精品解析：江西2026届高三5月月考数学试卷

2026年5月月考卷高三数学 考试时间：120分钟试卷满分：150分命题人：胡志毅审题人：汪圆 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，且的元素个数是一个，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 已知双曲线，顶点到渐近线的距离为，则离心率（ ） A. B. C. D. 2 3. 等差数列的前项和为，满足，则（ ） A. B. C. D. 均为的最大值 4. 为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（ ） A. 对应矩形的高度为0.016 B. 样本众数估计值为75 C. 样本平均数估计值为77.4 D. 样本成绩的第70百分位数落在内 5. 已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 7 6. 已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段MN中点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 若实数x、y、z满足，则x、y、z的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且，若当时，，则（ ） A. B. C. 存在极大值点 D. 有且只有一个零点 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础．其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第一象限 C. D. 若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 10. 下列关于函数.的说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 是图象的一条对称轴 C. 为周期函数，且最小正周期为 D. 的值域为 11. 如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为（时）．在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就．同学们开展了数学探究，则下列命题正确的是（ ） A. 第2026行共有2027个数 B. 从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C. 第48行的所有数字之和被7除的余数为6 D. 去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列前135项的和为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则_________． 13. 如图，在矩形ABCD，中，E，F分别是BC和CD的中点，若P是矩形ABCD内一点（含边界），满足且，则的最小值为_________． 14. 在正三棱柱中，，，点D是平面ABC上的动点，则的最小值是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在三角形ABC中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且． （1）若，求a的大小； （2）设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段的长度． 16. 如图，PB是圆柱的母线，四边形ABCD是底面内接正方形．点E，F是棱BC，CD上的动点（E，F不与端点重合），且． （1）证明：平面PBF； （2）已知圆柱的体积为，点A到直线PF的距离是1．求CE的长度； 17. 某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对“春节联欢晚会”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件“喜欢春节联欢晚会”，“学生为女生”，据统计有． （1）现从这100名女生中，按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为X．求X的概率分布列和期望； （2）将样本的频率视为概率．现从全校的学生中随机抽取n名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为Y，且当时，取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数n． 18. 已知抛物线的焦点F是椭圆的右焦点，抛物线C与椭圆E在第一象限的公共点P的横坐标为． （1）求抛物线C与椭圆E的标准方程； （2）若分别是椭圆E的左、右顶点，M，N是椭圆E上不同于的两点，直线的斜率是直线的斜率的2倍，证明：直线MN过定点，并求出定点的坐标． 19. 已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）当时，证明：对任意，都有； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年5月月考卷高三数学 考试时间：120分钟试卷满分：150分命题人：胡志毅审题人：汪圆 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，且的元素个数是一个，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系求解即可. 【详解】由的元素个数是一个，且，得，则， 所以实数的取值范围是. 故选：C 2. 已知双曲线，顶点到渐近线的距离为，则离心率（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式得出，根据双曲线离心率的公式即可求解. 【详解】双曲线的顶点到渐近线的距离为， 即，又，则，即， 则离心率. 故选：A. 3. 等差数列的前项和为，满足，则（ ） A. B. C. D. 均为的最大值 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件可得，，根据等差数列的求和公式，分析即可得答案. 【详解】由题意， 所以．故C正确． 无法判断的正负，故A、B、D错误. 4. 为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（ ） A. 对应矩形的高度为0.016 B. 样本众数估计值为75 C. 样本平均数估计值为77.4 D. 样本成绩的第70百分位数落在内 【答案】D 【解析】 【分析】A选项利用矩形的面积之和为1列方程求解，B选项根据众数的定义以及直方图中最高的矩形条来判断，C选项根据平均值的公式计算，D选项判断样本数据在的频率和的频率，可得到70百分位数的范围. 【详解】设对应矩形的高度为，则，解得，A选项正确； 由图可知，的数据最多，众数的估计值为，B选项正确； 平均值为：，C选项正确； 样本数据的频率为， 样本数据的频率为， 故样本成绩的第70百分位数落在内，所以D选项错误. 5. 已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据偶函数的定义结合已知条件求得函数的周期，最后借助函数周期性求解函数值即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以.又因为， 所以，所以，所以的周期为. 因为时，，所以 6. 已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段MN中点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出点的轨迹方程，再利用圆的性质求出最小值. 【详解】圆：，即的圆心，半径， 由点为线段MN的中点，得，且， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，而点在直线上， 则圆心到直线的距离，， 所以的最小值为3. 7. 若实数x、y、z满足，则x、y、z的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判断. 【详解】令，得， 在同一直角坐标系内作出函数的图象， 则分别是函数，的图象与直线交点的纵坐标， 设点的横坐标为，点的横坐标为，观察图象得当时，， 当时，，当时，， 所以ABD是可能的，C不可能. 8. 已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且，若当时，，则（ ） A. B. C. 存在极大值点 D. 有且只有一个零点 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，通过分析的单调性进而得到函数的正负，然后逐项分析即得. 【详解】，即，故函数为奇函数， 设， 则， 由题意，当时，， 在上单调递增， 又为偶函数，故为奇函数， 在上单调递增，图象连续不断且， 在上单调递增， 当时，，；同理当时，， 对于A，，，，故A错误. 对于B，当时，，则，故B错误. 对于C，由于函数的单调性未知，故该选项不确定，故C错误. 对于D，当时，，当时，，且， 有且只有一个零点，故D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：为量子态的叠加与演化提供了重要的数学基础．其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点位于第一象限 C. D. 若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，根据题意可得，即可得虚部；对于B，根据题意可得，结合复数的几何意义分析判断；对于C，根据题意结合诱导公式分析判断；对于D，由题意可得，结合面积公式分析判断. 【详解】对于A，因为，所以的虚部为，故A正确； 对于B，因为， 所以在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B正确； 对于C，因为，， 所以，即，故C正确； 对于选项D：因为，， 则在复平面内分别对应点， 可得，， 则面积为， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为，故D错误. 10. 下列关于函数.的说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 是图象的一条对称轴 C. 为周期函数，且最小正周期为 D. 的值域为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用奇偶性定义判断A，利用函数对称性与周期性的定义判断BC；利用导数判断D. 【详解】对于A，，为奇函数，故A正确. 对于B，， ， ，不是图象的一条对称轴，故B错误； 对于C， ，，不是的周期，故C错误， 对于D，， 令，即，解得或， 当时，，， 当时，，，故函数极值为. 的值域为，故D正确. 11. 如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为（时）．在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就．同学们开展了数学探究，则下列命题正确的是（ ） A. 第2026行共有2027个数 B. 从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C. 第48行的所有数字之和被7除的余数为6 D. 去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列前135项的和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据杨辉三角的性质求得第2026行共有2027个数，即可判断A；根据组合数的性质化简即可判断B；利用二项式定理求解第48行的所有数字的和，进而根据二项式定理，根据整除的性质即可求解，进而判断C；根据二项式的和，结合等比数列以及等差数列的性质求解，即可判断D. 【详解】对于A选项，由题意，第行的第个数可以表示为（时）， 所以第2026行的第1个数为，最后1个数为，共有2027个数，故A正确； 对于B选项，由题意可得，从第4行起到第19行， 每一行的第4个数字分别为、、、、、、， 其和为 ，故B正确； 对于C选项，第48行的所有数字之和为 ， 又 ， 由于能被7整除， 所以第48行的所有数字之和被7除的余数为1，故C错误； 对于D选项，第行的所有数字之和为， 当时，第行中去除为1的项的和为，第0行为1， 故前行中去除为1的项的和为， 故前17行中去除为1的项的和为， 去除所有为1的项后，则从第1行开始，剩下的每一行的个数为0，1，2，3，4，， 可以看成一个首项为0，公差为1的等差数列，则行共有个数， 当时，， 因此前17行中，去掉为1的项，共有136项，且第17行中，去掉为1的项后，最后一项为， 则此数列前135项的和为，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求出曲线在点处的切线方程，则此切线方程与曲线相切，通过解方程组得到关于的一元二次方程，则此一元二次方程只有一个解，则有判别式为0，从而得到关于的方程，解出得解. 【详解】，， 曲线在点处的切线的斜率为， 曲线在点处的切线方程为， 即， 则与曲线相切， 将代入， 得到，即只有一个解， 故，解得. 13. 如图，在矩形ABCD，中，E，F分别是BC和CD的中点，若P是矩形ABCD内一点（含边界），满足且，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】取，利用平面向量三点共线的性质得到三点共线，从而得到点在直线上，且，且位于矩形内部（含端点），则利用向量的基本定理和数量积得到，又长是定值，求的最小值就是求的最小值，而的最小值为当时最小且最小值为，从而得到的最小值. 【详解】，，， 取,则, 则三点共线，即点在直线上且位于矩形内部（含端点）， 取的中点，连接，则， 因为， ,所以， 因为，所以，所以， 因为，所以， 设的中点为, 则 ， 因为，分别为的中点， 所以，， 求的最小值转化为求的最小值， 又为的中点，则为定点， 因为点在直线上且位于矩形内部（含端点）， 所以当时，最小，且最小值为, 所以的最小值为. 14. 在正三棱柱中，，，点D是平面ABC上的动点，则的最小值是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据“胡不归”模型的概念，将转化为点到面的距离，进而判断最小值时的情况，再根据两角和的正弦公式，即可求出结果. 【详解】当D不在直线AC上时，过点作于H，连接AH，在正三棱柱中， 平面ABC，则，所以平面，， 所以，，所以当取最小值时，D在AC上， 如图所示，将在平面中绕点向下旋转得直线，作， 则，则的最小值等价于的最小值， 过作于，可知， 可知，，所以，，， 则， ，即，解得， 所以，所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在三角形ABC中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且． （1）若，求a的大小； （2）设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角的条件转化为边的关系，再通过角平分线分面积建立方程，解出两边长后，用余弦定理求第三边. （2）由角平分线导出的边关系结合基本不等式，求出三角形面积最小时两边的取值，此时三角形为等腰三角形，最后用向量中线公式求出中线长度. 【小问1详解】 由正弦定理，结合，得. 因为平分，，所以. 由三角形面积关系：， 即. 代入，，化简得. 将代入上式：，解得，则. 由余弦定理：. 故. 【小问2详解】 由，根据基本不等式，得， 设，则，解得，即， 当且仅当时，取得最小值，面积最小. 此时，， 因为为中点所以 . 两边平方得. 代入，，. 得，故. 16. 如图，PB是圆柱的母线，四边形ABCD是底面内接正方形．点E，F是棱BC，CD上的动点（E，F不与端点重合），且． （1）证明：平面PBF； （2）已知圆柱的体积为，点A到直线PF的距离是1．求CE的长度； 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）利用正方形的特征，线面垂直的性质、判定推理得证. （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用点到直线距离的向量求法列式求出； 【小问1详解】 在正方形中，由，得，， 则，，因此， 由是圆柱的母线，得平面，而平面，则， 又平面，所以平面. 【小问2详解】 设圆柱的底面圆半径为，圆柱的体积为，得， 解得，则，显然直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设，则， ，由点到直线的距离是1， 得，则，化简得， 即，而，解得， 所以. 17. 某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对“春节联欢晚会”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件“喜欢春节联欢晚会”，“学生为女生”，据统计有． （1）现从这100名女生中，按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为X．求X的概率分布列和期望； （2）将样本的频率视为概率．现从全校的学生中随机抽取n名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为Y，且当时，取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数n． 【答案】（1） 0 1 2 （2）或40或41 【解析】 【分析】（1）由题意易得的所有可能取值为，算出对应的概率可得分布列，进一步得数学期望； （2）先得到从全校的学生中随机抽取1名学生，他喜欢春节联欢晚会的概率为，再由二项分布概率最大可列不等式求解. 【小问1详解】 由，所以10个女生中喜欢春节联欢晚会和不喜欢春节联欢晚会的人数分别为7人和3人， 故的取值为， 则， 的分布列为： 0 1 2 故的期望为. 【小问2详解】 （i）由已知 ，女生有 100 人， 所以喜欢春节联欢晚会的女生人数为 70 人， 又因为，所以喜欢春节联欢晚会的人数为 90 人， 由于样本的频率视为概率，所以从全校的学生中随机抽取1名学生， 他喜欢春节联欢晚会的概率为， 则随机变量， 令 ， 解得， 因为，所以或40或41. 18. 已知抛物线的焦点F是椭圆的右焦点，抛物线C与椭圆E在第一象限的公共点P的横坐标为． （1）求抛物线C与椭圆E的标准方程； （2）若分别是椭圆E的左、右顶点，M，N是椭圆E上不同于的两点，直线的斜率是直线的斜率的2倍，证明：直线MN过定点，并求出定点的坐标． 【答案】（1）， （2）证明见解析， ． 【解析】 【分析】（1）由抛物线焦半径公式得到方程，求出，得到抛物线的标准方程，得到点坐标，由椭圆的定义求出，得到椭圆的标准方程； （2）设直线的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由得到方程，求出，得到过定点. 【小问1详解】 由抛物线的定义知，， 抛物线的标准方程为， ． 设椭圆的左焦点为，则， 连接，由椭圆的定义知， 解得， 又，则， ， 椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 由（1）知， 若直线的斜率为0，由椭圆的对称性知直线的斜率与直线的斜率互为相反数，不满足题意，故直线的斜率不能为0， 设，直线的方程为， 代入并整理，得， ① ． 由题知， ， ，解得． 将代入①得， 直线的方程为，则直线过定点． 19. 已知函数． （1）当时，求在点处的切线方程； （2）当时，证明：对任意，都有； （3）证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）当时，要证，只需证明，变形为，构造函数，利用导数分析该函数的单调性，即可证得结论成立； （3）由（2）得出，令，可得出，证明出，令，可得出，结合不等式的性质得出，再利用累加法可证得结论成立. 【小问1详解】 当时， ， 则 ， 所以 ，， 故当时，在点处的切线方程为. 【小问2详解】 对任意的，当时，， 故只需证对任意的恒成立，整理得， 构造函数，其中， 则 ， 所以函数在上为减函数，故当时，，即， 故对任意的，， 故当时，对任意，都有. 【小问3详解】 由（2）知，当时，，即， 令，则， 因为，所以， 构造函数，其中，则， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 令，得，即， 整理得， 则，即， 所以， ，，，， 累加得 , 故，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $