查漏补缺06 圆中证明与计算5大考点18题型（专项训练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

查漏补缺06 圆中的证明与计算 内容导航 漏洞扫描 通法锤炼 能力强化 考点查缺 漏洞扫描 精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础 题型突破 考点精研 通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁 融会贯通 实战淬炼 能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合 考点01 圆的基本性质 掌握圆的对称性、垂径定理及推论；熟练运用圆周角、圆心角定理进行角度与线段计算；会用圆内接四边形对角互补、外角等于内对角进行倒角求解。 题型一：垂径定理与线段计算 1.半径⊥弦 → 平分弦，构造Rt△ 2.三大量：半径、半弦长、弦心距，用勾股定理 3.知二求一，直接列方程 1.漏写 “垂直于弦的直径平分弦” 步骤 2.把弦长直接当半弦长计算 1．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A．3 B．2 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟悉掌握垂径定理是解题的关键． 由垂径定理得到的长，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴在中，， 故选：A． 2．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，．若，则的半径是（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理，掌握垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理是正确解答的关键．根据垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，勾股定理进行计算即可． 【详解】解：如图，过点O作，垂足为F，交于点E，连接， 则，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设半径为R， 在中，， 由勾股定理得，，即， 解得． 故选：A． 3．（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，直径经过中点E，已知长度为8，长度为2，半径是______． 【答案】5 【分析】连接，设，由垂径定理得，根据勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：连接，设， ∵，点E是的中点，， ∴， 由勾股定理得， 则 解得． 4．（2025·安徽·中考真题）如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，熟知圆周角定理和垂径定理是解题的关键． （1）由圆周角定理可得，则可证明，据此可证明． （2）连接，交于点E．由题意知，由直径所对的圆周角是直角得到，即，则可证明，由垂径定理可得点E为的中点，则是的中位线，即可得到．设半圆的半径为r，则．由勾股定理知，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴． （2）解：连接，交于点E．由题意知， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴点E为的中点， 又∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 设半圆的半径为r，则． 由勾股定理知，， 即， 解得，（舍去）． ∴． 题型二：圆周角与圆心角角度计算 1. 同弧 / 等弧：圆周角 = 圆心角的一半 2.直径所对圆周角 =90° 3.等腰三角形（半径相等）+ 外角定理倒角 1.混淆 “同弧” 与 “同弦”，角度翻倍 / 减半出错 2.忽略 “直径→直角” 这个隐藏条件 1．（2025·四川巴中·中考真题）如图，A、B、C是上的点，是圆的直径，在延长线上取一点D，使，连接，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质，根据题意可得，再利用等腰三角形的性质即可解答． 【详解】解：是圆的直径， ， ， ， ， 故选：C． 2．（2025·陕西西安·一模）如图，是的直径，，若，则的度数为__________． 【答案】/35度 【分析】此题考查弧、弦、圆心角的关系，等边对等角和三角形的外角． 根据等边对等角和三角形的外角可得，然后根据弧、弦、圆心角的关系解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 3．（2025·北京密云·一模）如图，为直径，为的一条弦，于E，连接，．，则的大小为 _______ °． 【答案】70 【分析】连接，根据圆周角定理求出的度数，由可得，可得，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．（2025·陕西西安·三模）如图，半径长，点A、B、C是的三等分点，点D为圆上一点，连接，且，交于点E，则的度数为_________． 【答案】/75度 【分析】连接，利用勾股定理的逆定理证明，则由圆周角定理得到，再由点A、B、C是三等分点，得到，即可利用三角形内角和定理求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ． ∵半径长， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 连接， ∵点A、B、C是三等分点， ∴, ∴， ∴． 题型三：圆内角四边形性质的计算 1. 对角互补2. 外角等于内对角3. 结合圆周角定理进行角度转化 1. 记错 “对角互补”，误记成对角相等2. 外角与内对角对应错误 1．（2026·河南周口·模拟预测）如图，是四边形的外接圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆内接四边形对角互补求出的度数，再利用圆周角定理求出的度数即可． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ， ， ， 与是同弧所对的圆心角与圆周角， ． 故选：B． 2．（25-26九年级上·河南开封·期末）如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键．由题意知，则，，进而可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ，， ∴ ，． ∵ ， ∴ ． 故选：D ． 3．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，四边形内接于，，连接、，则____． 【答案】140 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理求出． 【详解】解：四边形内接于， ， ， 由圆周角定理得：， 故答案为：140． 4．（2026·广东广州·一模）如图，四边形是的内接四边形，已知的半径为4，，则________． 【答案】 【分析】连接，过点作于点，首先根据圆内接四边形的性质可得，由圆周角定理可得，再确定，，进一步利用三角函数解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接，过点作于点， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， ∵的半径为4，即，且， ∴，， ∴， ∴． 考点02 与圆有关的计算 熟记弧长、扇形面积公式；掌握阴影面积常用方法（整体减空白、割补法、等积变换）；理解圆锥侧面展开图与底面周长的关系。 题型四：弧长计算 1. 弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）； 2. 先求圆心角n与半径R 3. 等弧对等圆心角 1. 把直径当半径代入公式2. 角度看错、单位不统一 1．（2025·西藏·中考真题）如图，在中，直径，是的弦，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，求弧长．熟练掌握圆周角定理，弧长公式是解题的关键．连接，由圆周角定理可得，再求出半径，根据弧长公式计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵直径， ∴， ∴的长为． 故选：C． 2．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧长计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相关的判定和性质是解题的关键．连接，先根据平行线的性质求出，，，根据平行线的性质得出，根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， 根据作图可知：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 故选：C． 3．（2025·安徽淮南·二模）如图，以含有角的三角尺的顶点B为圆心，长为半径画，交边于点D．若，则劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查含有角的直角三角形的性质、弧长计算．明确圆心角和半径是解题的关键．由含有角的三角形可先求出半径，再由弧长公式得出劣弧的长． 【详解】解：含有角的三角尺的顶点B为圆心， ，， ，， 长为半径画，交边于点D， ， ， ， 劣弧的长为：． 故答案为：B． 4．（2025·海南·中考真题）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据切线的性质得出，再利用直角三角形两个锐角互余求得，然后利用圆周角定理求得，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：连结， ∵，以为直径的半圆交于点， ∴， ∵与半圆相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，弧长公式，直角三角形两个锐角互余，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 题型五：扇形面积计算 1.扇形面积：S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长）； 2.已知弧长优先用第二个公式 3. 结合角度、半径计算 1. 面积公式与弧长公式混淆2. 漏乘. 1．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的内角问题，等边三角形的性质，求扇形的面积，熟练掌握相关公式是解题的关键．先求出正五边形的一个内角的度数，根据等边三角形的性质，结合角的和差关系，求出的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∵为等边三角形，， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积即为扇形的面积：； 故答案为：． 2．（2026·湖南永州·二模）如图1是一个用于野营的竹节灯笼帐篷，其内部是一个由牛津布制作的无底圆锥，展开为如图2所示的扇形，已知圆锥母线长度为3米，扇形圆心角为，则这个牛津布的面积是______平方米．（结果保留） 【答案】 【详解】解：根据题意，得牛津布的面积（平方米）． 3．（2026·四川南充·一模）如图，正五边形的边长为5，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为________（结果保留．） 【答案】 【分析】根据正多边形内角和定理求出的度数，再根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴． 4．（2026·江苏徐州·一模）如图，正八边形和正六边形的边长均为3，以顶点H为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为____．（结果保留） 【答案】 【分析】先求出正八边形和正六边形的内角度数，分别为．，然后求得，利用扇形面积公式即可求解． 【详解】解：∵八边形是正八边形，六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴． 题型六：求阴影部分的面积 1. 整体减空白2. 割补法、平移 / 旋转等积变换3. 扇形 + 三角形 / 梯形组合运算 1. 图形分割错误，多算 / 少算面积2. 不会用等积变换简化计算 1．（2026·河南·二模）半径为4的扇形的圆弧和以为直径的半圆围成如图所示的阴影部分．已知，则阴影部分的面积为（   ） A． B．8 C． D． 【答案】B 【分析】先求出中间空白部分（弓形）的面积，再用以为直径的半圆面积减去中间空白部分的面积即可． 【详解】解：，且， ， ， 中间空白部分的面积为 又， 以为直径的半圆面积为， 阴影部分的面积为． 2．（2025·重庆·模拟预测）如图，已知四边形是平行四边形，，，，为的中点，分别以为圆心，以为半径画弧，交于，交于，再分别以为圆心，以为半径画弧，交于，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先作，根据平行四边形的性质得，再根据特殊角的三角函数求出，然后求出，即可得，接下来根据得出答案． 【详解】解：过点A作，交于点K， ∵四边形是平行四边形，且， ∴， ∴， ∴，． ∵在中，， ∴． ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积为________ ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质、三角形全等的性质、扇形的面积，熟练掌握旋转的性质是解题关键．先根据旋转的性质可得，，，再根据全等三角形的性质可得，然后利用扇形的面积公式计算即可得． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到，， ∴，，， ∴， ∴图中阴影部分的面积等于， 故答案为：． 4．（2025·山东东营·中考真题）如图，是的直径，、是上的两点，，于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线判定定理、扇形面积与三角形面积的计算，利用弧相等推导圆心角相等，结合直角三角形性质分析线段与角度关系是解题的关键． （1）连接，，由得圆心角，进而得，由得，由得，可得，即可得，又因是的半径即可证明； （2）由，结合得，由勾股定理可得，由即可得出． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型七：与圆锥有关的计算 1.底面周长 = 侧面展开扇形弧长；2. 母线l、底面半径r、高h满足勾股定理； 3. 侧面积：S=πrl 1. 1. 母线与底面半径混淆 2. 弧长与周长关系搞错 1．（2026·云南昆明·一模）哈尼族蘑菇房是云南极具特色的传统民居，其锥形茅草屋顶形似撑开的蘑菇伞，既美观又能适应山地多雨的气候．某工匠按蘑菇房屋顶形状制作了一个圆锥模型．已知该圆锥模型的底面周长为，母线长为6，则此圆锥的侧面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面周长为，母线长为， ∴这个圆锥的侧面积为． 2．（2026·广东东莞·一模）若一个圆锥的底面半径为3，母线长为8，则该圆锥的侧面展开图的面积为__________． 【答案】 【分析】圆锥的侧面积等于底面周长乘以母线长除以2，代入已知的底面半径和母线长，即可计算出侧面展开图的面积. 【详解】解：圆锥底面周长， 圆锥侧面积. 3．（2026·湖北黄石·一模）小刚用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的圆心角是____． 【答案】 【分析】利用圆的底面周长即是扇形的弧长，求解即可． 【详解】解：设扇形纸板的圆心角为， ∵圆的底面周长即是扇形的弧长， ∴， 解得： 则扇形纸板的圆心角是． 4．（2025·湖南长沙·三模）综合与实践 【主题】制作圆锥 【素材】直径为的圆形卡纸、剪刀、透明胶． 【实践操作】 步骤1：如图1，把直径为的圆形卡纸剪出一个圆心角为的最大扇形（图2）． 步骤2：如图3，将剪下的扇形卡纸无缝隙、不重叠地围成一个圆锥．并用透明胶粘住接合处． 【实践探索】 (1)求剪下的扇形的半径． (2)如图3，求此圆锥形卡纸的底面圆的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，圆周角定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）连接，过点O作于H，可证明是等边三角形，得到，由圆周角定理可得，则由三线合一定理可得，，解直角三角形求出的长即可得到答案； （2）根据圆锥的底面圆周长等于其侧面展开图得到的扇形弧长计算求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接，过点O作于H， ∵扇形的圆心角为， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴剪下的扇形的半径为； （2）解：， ∴此圆锥形卡纸的底面圆的半径为． 考点03 切线的性质与判定 掌握切线的性质（切线垂直于过切点的半径）；会用 “连半径证垂直、作垂直证半径” 判定切线；能结合切线长定理进行计算与证明。 题型八：切线的性质 1. 切线⊥过切点的半径2. 出现切线必连半径得直角3. 结合直角三角形倒角计算 1. 不连半径，直接用垂直导致扣分2. 切线性质与判定混淆 1．（2026·福建莆田·二模）如图，是的切线，为切点，为上一点，交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形性质和已知条件证得 ，进而利用切线性质求出 ，最后利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵是 的切线， ∴，即 ； ∴． ∴． 2．（2026·山西·三模）如图，是的直径，B，C是上两点，过点B作的切线与的延长线交于点E，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，先推导出，得到，则 ，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵是的切线，切点为B， ∴， ∴， ∴ ． 3．（2025·湖北·中考真题）如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的半径 【分析】（1）根据垂直，切线的性质得到，可得是等腰直角三角形，由此即可求解； （2）根据垂径定理得到，是等腰直角三角形，由（1）得到，则，如图所示，连接，设，则，由此勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵，是的切线，即， ∴， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 如图所示，连接，设，则， ∴在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴的半径． 【点睛】本题主要考查圆内接三角形的综合，掌握垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，切线的性质等周四，数形结合分析是关键． 4．（2025·江西·中考真题）如图，点A，B，C在上，，以，为边作． (1)当经过圆心O时（如图1），求的度数； (2)当与相切时（如图2），若的半径为6，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据直径所对的圆周角为直角，得出，再求出，再根据平行四边形的性质得出； （2）连接、，根据切线性质得出，证明，得出， 说明垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形性质得出，根据圆周角定理得出，最后根据弧长公式求出结果即可． 【详解】（1）解：∵经过圆心O， ∴为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴； （2）解：连接、，如图所示： ∵与相切， ∴， ∴， ∵在中， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，弧长公式，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 题型九：切线的判定 1. 有交点：连半径，证垂直. 2. 无交点：作垂直，证半径. 3. 用等腰、外角、互余倒角证垂直. 1. 漏写 “为半径” 这一关键条件2. 垂直证明逻辑不完整 1．（2024·河北石家庄·一模）对于题目“已知及圆外一点，如何过点作出的切线？”甲乙的作法如图： 甲的作法连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于，作直线．直线即为所求． 乙的作法连接并延长，交于两点，分别，以为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，交于点．作直线．直线即为所求． 下列说法正确的是（   ） A．乙的作法正确，甲的作法错误 B．甲和乙的作法都错误 C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．甲和乙的作法都正确 【答案】D 【分析】本题考查了作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质和切线的判定方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．对于甲的作法，连接，利用基本作图得到垂直平分，则，再根据圆周角定理得到，然后根据切线的判定方法得到为的切线，于是可判断甲的作法正确；对于乙的作法：利用基本作图得到，，由于，所以，则根据等腰三角形的性质得到，然后根据切线的判定方法得到为的切线，于是可判断乙的作法正确． 【详解】解：对于甲的作法： 连接 ． 由作法得垂直平分， ∴， ∴点为以为直径的圆与的交点， ∴， ∴， ∴为的切线，所以甲的作法正确； 对于乙的作法： 由作法得，， ∵， ∴， ∴， ∴为的切线，所以乙的作法正确； 故选：D． 2．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，点，在以为直径的上，平分，交的延长线于点．求证：是的切线． 【答案】见解析 【分析】根据直径所对的圆周角是得到，再根据角平分线的定义证明，再证明，即可得到结论． 【详解】证明：为直径， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 为半径， 是的切线． 3．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求扇形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据圆周角定理得到，则，再由即可证明，即可证明是的切线； （2）先根据圆周角定理得到，再由扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴是的切线； （2）解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴扇形的面积． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，扇形面积的求解，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若点B是的中点，且，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，熟练掌握相关定理和切线的判定方法，是解题的关键： （1）连接，圆周角定理，得到，进而得到，等边对等角，得到，结合，推出，即可得证； （2）根据线段之间的数量关系求出，进而求出的长，勾股定理求出的长，即可得出结果． 【详解】（1）证明：连接， 是的直径， ， ， ， ，即， ． 为的半径， 是的切线． （2）解：点B是的中点， ． ， ． ， ． 又， ． ． 在中． ． 即半径为． 题型十：切线的性质与判定的综合 1. 先判后性，先证切线再用垂直2. 结合等腰、相似、勾股综合运算3. 切线长定理：\(PA=PB\) 1. 步骤跳步，逻辑链断裂2. 切线长定理应用错误. 1．（2025·四川资阳·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形： （1）连接，圆周角定理，得到，平行得到，证明，求出，即可得证； （2）设交于点，易得四边形为矩形，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，结合线段的和差关系，进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的外接圆，是的直径， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：设交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 设的半径为，则：，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 2．（2025·四川广元·一模）如图， 在中，，以为直径作． 为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：直线与相切； (2)若， 求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定定理，切线长定理，勾股定理等知识点，熟练掌握切线的判定与性质定理，学会添加常用辅助线是解题的关键． （1）连接，利用证明，结合已知推出，即，再根据圆的切线判定定理(垂直于半径外端的直线是圆的切线)，即可证明； （2）先设圆的半径，表示出，在中利用勾股定理列方程求解得半径为，进而得出；再根据切线长定理设，表示出，在中再次用勾股定理列方程解得；最后在中通过勾股定理计算出即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵点在圆上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴直线与相切； （2）解：设， ∵， ∴， 在中，，， 即， 解得， ∴； ∵是圆的切线， ∴设， 在中，， 即， 解得， ∴， 在中，． 3．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，为正三角形的外接圆，直线经过点C，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）由正三角形的性质可得，由平行线的性质可得，求出，可证直线与相切； （2）由圆周角定理得，根据阴影部分的面积等于，即可求解． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 如图，连接， 是正三角形， ， 为正三角形的外接圆的圆心， ∴也是正三角形的内接圆的圆心， 平分， ， ， ， ， 是半径， 直线与相切； （2）解：如图，连接，作于点H， ， ， ． ，， ，， ， ， ． 图中阴影部分的面积为：． 【点睛】本题考查切线的判定，正三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆中弓形面积的计算，熟练掌握切线的判定定理，并根据题意得到阴影部分的面积为是解题的关键． 4．（2025·山东济南·中考真题）如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得，进而证明 ，推出，即可证明与相切； （2）由 可推出垂直平分，利用等面积法求出，进而求出，由圆周角定理得，最后用勾股定理解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 与相切； （2）解：如图，连接交于点D， ， ，， 垂直平分， ，，， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 考点04 圆的三大定理 理解并运用相交弦定理、切割线定理、弦切角定理；能利用定理进行线段计算、等积式证明与角度转化。 题型十一：相交弦定理 1. 圆内两弦交于P：PA⋅PB=PC⋅PD； 2. 直接列方程求线段. 3. 配合垂径定理求弦长 / 弦心距. 1. 线段对应错误，乘积式写错. 2. 不检验解的合理性. 1.如图，在中，弦与弦交于点．已知，，，则的长为（    ） A．3 B．4或3 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定和性质．掌握同弧所对圆周角相等和相似三角形的判定定理是解题关键． 设，则，由同弧所对圆周角相等可得出，再根据对顶角相等得出，即证，得出，代入数据，即可求出的长． 【详解】设，则 ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴，即， ∴ 解得， ∴的长为4或3． 故选：B． 2．如图，是的直径，弦与相交于点，若，，，则到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理，连接、、，过作交于，先根据圆周角定理和相似三角形的判定证明，再利用相似三角形的性质求得进而求得，进而求得，然后利用垂径定理和勾股定理求得即可求解． 【详解】解：如图，连接、， 则，， ， ， ，，， ，， ，， ， 过作交于，连接， 则， 在中，， ， 即到的距离为， 故答案为：． 3．如图，已知圆，弦、相交于点． (1)求证：； (2)若为上一点，且圆的半径为3，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查三角形相似的判定，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用同弧所对的圆周角相等，证明，进而即可得到结论； （2）连接并延长，连接，，证明，再利用等量关系即可得解． 【详解】（1）解：，， ， 即． （2）解：连接并延长，交圆于点、，连接，， ，， ， ． 4．（2023河南信阳三模）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．    (1)为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整，并写出证明过程．已知：如图①，弦，交于点P，求证：______________． (2)如图②，已知是的直径，与弦交于点P，且于点P，过D作的切线，交的延长线于E，D为切点，若，的半径为5，求的长． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，再利用相似的性质即可； （2）利用（1）可知，求出，再证明，利用相似的性质求出，求差即可得到的长． 【详解】（1）求证：． 证明：连接AC、BD．如图①．    ∵，． ∴． ∴． ∴． （2）解：∵，，．由（1）可知． ∴． ∵，是的直径，，． 连接OD．如图②． ∵为切线． ∴． ∵．． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，． 又∵． ∴． 【点睛】本题考查了圆的相关性质，三角形相似的判定与性质，严格的逻辑思维和严密的书写过程是解题的关键． 题型十二：切割线定理 1. 切线PT，割线PAB,PT2=PA·PB； 2. 用于求切线长、证等积式 3. 结合相似三角形证明. 1. 切线平方与割线乘积记错. 2. 忽略 “从同一点出发”. 1．（2024湖北武汉模拟预测）阅读：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．即，如图1，，是的切线，直线为的割线，则．下面是切割线定理的证明过程（不完整）： 证明：如图1所示，连接，连接并延长交于点，连接、． 是的切线，是的半径， ． 是的直径， （____________）． ． ∴____________， （____________）， ∴____________， ， ， ． ． 任务： (1)请在上面横线上补充证明过程，在括号内补充推理的依据； (2)如图2，已知是的直径，是的切线，为切点，割线与于点，且满足，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了切线性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质； （1）根据圆周角定理、等角的余角相等、等量代换、相似三角形的性质等补充证明过程； （2）先根据已知和割线定理求得，，，则，再根据切线性质和勾股定理求得；利用圆周角定理和相似三角形的判定证明，则，进而求得即可求解． 【详解】（1）如图②，连接，连接并延长交于点，连接、． 是的切线，是的半径， ． 是的直径， （直径所对的圆周角相等）， ， ． ， ． ， ， （相似三角形的对应边成比例）， ． 故答案为：直径所对的圆周角相等；；圆周角定理；； （2）图3中，连接，， ， 设，，，则， 是的切线，是割线， 由割线定理得，则， 解得（负值舍去）， ，，，则， 是的直径，是的切线， ， ； ，， ∴，则， ， ． 2．（2024山西拟预测）阅读与思考 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，证明过程如下： 如图1：已知点P是外一点，是切线，F是切点，是割线，点A，B是它与的交点，求证：． 证明：连接并延长交于点C，连接，，． ∵是的切线， ． ∵是的直径， （依据：______）． ， ． 又（依据：______）， ． ………… 任务： (1)完成材料证明部分中的“依据”，填入空格； (2)把证明过程补充完整； (3)如图2，已知是的直径，是的切线，A为切点，割线与交于点E，且满足，，求的长． 【答案】(1)直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等 (2)见解析 (3) 【分析】（1）有题意可知利用了直径所对的圆周角是直角混合同弧所对的圆周角相等； （2）进一步证明，有即可； （3）连接AD，BF，利用切割定理即可求得，，，则，结合勾股定理求得．进一步证明，则，求得，即可求得． 【详解】（1）解：根据题意可得，直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等； （2）证明： 又， ． ． ． （3）解：如图，连接，， ， ∴设，，，则． ∵是的切线，是割线， ∴由切割线定理得，则， 解得或（舍去）， ，，，则． ∵AB是的直径，AC是的切线， ． ． ，， ，则． ， ． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定和性质、直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等以及勾股定理，解题的关键是熟悉圆的相关知识和相似三角形的性质． 题型十三：弦切角定理 1. 弦切角 = 所夹弧的圆周角. 2. 等于圆心角一半3. 快速倒角、证相似. 1. 弦切角所夹弧找错. 2. 角度关系翻倍 / 减半出错. 1．顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图①所示：PA切⊙O于点A，AB是⊙O的一条弦，∠PAB就是⊙O的一个弦切角．经研究发现：弦切角等于它夹弧所对的圆周角．根据下面的“已知”和“求证”，写出“证明”过程，并回答后面的问题． （1）如图1，PA是⊙O的切线，A为切点，AC为直径，∠PAB夹弧所对的圆周角为∠C．求证：∠PAB＝∠C． （2）如图2，PA是⊙O的切线，A为切点，∠PAB夹弧所对的圆周角为∠D．求证：∠PAB＝∠D． （3）如图3，AB为半⊙O的直径，O为圆心，C，D为半⊙O上两点，过点C作半⊙O的切线CE交AD的延长线于点E，若CE⊥AD，且BC＝1，AB＝3，求DE的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由切线的性质可知，∠CAP＝90°，所以∠CAB+∠PAB＝90°．再根据直角三角形两锐角互余可得，∠CAB+∠C＝90°，所以∠PAB＝∠C． （2）如图2，作直径AC，连接BC，利用（1）中的结论及同弧所对的圆周角相等可得结论． （3）连接AC，由题意可知，△ACE∽△ABC，结合（1）中的结论易得△DCE∽△BAC，得出比例，进而可得结论． 【详解】解：（1）证明：∵PA切⊙O于点A， ∴∠CAP＝90°， ∴∠CAB+∠PAB＝90°． 又∵AC是直径， ∴∠B＝90°， ∴∠CAB+∠C＝90°， ∴∠PAB＝90°-∠CAB＝∠C． （2）证明：如图，过点A作直径AC，连接BC， ∵AP为切线，由（1）得，∠PAB＝∠C， 又∵∠C＝∠D， ∴∠PAB＝∠D． （3）连接AC，CD， ∵EC为⊙O的切线， 由①得∠ECA＝∠B， 又∵∠AEC＝∠ACB＝90° ∴△ACE∽△ABC， ∴，∠CAE=∠BAC， 在Rt△ACB中，根据勾股定理AC=， ∴， ∴， 又∵CE为⊙O的切线， ∴∠DCE＝∠EAC， ∴∠DCE=∠BAC， 又∵∠E＝∠ACB＝90°， ∴△DCE∽△BAC， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查弦切角，直径所对圆周角性质，切线性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握弦切角，直径所对圆周角性质，切线性质，勾股定理，三角形相似判定与性质是解题关键． 2．（2025广西南宁模拟预测）请阅读材料，并完成相应的任务．战国时期数学家墨子提写的《墨经》一书中就有了圆的记载，与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一． 定义：我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（也就是切线与弦所夹的角，切点为弦切角的顶点）．如图1中即为弦切角． 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数． 下面是弦切角定理的证明过程： ①如图1．已知：为圆上任意一点，当弦经过圆心，且切于点时，易证：弦切角． ②如图．当点是优弧上任意一点，切于点．求证：弦切角． 证明：连接并延长交于点，连接，如图2所示． 与相切于点， ▲ ， ， 是直径， ▲ （直径所对的圆周角是直角）， ， ， 又 ▲ （同弧所对的圆周角相等）， ． 完成下列任务： (1)将上述证明过程补充完整； (2)运用材料中的弦切角定理解决下列问题： ①如图3，的顶点在上，和相交于点，且是的切线，切点为，连接．若，求的长； ②如图4，，以为直径的交于点，过点作的切线，交的延长线于点．试猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)；； (2)①；②，证明见解析 【分析】（1）根据切线的性质，以及圆周角的性质，即可求解， （2）①由弦切角定理，可得：，进而得出，由对应边成比例，即可求出的长， ②连接，由是直径，可得，结合，根据等腰三角形三线合一，即可得出是的角平分线，根据弦切角定理，即可求解， 本题考查了切线的性质，圆周角的性质，直径所对的圆周角是，相似三角形的性质与判定，等腰三角形三线合一，解题的关键是：理解并应用弦切角定理，结合已经学会的知识点进行解题． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点，连接，如图2所示． 与相切于点， ， ， 是直径， ∴（直径所对的圆周角是直角）， ， ， 又 （同弧所对的圆周角相等）， ． 故答案为：；；； （2）解：①如图， 是的切线，切点为， ， 又， ， ，即：， ，解得：； ②如图，连接， 是直径， ，， 又， 是的角平分线，即：， 又是的切线， ， ． 考点05 圆综合问题 能识别辅助圆模型，解决圆中动点最值问题；会结合相似三角形、三角函数进行综合证明与计算；能处理圆的多结论判断类问题。 题型十四：圆的多结论判断问题 1. 逐一验证：垂径、圆周角、切线、相似. 2. 画图辅助，特殊值检验. 3. 注意 “一定正确” vs “可能正确”. 1. 只看图不推导，主观判断. 2. 忽略特殊位置 / 临界情况. 1．如图，是的直径，为上一点，且于点，点是的中点，连接交于，连接．则下列说法：①；②为中点；③；④．正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形，掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理判断①即可；在上取点，使得，根据等腰三角形的判定和性质判断②；然后利用等角对等边判断③即可；过点作交的延长线于点，构造，然后利用垂线段最短判断④即可解题． 【详解】解：∵， ∴， 又∵点是的中点， ∴， ∴，故①正确， 在上取点，使得，    则， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故③正确； 过点作交的延长线于点， 则， ∴， ∴，即， 又∵是直径， ∴， ∴，即，故④正确； 故选C．    2．（2026·河北石家庄·一模）如图，半圆的直径，C是半圆AB的中点，D是的中点，连接，，过点D作的切线分别交的延长线于点E，F．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行线的判定可判断①，是半圆的中点和是的中点可判断②，证明是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，得到可判断③，证明，求出，再求出可判断④． 【详解】解：连接，如图： ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴，故①符合题意； ∵是半圆的中点， ∴， ∵是的中点， ∴，故②符合题意； ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，故③不符合题意， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，故④符合题意； 综上，符合题意的是①②④，共个． 3．如图，四边形中，，以为直径的经过点C，连接、交于点．连接交于点，连接，若，，则以下结论：①；②为的切线；③；④；则正确的结论个数为(    )    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】①连接，证得，又知，得到，圆周角定理得到，进而得到； ②、则、 ，证为中位线知 、 ，进一步求得 ，再在中利用勾股定理逆定理证即可得出结论； ③连接，证明四点共圆，进而根据同弧所对的圆周角相等，即可得证； ④先证得，再证得，联立得，即，结合知，据此可得，结合可得相关线段的长，代入计算可得． 【详解】解：①连接， 在和中， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ，即， ， ② ，， ， ，且， ，， 在中，， 在中，， ， ， ， 则与相切； ③连接，   ，是圆的切线， 为等腰直角三角形， 为直径， ，， ， 四点共圆， ，故③正确 ④ 是的直径， ， ， ， ，即 ， 又 ，， ， ，即 ， 由可得，即， 又 ， ， ， ，，，，， ，即， 解得：，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识点． 4．如图，在中，AB是的直径，，，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①；②；③；④的最小值是10． 上述结论中正确的个数是 【答案】2 【分析】①根据等弧所对的圆心角所对得；根据圆的对称性得；故①正确；②根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得，故②错误；③根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得，再根据三角形内角和即可得；故③正确；④作C关于的对称点F，连接交于点N，连接交于点M，此时的值最短，即为长，连接，根据圆周角定理得，，再由三角形内角和得，再由圆周角定理得是的直径，即可得出的最小值，故④正确． 【详解】解：①∵， ∴； 又∵点E是点D关于的对称点， ∴；故①正确； ②∵，故②错误； ③由M为AB上动点，D为定点， ∴不一定垂直于CE；故③错误； ④作C关于的对称点F，连接交于点N，连接交于点M，此时的值最短，即为长，连接， ∵， ∴， ∴， ∴是的直径， ∵， ∴， ∴，故④正确． 故正确的个数为2个 故答案为：2． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，轴对称的应用—最短距离问题，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 题型十五：辅助圆模型 1. 定角对定边 → 构造外接圆. 2. 到定点距离为定值 → 构造圆. 3. 四点共圆：对角互补 / 外角 = 内对角. 1. 不会识别隐形圆模型. 2. 共圆条件使用错误. 1．（2025江苏苏州一模）如图．中，，，，为平面内一点，且，过点B作，与的延长线相交于点E，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，勾股定理，圆周角定理等知识点，根据勾股定理可得，，再证，得，则即：当取得最大值是，的面积取得最大值，由，，根据圆周角定理可知，，，，四点共圆，点在以为直径的圆上，可知的最大值为3，即可求解． 【详解】解：∵中，，，， ∴，， ∵，则， ∵， ∴， ∴，则 即：当取得最大值时，的面积取得最大值， ∵，， 由圆周角定理可知，，，，四点共圆， ∴点在以为直径的圆上， ∴，即的最大值为3， ∴的最大值为， 故选：B． 2．（2025山东临沂一模）如图，中，，，．点P为内一点，且满足．则的长度最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P的运动轨迹，即隐形圆．由题意知，又长度一定，则点P的运动轨迹是以中点O为圆心，长为半径的圆弧，所以当B、P、O三点共线时，最短，再进一步求解即可． 【详解】解： 取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆，则点P在上运动， 由题意知：当B、P、O三点共线时，最短，而， ， ∵， ， ∴的长度最小值为． 故选：B 3．如图，正方形中，，点E、F分别在上的两点，，，则四边形的面积为 ． 【答案】25 【分析】过作于，交于，由四边形是正方形，可得，，，而，即得，，，，共圆，有，故，可得，从而，，设，可得，解得，得，由三角形面积公式得，，从而可得答案． 【详解】解：过作于，交于，如图： 四边形是正方形， ，，， ， ， ， ， ，，，共圆， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， 设， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 解得， ， ，， ， 故答案为：25． 【点睛】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 4．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝4，点D是斜边BC的中点，将△ABC绕点D旋转得到△GEF，直线AG、FC相交于点Q，连接BQ，线段BQ长的最大值是 ． 【答案】 【分析】连结DG，根据将△ABC绕点D旋转得到△GEF，可得△ABC≌△GEF，可得AD=GD，CD=FD，由△ABC是等腰直角三角形，点D是斜边BC的中点，AD=GD=CD=FD，由旋转角相等可得∠ADG=∠CDF，可证∠DAQ=∠DCF，可知四点A、D、C、Q共圆如图，由AD⊥DC，AC为四点A、D、C、Q共圆的直径，当BQ过圆心O时，BQ最大，然后利用勾股定理求出BO即可． 【详解】解：连结DG， ∵将△ABC绕点D旋转得到△GEF， ∴△ABC≌△GEF， ∴AD=GD，CD=FD， ∵△ABC是等腰直角三角形，点D是斜边BC的中点， ∴AD=GD=CD=FD， ∵∠ADG=∠CDF， ∴∠DAG=∠DGA=， ∴∠DAQ=∠DCF， ∴四点A、D、C、Q共圆如图， ∵AD⊥DC， ∴AC为四点A、D、C、Q共圆的直径， 当BQ过圆心O时，BQ最大， ∵AB＝AC＝4，点O为AC中点， ∴AO=CO=OQ=2， 在Rt△ABO中，BO=， ∴BQ的最大值=BO+OQ=． 故答案为． 【点睛】本题考查图形的性质，等腰直角三角形的性质，四点共圆，勾股定理，点到圆的最大距离，正确添加辅助线、证明四点共圆是解题关键． 题型十六：圆中的动点与最值问题 1. 最短：点到圆心距离−半径. 2. 最长：点到圆心距离 + 半径. 3. 轨迹多为圆 / 圆弧，转化为定点距离. 1. 最值模型记错（加 / 减搞反). 2. 不会找动点轨迹. 1．如图，矩形中，，，以为圆心，半径分别为和画圆，分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为轴作点的对称点以及的对称圆，连接交、于点、，则就是最小值，再利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】解：如图，以为轴作点的对称点以及的对称圆，连接交、于点、，则就是最小值， ∵矩形中，，的半径为， ∴，，， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∴最小值为． 2．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，，E是边上一点，且，以A为圆心，长为半径作，P是上一动点，连接、，若 的面积为36，则 面积的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】先求出边上的高，确定点P到距离的最小值，再可利用平行四边形面积公式求出边上的高．因为点P在上，所以要先确定点A到的距离，再结合的半径，得到点P到的最小距离，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】如图，作，， 在中，，， ∴面积最小等价于最小． ∵面积为， ∴ ， ∵是上的动点，的半径， ∴圆上点到的最小距离为： ， 代入面积公式得最小面积： ． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线经过，，的半径为2，点是直线上的一动点，过点作的一条切线，为切点，则切线长的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】连接，，根据勾股定理知，当时，线段最短，即线段最短，利用直角三角形的面积公式即可求得的值，进而得到的值． 【详解】解：如图，是的切线，连接，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴最短时，取得最小值， ∵当时，线段最短， 又∵，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查切线的性质，坐标与图形性质，垂线段最短，勾股定理，解题关键在于掌握切线的性质定理和勾股定理运算． 4．如图，等腰的一个锐角顶点是上的一个动点，，腰与斜边分别交于点，分别过点作的切线交于点，且点恰好是腰上的点，连接，若的半径为4，则的最大值为：（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【分析】先由等腰三角形的性质、切线的性质及圆的半径相等判定四边形ODFE是正方形，再得出点C在以EF为直径的半圆上运动，则当OC经过半圆圆心G时，OC的值最大，用勾股定理计算出OG的长度，再加上CG的长度即可． 【详解】解：∵等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∴∠A=∠B=45°， ∴∠DOE=2∠A=90°， ∵分别过点D，E作⊙O的切线， ∴OD⊥DF，OE⊥EF， ∴四边形ODFE是矩形， ∵OD=OE=4， ∴四边形ODFE是正方形， ∴EF=4， ∵点F恰好是腰BC上的点， ∴∠ECF=90° ∴点C在以EF为直径的半圆上运动， ∴设EF的中点为G，则EG=FG=CG=EF=2，且当OC经过半圆圆心G时，OC的值最大，此时，在Rt△OEG中，OG=， ∴OC=OG+CG=. 故答案为：A. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、切线的性质、正方形的判定、直角所对的弦是直径及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键. 题型十七：圆与相似三角形的综合 1. 用圆周角、弦切角、公共角证角相等. 2. 常见：A 字、8 字、母子、斜 A 相似. 3. 列比例式求线段 1. 相似三角形对应边写错. 2. 比例式变形错误. 1．（2025·上海·中考真题）如图，已知，为中的两弦，联结，交弦于点，，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，弧，弦与圆心角之间的关系，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由等边对等角得到，利用证明，得到，证明，得到，则可证明； （2）连接，由，得到，，证明，得到，则可证明，进而证明，推出；再证明，得到，则可证明． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，连接， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴； 由（1）可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（2025·山东德州·中考真题）如图，点D是的内心，连接并延长交的外接圆于点E，与交于点F，连接． (1)设，则 ；（用含的式子表示） (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据内心是三角形角的平分线交点，在同圆或等圆中，同弧上圆周角相等解答即可； （2）根据内心，三角形外角性质，等腰三角形的判定证明即可； （3）设，根据题意，根据相似三角形的判定和性质，列式解答即可． 本题考查了三角形的内心，圆的性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点D是的内心， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）证明：连接， ∵点D是的内心， ∴，， ∵，， ， ∴， ∴． （3）解：设，根据题意， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得． 故的长为． 3．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，点D是斜边上的一点，以为直径的圆交边于E，F两点，连结，并且平分． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)若，求的长 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由圆内接四边形对角互补结合邻补角得到，由，即可证明相似； （2）先证明，再由相似得到，设，则，在中由勾股定理建立方程求解即可； （3）如图，连结，先证明，则，设，圆O的半径为r，则，证明．则，解得：，再由求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形内接于圆， ∴ ∵， ∴． ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：平分， ∴， ∴ ∵， ∴． 设，则 根据勾股定理，得 解得：（舍负）， ∴； （3）解：如图，连结， ∵平分． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ 设，圆O的半径为r，则 ∵四边形内接于圆O， ∴， ∵， ∴． ∴， 即， 解得： ∵， ∴， ∴． 题型十八：圆与三角函数的综合 1.构造直角三角形：连直径、作垂直、连半径； 2.等角转化，将角放入直角三角形中； 3.用sin、cos、tan求边长； 4.结合勾股定理、相似完成综合计算。 1. 三角函数对应边搞错. 2. 不会进行等角转化 1．（2025·四川乐山·中考真题）如图，为的外接圆，直径垂直于弦，垂足为点．点为圆外一点，连结、、，． (1)求证：为的切线； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由垂径定理得到，则，再导角证明，则，即可证明； （2）可证明四边形是平行四边形，则，，然后解求出，连接，设，则，在中，由勾股定理得，求出，再由即可求解． 【详解】（1）证明：∵直径垂直于弦， ∴，， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， 即， ∵为半径， ∴为的切线； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， 连接，如图： 设，则 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，解直角三角形，垂径定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质，熟练掌握各知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 2．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，以为直径作，分别交，于点，，连接并延长，交于点，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出角相等，进而得到同位角相等，证明两直线平行； （2）先设圆的半径，结合切线性质和三角函数求出半径，再利用圆的直径所对圆周角为直角、三角函数以及勾股定理求出的长． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ， ； （2）解：如图，设的半径为，连接， 切于点， ． 在中，， 解得， ， ， ． 为的直径， ． 在中，， ． ， ． 在中，． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、圆的切线性质、解直角三角形、勾股定理以及圆内接四边形的相关知识，熟练掌握圆的切线性质和三角函数的应用是解题的关键． 3．（2025·浙江杭州·三模）如图，在矩形中，是边上的点（不与，重合），过，，三点的圆交对角线于点，交于点，延长交于点，连结，已知． (1)求证：为等腰三角形； (2)已知，，求的长； (3)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设过，，三点的圆的圆心为，连接，由矩形的性质得，则是的直径，所以，证明，即可证明结论； （2）由已知得证明得，代入数据可得答案； （3）连接，证明，推出，继而得到，则，进一步证明，则，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：设过，，三点的圆的圆心为，连接， ∵四边形是矩形，点是边上的点，交于点， ∴， ∴是的直径， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴的长是； （3）证明：连接， ∵四边形内接于，， ∴，， ∵， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 即． 【点睛】本题考查矩形的性质，的圆周角所对的弦是直径，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 1．（2026·湖北·一模）如图，为的直径，点C，D是上位于异侧的两点，分别连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据弧，弦，圆心角的关系得出，再根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：连接， ∵，为的直径， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·云南保山·二模）如图为云南拉祜族竹编技艺编织的圆锥形斗笠帽，若这种帽子的底面半径为，高为，则该斗笠帽的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据斗笠的底面半径、高及斗笠的母线组成直角三角形，利用勾股定理求得其母线长，然后利用扇形面积公式计算得出斗笠的侧面积． 【详解】解：∵这种帽子的底面半径为，高为， ∴母线长为 ， ∴该斗笠帽的侧面积为． 3．（2025·河南濮阳·一模）如图，是的直径，，，，则的半径为（   ） A．4 B．5 C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等；掌握圆的基本性质是解题的关键． 由圆的基本性质得，由直径所对的圆周角是直角和勾股定理得，即可求解． 【详解】解： ， ， ， 是的直径， ， ， ， 则的半径为， 故选：B． 4．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，点D在半圆O上，半径，，点C在弧上移动，连接是上一点，且，连接，点C在移动的过程中，的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了点与圆的位置关系、勾股定理、半圆或直径所对圆周角为直角等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线． 根据题意，得到点在以点为圆心的上运动，当点三点共线时，的值最小，由半圆或直径所对圆周角为直角，结合勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴当点在上运动时，点在以为直径的圆弧上运动，该弧交于点，与交于点，如图所示， 取线段的中点为，连接， ∴点在以点为圆心的上运动， 在中，，点为中点，， ∴， ∵， ∴当点三点共线时，的值最小， 在中，是直径，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值是8， 故选：D ． 5．（2026·浙江台州·一模）如图，在圆内接四边形中，是圆的直径，过点C作于点E，连接．若，，，则的面积为（   ） A．16 B．15 C．12 D．10 【答案】B 【分析】过点作，交的延长线于点，证明，求出，分别证明，得出，，得出，根据三角形面积公式可求出． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，如图， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴（负值舍去）， ∵， ∴， ∵，， ∴； 在和中， ， ∴， ∴； 在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴． 6．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在正六边形中，，以点E为圆心，长为半径作弧，交于点D．则扇形的面积是______． 【答案】 【分析】先根据正六边形的性质求出扇形的半径，再根据多边形的内角和定理求出，然后根据扇形的面积公式解答即可． 【详解】解：∵正六边形中，， ∴，， ∴扇形的面积． 7．（2026·陕西咸阳·一模）如图，四边形是平行四边形，经过点A、B、C，且与边交于点E，连接．若，则的度数为______． 【答案】72 【分析】由平行四边形的性质可得，，由圆内接四边形的性质可得，再由平行线的性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∵， ∴． 8．（2026·安徽合肥·一模）如图，内接于，，若，，则的半径是______． 【答案】 【分析】过点作交于点，交于点，连接，，由垂径定理可得的长，，结合已知可得，从而可得的长，在中，由勾股定理可得的长，设的半径为，在中，由勾股定理列方程求解即可得解． 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点，连接，， ，， ， ， ， ， 在中，， 设的半径为，则， ， 在中，， ， 解得， 即的半径为． 9．（2025·江西吉安·二模）如图，为的直径，内接于，且，连接，在的延长线上取一点E，使得． (1)求证：为的切线； (2)若的半径为2，时，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，由等边对等角得出，结合已知条件可得出，再结合可知，即可得出，进一步即可证明． （2）先利用垂径定理得出，再利用圆周角定理得出，，，最后根据求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如下图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵为的半径， ∴为的切线． （2）解：∵，为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了证明某直线是圆的切线，垂径定理，圆周角定理，扇形的面积公式等知识，掌握这些知识是解题的关键． 10．（2025·陕西西安·三模）如图，在中，以为直径作，点C和点D都是圆上的一点，过点D作的切线交延长线于点E，且． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角和切线的性质得到，则可得到，，根据等边对等角和三角形外角的性质可证明，则可证明，得到，即； （2）设，由勾股定理得，则，据此求出，得到；根据，得到，则． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∴； ∵是的切线， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （2）解：由（1）得， ∵， ∴可设， ∴由勾股定理得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 11．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在四边形中，．以为直径的经过点D，且与边交于点E，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)． 【分析】（1）只要证明，即可证明为的切线； （2）过点D作，垂足为F，在中，，，，求得，，在中，，，，求得，再根据圆内接四边形的性质结合等边对等角求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴为的切线； （2）解：如图，过点D作，垂足为F， ∵， ∴， ∴， ∵中，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的判定，解直角三角形的应用．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 12．（2026·河北邯郸·二模）如图1，在正方形中，．以为直径在正方形内部作半圆，点O为圆心．点E在边上，且．连接，交半圆于点F．点G为上的动点．          (1)如图1，连接，求的长； (2)如图2，连接，当时，求的长； (3)如图3，连接，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据特殊角锐角函数值可得，即可求解； （2）连接，当时，点G在的垂直平分线上，此时的垂直平分线过圆心O．求出，再根据弧长公式，即可求解； （3）当点G为中点时，面积最大，连接交于点H，则，且点H为为中点，根据三角形中位线定理可得，可证明为等边三角形，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ∵， ∴． ∵为直径， ∴． ∴； （2）解：连接， 当时，点G在的垂直平分线上，此时的垂直平分线过圆心O． ∴，， ∵， ∴． 又∵， ∴圆的半径为3， ∴的长； （3）解：当点G为中点时，面积最大， 连接交于点H，则，且点H为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴面积最大值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 查漏补缺06 圆中的证明与计算 内容导航 漏洞扫描 通法锤炼 能力强化 考点查缺 漏洞扫描 精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础 题型突破 考点精研 通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁 融会贯通 实战淬炼 能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合 考点01 圆的基本性质 掌握圆的对称性、垂径定理及推论；熟练运用圆周角、圆心角定理进行角度与线段计算；会用圆内接四边形对角互补、外角等于内对角进行倒角求解。 题型一：垂径定理与线段计算 1.半径⊥弦 → 平分弦，构造Rt△ 2.三大量：半径、半弦长、弦心距，用勾股定理 3.知二求一，直接列方程 1.漏写 “垂直于弦的直径平分弦” 步骤 2.把弦长直接当半弦长计算 1．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A．3 B．2 C．6 D． 2．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于，．若，则的半径是（    ） A． B． C． D．5 3．（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，直径经过中点E，已知长度为8，长度为2，半径是______． 4．（2025·安徽·中考真题）如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型二：圆周角与圆心角角度计算 1. 同弧 / 等弧：圆周角 = 圆心角的一半 2.直径所对圆周角 =90° 3.等腰三角形（半径相等）+ 外角定理倒角 1.混淆 “同弧” 与 “同弦”，角度翻倍 / 减半出错 2.忽略 “直径→直角” 这个隐藏条件 1．（2025·四川巴中·中考真题）如图，A、B、C是上的点，是圆的直径，在延长线上取一点D，使，连接，则为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西西安·一模）如图，是的直径，，若，则的度数为__________． 3．（2025·北京密云·一模）如图，为直径，为的一条弦，于E，连接，．，则的大小为 _______ °． 4．（2025·陕西西安·三模）如图，半径长，点A、B、C是的三等分点，点D为圆上一点，连接，且，交于点E，则的度数为_________． 题型三：圆内角四边形性质的计算 1. 对角互补2. 外角等于内对角3. 结合圆周角定理进行角度转化 1. 记错 “对角互补”，误记成对角相等2. 外角与内对角对应错误 1．（2026·河南周口·模拟预测）如图，是四边形的外接圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河南开封·期末）如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，四边形内接于，，连接、，则____． 4．（2026·广东广州·一模）如图，四边形是的内接四边形，已知的半径为4，，则________． 考点02 与圆有关的计算 熟记弧长、扇形面积公式；掌握阴影面积常用方法（整体减空白、割补法、等积变换）；理解圆锥侧面展开图与底面周长的关系。 题型四：弧长计算 1. 弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）； 2. 先求圆心角n与半径R 3. 等弧对等圆心角 1. 把直径当半径代入公式2. 角度看错、单位不统一 1．（2025·西藏·中考真题）如图，在中，直径，是的弦，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽淮南·二模）如图，以含有角的三角尺的顶点B为圆心，长为半径画，交边于点D．若，则劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·海南·中考真题）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型五：扇形面积计算 1.扇形面积：S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长）； 2.已知弧长优先用第二个公式 3. 结合角度、半径计算 1. 面积公式与弧长公式混淆2. 漏乘. 1．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是________． 2．（2026·湖南永州·二模）如图1是一个用于野营的竹节灯笼帐篷，其内部是一个由牛津布制作的无底圆锥，展开为如图2所示的扇形，已知圆锥母线长度为3米，扇形圆心角为，则这个牛津布的面积是______平方米．（结果保留） 3．（2026·四川南充·一模）如图，正五边形的边长为5，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为________（结果保留．） 4．（2026·江苏徐州·一模）如图，正八边形和正六边形的边长均为3，以顶点H为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为____．（结果保留） 题型六：求阴影部分的面积 1. 整体减空白2. 割补法、平移 / 旋转等积变换3. 扇形 + 三角形 / 梯形组合运算 1. 图形分割错误，多算 / 少算面积2. 不会用等积变换简化计算 1．（2026·河南·二模）半径为4的扇形的圆弧和以为直径的半圆围成如图所示的阴影部分．已知，则阴影部分的面积为（   ） A． B．8 C． D． 2．（2025·重庆·模拟预测）如图，已知四边形是平行四边形，，，，为的中点，分别以为圆心，以为半径画弧，交于，交于，再分别以为圆心，以为半径画弧，交于，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积为________ ． 4．（2025·山东东营·中考真题）如图，是的直径，、是上的两点，，于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积． 题型七：与圆锥有关的计算 1.底面周长 = 侧面展开扇形弧长；2. 母线l、底面半径r、高h满足勾股定理； 3. 侧面积：S=πrl 1. 1. 母线与底面半径混淆 2. 弧长与周长关系搞错 1．（2026·云南昆明·一模）哈尼族蘑菇房是云南极具特色的传统民居，其锥形茅草屋顶形似撑开的蘑菇伞，既美观又能适应山地多雨的气候．某工匠按蘑菇房屋顶形状制作了一个圆锥模型．已知该圆锥模型的底面周长为，母线长为6，则此圆锥的侧面积为（  ） A． B． C． D． 2．（2026·广东东莞·一模）若一个圆锥的底面半径为3，母线长为8，则该圆锥的侧面展开图的面积为__________． 3．（2026·湖北黄石·一模）小刚用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的圆心角是____． 4．（2025·湖南长沙·三模）综合与实践 【主题】制作圆锥 【素材】直径为的圆形卡纸、剪刀、透明胶． 【实践操作】 步骤1：如图1，把直径为的圆形卡纸剪出一个圆心角为的最大扇形（图2）． 步骤2：如图3，将剪下的扇形卡纸无缝隙、不重叠地围成一个圆锥．并用透明胶粘住接合处． 【实践探索】 (1)求剪下的扇形的半径． (2)如图3，求此圆锥形卡纸的底面圆的半径． 考点03 切线的性质与判定 掌握切线的性质（切线垂直于过切点的半径）；会用 “连半径证垂直、作垂直证半径” 判定切线；能结合切线长定理进行计算与证明。 题型八：切线的性质 1. 切线⊥过切点的半径2. 出现切线必连半径得直角3. 结合直角三角形倒角计算 1. 不连半径，直接用垂直导致扣分2. 切线性质与判定混淆 1．（2026·福建莆田·二模）如图，是的切线，为切点，为上一点，交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山西·三模）如图，是的直径，B，C是上两点，过点B作的切线与的延长线交于点E，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北·中考真题）如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 4．（2025·江西·中考真题）如图，点A，B，C在上，，以，为边作． (1)当经过圆心O时（如图1），求的度数； (2)当与相切时（如图2），若的半径为6，求的长． 题型九：切线的判定 1. 有交点：连半径，证垂直. 2. 无交点：作垂直，证半径. 3. 用等腰、外角、互余倒角证垂直. 1. 漏写 “为半径” 这一关键条件2. 垂直证明逻辑不完整 1．（2024·河北石家庄·一模）对于题目“已知及圆外一点，如何过点作出的切线？”甲乙的作法如图： 甲的作法连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于，作直线．直线即为所求． 乙的作法连接并延长，交于两点，分别，以为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，交于点．作直线．直线即为所求． 下列说法正确的是（   ） A．乙的作法正确，甲的作法错误 B．甲和乙的作法都错误 C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．甲和乙的作法都正确 2．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，点，在以为直径的上，平分，交的延长线于点．求证：是的切线． 3．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，是半圆O的直径，点C是弦延长线上一点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求扇形的面积． 4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若点B是的中点，且，求的半径． 题型十：切线的性质与判定的综合 1. 先判后性，先证切线再用垂直2. 结合等腰、相似、勾股综合运算3. 切线长定理：\(PA=PB\) 1. 步骤跳步，逻辑链断裂2. 切线长定理应用错误. 1．（2025·四川资阳·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 2．（2025·四川广元·一模）如图， 在中，，以为直径作． 为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：直线与相切； (2)若， 求的长． 3．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，为正三角形的外接圆，直线经过点C，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积． 4．（2025·山东济南·中考真题）如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 考点04 圆的三大定理 理解并运用相交弦定理、切割线定理、弦切角定理；能利用定理进行线段计算、等积式证明与角度转化。 题型十一：相交弦定理 1. 圆内两弦交于P：PA⋅PB=PC⋅PD； 2. 直接列方程求线段. 3. 配合垂径定理求弦长 / 弦心距. 1. 线段对应错误，乘积式写错. 2. 不检验解的合理性. 1.如图，在中，弦与弦交于点．已知，，，则的长为（    ） A．3 B．4或3 C．4 D．2 2．如图，是的直径，弦与相交于点，若，，，则到的距离为 ． 3．如图，已知圆，弦、相交于点． (1)求证：； (2)若为上一点，且圆的半径为3，，求的值． 4．（2023河南信阳三模）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．    (1)为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整，并写出证明过程．已知：如图①，弦，交于点P，求证：______________． (2)如图②，已知是的直径，与弦交于点P，且于点P，过D作的切线，交的延长线于E，D为切点，若，的半径为5，求的长． 题型十二：切割线定理 1. 切线PT，割线PAB,PT2=PA·PB； 2. 用于求切线长、证等积式 3. 结合相似三角形证明. 1. 切线平方与割线乘积记错. 2. 忽略 “从同一点出发”. 1．（2024湖北武汉模拟预测）阅读：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．即，如图1，，是的切线，直线为的割线，则．下面是切割线定理的证明过程（不完整）： 证明：如图1所示，连接，连接并延长交于点，连接、． 是的切线，是的半径， ． 是的直径， （____________）． ． ∴____________， （____________）， ∴____________， ， ， ． ． 任务： (1)请在上面横线上补充证明过程，在括号内补充推理的依据； (2)如图2，已知是的直径，是的切线，为切点，割线与于点，且满足，，求的长． 2．（2024山西拟预测）阅读与思考 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，证明过程如下： 如图1：已知点P是外一点，是切线，F是切点，是割线，点A，B是它与的交点，求证：． 证明：连接并延长交于点C，连接，，． ∵是的切线， ． ∵是的直径， （依据：______）． ， ． 又（依据：______）， ． ………… 任务： (1)完成材料证明部分中的“依据”，填入空格； (2)把证明过程补充完整； (3)如图2，已知是的直径，是的切线，A为切点，割线与交于点E，且满足，，求的长． 题型十三：弦切角定理 1. 弦切角 = 所夹弧的圆周角. 2. 等于圆心角一半3. 快速倒角、证相似. 1. 弦切角所夹弧找错. 2. 角度关系翻倍 / 减半出错. 1．顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图①所示：PA切⊙O于点A，AB是⊙O的一条弦，∠PAB就是⊙O的一个弦切角．经研究发现：弦切角等于它夹弧所对的圆周角．根据下面的“已知”和“求证”，写出“证明”过程，并回答后面的问题． （1）如图1，PA是⊙O的切线，A为切点，AC为直径，∠PAB夹弧所对的圆周角为∠C．求证：∠PAB＝∠C． （2）如图2，PA是⊙O的切线，A为切点，∠PAB夹弧所对的圆周角为∠D．求证：∠PAB＝∠D． （3）如图3，AB为半⊙O的直径，O为圆心，C，D为半⊙O上两点，过点C作半⊙O的切线CE交AD的延长线于点E，若CE⊥AD，且BC＝1，AB＝3，求DE的长． 2．（2025广西南宁模拟预测）请阅读材料，并完成相应的任务．战国时期数学家墨子提写的《墨经》一书中就有了圆的记载，与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一． 定义：我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（也就是切线与弦所夹的角，切点为弦切角的顶点）．如图1中即为弦切角． 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数． 下面是弦切角定理的证明过程： ①如图1．已知：为圆上任意一点，当弦经过圆心，且切于点时，易证：弦切角． ②如图．当点是优弧上任意一点，切于点．求证：弦切角． 证明：连接并延长交于点，连接，如图2所示． 与相切于点， ▲ ， ， 是直径， ▲ （直径所对的圆周角是直角）， ， ， 又 ▲ （同弧所对的圆周角相等）， ． 完成下列任务： (1)将上述证明过程补充完整； (2)运用材料中的弦切角定理解决下列问题： ①如图3，的顶点在上，和相交于点，且是的切线，切点为，连接．若，求的长； ②如图4，，以为直径的交于点，过点作的切线，交的延长线于点．试猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 考点05 圆综合问题 能识别辅助圆模型，解决圆中动点最值问题；会结合相似三角形、三角函数进行综合证明与计算；能处理圆的多结论判断类问题。 题型十四：圆的多结论判断问题 1. 逐一验证：垂径、圆周角、切线、相似. 2. 画图辅助，特殊值检验. 3. 注意 “一定正确” vs “可能正确”. 1. 只看图不推导，主观判断. 2. 忽略特殊位置 / 临界情况. 1．如图，是的直径，为上一点，且于点，点是的中点，连接交于，连接．则下列说法：①；②为中点；③；④．正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．（2026·河北石家庄·一模）如图，半圆的直径，C是半圆AB的中点，D是的中点，连接，，过点D作的切线分别交的延长线于点E，F．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，四边形中，，以为直径的经过点C，连接、交于点．连接交于点，连接，若，，则以下结论：①；②为的切线；③；④；则正确的结论个数为(    )    A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在中，AB是的直径，，，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①；②；③；④的最小值是10． 上述结论中正确的个数是 题型十五：辅助圆模型 1. 定角对定边 → 构造外接圆. 2. 到定点距离为定值 → 构造圆. 3. 四点共圆：对角互补 / 外角 = 内对角. 1. 不会识别隐形圆模型.2. 共圆条件使用错误. 1．（2025江苏苏州一模）如图．中，，，，为平面内一点，且，过点B作，与的延长线相交于点E，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025山东临沂一模）如图，中，，，．点P为内一点，且满足．则的长度最小值为（    ） A．3 B． C． D． 3．如图，正方形中，，点E、F分别在上的两点，，，则四边形的面积为 ． 4．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝4，点D是斜边BC的中点，将△ABC绕点D旋转得到△GEF，直线AG、FC相交于点Q，连接BQ，线段BQ长的最大值是 ． 题型十六：圆中的动点与最值问题 1. 最短：点到圆心距离−半径. 2. 最长：点到圆心距离 + 半径. 3. 轨迹多为圆 / 圆弧，转化为定点距离. 1. 最值模型记错（加 / 减搞反). 2. 不会找动点轨迹. 1．如图，矩形中，，，以为圆心，半径分别为和画圆，分别是、上的一动点，是上的一动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，，E是边上一点，且，以A为圆心，长为半径作，P是上一动点，连接、，若 的面积为36，则 面积的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 3．如图，在平面直角坐标系中，直线经过，，的半径为2，点是直线上的一动点，过点作的一条切线，为切点，则切线长的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D． 4．如图，等腰的一个锐角顶点是上的一个动点，，腰与斜边分别交于点，分别过点作的切线交于点，且点恰好是腰上的点，连接，若的半径为4，则的最大值为：（    ） A． B． C．6 D．8 题型十七：圆与相似三角形的综合 1. 用圆周角、弦切角、公共角证角相等. 2. 常见：A 字、8 字、母子、斜 A 相似. 3. 列比例式求线段 1. 相似三角形对应边写错. 2. 比例式变形错误. 1．（2025·上海·中考真题）如图，已知，为中的两弦，联结，交弦于点，，且． (1)求证：； (2)如果，求证：． 2．（2025·山东德州·中考真题）如图，点D是的内心，连接并延长交的外接圆于点E，与交于点F，连接． (1)设，则 ；（用含的式子表示） (2)求证：； (3)若，求的长． 3．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，点D是斜边上的一点，以为直径的圆交边于E，F两点，连结，并且平分． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)若，求的长 题型十八：圆与三角函数的综合 1.构造直角三角形：连直径、作垂直、连半径； 2.等角转化，将角放入直角三角形中； 3.用sin、cos、tan求边长； 4.结合勾股定理、相似完成综合计算。 1. 三角函数对应边搞错. 2. 不会进行等角转化 1．（2025·四川乐山·中考真题）如图，为的外接圆，直径垂直于弦，垂足为点．点为圆外一点，连结、、，． (1)求证：为的切线； (2)若，，，求的长． 2．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，以为直径作，分别交，于点，，连接并延长，交于点，过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 3．（2025·浙江杭州·三模）如图，在矩形中，是边上的点（不与，重合），过，，三点的圆交对角线于点，交于点，延长交于点，连结，已知． (1)求证：为等腰三角形； (2)已知，，求的长； (3)若，求证：． 1．（2026·湖北·一模）如图，为的直径，点C，D是上位于异侧的两点，分别连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·云南保山·二模）如图为云南拉祜族竹编技艺编织的圆锥形斗笠帽，若这种帽子的底面半径为，高为，则该斗笠帽的侧面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河南濮阳·一模）如图，是的直径，，，，则的半径为（   ） A．4 B．5 C． D．10 4．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，点D在半圆O上，半径，，点C在弧上移动，连接是上一点，且，连接，点C在移动的过程中，的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（2026·浙江台州·一模）如图，在圆内接四边形中，是圆的直径，过点C作于点E，连接．若，，，则的面积为（   ） A．16 B．15 C．12 D．10 6．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在正六边形中，，以点E为圆心，长为半径作弧，交于点D．则扇形的面积是______． 7．（2026·陕西咸阳·一模）如图，四边形是平行四边形，经过点A、B、C，且与边交于点E，连接．若，则的度数为______． 8．（2026·安徽合肥·一模）如图，内接于，，若，，则的半径是______． 9．（2025·江西吉安·二模）如图，为的直径，内接于，且，连接，在的延长线上取一点E，使得． (1)求证：为的切线； (2)若的半径为2，时，求图中阴影部分的面积． 10．（2025·陕西西安·三模）如图，在中，以为直径作，点C和点D都是圆上的一点，过点D作的切线交延长线于点E，且． (1)求证：； (2)若，且，求的长． 11．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在四边形中，．以为直径的经过点D，且与边交于点E，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长． 12．（2026·河北邯郸·二模）如图1，在正方形中，．以为直径在正方形内部作半圆，点O为圆心．点E在边上，且．连接，交半圆于点F．点G为上的动点．          (1)如图1，连接，求的长； (2)如图2，连接，当时，求的长； (3)如图3，连接，求面积的最大值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $