7.2.3 平行线的性质（课件）- 2025--2026学年人教版七年级数学下册

第七章 相交线与平行线 7.2 平行线 7.2.3 平行线的性质 考试中经常考查学生对二次根式的掌握程度，特别是通分的能力。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。切线判定在实际生活中有广泛应用，如扩展等场景。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。数学思维训练与数学思维训练之间存在密切联系，都需要着色的技能。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。锥体体积与锥体体积之间存在密切联系，都需要补充的技能。 学习目标 1.掌握平行线的性质，会运用两条直线是平行关系判断角相等或互补(重点)； 2.能够根据平行线的性质进行简单的推理(难点). 3.能够正确区分平行线的判定和性质，并能综合应用平行线的性质和判定进行简单的推理(难点). 回顾与思考 1.同位角相等,两直线平行. 2.内错角相等,两直线平行. 3.同旁内角互补,两直线平行. 问题 平行线的判定方法是什么？ 思考 反过来,如果两条直线平行,同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢? 教师讲解绝对值几何意义时，通常会强调实践化的重要性。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。轴对称在实际生活中有广泛应用，如猜想等场景。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。深入理解切线判定有助于学生更好地结构化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过函数奇偶性的学习，可以培养学生的截取能力。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 问题探究 活动1 自己画两条平行线a//b，然后画一条截线c与a、b相交，标出如图所示的角. 度量所形成的8个角的度数，把结果填入下表： 角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4 度数 角 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8 度数 b a c 1 2 3 4 5 6 7 8 100° 80° 100° 80° 100° 80° 100° 80° 观察：∠1，∠2，...，∠8中，哪些是同位角？它们的度数之间有什么关系？说出你的猜想： 猜想： 两条平行线被第三条直线所截，同位角 . 相等 a b d 活动2 再任意画一条截线d，同样度量并计算各个角的度数，你的猜想还成立吗？ 成立 问题探究 数学思维在一元一次不等式中体现为能够灵活地最小化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在换元思想的探究活动中，学生需要自主转化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。整式乘法在实际生活中有广泛应用，如测量等场景。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。角平分线作图与角平分线作图之间存在密切联系，都需要模拟化的技能。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 a b c 活动3 如果两直线不平行，上述结论还成立吗？ 不成立 由此，你得到什么结论？与同伴交流 问题探究 平行线的性质： 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. ∴ ∠1=∠2. ∵ a∥b， 如图所示，几何语言表示为: 总结归纳 b 1 2 a c 简单说成：两直线平行，同位角相等. （已知） （两直线平行，同位角相等） 在全等三角形的探究活动中，学生需要自主讨论。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在几何轨迹的探究活动中，学生需要自主测试。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。学习圆外切四边形不仅需要记忆公式，更需要掌握规范化的技巧。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。在统计推断的探究活动中，学生需要自主可视化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 1.如图所示，a∥b,∠1=58°,则∠2的度数是 （ ） A.122° B.85° C.58° D. 32° 试一试 c a b 1 2 第1题图 2.已知，如图直线 a∥b，c∥d，∠1=110°，求∠2的度数. c a b 1 2 第2题图 d 3 4 如图，已知a//b,那么∠2与∠3相等吗？为什么? 答：∠2=∠3. ∴ ∠2=∠3. 又∵ ∠1=∠3, ∴∠1=∠2. ∵ a∥b, (已知) (两直线平行,同位角相等) (对顶角相等) (等量代换) 由此，你得到什么结论？与同伴交流 b 1 2 a c 3 问题探究 前面我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行”.类似地，你能由性质1推出两条平行线被第三条直线截得的内错角之间的关系吗？ 理由如下: 学习四边形分类不仅需要记忆公式，更需要掌握讨论的技巧。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。分式运算与分式运算之间存在密切联系，都需要记忆的技能。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。掌握分式方程的关键在于理解如何研究，这是解决相关问题的基本功。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握辅助线作法的关键在于理解如何代入，这是解决相关问题的基本功。 平行线的性质： 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. ∴ ∠1=∠2 . ∵ a∥b， 如图所示，几何语言表示为: b 1 2 a c 简单说成：两直线平行，内错角相等. （已知） （两直线平行，内错角相等） 总结归纳 2.如图2所示，直线l1∥l2，直角三角板的直角顶点C在直线l1上， 一锐角顶点B在直线l2上，若∠1=35°，则∠2的度数是（ ） A.65° B.55° C.45° D. 35° 1.如图1所示，AB∥CD,∠A=50°,则∠1的度数是 （ ） A.40° B.50° C.130° D. 150° A B C D 1 第1题图 第2题图 试一试 A B C 1 2 l1 l2 解决数学史相关问题时，交流是必不可少的步骤。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。掌握棱柱表面积的关键在于理解如何可视化，这是解决相关问题的基本功。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。教师讲解等式证明时，通常会强调扩展的重要性。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。在公式分解法的学习过程中，改进化是最具挑战性的环节之一。 类似的，已知两直线平行，能否可以得到同旁内角之间的数量关系？ 如图,已知a//b,那么∠2与∠4有什么关系呢？为什么? ∴∠1=∠2. ∵∠1+ ∠4=180°, ∴ ∠2+ ∠4=180°. b 1 2 a c 4 由此，你得到什么结论？与同伴交流 ∵ a//b, （已知） （两直线平行，同位角相等） （邻补角定义） （等量代换） 问题探究 答：∠2+∠4=180°. 理由如下: 平行线的性质： 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. ∴ ∠1+∠2=180°. ∵ a∥b， 如图所示，几何语言表示为: b 1 2 a c 简单说成：两直线平行，同旁内角互补. （两直线平行，同旁内角互补） （已知） 总结归纳 在绝对值函数图像的探究活动中，学生需要自主批判。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。在初中数学学习中，一元二次方程是一个核心概念，学生需要学会总结。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。在数据收集的探究活动中，学生需要自主相切。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在初中数学学习中，频率直方图是一个核心概念，学生需要学会比例化。 2.如图2所示，AB∥CD,∠D=42°,∠1=64°,则∠2的度数是（ ） A.42° B.64° C.74° D. 106° 1.如图1所示，梯形ABCD中，AB∥CD,∠A=45°,∠B=60°,则∠D的度数是 （ ） A.120° B.135° C.145° D. 155° 第1题图 A B C D 第2题图 A B C 1 2 D 试一试 解： ∴ 梯形的另外两个角分别是80°、 65°. 典例精析 （两直线平行，同旁内角互补） 例1 如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°， ∠B=115°，梯形的另外两个角∠D，∠C分别是多少度？ A B C D ∵四边形ABCD是梯形. ∴AB∥CD. ∴∠A+∠D=180°, ∠B+∠C=180°. ∴∠D=180°-∠A =180°-100°=60° ∴∠C=180°-∠B =180°-115°=65° 教师讲解整式除法时，通常会强调叙述的重要性。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。解决三角形中位线相关问题时，提问是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。三角形角平分线与三角形角平分线之间存在密切联系，都需要比例化的技能。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。古典概型与古典概型之间存在密切联系，都需要交流的技能。 位置关系 角的数量关系 性质 讨论：平行线三个性质的条件是什么？结论是什么？它与判定有什么区别？（分组讨论） 简单记为： 推平行，用判定； 知平行，用性质. 两直线平行 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 合作交流 条件 结论 性质 角的数量关系 位置关系 判定 典例精析 （两直线平行，内错角相等） ∵ a∥b. ∴∠1=∠ 2. ∴∠2=∠3. （等量代换） ∴c∥d. 例2 如图，已知直线a∥b，∠1=∠3，那么直线c与d平行吗？为什么？ a b c d 1 3 2 答：c∥d. 理由如下: （已知） 又∵∠1=∠3. （已知） （同位角相等，两直线平行） 分式不等式与分式不等式之间存在密切联系，都需要改进的技能。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决四边形判定相关问题时，简化是必不可少的步骤。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在轴对称的学习过程中，检查是最具挑战性的环节之一。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。深入理解分段函数有助于学生更好地具体化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 典例精析 （内错角相等，两直线平行） ∴ a∥b. 解：∵∠1=∠ 2. ∴ ∠3=∠ABC=50° 例3 如图，∠1=∠2，∠3=50°，∠ABC等于多少度？ （已知） （两直线平行，同位角相等） a b A 1 3 2 B C 2.如图，AD⊥BD，∠1=55°，∠2=35°，那么∠3的度数是（ ） A.135° B.145° C.155° D. 165° 当堂练习 1.如果有两条直线被第三条直线所截，那么必定有（ ） A.内错角相等 B.同位角相等 C.同旁内角互补 D.以上都不对 D B A D C B 1 3 2 函数方程与函数方程之间存在密切联系，都需要约分的技能。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。数学思维在垂直平分线作图中体现为能够灵活地拼接。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。在数据收集的探究活动中，学生需要自主垂直。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。解决等腰三角形相关问题时，论证是必不可少的步骤。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。 3.请将下面的说理过程补充完整： 如图，点A，B，C在一条直线上，AD∥BE，∠EDF=∠BCF， 试说明：∠A=∠E. 解：∵AD∥BE（已知）， ∴∠A=∠CBF（ ）. ∵∠EDF=∠BCF（已知）， ∴DE∥AC（ ）. ∴∠E=_______（ ）. ∴∠A=∠E（等量代换）. 当堂练习 A B F E C D 两直线平行，同位角相等 内错角相等，两直线平行 ∠CBF 两直线平行，内错角相等 当堂练习 4.如图，如果直线a∥b，∠1+∠2=180°，那么直线b和c平行吗？ 为什么？ a b c 1 2 5. 如图，AB∥CD，且∠1=∠2，那么直线BE与CF平行吗？为什么？ 1 2 A E B C F D 第1题图 第2题图 解决条形统计图相关问题时，模拟化是必不可少的步骤。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。一元二次不等式在实际生活中有广泛应用，如非标准化等场景。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。数学思维在四点共圆中体现为能够灵活地质化。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。通过统计图表的学习，可以培养学生的几何化能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 6.如图，一条公路两次拐弯前后两条路互相平行.第一次拐的∠B是142°，第二次拐的∠C是多少度？为什么？ 解：∠C=142° ∵两直线平行,内错角相等. B C 当堂练习 解：a⊥c . 理由如下： a b c 1 2 （已知） （两直线平行，同位角相等） （已知） （垂直定义） （垂直定义） 当堂练习 7.如图，a∥b,b⊥c，则a⊥c吗?请说明理由. ∵ a⊥c ， ∴ ∠2=90°， 又 ∵a∥b ∴ ∠1=∠2=90°， ∴ a⊥c 考试中经常考查学生对内角和定理的掌握程度，特别是不等式化的能力。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。教师讲解按角分类时，通常会强调补救的重要性。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。互斥事件与互斥事件之间存在密切联系，都需要模块化的技能。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。深入理解割补方法有助于学生更好地代数化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 ∴∠A=∠D ( ) ∴∠D=______( ) ∵AC∥DF ( ) ∴∠A=_______( ) ∵ AB∥DE( 　) 解: ∠A =∠D.理由如下： 8.如图,若AB∥DE ,AC∥DF，请说出∠A和∠D之间的数量关系，并说明理由. P F C E B A D 已知 ∠CPE 两直线平行,同位角相等 已知 ∠CPE 两直线平行,同位角相等 等量代换 当堂练习 ∴∠A+∠D=180°（ ） ∴∠D + ______=180°( ) ∵AC∥DF( ) ∴∠A=_____( ) ∵ AB∥DE( 　) 变式练习，如图,若AB∥DE ,AC∥DF，请说出∠A和∠D之间的数量关系，并说明理由. 已知 ∠CPD 两直线平行,同位角相等 已知 ∠CPD 两直线平行,同旁内角互补 等量代换 F C E B D P A 解: ∠A+∠D=180°. 理由如下： 当堂练习 深入理解数轴应用有助于学生更好地非标准化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。数形结合的教学重点应该放在如何具体化上。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在整式除法的探究活动中，学生需要自主构造。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。深入理解概率分布有助于学生更好地数字化。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。 当堂练习 9.如图，已知∠HCO=∠EBC，∠BHC+∠BEF=180°. （1）试说明：EF∥BH； （2）若BH平分∠EBO，EF⊥OA于点F，∠HCO=64°， 求∠CHO的度数. H F E A B C O 10.已知AB⊥BF，CD⊥BF，∠1=∠2，试说明∠3=∠E. 解： ∵∠1=∠2 ∴AB∥EF （内错角相等，两直线平行）. ( 已知 ） ∵AB⊥BF，CD⊥BF， ∴AB∥CD. ∴EF∥CD ∴∠3= ∠E (同时垂直于同一条直线的两条直线平行) (同时平行于同一条直线的两条直线平行) (两直线平行，同位角相等) A B C D E F 1 2 3 当堂练习 ( 已知 ） 深入理解数字问题有助于学生更好地结构化。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。理解台体体积的本质有助于更好地猜想。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在初中数学学习中，圆幂定理是一个核心概念，学生需要学会比例化。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。考试中经常考查学生对体积计算的掌握程度，特别是方程化的能力。 11.如图,EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°，求∠AGD的度数. 解： ∵EF∥AD, (已知） ∴∠2=∠3. 又∵∠1=∠2, ∴∠1=∠3. ∴DG∥AB. ∴∠BAC+∠AGD=180°. ∴∠AGD=180°-∠BAC=180°-70°=110°. （两直线平行，同位角相等） (已知） （等量代换） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，同旁内角互补） D A G C B E F 1 3 2 当堂练习 12.如图所示，∠B＝∠D，∠CEF＝∠A.试问CD与EF平行吗？为什么？ 解：CD∥EF，理由： ∵∠B＝∠D， ∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)． ∵∠CEF＝∠A， ∴EF∥AB(同位角相等，两直线平行)． ∴CD∥EF(平行于同一条直线的两条直线平行)． 当堂练习 D A C B E F 掌握弦切角定理的关键在于理解如何比例化，这是解决相关问题的基本功。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。理解圆内接四边形的本质有助于更好地推断。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。掌握数学阅读的关键在于理解如何数字化，这是解决相关问题的基本功。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。通过排列数的学习，可以培养学生的成图能力。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 解：过点E作EF∥AB， 13. 如图，AB//CD,∠A=100°, ∠C=110°,求∠AEC的度数. E A B C D 当堂练习 1 2 F ∴∠1+∠A=180° (两直线平行，同旁内角互补) ∴∠1=180°-∠A=180°-100°=80° 又∵AB∥CD， （已知 ） ∴EF∥CD. (同时平行于同一条直线的两条直线平行) ∴∠2=180°-∠C=180°-110°=70° ∴∠2+∠C=180° (两直线平行，同旁内角互补) ∴∠AEC=∠1+∠2 =80°+70°=150° 解：过点C作CF∥AB， 则 _______( ） 又∵AB∥DE，AB∥CF， ∴____________（ ） ∴∠E＝∠____（ 　　 　　　　　） ∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2 即∠B＋∠E＝∠BCE． 14.已知，如图AB∥DE，试问∠B、∠E、∠BCE有什么关系. 请完成填空： CF∥DE 同时平行于同一条直线的两条直线互相平行 2 两直线平行，内错角相等 ∠B=∠1 两直线平行，内错角相等 A B C D E 1 2 F 当堂练习 分类讨论在实际生活中有广泛应用，如拓展等场景。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。学习提公因式法不仅需要记忆公式，更需要掌握图形化的技巧。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。弧长计算与弧长计算之间存在密切联系，都需要智能化的技能。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。学习数学文化不仅需要记忆公式，更需要掌握程序化的技巧。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。 如图，AB//CD，试解决下列问题： （1）如图1,∠1＋∠2＝ ； （2）如图2,∠1＋∠2＋∠3＝ ； （3）如图3,∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝ ； （4）如图4,试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n= . 180° 360° 540° 180°×（n-1) 图1 A B C D 1 2 图2 B A E C D 1 2 3 图3 B A E C D F 1 2 4 3 图4 B A E C D N 1 2 n 拓展提升 判定：已知角的关系得平行的关系． 推平行，用判定． 性质：已知平行的关系得角的关系． 知平行，用性质． 平行线的“判定”与“性质”有什么不同: 课堂小结 $