案的期望，再比较大小. （2）方案一：获胜条件等价于被打击的基地被彻底摧毁，计算该基地所有节点均被摧毁的概率即为获胜概率；方案二：分别计算两个基地被彻底摧毁的概率，利用概率加法公式计算至少一个基地被摧毁的概率，进而比较两个方案获胜概率的大小. 【详解】（1）设各导弹命中相互独立，单个节点只要至少被命中一次就会被摧毁： 方案一：仅打击1个基地的个节点，每个节点发射2枚导弹. 单个节点未被摧毁的概率为， 因此单个节点被摧毁的概率为. 设方案一摧毁节点数为，则， 则. 方案二：打击两个基地共个节点，每个节点发射1枚导弹. 单个节点被摧毁的概率为，设方案二摧毁节点数为， 则，. 因为，所以. （2）获胜条件为至少一个基地所有节点全被摧毁，分别计算获胜概率： 方案一：仅打击一个基地，获胜当且仅当该基地所有个节点全被摧毁， 因此获胜概率： 方案二：设分别为第一个、第二个基地全被摧毁，根据题意可得， ， 由，可知只需比较和的大小， 用归纳法证明：对，有， 当时，，不等式成立； 假设时不等式成立，即，则时： ， 作差得：，不等式也成立. 因此对所有，，即， 方案一获胜概率更高，方案一更优. 4．（2026·哈尔滨三中·二模）在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问．对一些敏感性问题，更要精心设计问卷及调查方法，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况．某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的80名初中生和120名高中生进行了调查.调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的10个白球和20个黑球的袋子.每个被调查者随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生若吸烟，则写下①，若不吸烟，则写下②；摸到黑球的学生若吸烟，则写下②，若不吸烟，则写下①．由于问题的答案只有①和②，而且摸到的是白球还是黑球也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．设事件“被调查者吸烟”，“被调查者写下①”． (1)为了进一步了解学生的吸烟情况，从被调查的初中生和高中生中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取3名学生进行问卷调查，记抽取的3名学生中初中生的人数为，求的分布列和数学期望； (2)用频率估计概率，若200名学生中有130人写下①，试估计的值； (3)若，求的最小值并求出此时的值． 【答案】(1)分布列见解析， (2) (3)， 【分析】（1）先根据初中生和高中生的总人数比例，计算抽取的10名学生中初中生和高中生的人数，判断X服从超几何分布，再根据超几何分布的相关公式求解分布列和数学期望； （2）利用全概率公式，结合已知的写下①的人数对应的频率作为，建立关于的方程，进而求解； （3）首先利用条件概率公式，分别表示出和，再将它们相加化简得到关于的表达式，再利用函数求最值的方法进行求解，同时结合的条件确定此时的值. 【详解】（1）抽取的10名学生中有4名初中生，6名高中生 的可能取值为0，1，2，3． ，， ，． 的分布列为 0 1 2 3 ； （2）设事件“被调查者摸到白球” ， 当时， （3）， ， 当时，的最小值为. 正态分布 考点6 1．（2026·东北三省三校·二模）（多选）下列说法正确的是（   ） A．随机事件A,B相互独立的充要条件是 B．设X为随机变量,则 C．,则, D．若,记函数,,则的图象关于点对称 【答案】ABD 【分析】根据随机事件的独立性、随机变量的方差与期望的关系、二项分布的期望与方差、正态分布的对称性逐一严格推导每个选项的正确性，排除错误选项. 【详解】对于A，先证必要性：若相互独立，则， 所以， 再证充分性：若，则， 所以，即，说明与相互独立， 所以随机事件A,B相互独立的充要条件是，故A正确； 对于B，由于，则， 所以， 即，所以B正确； 对于C，由,则,，故C错误； 对于D，因为,记函数,, 所以对任意，有， 由正态分布的对称性：， 因此， 即的图象关于点对称，故D正确. 故选：ABD 2．（2026·内蒙古包头·二模）已知随机变量X服从正态分布，且，则的最小值为_______. 【答案】9 【分析】利用正态分布的对称性求得，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为，且，则由对称性得， 又， 所以，故， 又因为， 所以， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为9. 故答案为：9. 3．（2026·辽宁沈阳·质量监测(二)）某科技公司研发的AI智能体在进行图象分类任务时，单次分类的准确率X（单位：分）服从正态分布． (1)求正常情况下，该AI单次分类的准确率大于99分的概率； (2)某天测试人员随机抽取了该AI的两次分类结果，发现两次的准确率得分均大于99分．测试人员根据这两次测试结果，判断该AI智能体出现了异常波动，要求立即暂停研发更新并进行算法排查．请问测试人员的判断是否合理？请说明理由． 附：若，则，，． 【答案】(1) (2)合理，理由见解析. 【分析】（1）考察正态分布的对称性及其性质，重点在于理解正态分布密度曲线的对称性，利用给定区间概率计算概率. （2）理解小概率事件在统计决策中的含义. 【详解】（1）因为，即， 又因为， 所以 所以正常情况下，该AI单次分类的准确率得分大于99分的概率为 （2）测试人员的判断是合理的，理由如下： 设“AI单次分类的准确率得分大于99分的概率”为事件，则， 设 “两次分类准确率得分均大于99分”为事件，则两次测试相互独立， 因为是一个极小概率，根据小概率原理，小概率事件在一次实验中几乎不可能发生. 现在该事件发生了，说明“AI智能体运行正常”这一假设不成立，即出现了异常波动. 所以，测试人员的判断是合理的. 回归方程与独立性检验 考点7 1．（2026·辽宁省名校协作体·二模）（多选）下列命题正确的是（   ） A．若样本数据，，的方差为2，则数据 的方差为4 B．若，，，则 C．在一组样本数据，，，，(，不全相等)的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为 D．以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得经验回归方程为，则的值分别是和4 【答案】BD 【分析】利用两组线性关系的数据间的方差转换公式可判断A；利用全概率公式可判断B；利用线性相关系数的定义可判断C；利用非线性回归方程的求法可判断D. 【详解】原数据方差，设， 则，故A错误； ， 故 B 正确； 所有样本点都在直线 上，说明完全线性相关，相关系数绝对值为 ， 直线斜率为负，故相关系数为 ，故C错误； 模型 取对数得 ， 令 ，则回归方程为 ， 已知 ，故 ，，即 ，，故D正确. 故选：BD 2．（2026·辽宁大连·二模）（多选）下列命题成立的是（    ） A．已知，若，则 B．若一组样本数据对应的样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 C．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是4和0.3 D．对分类变量与的独立性检验的统计量来说，值越大，判断“与有关系”的把握性越小 【答案】AB 【分析】A.根据，由判断；B.由题意知这组数据完全线性相关，再根据直线斜率的正负判断；C.由两边取自然对数求解判断；D.根据值越大，“与有关系”的可能性越大判断. 【详解】A.已知，且，则，故正确； B.若一组样本数据对应的样本点都在直线上，说明这组数据完全线性相关，又因为直线斜率是负相关，所以这组样本数据的相关系数为-1，故正确； C.由两边取自然对数得，求得线性回归方程为，所以，，则，故错误； D.对分类变量与的独立性检验的统计量来说，值越大，“与有关系”的可能性越大，所以判断“与有关系”的把握性越大，故错误； 故选：AB 3．（2026·内蒙古兴安盟·二模）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．若事件相互独立，则 C．对具有线性相关关系的变量，其经验回归方程为，若样本数据的中心点为，则实数的值是4 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，可判断变量与不独立 【答案】AD 【分析】根据正态分布曲线的对称性，可判定A正确；根据，可判定B不正确；将样本中心代入回归方程，求得的值，可判定C错误；根据，拒绝“与的独立”的原假设，可判定D正确. 【详解】对于A，随机变量，可得，即正态分布曲线关于对称， 因为，所以，所以A正确； 对于B，若事件相互独立，可得， 只有事件和事件互斥时，满足，所以B不正确； 对于C，对具有线性相关关系的变量，其经验回归方程为， 若样本数据的中心点为，可得，解得，所以C错误； 对于D，根据分类变量与的成对样本数据，计算得到， 依据的独立性检验，可得， 此时拒绝“与的独立”的原假设，可判断变量与不独立，所以D正确. 故选：AD 4．（2026·吉林梅河口五中·二模）（多选）下列说法中正确的是（ ） A．一个样本（数据不全为3）的平均数为3，若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变，方差变小 B．在成对样本数据中，两个变量间的样本相关系数越小，则它们的线性相关程度越弱 C．数据，53，56，69，70，72，79，65，80，45，41的极差为40，则这组数据的第m百分位数为79 D．依据小概率值的独立性检验推断两个分类变量X与Y之间是否有关联，经计算得，则可以认为“X与Y没有关联” 【答案】AC 【分析】利用平均数与方差的定义可判断A；由相关系数的概念可判断B；利用百分位的定义求解可判断C；由独立性检验的意义可判断D. 【详解】一个样本（数据不全为3）的平均数为3，若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变， 根据方差公式，可知方差变小，故A正确； 两个变量的相关系数越小，则两者的线性相关程度越弱，故B错误; 除m外，剩余数据的极差为，因为所有数据的极差为40，且， 所以 把数据技从小到大题序排列，得：41，45，53，56，65，69，70，72，79，80， 由，所以这组数据的第m百分位数为第9个，为故C正确; 零假设为与Y相互独立，即X与Y没有关联，由， 可知依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，可以认为“X与Y有关联”，故D错误. 故选：AC. 5．（2026·吉林梅河口五中·二模）近几年来空气质量逐步转好，全民健身运动引起广泛关注．某兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 空气质量 锻炼人次 优良 7 26 37 轻度污染 6 7 8 中度污染 7 2 0 (1)求空气质量优良的概率的估计值； (2)根据所给数据，完成下面的列联表： 空气质量 人次≤400 人次 合计 优良 污染 合计 (3)根据小概率值的独立性检验，能否认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) (2)列联表见解析 (3)能 【分析】（1）根据表格中数据利用频率即可估计概率； （2）根据题干表格进行统计即可； （3）计算出，与进行比较即可． 【详解】（1）由表格中数据可得空气质量优良的概率的估计值为：； （2）列联表为： 空气质量 人次≤400 人次 合计 优良 33 37 70 污染 22 8 30 合计 55 45 100 （3）零假设为：一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关． 根据表中数据，得 ， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即可以认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关． 6．（2026·吉林长春·质量监测(二)）为研究某校高三年级学生的身高是否与性别有关，现从学生群体中，随机测量了50名学生的身高，然后按“身高低于170cm”与“身高不低于170cm”分成两组，统计整理各组人数如下列联表（单位：人）． 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 男 8 24 32 女 12 6 18 合计 20 30 50 (1)依据的独立性检验，能否认为该学校高三年级学生的身高与性别有关联？ (2)若从男生样本和女生样本中各选取一人，求两名学生身高不在同一组的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)可以认为该学校高三年级学生的性别与身高有关联． (2) 【分析】（1）计算卡方，即可与临界值比较求解. （2）根据全概率公式即可求解. 【详解】（1）， 依据的独立性检验，可以认为该学校高三年级学生的性别与身高有关联． （2）从男生样本和女生样本中各选取一人，则两名学生身高不在同一组的概率 7．（2026·吉林白山·二模）某地举办业余乒乓球联赛，比赛分“有缝球型”和“无缝球型”两个赛区，从该地区抽取部分选手进行调研，相关数据如下表： 喜欢用有缝球 喜欢用无缝球 直拍打法选手 18 30 横拍打法选手 20 12 (1)能否有95%以上的把握认为不同打法的选手对于有缝球和无缝球的喜好有影响？ (2)若从参加调研的“横拍打法”选手中用分层抽样的方法抽取8名选手，按照各自喜爱的球型参加相应赛区的比赛．现从8名选手中选3人，用AI监测他们的比赛数据． ①求两个赛区都有人被选中的概率； ②用表示被选3人中“喜欢用无缝球”的人数，求的分布列和期望． 附：， 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)有95%以上的把握 (2),分布列见解析，期望为 【分析】（1）根据表中数据及公式计算判断； （2）①根据抽样比从各层中抽取相应人数，再利用古典概型概率计算公式求解； ②利用超几何分布计算即可求得分布列与期望. 【详解】（1）假设不同打法的选手对于有缝球和无缝球的喜好没有影响． 所以有95%以上的把握认为不同打法选手对于有缝球和无缝球的喜好有影响． （2）①根据分层抽样可知，各层的抽样比为，所以从喜欢用有缝球的选手中选取人，从喜欢用无缝球的选手中选取人， 记“两个赛区都有人被选中”为事件， 则． 所以两个赛区都有人被选中的概率为． ② 的分布列与期望 表示被选3人中“喜欢用无缝球”的人数，服从超几何分布，可能取值为 ： . 分布列： 0 1 2 3 . 概率与数列交汇 考点8 1．（2026·吉林白山·二模）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为. (1)求的分布列； (2)求数列的通项公式； (3)求的期望. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)1 【分析】（1）由题意分析的可能取值为0，1，2.分别求出概率，写出分布列；（2）由全概率公式得到，判断出数列为以为首项，以为公比的等比数列即可求解；（3）利用全概率公式求出求出，进而求出. 【详解】（1）（1）由题可知，的可能取值为0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知： ;;， 故的分布列如下表： 0 1 2 （2）由全概率公式可知： ， 即：， 所以， 所以， 又， 所以，数列为以为首项，以为公比的等比数列， 所以， 即：. （3）由全概率公式可得： , 即：, 又, 所以, 所以, 又, 所以, 所以, 所以, 所以. 2．（2026·东北三省三校·二模）在自动驾驶系统的路径规划中,车辆的车道选择行为可用马尔科夫链模型描述.设道路只有两条车道,分别记为车道0和车道1.每隔一个固定时间步长,车辆会选择更换车道或者保持车道不变,记为第个时间步长车辆所在的车道（）.马尔科夫链的下一时刻状态仅取决于当前时刻状态,记 为一步转移概率,矩阵为一步转移概率矩阵. 已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下：若当前在车道0,下一时刻变道至车道1的概率为；若当前在车道1,下一时刻变道至车道0的概率为. (1)已知时刻车辆处于车道0的概率为,处于车道1的概率为. ①写出该模型的一步转移概率矩阵； ②若时刻车辆处于车道1,求时刻车辆处于车道0的概率. (2)在第（1）问的初始概率条件下,记（）,求随机变量的分布列（结果用含的式子表示）. 【答案】(1)①；② (2) 0 1 【分析】（1）①结合概率矩阵的定义求解即可； ②根据条件概率公式及贝叶斯公式求解即可. （2）根据条件概率公式及全概率公式得到递推关系，进而求出，从而得到分布列. 【详解】（1）①由题意，车道转移概率： 当前在车道0时，留在0的概率为，变道到1的概率为； 当前在车道1时，变道到0的概率为，留在1的概率为； 因此一步转移的概率矩阵为. ②设事件：时刻车辆在车道0，：时刻车辆在车道1，：时刻车辆在车道1， 已知，，，， 由贝叶斯公式. （2）设，由全概率公式得递推关系， 则，首项， 因此通项为：. 所以. 故的分布列为 0 1 3．（2026·内蒙古包头·二模）某公园有两条散步路线，分别记为路线A和路线B.附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线A的居民第二天选择路线A和路线B的概率均为；前一天选择路线B的居民第二天选择路线A和路线B的概率分别为和，已知居民第一天选择路线A的概率为，选择路线B的概率为. (1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线A散步的人数为Y，求Y的分布列及期望； (2)若某居民每天都去公园散步，记第n天选择路线A的概率为. （i）请写出与的递推关系； （ii）设，求证：. 【答案】(1)分布列见解析； (2)（i）（ii）证明见解析 【分析】（1）先求居民第二天路线的概率，然后根据二项分布的概率公式求出概率，可得分布列，利用二项分布期望公式可得期望； （2）（ⅰ）分析第天选择路线，和路线情况下第天选择路线的概率，再由全概率公式列式，利用构造法求出关系式；（ⅱ）由（ⅰ）构造法求出通项公式，再借助放缩法及等比数列前和公式推理得证. 【详解】（1）记附近居民第天选择路线分别为事件， 依题意，，，， 则由全概率公式，得居民第二天选择路线散步的概率； 记第二天选择路线散步的人数为，则， 则，， ，， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 故的数学期望． （2）（i）当第天选择路线时，第天选择路线的概率； 当第天选择路线时，第天选择路线的概率， 所以. （ii）由（i）知，则，而， 于是数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，即，， 当时，，而， 所以； 当时，， 而， 所以， 所以. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 计数原理与概率统计 8大考点概览 考点01计数原理 考点02概率与统计 考点03条件概率 考点04离散型随机变量的期望与方差 考点05二项分布与超几何分布的期望与方差 考点06正态分布 考点07回归方程与独立性检验 考点08概率与数列交汇 计数原理 考点1 1．（2026·吉林长春·质量监测(二)）的展开式中的系数为160，则（   ） A．-2 B． C． D．2 2．（2026·吉林白山·二模）甲、乙等6人参加某次会议，会议安排其前后两排入座，每排3人（如图所示），其中甲坐后排，乙与甲前后、左右均不相邻，则不同的坐法种数共有（   ） A．144种 B．168种 C．192种 D．216种 3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）某人有3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的图形的6个顶点A，B，C，，，上各安装一个灯泡，要求同一线段两端的灯泡颜色不同，则不同的安装方法共有（   ） A．3种 B．6种 C．12种 D．48种 4．（2026·辽宁省名校协作体·二模）某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（   ） A．35 B．36 C．42 D．50 5．（2026·内蒙古包头·二模）在的展开式中，含的项的系数是__________. 6．（2026·吉林梅河口五中·二模）暑期同学们相约到某体育馆参加社会实践活动，其中小李、小明等6名同学被安排到，两个场馆，若每个场馆至少安排2人，则小李、小明被安排在同一场馆的方法共_______种(用数字作答). 7．（2026·辽宁大连·二模）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则的系数为___________． 8．（2026·吉林白山·二模）展开式的第4项的二项式系数是___________．（用数字作答） 9．（2026·辽宁大连·二模）现从甲、乙、丙等6人中，先随机抽取1人唱歌，再在剩余5人中随机抽取2人跳舞，在抽取到的3个人中，甲、乙中有且只有1人被抽到，且丙不被抽到去跳舞的抽法有________种． 10．（2026·辽宁辽阳·二模）二项式的展开式中的常数项是__________． 概率与统计 考点2 1．（2026·辽宁辽阳·二模）数据1，1，2，3，5，8，13的70%分位数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6.5 2．(2026·辽宁鞍山普通高中·二模)下列各组数据中方差最大的一组是（   ） A．2，2，2，2，2 B．1，1，2，3，3 C．0，1，2，3，4 D．0，0，2，4，4 3．（2026·吉林长春·质量监测(二)）某精密仪器厂生产一种标准长度为的金属垫片．现随机抽取200个垫片测量其实际长度（单位：），按长度分组并绘制出如图所示的频率分布直方图．若规定长度在区间内的垫片为合格品，用样本频率估计总体的概率，则任取一个垫片为合格品的概率为（   ）    A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 4．（2026·哈尔滨三中·二模）已知数据、、、的平均数，方差为．设，数据、、、的方差为，数据、、、、、、、的方差为，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·吉林G35联合体·二模）（多选）2020—2024年我国粮食产量（单位：万吨）如图所示，下列结论正确的是（   ） A．2020—2024年我国粮食产量逐年增加 B．2020—2024年我国粮食产量的中位数为68653万吨 C．2020—2024年我国粮食产量的极差为3699万吨 D．2020—2024年我国粮食产量与年份负相关 6．(2026·辽宁鞍山普通高中·二模)将甲、乙、丙、丁、戊五名同学分到三个不同的公益活动小组，每组至少一人，至多两人，则甲乙恰好被分到同一小组的概率为________． 7．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）13张大小质地完全相同的卡牌中有八张数字牌，正面标有1~8，此外还有五张字母牌，正面标有A~E，将这十三张牌随机排成一行． (1)求五张字母牌互不相邻的概率； (2)求在标有8的卡牌左侧没有数字牌的概率； (3)对于给定的整数，记“在标有k的数字牌左侧，没有标号比k小的数字牌”为事件，求发生的概率．（结果用含k的式子表示） 条件概率 考点3 1．（2026·辽宁辽阳·二模）小张的停车位被其它车辆占据，小张准备拨打车上的联系电话，可是电话号码的最后一位被遮挡，小张准备随机尝试，则小张在第一次拨打错误的条件下，第三次恰好拨打正确的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·内蒙古包头·二模）甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·吉林长春·质量监测(二)）（多选）景区在春节期间推出两种游玩套餐，已知某游客第一次选择两种游玩套餐的概率分别为和，若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为；若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为，则下列说法正确的是（   ） A．该游客第一次选择套餐，第二次也选择套餐的概率为 B．该游客第一次选择套餐的概率比第二次选择套餐的概率小 C．若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为 D．若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为 4．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知，，，则 ______． 离散型随机变量的期望与方差 考点4 1．（2026·内蒙古兴安盟·二模）一质点从的顶点出发，每次随机沿一条边运动至另一个顶点时终止，则质点次运动过程中仅次经过顶点的条件下，第次回到顶点的概率____________，记质点次运动过程中经过顶点的次数是，则____________． 2．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）甲和乙各自从门选修课中任意选取3门，记为被甲或乙选中的选修课数量，则的数学期望为______． 3．（2026·辽宁辽阳·二模）一个盒子中装有若干个小球，每个小球都标有一个号码，其中标有号的小球有个（，，，且），标有号的小球有个，没有其它标号，从盒子中不放回的随机抽取个球． (1)当时，求取出的两个小球标号之和为的概率； (2)当时，记为取出的两个小球标号之差的绝对值，求的分布列和数学期望． 4．（2026·辽宁省名校协作体·二模）某学校田径队有甲、乙等8名运动员，现将这8人平均分成两组进行集训．每天训练前，两组分别从本组队员中随机选出一人担任组长． (1)求甲、乙两人同在组的概率； (2)求甲在三天内至少担任一次组长的概率； (3)记为连续两天中至少担任一次组长的人数，求的概率分布列和数学期望． 5．（2026·辽宁大连·二模）欲从A，B两个频道中选出一个优选频道作为校园之声广播，现对这两个频道轮流播放进行测试，每次播放一个频道.已知A频道每次播放成功的概率为，B频道每次播放成功的概率为，且每次播放互不影响. 约定1：任选一个频道进行播放，若播放成功，便成为优选频道； 约定2：从A频道开始播放，先成功播放的频道为优选频道，当决定出优选频道或两频道都播放3次均失败，结束测试. (1)按照约定1，求在播放一次就成功的条件下，A频道成为优选频道的概率； (2)按照约定2， （i）两个频道共播放不超过4次时，求A频道成为优选频道的概率； （ii）测试结束时，求B频道播放次数的分布列与数学期望. 6．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）某农场现有两种优质作物种子，在相同种植条件下，单位面积产量分别为随机变量，（单位：吨/亩），其分布列为 (1)若分别用两种种子各种植100亩，设，分别为两种作物的总产量，求，； (2)现将总面积为100亩的土地进行种植规划，用亩种植第一种种子，剩余亩数种植第二种种子，为两种作物总产量的方差之和，求的最小值时的值； (3)结合期望与方差，从稳产性、总产量、种植风险三个角度，对“全部种植第一种种子”，“全部种植第二种种子”，“按（2）最优比例种植”三种方案进行综合评价，并给出面向农场生产的合理化种植建议. 二项分布与超几何分布的期望与方差差 考点5 1．（2026·内蒙古包头·二模）为了了解学生的基本情况，某学校对一次高三质量预测数学考试成绩进行汇总（所有学生的数学成绩都不低于30分），整理后得到如下图所示的频率分布直方图： (1)求频率分布直方图中的值，并估计该校学生数学成绩的第70百分位数； (2)若该校高三学生共有1200人，从中依据按比例分配分层抽样的方法从等级分数介于80至100之间的学生中抽出8人，再从这8人中选出3人，记为3人中分数在的人数，求的分布列和数学期望. 2．（2026·吉林G35联合体·二模）某商场为了吸引顾客，举办抽奖活动，顾客可凭购物发票参与活动一次，规则如下：一个袋子中装有5个除颜色不同外其余均相同的小球，其中2个黑球和3个红球．顾客从袋子中有放回地随机摸两次，每次摸出一球.若两次摸到的球的颜色不同，则按方式①发放礼品，否则按方式②发放礼品． 方式①：若第一次摸到的是红球，则发放礼品A一份，否则发放礼品B一份． 方式②：若购物发票上的金额不低于100元，则发放礼品A一份，否则发放礼品B一份． (1)若有50名顾客参与抽奖活动，用X表示其中按方式①发放礼品的人数，求X的数学期望； (2)抽奖活动后，统计得到，发放的礼品中，礼品A与礼品B的份数的比例为，试估计参与抽奖活动的顾客中，购物发票上的金额不低于100元的比例．（结果保留两位有效数字） 3．(2026·辽宁鞍山普通高中·二模)在某次军事演习中，红军参谋部进行战前推演：蓝军拥有两个相同结构的军事基地，每个基地有个重要节点：红军拥有某种型号导弹，对上述每个重要节点单枚命中即可摧毁，且单枚突破防御并命中的概率为．红军的演习任务是发射枚该型号导弹对蓝军军事基地实施打击，完成对蓝军至少一个军事基地的彻底摧毁（即摧毁该基地内的全部重要节点）即为获胜． 现有两种打击方案： 方案一：选择某一军事基地内的个重要节点进行打击，对每个重要节点发射两枚导弹； 方案二：对两个军事基地的各个重要节点进行打击，对每个重要节点发射一枚导弹． 视各枚导弹突破防御并命中目标相互独立，请你帮助红军参谋部进行推演计算： (1)分别求出两种方案中，最终摧毁的重要节点数的期望，并比较期望大小； (2)比较两种方案下红军获胜的概率，判断哪种方案更优． 4．（2026·哈尔滨三中·二模）在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问．对一些敏感性问题，更要精心设计问卷及调查方法，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况．某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的80名初中生和120名高中生进行了调查.调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的10个白球和20个黑球的袋子.每个被调查者随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生若吸烟，则写下①，若不吸烟，则写下②；摸到黑球的学生若吸烟，则写下②，若不吸烟，则写下①．由于问题的答案只有①和②，而且摸到的是白球还是黑球也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．设事件“被调查者吸烟”，“被调查者写下①”． (1)为了进一步了解学生的吸烟情况，从被调查的初中生和高中生中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取3名学生进行问卷调查，记抽取的3名学生中初中生的人数为，求的分布列和数学期望； (2)用频率估计概率，若200名学生中有130人写下①，试估计的值； (3)若，求的最小值并求出此时的值． 正态分布 考点6 1．（2026·东北三省三校·二模）（多选）下列说法正确的是（   ） A．随机事件A,B相互独立的充要条件是 B．设X为随机变量,则 C．,则, D．若,记函数,,则的图象关于点对称 2．（2026·内蒙古包头·二模）已知随机变量X服从正态分布，且，则的最小值为_______. 3．（2026·辽宁沈阳·质量监测(二)）某科技公司研发的AI智能体在进行图象分类任务时，单次分类的准确率X（单位：分）服从正态分布． (1)求正常情况下，该AI单次分类的准确率大于99分的概率； (2)某天测试人员随机抽取了该AI的两次分类结果，发现两次的准确率得分均大于99分．测试人员根据这两次测试结果，判断该AI智能体出现了异常波动，要求立即暂停研发更新并进行算法排查．请问测试人员的判断是否合理？请说明理由． 附：若，则，，． 回归方程与独立性检验 考点7 1．（2026·辽宁省名校协作体·二模）（多选）下列命题正确的是（   ） A．若样本数据，，的方差为2，则数据 的方差为4 B．若，，，则 C．在一组样本数据，，，，(，不全相等)的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为 D．以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得经验回归方程为，则的值分别是和4 2．（2026·辽宁大连·二模）（多选）下列命题成立的是（    ） A．已知，若，则 B．若一组样本数据对应的样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 C．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是4和0.3 D．对分类变量与的独立性检验的统计量来说，值越大，判断“与有关系”的把握性越小 3．（2026·内蒙古兴安盟·二模）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．若事件相互独立，则 C．对具有线性相关关系的变量，其经验回归方程为，若样本数据的中心点为，则实数的值是4 D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，可判断变量与不独立 4．（2026·吉林梅河口五中·二模）（多选）下列说法中正确的是（ ） A．一个样本（数据不全为3）的平均数为3，若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变，方差变小 B．在成对样本数据中，两个变量间的样本相关系数越小，则它们的线性相关程度越弱 C．数据，53，56，69，70，72，79，65，80，45，41的极差为40，则这组数据的第m百分位数为79 D．依据小概率值的独立性检验推断两个分类变量X与Y之间是否有关联，经计算得，则可以认为“X与Y没有关联” 5．（2026·吉林梅河口五中·二模）近几年来空气质量逐步转好，全民健身运动引起广泛关注．某兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 空气质量 锻炼人次 优良 7 26 37 轻度污染 6 7 8 中度污染 7 2 0 (1)求空气质量优良的概率的估计值； (2)根据所给数据，完成下面的列联表： 空气质量 人次≤400 人次 合计 优良 污染 合计 (3)根据小概率值的独立性检验，能否认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 附：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 6．（2026·吉林长春·质量监测(二)）为研究某校高三年级学生的身高是否与性别有关，现从学生群体中，随机测量了50名学生的身高，然后按“身高低于170cm”与“身高不低于170cm”分成两组，统计整理各组人数如下列联表（单位：人）． 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 男 8 24 32 女 12 6 18 合计 20 30 50 (1)依据的独立性检验，能否认为该学校高三年级学生的身高与性别有关联？ (2)若从男生样本和女生样本中各选取一人，求两名学生身高不在同一组的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 7．（2026·吉林白山·二模）某地举办业余乒乓球联赛，比赛分“有缝球型”和“无缝球型”两个赛区，从该地区抽取部分选手进行调研，相关数据如下表： 喜欢用有缝球 喜欢用无缝球 直拍打法选手 18 30 横拍打法选手 20 12 (1)能否有95%以上的把握认为不同打法的选手对于有缝球和无缝球的喜好有影响？ (2)若从参加调研的“横拍打法”选手中用分层抽样的方法抽取8名选手，按照各自喜爱的球型参加相应赛区的比赛．现从8名选手中选3人，用AI监测他们的比赛数据． ①求两个赛区都有人被选中的概率； ②用表示被选3人中“喜欢用无缝球”的人数，求的分布列和期望． 附：， 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 概率与数列交汇 考点8 1．（2026·吉林白山·二模）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为. (1)求的分布列； (2)求数列的通项公式； (3)求的期望. 2．（2026·东北三省三校·二模）在自动驾驶系统的路径规划中,车辆的车道选择行为可用马尔科夫链模型描述.设道路只有两条车道,分别记为车道0和车道1.每隔一个固定时间步长,车辆会选择更换车道或者保持车道不变,记为第个时间步长车辆所在的车道（）.马尔科夫链的下一时刻状态仅取决于当前时刻状态,记 为一步转移概率,矩阵为一步转移概率矩阵. 已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下：若当前在车道0,下一时刻变道至车道1的概率为；若当前在车道1,下一时刻变道至车道0的概率为. (1)已知时刻车辆处于车道0的概率为,处于车道1的概率为. ①写出该模型的一步转移概率矩阵； ②若时刻车辆处于车道1,求时刻车辆处于车道0的概率. (2)在第（1）问的初始概率条件下,记（）,求随机变量的分布列（结果用含的式子表示）. 3．（2026·内蒙古包头·二模）某公园有两条散步路线，分别记为路线A和路线B.附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线A的居民第二天选择路线A和路线B的概率均为；前一天选择路线B的居民第二天选择路线A和路线B的概率分别为和，已知居民第一天选择路线A的概率为，选择路线B的概率为. (1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线A散步的人数为Y，求Y的分布列及期望； (2)若某居民每天都去公园散步，记第n天选择路线A的概率为. （i）请写出与的递推关系； （ii）设，求证：. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $