专题12 构造辅助圆解决隐圆问题的几种模型-2026年中考二轮复习核心考点专题提优拓展训练

**基本信息** 以“定点+定长”“定角+定弦”“四点共圆”三大模型为框架，系统构建隐圆问题的辅助圆构造方法体系，通过情境串联与分类训练培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定点+定长|典例1(1)、习题1-8|构造以定点为圆心、定长为半径的圆，将动点轨迹转化为圆周|从圆的定义出发，结合折叠等变换，建立“一中同长”模型的性质应用链条| |定角+定弦|典例1(2)(3)、典例2、习题9-17|构造定弦所对定角的外接圆，利用圆周角定理转化角度关系|基于圆周角与圆心角关系，延伸至直角、特殊角对定边的隐圆判定与最值求解| |四点共圆|习题18-21|通过对角互补或等角对等弦判定四点共圆，简化复杂几何关系|整合圆内接四边形性质，实现多顶点共圆条件的综合应用与路径分析|

专题12 构造辅助圆解决隐圆问题的几种模型 第一部分 专题模型情境串联 【典例1】阅读理解： （1）【学习心得】小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点+定长”：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝44°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数． 解：若以点A（定点）为圆心，AB（定长）为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ 　22　 °． ②类型二，“定角+定弦”：如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为 　2　 （2）【问题解决】如图3，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为 　2　 ． （3）【问题拓展】如图4，在正方形ABCD中，AD＝4，动点E，F分别在边DC，CB上移动，且满足DE＝CF．连接AE和DF，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 【典例2】[阅读理解]（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆⊙A，则C、D两点必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角．∠BDC是⊙A的圆周角，则∠BDC＝ 　45　 °． [学以致用]（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝20°，则∠BAC＝ 　20°　 ； [问题迁移]（3）如图3，已知矩形ABCD，AB＝6，BC＝m，M为边CD上的点，若满足∠AMB＝45°的点M恰好有两个，求m的取值范围． [迁移提升]（4）如图4，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝6，CD＝4，求AD的长． 第二部分 经典习题分类训练 类型一 “定点+定长”模型 （一）一中同长 1．如图，OA＝OB＝OC＝OD，∠BOC+∠AOD＝180°．若BC＝4，AD＝6，则OA的长为（　　） A． B．2 C． D．4 【分析】过O作OF⊥BC于F，OE⊥AD于E，由等腰三角形的性质得到BF＝CF＝2，AE＝DE＝3，∠AOE＝∠DOE，∠BOF＝∠COF，由∠BOC+∠AOD＝180°，得到∠AOE+∠BOF＝90°，进而得到∠A＝∠BOF＝90°﹣∠AOE，根据全等三角形判定证得△AOE≌△OBF，得到OE＝BF＝2，在Rt△AOE中，根据勾股定理即可求得OA． 【解答】解：过O作OF⊥BC于F，OE⊥AD于E， ∴∠AEO＝∠OFB＝90°， ∴∠A+∠AOE＝90°， ∵OA＝OB＝OC＝OD， ∴BF＝CFBC4＝2，AE＝DEAD6＝3，∠AOE＝∠DOE，∠BOF＝∠COF， ∵∠BOC+∠AOD＝180°， ∴∠AOE+∠BOF＝90°， ∴∠A＝∠BOF＝90°﹣∠AOE， 在△AOE和△OBF中， ， ∴△AOE≌△OBF（AAS）， ∴OE＝BF＝2， 在Rt△AOE中，∠AEO＝90°，OE＝2，AE＝3， ∴OA， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 2．如图，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．则BD2的值为（　　） A．14 B．15 C．18 D．12 【分析】作AM⊥BC于点M，AN⊥BD于点N，根据题给条件及等腰三角形的性质证明△ABN≌△BAM，继而求出AN的值，在Rt△ABN中，利用勾股定理求解即可． 【解答】解：作AM⊥BC于点M，AN⊥BD于点N， ∵AC＝AB， ∴△ABC为等腰三角形， ∴AM也是△ABC的中线和角平分线（三线合一）， ∴∠CAM＝∠BAM， ∴△ABM≌△ACM， ∵AB∥CD，AC＝AD， ∴∠ADC＝∠ACD＝∠CAB， ∵∠ADB＝∠ABD＝∠CDB， ∴∠ADB∠ADC＝∠MAB， ∴∠MAB＝∠DBA， 又∵AB＝AB， ∴△ABN≌△BAM（AAS）， ∴ANBC， ∵AB＝2， ∴BN2＝AB2﹣AN2， ∴BD2＝4BN2＝15． 故选：B． 【点睛】本题考查了梯形的知识，同时涉及了等腰三角形的性质和勾股定理的知识，难度适中，解题关键是正确作出辅助线． 3．如图，在以A、B、C、D四点构成的四边形中，∠ABC＝90°，AB＝DB＝CB＝4．若P在线段AD上，且始终满足PD＝2PA，连接PC，则PC的最小值为 　　 ． 【分析】由定点+定长识别出点A、C、D在以点B为圆心，4为半径的圆上，在利用PD＝2AP构造相似三角形，点P作PF∥DE，交AE于点F，进而得到AF，∠APF＝90°，所以点P在以AF中点O为圆心，AF为直径的圆上，当点P在线段OC上时，PC的长取得最小值，求解即可． 【解答】解：∵AB＝DB＝CB＝4， ∴点A、C、D在以点B为圆心，4为半径的圆上， 如图，以点B为圆心，4为半径作⊙B，作直径AE，连接DE，过点P作PF∥DE，交AE于点F， ∵PF∥DE， ∴△APF∽△ADE， ∴， ∵PD＝2PA， ∴APAD， ∴AFAE， ∵半径AB＝4， ∴直径AE＝2AB＝8， ∴AFAE， ∵AE为直径， ∴∠ADE＝90°， ∵PF∥DE， ∴∠APF＝∠ADE＝90°， ∴点P在以AF中点O为圆心，AF为直径的圆上，如图： 连接OP，OC， 则 OP＝OAAF， 当点P在线段OC上时，PC的长取得最小值，如图： ∵OA， ∴OB＝AB﹣OA， 又∠ABC＝90°，BC＝4， ∴在 Rt△OBC 中，， ∴PC 的最小值， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、隐圆等内容，识别隐圆模型，构造相似是解题的关键． 4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，已知BC＝CD＝AC＝2，AB，则BD的长为　　 ． 【分析】根据直角三角形的性质求解． 【解答】解：以点C为圆心，BC的长为半径作圆，延长BC交圆C于点E，连接DE． ∵AD∥BC， ∴AB＝DE， ∵BE为直径， ∴∠BDE＝90°， 在Rt△BDE中， BD 故答案为：． 【点睛】解答此题关键是要熟知直角三角形的性质． （二）折叠产生“定点定长” 5．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B'D的最小值是（　　） A．22 B．6 C．4 D．22 【分析】B′的运动轨迹是以E为圆心，以AE的长为半径的圆．所以，当B′点落在DE上时，B′D取得最小值．根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B′E＝BE＝2，DE﹣B′E即为所求． 【解答】解：如图，当点B′落在DE上时，B'D取最小值， ∵AB＝4，E是AB边的中点， ∴AE＝BE＝2， 根据折叠可知：B′E＝BE＝2， 在平行四边形ABCD中， ∵∠B＝60°， ∴∠BEG＝∠AEH＝30°， ∴BG＝AH＝1， ∴EG＝EH， ∴DH＝AD＝AH＝6+1＝7， 在Rt△DHE中，根据勾股定理得： DE2， ∴DB′＝DE﹣B′E＝22， 则B'D的最小值是22． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、平行四边形的性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点B′在何位置时，B′D的值最小，是解决问题的关键． 6．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是（　　） A． B．3 C．1 D．1 【分析】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点A′在线段CE上时，A′C的长取最小值，根据折叠的性质可知A′E＝1，在Rt△BCE中利用勾股定理可求出CE的长度，用CE﹣A′E即可求出结论． 【解答】解：以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点A′在线段CE上时，A′C的长取最小值，如图所示． 根据折叠可知：A′E＝AEAB＝1． 在Rt△BCE中，BEAB＝1，BC＝3，∠B＝90°， ∴CE， ∴A′C的最小值＝CE﹣A′E1． 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质以及勾股定理，利用作圆，找出A′C取最小值时点A′的位置是解题的关键． 7．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，E是AB边的中点，F是BC边上任意一点，连接EF．把∠B沿着EF折叠，使点B落在B'处，当△CFB'为直角三角形时，CF的长为　或1　 ． 【分析】分类讨论：当∠B′FC＝90°时，当∠CB′F＝90°时，利用勾股定理及矩形与折叠的性质即可求解． 【解答】解：∵E是AB边的中点， ∴AE＝BE＝3， 当△CFB'为直角三角形时，分两种情况讨论： 当∠B′FC＝90°时，如图1， ∴∠B′FB＝90°， ∵把∠B沿着EF折叠，使点B落在B'处， ∴BE＝B′E＝3，BF＝B′F，∠BFE＝∠B′FE＝45°， 在矩形ABCD中，∠B＝90°， ∴∠BEF＝∠BFE＝45°， ∴BF＝BE＝3， ∴CF＝BC﹣BF＝4﹣3＝1； 当∠CB′F＝90°时，如图2， ∵把∠B沿着EF折叠，使点B落在B'处， ∴∠B＝∠EB′F＝90°，BE＝B′E＝3，BF＝B′F， ∴∠EB′F+∠CB′F＝180°， ∴点E，点B′，点C三点共线， 在Rt△EBC中，BE＝3，BC＝4， 由勾股定理得：， ∴B′C＝EC﹣B′E＝5﹣3＝2， 在直角三角形B′CF中，由勾股定理得：FB′2+CB′2＝CF2， ∴（4﹣CF）2+22＝CF2， 解得：， 综上所述，或CF＝1， 故答案为：或1． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，矩形的性质，熟练掌握基础知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 8．如图，点A是y轴正半轴上一点，点B是x轴负半轴上一点，AB＝3，点C（在B的右边）在x轴上，且BC＝5，点D是x轴上一动点，将三角形ABD沿直线AD翻折，点B落在点E处，已知CE的最小值为1，则点A的坐标是（　　） A．（0，2） B．（0，2.4） C．（0，2.5） D．（0，1.8） 【分析】由折叠的性质可求AC的长，由勾股定理可求OA的长． 【解答】解：∵将三角形ABD沿直线AD翻折，点B落在点E处， ∴AB＝AE， ∴点E在以A为圆心，AB为半径的圆上， 则当点A，点E，点C共线时，EC有最小值， 如图， ∵CE的最小值为1， ∴AC＝4， ∵AO2+OC2＝AC2＝16，AO2+（5﹣OC）2＝AB2＝9， ∴OA＝2.4， ∴点A坐标为（0，2.4）， 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程组是解决问题的关键． 类型二 “定角+定弦”模型 （一）直角对定边 9．如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点E，F分别从点A，C同时出发，以相同的速度分别沿AB，CD向终点B，D移动，当点E到达点B时，运动停止．过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为（　　） A．2cm B．（）cm C．2cm D．（22）cm 【分析】设正方形的中心为O，可证EF经过O点．连接OB，取OB中点M，连接 MA，MG，则MA，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可． 【解答】解：设正方形的中心为O，可证EF经过O点． 连接OB，取OB中点M，连接 MA，MG，则MA，MG为定长， ∴MA，MGOB，AG≥AM﹣MG， 当A，M，G三点共线时，AG最小值＝（）cm， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题是解决本题的关键． 10．如图，已知点A，B的坐标分别为（﹣4，0）和（2，0），在直线l：yx+2上取一点C，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】（方法一）分∠CAB＝90°、∠CBA＝90°以及∠ACB＝90°三种情况考虑，画出图形，利用数形结合即可解决问题． （方法二）设点C的坐标为（m，m+2），分∠CAB＝90°、∠CBA＝90°以及∠ACB＝90°三种情况考虑：当∠CAB＝90°时，由点A的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出点C的坐标；当∠CBA＝90°时，由点B的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出点C的坐标；当∠ACB＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，将其代入点C的坐标中即可得出点C的坐标．综上即可得出结论． 【解答】解：（方法一）当∠CAB＝90°时，此时点C为图中C1； 当∠CBA＝90°时，此时点C为图中C2； 当∠ACB＝90°时，以线段AB为直径画圆，圆与直线l交于点C3、C4两点， 此时∠AC3B＝∠AC4B＝90°． 综上所述：满足条件的点C有4个． （方法二）设点C的坐标为（m，m+2）． 当∠CAB＝90°时，CA⊥x轴， ∴m＝﹣4， ∴点C的坐标为（﹣4，4）； 当∠CBA＝90°时，CB⊥x轴， ∴m＝2， ∴点C的坐标为（2，1）； 当∠ACB＝90°时，有AC2+BC2＝AB2， 即[m﹣（﹣4）]2+（m+2）2+（m﹣2）2+（m+2）2＝[2﹣（﹣4）]2， 解得：m＝±， ∴点C的坐标为（，2）或（，2）． 综上所述：满足条件的点C有4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、直角三角形以及勾股定理，解题的关键是：（方法一）依照题意画出图形，利用数形结合解决问题；（方法二）分∠CAB＝90°、∠CBA＝90°以及∠ACB＝90°三种情况找出点C的坐标． 11．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，在△ABC内部以AC为斜边任意作Rt△ACD，连接BD，则线段BD长的最小值是　2　 ． 【分析】取AC的中点O，根据圆周角定理得到点D在以AC为直径的圆上，根据勾股定理可计算出OB＝5，当D点在OB上时，BD的值最小，最小值为5﹣3＝2． 【解答】解：取AC的中点O， ∵在△ABC内部以AC为斜边任意作Rt△ACD， ∴点D在以AC为直径的圆上， ∴当D点在OB上时，BD的值最小， 在Rt△BOC中，OCAC＝3，BC＝4， ∴OB5， ∴BD的值最小为5﹣3＝2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．也考查了圆周角定理和勾股定理． 12．如图，已知A（2，6）、B（8，﹣2），C为坐标轴上一点，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有（　　）个． A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】过点A作AB的垂线，交x轴于点C1，交y轴于点C2；过点B作AB的垂线，交x轴于点C3，交y轴于点C4；根据直径所对的圆周角为直角，以AB为直径作圆，根据A和B的坐标求出AB的长度，即为圆的直径，可得出半径的长，进而判断得出圆与y轴相切，可得出圆与y轴有1个交点，与x轴交于2点．所以满足条件的点共有7个． 【解答】解：分三种情况考虑： ①当A为直角顶点时，过A作AC⊥AB，交x轴于点C1，交y轴于点C2，此时满足题意的点为C1，C2； ②当B为直角顶点时，过B作BC⊥AB，交x轴于点C3，交y轴于点C4，此时满足题意的点为C3，C4； ③当C为直角顶点时，以AB为直径作圆，由A（2，6）、B（8，﹣2），可得此圆与y轴相切， 则此圆与y轴有1个交点，与x轴有2个交点，分别为C5，C6，C7． 综上，所有满足题意的C有7个． 故选：B． 【点睛】此题考查了圆周角定理，直角三角形以及坐标与图形性质，利用了分类讨论及数形结合的思想．注意：若△ABC是直角三角形，则它的任意一个顶点都有可能为直角顶点． 13．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，求线段DH长度的最小值． 【分析】根据正方形的性质可得AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，然后求出∠AHB＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OHAB＝1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小． 【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴∠1＝∠2， 在△ADG和△CDG中， ， ∴△ADG≌△CDG（SAS）， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°， ∴∠1+∠BAH＝90°， ∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°， 取AB的中点O，连接OH、OD， 则OH＝AOAB＝1， 在Rt△AOD中，OD， 根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD， ∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小， 最小值＝OD﹣OH1． （解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆上运动，当O、H、D三点共线时，DH长度最小） 故答案为：1． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出DH最小时点H的位置是解题关键，也是本题的难点． （二）定角（非直角）对定边 14．如图，已知等边△ABC的边长为2，D，E分别为BC，AC上的两个动点，且AE＝CD，连接BE，AD交于点P，则CP的最小值为（　　） A． B．2 C．2 D． 【分析】易证△ABD≌△BCE，可得∠BAD＝∠CBE，根据∠APE＝∠ABE+∠BAD，∠APE＝∠BPD，∠ABE+∠CBE＝60°，即可求得∠APE＝∠ABC，推出∠APB＝120°，推出点P的运动轨迹是，∠AOB＝120°，连接CO，求出OC，OA，再利用三角形的三边关系即可解决问题． 【解答】解：∵CD＝AE， ∴BD＝CE， 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD＝∠CBE， ∵∠APE＝∠ABE+∠BAD，∠APE＝∠BPD，∠ABE+∠CBE＝60°， ∴∠BPD＝∠APE＝∠ABC＝60°， ∴∠APB＝120°， ∴点P的运动轨迹是，∠AOB＝120°，连接CO， 在△AOC和△BOC中， ， ∴△AOC≌△BOC（SSS）， ∴∠OAC＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO＝30°， ∵∠AOB+∠ACB＝180°， ∴∠OAC+∠OBC＝180°， ∴∠OAC＝∠OBC＝90°， ∵AB＝2， ∴OB＝r2， ∴OC4， ∴OP＝2， ∴PC的最小值为OC﹣r＝422． 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、勾股定理、圆的性质等知识，解题的关键是发现点P的运动轨迹． 15．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠APC＝150°，则线段PB长度的最小值为 　22　 ． 【分析】如图，作△APC的外接圆⊙O，根据圆周角定理可得∠COA＝60°，得△AOC是等边三角形，可知点P的运动轨迹是，当O、P、B共线时，PB长度最小，根据勾股定理和线段的差可得结论． 【解答】解：如图，作△APC的外接圆⊙O， ∵∠APC＝150°， ∴∠COA＝60°， ∵OA＝OC， ∴△AOC是等边三角形， ∴OA＝OC＝AC＝2， ∴点P的运动轨迹是， 当O、P、B共线时，PB长度最小， 设OB交AC于D， 此时PA＝PC，OB⊥AC， ∵△ABC是等边三角形， ∴AD＝CDAC＝1，∠ABD∠ABC＝30°， ∴BD＝OD， ∵OP＝OC＝2， ∴PD＝2， ∴PB＝BD﹣PD（2）＝22． 故答案为：22． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆周角定理，三角形的三边关系，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质等知识；确定PB最小值时点P的位置是解决问题的关键． 16．已知点A（1，0）、点B（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．若点P在y轴的负半轴上，且∠APB＝30°，则满足条件的点P的坐标为　（0，﹣2）或（0，﹣2）　 ． 【分析】利用圆周角定理可判断点A、B、P在以C点为圆心，CA为半径的圆上，且∠ACB＝2∠APB＝60°，则CA＝CB＝AB＝4，⊙C交y轴于P和P′点，连接CP，如图，作CD⊥AB于D，CE⊥y轴于E，根据垂径定理得到得到AD＝DB＝2，PE＝P′E，所以CD＝2，OD＝3，再利用勾股定理计算出PE得到OP′和OP的长，从而得到满足条件的点P的坐标． 【解答】解：∵∠APB＝30°， ∴点A、B、P在以C点为圆心，CA为半径的圆上，且∠ACB＝2∠APB＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴CA＝CB＝AB＝4， ⊙C交y轴于P和P′点，连接CP，如图， 作CD⊥AB于D，CE⊥y轴于E，则AD＝DB＝2，PE＝P′E， ∵AD＝2，CA＝4， ∴CD＝2，OD＝OA+AD＝3， 在Rt△PCE中，PE， ∵OE＝CD＝2， ∴OP′＝2，OP＝2， ∴P（0，﹣2），P′（0，﹣2）， ∴满足条件的点P的坐标为（0，﹣2）或（0，﹣2）． 故答案为（0，﹣2）或（0，﹣2）． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和勾股定理． 17．问题探究 （1）如图1，在矩形ABCD中，AB，BC＝4，请在直线BC上方找一点Q，使△BQC是以BC为底的等腰三角形，且它的面积等于矩形ABCD的面积，并求出此时△BQC的度数； （2）如图2，在△ABC中，∠C＝120°，AB＝4，在△ABC所在的平面上是否存在点M，使△ABM的面积等于△ABC的面积，且∠AMB＝60°？若存在，请在图2中画出所有符合条件的点M位置；若不存在，请说明理由； 问题解决 （3）如图3，现在有一块直角三角形钢板，∠ABC＝90°，AC＝5，AB＝3，工人师傅想用它裁出面积最大的△ABP，且∠APB＝60°，请在图3中画出符合要求的点P，并求出△ABP的最大面积． 【分析】（1）延长BA到点E，使AE＝AB，过点E作直线l∥BC，作BC的中垂线交BC与点F，交l于点Q，连接BQ，CQ，则△BQC即为所求； （2）过点C作直线AB的平行线，构造等边三角形ABE，作△ABE的外接圆⊙O，交AB的平行线于点M1，M2，分别做点M1，、M2关于AB的对称轴点M3、M4； （3）先判断出点D落在△ABE外，知点P在点E处时，△ABP的面积最大，作BG⊥AP于G，易得△GAB∽△BAC，即可依据AG：BG：AB＝AB：BC：AC＝3：4：5，得AGAB，BGAB，在△GBP中求得PG，AP＝AG+PG，根据三角形的面积公式可得答案． 【解答】解：（1）如图1， ∵AB，BC＝4， ∴S矩形ABCD＝4， 要使S△BQC＝S矩形ABCD，则△BQC底边BC上高应该是2， 延长BA到点E，使AE＝AB，过点E作直线l∥BC，作BC的中垂线交BC与点F，交l于点Q，连接BQ，CQ，则△BQC即为所求． 在△FBQ中，FQ＝2，BF＝2， ∴BQ＝4， ∴△BQC为等边三角形， 此时，∠BQC＝60°． （2）存在满足题意的点M， 如图2，过点C作直线AB的平行线， 构造等边三角形ABE，作△ABE的外接圆⊙O，交AB的平行线于点M1，M2， 则∠AM1B＝∠AM2B＝∠AEB＝60°． ∵M1M2∥AB， ∴S△AM1B＝S△AM2B＝S△ABC． 分别做点M1，M2关于AB的对称轴点M3、M4， 则M3、M4也满足要求， 故符合题意的点有4个，它们分别是M1、M2、M3、M4． （3）∵∠APB＝60°，AB＝3， ∴△ABP是定角对定边的型态， 则点P是圆弧上的动点， 以AB为边画等边△ABD，然后再画△ABD的外接圆交AC于E，交BC于点M，当点P在劣弧EM上，总有∠APB＝∠ADB＝60°， ∴符合要求的点P在劣弧EM上． 延长AD交射线BC于F， 由∠ABC＝90°，AB＝3，∠BAD＝60°得AF＝2AB＝6＞AC， ∴点F落在BC延长线上， ∴点D落在△ABE外， ∴点P在点E处时，△ABP的面积最大， 此时BG⊥AP于G， 易得△GAB∽△BAC， ∴AG：BG：AB＝AB：BC：AC＝3：4：5， ∴AGAB，BGAB， ∵在△GBP中，∠GPB＝60°， ∴PG， ∴AP＝AG+PG， ∴△ABP的最大面积为AP•BG（）． 【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握平行线的判定与性质、圆周角定理、等边三角形的性质、三角函数的应用等知识点． 类型三 四点共圆模型 18．在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，2），动点P在的图象上运动（不与O重合），连接AP，过点P作PQ⊥AP，交x轴于点Q，连接AQ． （1）求线段AP长度的取值范围； （2）试问：点P运动过程中，∠QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由． 【分析】（1）作AH⊥OP，由yx知：∠HOQ＝30°，∠HOA＝60°，由三角函数得出AH的值即为AP的最小值； （2）分点P在第三象限、点P在第一象限的线段OH上、点P在第一象限的线段OH的延长线上三种情况，用四点共圆求解； 【解答】解：（1）如图1，作AH⊥OP，则AP≥AH， ∵点P在yx的图象上， ∴∠HOQ＝30°，∠HOA＝60°， ∵A（0，2）， ∴AH＝AO•sin60°， ∴AP； （2）①当点P在第三象限时，如图2， 由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得Q、P、O、A四点共圆， ∴∠PAQ＝∠POQ＝30°． ②当点P在第一象限的线段OH上时，如图3， 由∠QPA＝∠QOA＝90°可得Q、P、O、A四点共圆， ∴∠PAQ+∠POQ＝180°，又此时∠POQ＝150°， ∴∠PAQ＝180°﹣∠POQ＝30°． ③当点P在第一象限的线段OH的延长线上时， 由∠QPA＝∠QOA＝90°可得∠APQ+∠AOQ＝180°， ∴Q、P、O、A四点共圆， ∴∠PAQ＝∠POQ＝30°． 综上所述，∠PAQ＝30″． 【点睛】本题为一次函数综合题，考查了四点共圆，一次函数的性质，四点共圆，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 19．如图，矩形ABCD中，点E是CD的中点，点P是AD上的任意一点（不与A，D重合）连接PE，以PE为斜边，构造等腰Rt△PFE，点F在矩形ABCD内部，连接AF，若AB＝8，BC＝12，则AF的取值范围为 　6AF≤2　 ． 【分析】根据点P的运动可知，当点P与点A重合时，AF取得最小值，当点P与点D重合时，AF取得最大值；画出对应的图形，根据等腰直角三角形的性质，利用勾股定理可得结论． 【解答】解：∵点E是CD的中点， ∴CE＝DE＝4， 根据点P的运动可知，∠FDC＝45°，当AF⊥DF时取得最小值，当点P与点D重合时，AF取得最大值； ①当AF⊥DF时， △PAD是等腰直角三角形， ∴AFAD＝6； ②当点P与点D重合时，如图所示， ∵△PEF是等腰直角三角形， ∴PF＝EF＝2， 过点F作FM⊥AD于点M， ∵∠ADC＝90°， ∴∠FPM＝45°， ∴△PFM是等腰直角三角形， ∴FM＝PMPF＝2， ∴AM＝10， ∴AF2． 故答案为：6AF≤2． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等内容，根据点P的运动得到临界状态得出AF的最大值和最小值是解题关键． 20．如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一动点，连结AP，AP的垂直平分线交BD于点G，交AP于点E，在P点由B点到C点的运动过程中，∠APG的大小变化情况是（　　） A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．不变，等于 D．不变，等于 【分析】根据菱形的性质得出∠AOB＝90°，AO＝CO，求出A、E、G、O四点共圆，得出∠PAG＝∠EOB，∠APG＝∠PAG，求出∠APG＝∠EOB＝∠DBC，即可求出答案． 【解答】解：连接AC，交BD于O，连接EO， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠AOB＝90°， ∵EG是AP的垂直平分线， ∴AG＝PG，∠AEG＝∠AOB＝90°， ∴A、E、G、O四点共圆， ∴∠PAG＝∠EOB，∠APG＝∠PAG， ∴∠EOG＝∠APG， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC， ∵AE＝PE， ∴OE∥BC， ∴∠EOG＝∠DBC∠ABC＝∠APG， ∵菱形ABCD固定， ∴∠ABC的度数固定， 即∠APG的度数不变， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线性质，三角形中位线定理等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键． 21．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，∠D＝30°，AB＝BC． （1）求∠A+∠C的度数； （2）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由； （3）若AB＝2，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2＝BE2+CE2，求点E运动路径的长度． 【分析】（1）根据四边形的内角和为360°即可解答； （2）连接BD．以BD为边向下作等边三角形BDQ，证明△ABD≌△CBQ（SAS），可得AD＝CQ，∠A＝∠BCQ，结合（1）中结论可证得∠DCQ＝90°，利用勾股定理即可解决问题； （3）连接AC，将△ACE绕点A顺时针旋转60°得到△ABR，连接RE，可证得∠BEC＝150°，动点E在四边形ABCD内部运动，满足∠BEC＝150°，以BC为边向外作等边△OBC，则点E是在以O为圆心，OB为半径的圆周上运动，运动轨迹为弧BC，利用弧长公式即可解答． 【解答】解：（1）在四边形ABCD中， ∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∠B＝60°，∠D＝30°， ∴∠A+∠C＝360°﹣60°﹣30°＝270°． （2）如图，结论：BD2＝AD2+CD2． 理由：连接BD．以BD为边向下作等边三角形BDQ． ∵∠ABC＝∠DBQ＝60°， ∴∠ABD＝∠CBQ， ∵AB＝BC，DB＝BQ， ∴△ABD≌△CBQ（SAS）， ∴AD＝CQ，∠A＝∠BCQ， ∵∠A+∠BCD＝∠BCQ+∠BCD＝270°， ∴∠DCQ＝90°， ∴DQ2＝DC2+CQ2， ∵CQ＝DA，DQ＝DB， ∴BD2＝AD2+CD2． （3）如图，连接AC，将△ACE绕点A顺时针旋转60°得到△ABR，连接RE． 则△AER是等边三角形， ∵AE2＝BE2+CE2，EA＝RE，EC＝RB， ∴RE2＝RB2+EB2， ∴∠EBR＝90°， ∴∠RAE+∠RBE＝150°， ∴∠ARB+∠AEB＝∠AEC+∠AEB＝210°， ∴∠BEC＝150°， 动点E在四边形ABCD内部运动，满足∠BEC＝150°，以BC为边向外作等边△OBC， 则点E是在以O为圆心，OB为半径的圆周上运动，运动轨迹为弧BC， ∵∠BOC＝60°， ∴点E的运动路径． 【点睛】本题考查了四边形的内角和为360°、等边三角形的判定与性质、旋转的性质的应用、勾股定理、圆的性质、弧长公式，是一道综合题型，借助构造辅助圆解决问题有一定的难度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 构造辅助圆解决隐圆问题的几种模型 第一部分 专题模型情境串联 【典例1】阅读理解： （1）【学习心得】小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点+定长”：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝44°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数． 解：若以点A（定点）为圆心，AB（定长）为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ 　 　 °． ②类型二，“定角+定弦”：如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为 　 　 （2）【问题解决】如图3，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为 　 　 ． （3）【问题拓展】如图4，在正方形ABCD中，AD＝4，动点E，F分别在边DC，CB上移动，且满足DE＝CF．连接AE和DF，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 【典例2】[阅读理解]（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆⊙A，则C、D两点必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角．∠BDC是⊙A的圆周角，则∠BDC＝ 　 　 °． [学以致用]（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝20°，则∠BAC＝ 　 　 ； [问题迁移]（3）如图3，已知矩形ABCD，AB＝6，BC＝m，M为边CD上的点，若满足∠AMB＝45°的点M恰好有两个，求m的取值范围． [迁移提升]（4）如图4，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝6，CD＝4，求AD的长． 第二部分 经典习题分类训练 类型一 “定点+定长”模型 （一）一中同长 1．如图，OA＝OB＝OC＝OD，∠BOC+∠AOD＝180°．若BC＝4，AD＝6，则OA的长为（　　） A． B．2 C． D．4 2．如图，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2．则BD2的值为（　　） A．14 B．15 C．18 D．12 3．如图，在以A、B、C、D四点构成的四边形中，∠ABC＝90°，AB＝DB＝CB＝4．若P在线段AD上，且始终满足PD＝2PA，连接PC，则PC的最小值为 　 ． 4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，已知BC＝CD＝AC＝2，AB，则BD的长为　 ． （二）折叠产生“定点定长” 5．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B'D的最小值是（　　） A．22 B．6 C．4 D．22 6．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是（　　） A． B．3 C．1 D．1 7．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，E是AB边的中点，F是BC边上任意一点，连接EF．把∠B沿着EF折叠，使点B落在B'处，当△CFB'为直角三角形时，CF的长为　 ． 8．如图，点A是y轴正半轴上一点，点B是x轴负半轴上一点，AB＝3，点C（在B的右边）在x轴上，且BC＝5，点D是x轴上一动点，将三角形ABD沿直线AD翻折，点B落在点E处，已知CE的最小值为1，则点A的坐标是（　　） A．（0，2） B．（0，2.4） C．（0，2.5） D．（0，1.8） 类型二 “定角+定弦”模型 （一）直角对定边 9．如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点E，F分别从点A，C同时出发，以相同的速度分别沿AB，CD向终点B，D移动，当点E到达点B时，运动停止．过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为（　　） A．2cm B．（）cm C．2cm D．（22）cm 10．如图，已知点A，B的坐标分别为（﹣4，0）和（2，0），在直线l：yx+2上取一点C，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，在△ABC内部以AC为斜边任意作Rt△ACD，连接BD，则线段BD长的最小值是　 　 ． 12．如图，已知A（2，6）、B（8，﹣2），C为坐标轴上一点，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有（　　）个． A．6 B．7 C．8 D．9 13．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，求线段DH长度的最小值． （二）定角（非直角）对定边 14．如图，已知等边△ABC的边长为2，D，E分别为BC，AC上的两个动点，且AE＝CD，连接BE，AD交于点P，则CP的最小值为（　　） A． B．2 C．2 D． 15．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠APC＝150°，则线段PB长度的最小值为 　 ． 16．已知点A（1，0）、点B（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．若点P在y轴的负半轴上，且∠APB＝30°，则满足条件的点P的坐标为　 ． 17．问题探究 （1）如图1，在矩形ABCD中，AB，BC＝4，请在直线BC上方找一点Q，使△BQC是以BC为底的等腰三角形，且它的面积等于矩形ABCD的面积，并求出此时△BQC的度数； （2）如图2，在△ABC中，∠C＝120°，AB＝4，在△ABC所在的平面上是否存在点M，使△ABM的面积等于△ABC的面积，且∠AMB＝60°？若存在，请在图2中画出所有符合条件的点M位置；若不存在，请说明理由； 问题解决 （3）如图3，现在有一块直角三角形钢板，∠ABC＝90°，AC＝5，AB＝3，工人师傅想用它裁出面积最大的△ABP，且∠APB＝60°，请在图3中画出符合要求的点P，并求出△ABP的最大面积． 类型三 四点共圆模型 18．在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，2），动点P在的图象上运动（不与O重合），连接AP，过点P作PQ⊥AP，交x轴于点Q，连接AQ． （1）求线段AP长度的取值范围； （2）试问：点P运动过程中，∠QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由． 19．如图，矩形ABCD中，点E是CD的中点，点P是AD上的任意一点（不与A，D重合）连接PE，以PE为斜边，构造等腰Rt△PFE，点F在矩形ABCD内部，连接AF，若AB＝8，BC＝12，则AF的取值范围为 　 ． 20．如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一动点，连结AP，AP的垂直平分线交BD于点G，交AP于点E，在P点由B点到C点的运动过程中，∠APG的大小变化情况是（　　） A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．不变，等于 D．不变，等于 21．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，∠D＝30°，AB＝BC． （1）求∠A+∠C的度数； （2）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由； （3）若AB＝2，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2＝BE2+CE2，求点E运动路径的长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $