精品解析：河北唐县第一中学2026届高三下学期学情自测数学试题

高三数学试题 本试卷共19题，满分150分．考试用时120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的实部与虚部的和为（ ） A. B. C. D. 3 3. 已知向量在上的投影向量的坐标为，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若函数的图象关于直线对称，则a的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 某校高三某班共50人参加某次数学测试，该班学生成绩（单位：分）的方差为30，男生成绩的平均数为86，方差为16，女生成绩的平均数为81，方差为36，则该班的女生人数是（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 6. 已知函数 则 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 026 D. 2 027 7. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，P为C 上的点且不与 C 的左、右顶点重合， 且平分，则（ ） A. B. 2 C. D. 8. 若实数满足，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在棱长均为2 的正三棱柱中，D 为 的中点，则（ ） A. B. 异面直线 与 所成角的余弦值为 C. 若分别为 上的点，则的最小值为1 D. 若点P 在底面上，且平面，则点P的轨迹长度为 10. 已知 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ，其准线 与 轴交于点，过点 的直线交 于 两点，过点 且垂直于的直线交 于点 ，则（ ） A. B. C. D. 11. 在△ABC中，若则（ ） A. △ABC为锐角三角形 B. C. D. 若 的面积为1，则 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等比数列{an}的前n项积为 ，若则 _____ 13. 已知函数， 点为直线与图象的两个不同交点，且 为坐标原点，则面积的最大值为______． 14. 已知甲盒中放有1个红球、3个白球(除颜色外，其他完全相同)，乙盒中放有2个红球、2个白球(除颜色外，其他完全相同)，每次等可能地从甲、乙两个盒子中选择一个盒子，有放回地摸1个球，若连续摸到2个红球，则停止摸球．记停止摸球时摸球的总次数为X，则E(X)=________． 四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在 中，角的对边分别为． （1）若，求A； （2）若 为锐角三角形，且，求 周长的取值范围． 16. 已知数列 的前n项和为 且 为等差数列． （1）求数列 的通项公式； （2）若从数列的前项中任取两项，记这两项中至少有一项能被3整除的概率为，证明： 17. 如图，四棱锥中，平面平面， ，． （1）证明：平面； （2）若， ，，四棱锥外接球的球心为O，求直线AO 与平面PCD所成角的正弦值． 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为左、右顶点分别为，且焦点到C的渐近线的距离为 （1）求C的方程． （2）已知动点P，Q满足且， （i）若点均不在坐标轴上，从下面①②中任选一个作为已知条件，证明另一个成立． ①(O为坐标原点)；②点P在圆上． （ii）若点P在圆上，求的最大值． 19. 已知函数． （1）当 时恒成立，求实数的取值范围； （2）若对于任意的，存在使得成立，求实数的值； （3）若有三个不同的零点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试题 本试卷共19题，满分150分．考试用时120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 2. 复数的实部与虚部的和为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】将复数进行化简写成的形式，实部为，虚部为，进行计算即可． 【详解】由可知：实部为2，虚部为1，故和为3． 3. 已知向量在上的投影向量的坐标为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用在上的投影向量与共线的性质，再依据数量积与投影的关系结合条件即得. 【详解】. 向量在上的投影向量为，投影向量为，且. 可知投影向量与共线，即，解得. 因此，代入，得. 4. 若函数的图象关于直线对称，则a的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知函数的定义域为，整理可得，结合正弦函数对称性运算求解. 【详解】令，可得，， 所以函数的定义域为， 且， 令，，则，， 若函数的图象关于直线对称，则，， 且，当时，a取到最小值. 5. 某校高三某班共50人参加某次数学测试，该班学生成绩（单位：分）的方差为30，男生成绩的平均数为86，方差为16，女生成绩的平均数为81，方差为36，则该班的女生人数是（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 【答案】A 【解析】 【分析】先设男、女生的人数占比，将已知条件转化为方程或方程组，最后求解. 【详解】设该班男生占比为，则女生占比为，其中， 已知男生成绩的平均数，方差， 女生成绩的平均数，方差， 全班成绩的总平均数， 因为全班成绩的总方差， 即， 化简得， 解得或（舍）， 所以该班女生人数为人. 6. 已知函数 则 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 026 D. 2 027 【答案】C 【解析】 【分析】本题是求函数值的和，先找规律，再求，求得与的关系，最后用倒序相加法求和. 【详解】因为，所以， 所以， 设， 则， 两式相加得：， 所以. 7. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，P为C 上的点且不与 C 的左、右顶点重合， 且平分，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用角平分线定理与椭圆的定义求出的长，再由结合余弦定理即可求得. 【详解】如图 设，由得，则， 因，则， 又因平分，则，即，故， 因点P为C 上的点，则，即，联立解得， 因，则，设， 由余弦定理，，解得，即. 8. 若实数满足，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造三个对数型函数，作出图象，结合图象可求答案. 【详解】令，则， 即； 同一坐标系中，作出三个函数的图象，由图可知， 当时，；当时，；当时，； 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在棱长均为2 的正三棱柱中，D 为 的中点，则（ ） A. B. 异面直线 与 所成角的余弦值为 C. 若分别为 上的点，则 的最小值为1 D. 若点P 在底面上，且平面，则点P的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先证平面，即可判断A；先证为异面直线与 所成的角或其补角，再解三角形即可判断B，取 ，分别为，的中点，取，，即可判断C，先证平面 平面，得出点 的轨迹为线段，即可判断D. 【详解】对于A，如下图，连接，易得， 因为平面 ，平面 ,所以， 又 平面，所以平面， 因为平面，所以 ，A正确； 对于B，如下图，连接， 由题可得，所以为异面直线与 所成的角或其补角， 在中，，，所以， 所以异面直线与 所成角的余弦值为，B正确； 对于C，如下图，若 ,， 分别为,， 的中点，连接和， 所以，，所以四边形是平行四边形， 又因平面，平面，则，同理可得， 因,则，又因，平面, 则平面,又平面,则， 因,故，即是异面直线 的公垂线段， 故此时 的最小值为，C错误； 对于D，如图，取的中点 ，连接，，， 易得 ， ，由线面平行的判定定理可得平面，平面， 又，平面，平面， 所以平面平面， 因为点 在底面上运动，且平面， 所以点 的轨迹为线段，所以点 的轨迹长度为，D正确. 10. 已知 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ，其准线 与 轴交于点，过点 的直线交 于 两点，过点 且垂直于的直线交 于点 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，为坐标原点，抛物线的焦点为 ， 其准线 与 轴交于点，抛物线的准线方程为， 解得，A正确； 对于B，设过的直线的方程为， 与联立可得，得， 设，，由韦达定理得，， 所以 ， ， ， ，B正确； 对于C，如下图： 过点 且垂直于的直线，可得， ，， ，所以，C错误； 对于D，由C的结论可知，设直线的方程为， 点 的坐标为，计算弦长， 计算点 到直线 的距离为，根据三角形面积公式 ， 当且仅当(即与 轴垂直)时取等号，D正确. 11. 在△ABC中，若则（ ） A. △ABC为锐角三角形 B. C. D. 若 的面积为1，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三角形内角和的三角诱导公式，把已知化为，将换成展开整理，结合不为零，推出，判定三角形为直角三角形，再依次用三角恒等式、面积公式与勾股定理验算各选项，排除A、C，证得、B、D正确. 【详解】在中，，故， 已知，变形得：. 展开得：. 整理得：. 即. 因为，化简得：. 即，故，，为直角三角形. 选项A：为直角三角形，非锐角三角形，A错误. 选项B：所以，B正确. 选项C：由，得，. ，，，，C错误 选项D：直角三角形中，，面积，故. ，代入，得，.，故，即，D正确. 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等比数列{an}的前n项积为 ，若则 _____ 【答案】##0.25 【解析】 【分析】设公比为，由条件推得，再由等比数列基本量运算即可求得答案. 【详解】设等比数列{an}的公比为， 由可得， 即，则得，因，则， 于是. 13. 已知函数， 点为直线与图象的两个不同交点，且 为坐标原点，则面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数研究单调性求出的最大值，再研究三次函数的对称中心，进而求解. 【详解】由题意得：，令，解得 或 ， 由，得或 ，由，得， 所以在单调递减，在单调递增， 又，所以， 又 ， 所以关于点中心对称，又直线也关于对称， 所以交点关于点中心对称， 所以，且， 所以. 14. 已知甲盒中放有1个红球、3个白球(除颜色外，其他完全相同)，乙盒中放有2个红球、2个白球(除颜色外，其他完全相同)，每次等可能地从甲、乙两个盒子中选择一个盒子，有放回地摸1个球，若连续摸到2个红球，则停止摸球．记停止摸球时摸球的总次数为X，则E(X)=________． 【答案】 【解析】 【详解】若第一次没有摸到红球，则停止摸球时摸球的总次数为 ，此时的概率为； 若第一次摸到红球，第二次没有摸到红球，则停止摸球时摸球的总次数为 ，此时的概率为； 若第一次摸到红球，第二次也摸到红球，则停止摸球，摸球的总次数为2，此时的概率为 所以 解得. 四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在 中，角的对边分别为． （1）若，求A； （2）若 为锐角三角形，且，求 周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理边化角，通过三倍角公式变形，再解三角方程即可求解； (2)利用边化角，再利用三角恒等变形，即可得到周长的取值范围. 【小问1详解】 已知，且，因此， 由正弦定理，结合得， 即，展开 ，  因为，，所以， 又因为，故，所以可得 ​​，即， 因此. 【小问2详解】 已知，，由正弦定理​， 可得：，又， 再由正弦定理​，则， 故三角形的周长： 因为为锐角三角形，三个角均为锐角： ，可得，即， 所以. 16. 已知数列 的前n项和为 且 为等差数列． （1）求数列 的通项公式； （2）若从数列的前项中任取两项，记这两项中至少有一项能被3整除的概率为，证明： 【答案】（1） （2）证明：，， ， 又，， 则数列的前项中有 项能被3整除， ， 又函数在单调递减，且， ． 【解析】 【分析】（1）设，利用等差数列的概念求出，进而得到，再根据与的关系求通项即可； （2）先确定数列的前项中能被3整除的项数，再结合组合计算出，然后由单调性得到范围即可证明． 【小问1详解】 解：设，则，又为等差数列， 则数列是首项为1，公差为2的等差数列， ，则， 时，， 时，， 综上，； 【小问2详解】 略 17. 如图，四棱锥中，平面平面， ，． （1）证明：平面； （2）若， ，，四棱锥外接球的球心为O，求直线AO 与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】（1）证明如下： 因为平面平面，平面平面， ，平面， 则平面 ，由平面 可得， 又因为 ，，且，平面 ， 则平面 ，由平面 可得， 且，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面 ，即可得，进而可证平面 ，可得，即可证线面垂直； （2）建系并标点，分析可知，进而可得，，求平面PCD的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面， ， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设，则，，， 因为四棱锥有外接球，则四边形有外接圆，可得， 则，解得，即， 可知 的中点为，可设，， 则，即，解得，即， 可得，，， 设平面PCD的法向量为，则， 令，则，可得， 则， 所以直线AO 与平面PCD所成角的正弦值为. 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为左、右顶点分别为，且焦点到C的渐近线的距离为 （1）求C的方程． （2）已知动点P，Q满足且， （i）若点均不在坐标轴上，从下面①②中任选一个作为已知条件，证明另一个成立． ①(O为坐标原点)；②点P在圆上． （ii）若点P在圆上，求的最大值． 【答案】（1） （2） （i）由（1）得：，设，其中， 因为所以， 则有， 又因为，所以，即， 代入上式可得： 若选①(O为坐标原点)， 则， 把代入上式可得： ，由， 则可得， 故点P在圆上． 若选②点P在圆上， 则， 由，可得 ， 故； （ii） 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的几何性质即可求解； （2）（i）利用向量的坐标运算，结合斜率公式即可证明；（ii）利用坐标关系，结合距离公式，即可化简求取值范围. 【小问1详解】 由双曲线性质可知： ， 由，则， 焦点到渐近线的距离为， 再由， 所以双曲线 的方程为：； 【小问2详解】 （i）略 （ii）若点P在圆上，则， 又由， 则 ， 因为，所以， 即， 因为，所以的最大值为. 19. 已知函数． （1）当 时恒成立，求实数的取值范围； （2）若对于任意的，存在使得成立，求实数的值； （3）若有三个不同的零点，证明：． 【答案】（1）； （2）； （3） 证明：由(1)可知，有三个不同的零点等价于与有三个不同的交点； ，求导得：； 当 时，，单调递增，； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增；；则； 设，则三个零点满足，， 则：对于：，，， 故； 则：对于：，，则，故， 因为，故； 令，则，令，求的最大值： ， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故，故； 对于：需证； 因为，可得：，， 作差可得，则； 要证，即证，即 ； 令，则，即证， 即证时，； 令，则， 故在时单调递减，故，故； 综上：． 【解析】 【分析】(1)根据列出不等式，分离参数，利用恒成立，则，求导判断的单调性和最值进行计算的取值范围； (2)根据题意分析，对于任意的，存在使得成立，可化为两个函数在定义域为上的值域包含问题，通过讨论的取值范围判断是否符合题意，从而确定的取值； (3)含参函数零点问题可以通过分离参数转化为两个函数图象的交点问题，通过(1)的分析，可确定三个根的取值范围，从而进行证明． 【小问1详解】 因为当 时恒成立： 当 时，恒成立； 当 ，不等式恒成立等价于不等式恒成立； 则； 令，则； 令，则； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故； 故a的取值范围为． 【小问2详解】 因为，令； 即对任意的，存在，使得， 即在上的值域包含在上的值域； 因为，，故； 当时，，单调递减， 则的值域为；的值域为， 因为的最大值等于，因此不可能属于的值域， 故在上的值域不可能包含在上的值域，舍去； 当时，，单调递增，则的值域为； 的值域为，则， 故 且 ，解得，故； 当时，令，解得； 当，，单调递增； 当，，单调递减； 故，， 此时的值域无法包含的值域，舍去； 综上，． 【小问3详解】 略 【点睛】对于含参的问题，常采用分离参数的方法，构造新函数，通过求导研究新函数的性质，从而解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $