高频考点02 概率、平行线、三角形等5大核心考点（山东专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

高频考点02 概率、平行线、三角形等5大核心考点 考点1 列表法或树状图法求概率 1．（2026·山东济宁·二模）紫色石蕊试剂是化学领域一种常用的酸碱指示剂，通常情况下石蕊试剂遇酸溶液变红，遇碱溶液变蓝，遇中性溶液不变色．现有三个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有三种无色溶液：蒸馏水（中性）、白醋溶液（酸性）、食用碱溶液（碱性）．甲、乙两人分别随机选择这三个滴瓶的其中一个取适量的溶液分别与紫色石蕊试剂混合，求甲、乙两人混合后溶液都变红的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东临沂·二模）在“海洋强国”主题实践活动中，老师准备了“蛟龙号”“科学号”“奋斗者号”“向阳红01”四款载人潜水器或科考船的模型，要求每个小组随机抽取两款模型，制作科普展板进行成果展示，若每款模型被抽到的可能性相等，则某小组恰好抽到“蛟龙号”和“奋斗者号”的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山东临沂·一模）《数学之美》特种邮票于2025年3月14日发行．如图，该邮票一套4枚，图案名称分别为圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带．现将这4枚邮票（除正面图案不同，其余均相同）背面朝上放在桌面，洗匀后从中随机抽取1枚，记下名称后放回；洗匀后再随机抽取1枚，两次抽取的邮票图案名称相同的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山东菏泽·一模）某基因数据分析平台对人类单双眼皮遗传规律开展建模研究：双眼皮由显性基因R控制，单眼皮由隐性基因r控制．基因型表现为双眼皮，表现为单眼皮．父母均随机将一对基因中的一个遗传给子女．若父母基因型均为，则子女为双眼皮的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·山东济宁·一模）从0，1，2，3这四个数字中随机选取一个数作为k，则方程有两个不同的整数根的概率是（   ） A． B． C． D．1 考点2 平行线的性质与判定 1．（2026·山东青岛·一模）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为），地球上一点的纬度是指与地球赤道所在平面所成角，点处的水平面是指过点且与垂直的平面．在点处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点处的纬度为北纬，则晷针与点处的水平面所成的角为（  ） A． B． C． D． 2．（2026·山东济宁·二模）如图，，点E为上一点，连接，的平分线交于点F，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山东济南·一模）如图，在3×3的正方形网格中，点，，，，均在各小正方形顶点处，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山东济宁·一模）如图，直线，相交于点，平分．，与相交于点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·山东青岛·一模）如图，直线，正五边形的顶点，分别落在，上．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 考点3 与三角形相关的问题 1．（2026·山东德州·一模）如图，在中，分别是边上的中线和高．，，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东济南·一模）如图，在中，D点在上，连接．根据图中标示的度数，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山东德州·一模）如图，在中，，分别为，的中点，点是线段上的点，且，若，，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．1.6 D．2 4．（2026·山东潍坊·一模）如图，在中，，点、、分别是边、、的中点，连接、、、，与交于点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·山东日照·一模）如图，在中，E是的中点，，点D在上，连接交于点，其中，则长为（    ） A． B． C． D． 考点4 数据分析 1．（2026·山东东营·一模）对于一组统计数据：2，3，6，9，3，7，下列说法错误的是（    ） A．众数是3 B．中位数是4.5 C．平均数是5 D．方差是4 2．（2026·山东青岛·一模）求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．的值是 B．该组数据的平均数是 C．该组数据的方差是 D．若该组数据加入数，则这组新数据的方差变大 3．（2025·山东临沂·二模）随着的流行，各种大模型层出不穷，现有甲、乙两个大模型，在对甲、乙两个大模型进行深度体验后，6位评委分别对甲、乙进行打分（满分10分），得到如图所示的统计表格，则下列结论不正确的是（   ） 评委 模型 1 2 3 4 5 6 甲 7.0 9.3 8.3 9.2 8.9 8.9 乙 8.1 9.1 8.5 8.6 8.7 8.6 A．甲得分的平均数大于乙得分的平均数 B．甲得分的众数大于乙得分的众数 C．甲得分的中位数大于乙得分的中位数 D．甲得分的方差大于乙得分的方差 4．（2025·山东滨州·二模）2025年春晚节目《秧BOT》以机器人表演传统秧歌为主题，广受好评.演出结束后，节目组随机抽取了部分现场观众进行评分（满分10分），并根据得分绘制了以下条形统计图，其中有一个部分被遮盖了，已知评分为6分的占随机抽出现场观众总数的，则下列说法正确的是（  ） A．7分是这个样本的众数 B．该样本中观众评分的平均分为8分 C．评分为7分的人数占这个样本的 D．8分是这个样本的中位数 5．（2025·山东·模拟预测）投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，也是一种礼仪，某班举行投壶游戏，甲、乙两名同学五次的成绩（个数）如图，下列判断正确的是成绩（个数）（   ） A．甲的成绩比乙稳定 B．甲成绩的平均数比乙成绩的平均数大 C．甲的最好成绩比乙的最好成绩高 D．甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大 考点5 求圆锥侧面积、半径或者高 1．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）一个正方体木料削成最大的圆锥，圆锥的体积占正方体体积的（） A． B． C． D． 2．（2026·山东东营·一模）如图所示为一个物体的三视图，根据图示信息可得该物体侧面展开图的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山东临沂·模拟预测）如图以正六边形的顶点A为圆心，为半径作，与正六边形重合的扇形部分恰好是一个圆锥侧面展开图，则该圆锥的底面面积与侧面积之比为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山东东营·一模）如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，侧面积为，则该吊灯外罩的高是（   ）． A． B． C． D． 5．（2026·山东滨州·一模）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是弧的中点，连接，，以点D为圆心，的长为半径在内画弧，将阴影部分剪下来围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（2025·山东潍坊·一模）一个圆锥的侧面积是底面积的4倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·云南昆明·一模）哈尼族蘑菇房是云南极具特色的传统民居，其锥形茅草屋顶形似撑开的蘑菇伞，既美观又能适应山地多雨的气候．某工匠按蘑菇房屋顶形状制作了一个圆锥模型．已知该圆锥模型的底面周长为，母线长为6，则此圆锥的侧面积为（  ） A． B． C． D． 3．（2025·山东威海·一模）学校在开展“节约每一滴水”活动中，从九年级的100名同学中任选出20名同学调查了各自家庭一个月的节水情况，将数据（每人上报节水量都是正整数）整理如下表： 节水量x/t 人数/人 6 4 8 2 估计这100名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·云南文山·一模）若一个圆锥的底面圆的半径为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的母线长为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，用雷达图展示小智参与趣味数学活动过程中探索学习、动手操作、沟通合作、创新、问题解决五项能力的得分，分别按进行综合评价，则他的综合得分为（   ）． A．10 B．8 C． D． 6．（2023·山东济南·模拟预测）开学前，根据学校防疫要求，小宁同学连续14天进行了体温测量，结果统计如表： 体温（） 36.2 36.3 36.5 36.6 36.8 天数（天） 3 3 4 2 2 这14天中，小宁体温的众数和中位数分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 7．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，，平分交于D，若，则的面积等于（   ） A．3 B．6 C．12 D．24 8．（2026·山东临沂·模拟预测）将一个含角的三角板按照如图所示的方式放置在直尺上，此时，直尺边正好是三角板的角平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．（2026·山东济南·一模）如图，，的角平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·山东济宁·一模）下列图形中，能说明一定成立的是（    ） A． B． C． D． 11．（2026·山东青岛·一模）某思政社团开展“讲古代著名思想家、政治家故事的活动”．通过查阅资料，该社团了解了孔子，孟子，孙子，亚里士多德这4位思想家、政治家的生平，知晓了他们取得的伟大成就对世界发展起到的巨大推进作用．现从这4位思想家、政治家中随机选取其中2位的故事进行分享，则选取的2位都是中国思想家、政治家的概率是（   ） A． B． C． D． 12．（2026·山东济宁·一模）3月14日是国际数学节．某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好都选到活动“玩转幻方”的概率是（    ） A． B． C． D． 13．（2026·山东德州·一模）小明想知道图钉的钉尖朝上的概率大概是多少，以下做法正确的是（   ） A．画树状图求概率 B．列表格求概率 C．抛掷次，其中有次钉尖朝上，则钉尖朝上的概率约为 D．抛掷次，钉尖朝上有次，则钉尖朝上的概率约为 14．（2026·河南南阳·一模）3月14日是国际数学日．某数学小组在今年的数学日活动中策划了“逻辑快递”“图形幻方”和“的追击”三个游戏．如果小鼎和小成每人随机选择一个游戏参加，那么他们选择相同游戏的概率是（    ） A． B． C． D． 15．（2026·江苏徐州·一模）如图，从一个边长是8的正六边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），将剪下来的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面半径为（   ） A． B． C． D． 16．（2025·山东临沂·二模）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体侧面积为（    ） A．8 B． C． D． 17．（2025·山东淄博·二模）菲尔兹奖是数学领域的国际最高奖项之一，每四年颁发一次．以下是部分菲尔兹奖得主的年龄（单位：岁）：32，33，31，29，31，29，31，32，则下列说法正确的是（    ） A．中位数是31，方差是14 B．众数是31，标准差是 C．平均数是31，方差是 D．极差是4，标准差是 18．（2026·云南楚雄·一模）如图，在中，，点D，E分别是，的中点，交于点F，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 19．（2026·陕西榆林·二模）如图，是等边的中线，于点．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 20．（2026·安徽阜阳·二模）如图所示，是的边的中点，平分，于点，且，，则的长是（   ） A． B． C． D． 21．（2026·安徽合肥·二模）如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接并延长交于点，已知，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 22．（2026·河北保定·模拟预测）如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．珍珍发现答案中是根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明的，则被墨迹覆盖住的条件可能是（    ） A． B． C． D． 23．（2026·安徽合肥·一模）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中斜边与直线n交于点D．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 24．（2026·山东潍坊·一模）抛掷两枚骰子，用m和n分别表示两枚骰子朝上的点数，那么点数之差的绝对值可能取中的任何一个整数，记整数r的概率为，，则P取得最大值时对应的r值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．5 25．（2023·山东济南·一模）编号为到的个小球分放在两个盒子和中，号小球在盒子中，把这个小球从盒子中移至盒子中，这时盒子中小球号码数的平均数增加了，中小球号码数的平均数也增加了，则原来在盒子中的小球个数为（   ） A． B． C． D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高频考点02 概率、平行线、三角形等5大核心考点 考点1 列表法或树状图法求概率 1．（2026·山东济宁·二模）紫色石蕊试剂是化学领域一种常用的酸碱指示剂，通常情况下石蕊试剂遇酸溶液变红，遇碱溶液变蓝，遇中性溶液不变色．现有三个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有三种无色溶液：蒸馏水（中性）、白醋溶液（酸性）、食用碱溶液（碱性）．甲、乙两人分别随机选择这三个滴瓶的其中一个取适量的溶液分别与紫色石蕊试剂混合，求甲、乙两人混合后溶液都变红的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将蒸馏水（中性）、白醋溶液（酸性）、食用碱溶液（碱性）分别用A、B、C表示，画树状图为： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲、乙两人混合后溶液都变红的结果数有1种， ∴甲、乙两人混合后溶液都变红的概率是． 2．（2026·山东临沂·二模）在“海洋强国”主题实践活动中，老师准备了“蛟龙号”“科学号”“奋斗者号”“向阳红01”四款载人潜水器或科考船的模型，要求每个小组随机抽取两款模型，制作科普展板进行成果展示，若每款模型被抽到的可能性相等，则某小组恰好抽到“蛟龙号”和“奋斗者号”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设“蛟龙号”“科学号”“奋斗者号”“向阳红01”分别为A，B，C，D 画树状图如下： 共有12种等可能的情况，其中恰好抽到“蛟龙号”和“奋斗者号”的结果有2种， ∴恰好抽到“蛟龙号”和“奋斗者号”的概率是． 3．（2026·山东临沂·一模）《数学之美》特种邮票于2025年3月14日发行．如图，该邮票一套4枚，图案名称分别为圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带．现将这4枚邮票（除正面图案不同，其余均相同）背面朝上放在桌面，洗匀后从中随机抽取1枚，记下名称后放回；洗匀后再随机抽取1枚，两次抽取的邮票图案名称相同的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：用字母A，B，C，D，分别表示抽取到圆周率，勾股定理，欧拉公式和莫比乌斯带， 列表如下： 第一次第二次 A B C D A AA AB AC AD B BA BB BC BD C CA CB CC CD D DA DB DC DD 如表，共有16个等可能的事件，其中两次抽取的邮票图案名称相同的事件有4个， 故概率为． 4．（2026·山东菏泽·一模）某基因数据分析平台对人类单双眼皮遗传规律开展建模研究：双眼皮由显性基因R控制，单眼皮由隐性基因r控制．基因型表现为双眼皮，表现为单眼皮．父母均随机将一对基因中的一个遗传给子女．若父母基因型均为，则子女为双眼皮的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵父母基因型均为，每人随机传递一个基因给子女，所有等可能的基因型组合为，共种， 又∵基因型表现为双眼皮，符合条件的结果共种， ∴子女为双眼皮的概率为． 5．（2026·山东济宁·一模）从0，1，2，3这四个数字中随机选取一个数作为k，则方程有两个不同的整数根的概率是（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】∵从0，1，2，3四个数中任选一个数作为k， ∴共有4种等可能的结果， 分别代入k验证： 当时，方程为，解得，，是两个不同的整数根，符合条件； 当时，方程为，根为，不是整数，不符合条件； 当时，方程为，根为，不是整数，不符合条件； 当时，方程为，解得，，是两个不同的整数根，符合条件， ∴符合条件的结果共2种， ∴所求概率． 考点2 平行线的性质与判定 1．（2026·山东青岛·一模）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为），地球上一点的纬度是指与地球赤道所在平面所成角，点处的水平面是指过点且与垂直的平面．在点处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点处的纬度为北纬，则晷针与点处的水平面所成的角为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，点为地心，所在平面为赤道所在平面，即，延长至点，，即所在平面为处的水平面，过点且平行于，即为晷面，，即为晷针，晷针与点处的水平面所成的角即为． 因为， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以． 所以． 所以晷针与点处的水平面所成的角为． 2．（2026·山东济宁·二模）如图，，点E为上一点，连接，的平分线交于点F，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 3．（2026·山东济南·一模）如图，在3×3的正方形网格中，点，，，，均在各小正方形顶点处，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设每个小正方形的边长为1，根据题意，得， ， 都是锐角， ， 不平行， 故选项A不符合要求； ，， ， 故选项B不符合要求； 根据题意，得， 都是锐角，且， ， 故选项C不符合要求； 连接， 根据勾股定理，得，且是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ． 4．（2026·山东济宁·一模）如图，直线，相交于点，平分．，与相交于点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（2026·山东青岛·一模）如图，直线，正五边形的顶点，分别落在，上．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示， 根据题意可知，正五边形的一个外角为， ∴正五边形的每个内角为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点3 与三角形相关的问题 1．（2026·山东德州·一模）如图，在中，分别是边上的中线和高．，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， ， 是边上的中线， ． 2．（2026·山东济南·一模）如图，在中，D点在上，连接．根据图中标示的度数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，即， ∴ 3．（2026·山东德州·一模）如图，在中，，分别为，的中点，点是线段上的点，且，若，，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．1.6 D．2 【答案】B 【详解】解：∵D、E分别为，的中点，， ∴， ∵， ∵D为的中点，， ∴， ∴． 4．（2026·山东潍坊·一模）如图，在中，，点、、分别是边、、的中点，连接、、、，与交于点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：点、分别是边、的中点， 是的中位线， ，， 点是边的中点， ， ，故A正确； ，即， 点是边的中点， ∴，则，故B正确； 点、、分别是边、、的中点， 是的中位线， 是的中位线， ， ， ， ， ，故C正确； 点是边的中点， 是的中线， 若，则也是的角平分线， 根据等腰三角形“三线合一”性质，此时应有， 但这与已知条件矛盾， ，故D不正确． 5．（2026·山东日照·一模）如图，在中，E是的中点，，点D在上，连接交于点，其中，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：作， ∵， ∴， ∴， 取的中点，连接， ∵E是的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴． 考点4 数据分析 1．（2026·山东东营·一模）对于一组统计数据：2，3，6，9，3，7，下列说法错误的是（    ） A．众数是3 B．中位数是4.5 C．平均数是5 D．方差是4 【答案】D 【详解】解：将数据从小到大排列为2，3，3， 6，7，9，共 个数据． ∵数据中 出现次数最多， ∴众数为 ，A正确，不符合题意． ∵ 个数据的中位数为第 个和第 个数据的平均数，即 ， ∴中位数为 ，B正确，不符合题意． ∵平均数 ， ∴平均数为 ，C正确，不符合题意． ∵方差， ∴D错误，符合题意． 2．（2026·山东青岛·一模）求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．的值是 B．该组数据的平均数是 C．该组数据的方差是 D．若该组数据加入数，则这组新数据的方差变大 【答案】D 【详解】解：∵方差算式中共有4个平方项， ∴，A选项说法正确，不符合题意； 原数据为，，，，计算平均数得： ， ∴B选项说法正确，不符合题意； 计算原方差得：， ∴C选项说法正确，不符合题意； 加入数后，新数据为，，，，，计算新方差得： 新平均数， 新方差， ∵， ∴新方差变小，D选项说法错误，符合题意． 3．（2025·山东临沂·二模）随着的流行，各种大模型层出不穷，现有甲、乙两个大模型，在对甲、乙两个大模型进行深度体验后，6位评委分别对甲、乙进行打分（满分10分），得到如图所示的统计表格，则下列结论不正确的是（   ） 评委 模型 1 2 3 4 5 6 甲 7.0 9.3 8.3 9.2 8.9 8.9 乙 8.1 9.1 8.5 8.6 8.7 8.6 A．甲得分的平均数大于乙得分的平均数 B．甲得分的众数大于乙得分的众数 C．甲得分的中位数大于乙得分的中位数 D．甲得分的方差大于乙得分的方差 【答案】A 【详解】解：A、甲得分的平均数为， 乙得分的平均数为， 即甲得分的平均数等于乙得分的平均数，A选项结论不正确，符合题意； B、甲得分的众数为，乙得分的众数为， 即甲得分的众数大于乙得分的众数，B选项结论正确，不符合题意； C、甲得分从小到大排列为，中位数为， 乙得分从小到大排列为，中位数为， 即甲得分的中位数大于乙得分的中位数，C选项结论正确，不符合题意； D、甲得分的方差为， 乙得分的方差为， 即甲得分的方差大于乙得分的方差，D选项结论正确，不符合题意； 故选：A 4．（2025·山东滨州·二模）2025年春晚节目《秧BOT》以机器人表演传统秧歌为主题，广受好评.演出结束后，节目组随机抽取了部分现场观众进行评分（满分10分），并根据得分绘制了以下条形统计图，其中有一个部分被遮盖了，已知评分为6分的占随机抽出现场观众总数的，则下列说法正确的是（  ） A．7分是这个样本的众数 B．该样本中观众评分的平均分为8分 C．评分为7分的人数占这个样本的 D．8分是这个样本的中位数 【答案】D 【详解】解：根据题意，得样本容量为（人）， 故得8分的人数为：（人）， 故8分是这个样本的众数， 故A不符合题意； 根据题意，平均分为（分）， 故B不符合题意； 评分为7分的人数占这个样本的百分比为：， 故C不符合题意； 中位数是第25个数据，26个数据的平均数即（分）， D符合题意； 故选：D． 5．（2025·山东·模拟预测）投壶，源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，也是一种礼仪，某班举行投壶游戏，甲、乙两名同学五次的成绩（个数）如图，下列判断正确的是成绩（个数）（   ） A．甲的成绩比乙稳定 B．甲成绩的平均数比乙成绩的平均数大 C．甲的最好成绩比乙的最好成绩高 D．甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大 【答案】A 【详解】解：甲同学的成绩按从小到大顺序依次为：、、、、， 则其中位数为7，平均数为，最好成绩是，方差为； 乙同学的成绩依次为：、、、、， 则其中位数为，平均数为，最好成绩是，方差为， 甲的成绩比乙稳定，甲、乙的平均成绩和中位数均相等，甲的最好成绩比乙低． 故选项A符合题意， 故选：A． 考点5 求圆锥侧面积、半径或者高 1．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）一个正方体木料削成最大的圆锥，圆锥的体积占正方体体积的（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设正方体的棱长为， ∴， ∵正方体削出的最大圆锥，底面直径等于正方体棱长，圆锥的高等于正方体棱长， ∴圆锥底面半径，圆锥高， ∴， ∴， 即圆锥的体积占正方体体积的． 2．（2026·山东东营·一模）如图所示为一个物体的三视图，根据图示信息可得该物体侧面展开图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】提示：该物体为圆锥，底面周长为， 母线长为， 侧面展开图的面积为． 3．（2026·山东临沂·模拟预测）如图以正六边形的顶点A为圆心，为半径作，与正六边形重合的扇形部分恰好是一个圆锥侧面展开图，则该圆锥的底面面积与侧面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设正六边形的边长为a，圆锥的底面半径为r， ∵六边形为正六边形， ， 根据题意得， 。 ，， 即该圆锥的底面面积与圆锥的侧面积之比为． 故选：B． 4．（2026·山东东营·一模）如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，侧面积为，则该吊灯外罩的高是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵圆锥的底面周长为， ∴圆锥的底面半径为， ∵侧面积为， ∴圆锥的母线长为， ∴该吊灯外罩的高是． 5．（2026·山东滨州·一模）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是弧的中点，连接，，以点D为圆心，的长为半径在内画弧，将阴影部分剪下来围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：如图所示，连接， ∵是等边三角形， ，， ， ∵点为弧的中点， ， ∴垂直平分线段， ∴经过点O， ∴，， ， 设圆锥底面圆半径为r，则， ∴． ∴圆锥底面圆的半径为2． 1．（2025·山东潍坊·一模）一个圆锥的侧面积是底面积的4倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设圆锥底面半径为，母线长为，圆锥侧面展开图的圆心角为， 由题意可得：， ∴， 解得：， 由弧长公式可得：， 解得：， ∴该圆锥侧面展开图的圆心角是， 故选：A． 2．（2026·云南昆明·一模）哈尼族蘑菇房是云南极具特色的传统民居，其锥形茅草屋顶形似撑开的蘑菇伞，既美观又能适应山地多雨的气候．某工匠按蘑菇房屋顶形状制作了一个圆锥模型．已知该圆锥模型的底面周长为，母线长为6，则此圆锥的侧面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵圆锥的底面周长为，母线长为， ∴这个圆锥的侧面积为． 3．（2025·山东威海·一模）学校在开展“节约每一滴水”活动中，从九年级的100名同学中任选出20名同学调查了各自家庭一个月的节水情况，将数据（每人上报节水量都是正整数）整理如下表： 节水量x/t 人数/人 6 4 8 2 估计这100名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意，可得平均每个同学的家庭一个月节约用水的量为：， 所以估计这100名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是， 故选：D． 4．（2026·云南文山·一模）若一个圆锥的底面圆的半径为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的母线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设该圆锥的母线长为， ∵圆锥底面圆半径， ∴底面圆的周长， ∵圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长，且扇形圆心角为， ∴可得等式， 化简得，两边同除以得， 解得， 即圆锥母线长为． 5．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，用雷达图展示小智参与趣味数学活动过程中探索学习、动手操作、沟通合作、创新、问题解决五项能力的得分，分别按进行综合评价，则他的综合得分为（   ）． A．10 B．8 C． D． 【答案】C 【详解】 ， 故选：C． 6．（2023·山东济南·模拟预测）开学前，根据学校防疫要求，小宁同学连续14天进行了体温测量，结果统计如表： 体温（） 36.2 36.3 36.5 36.6 36.8 天数（天） 3 3 4 2 2 这14天中，小宁体温的众数和中位数分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：∵由表格可得，出现了4次，出现次数最多， ∴众数为， ∵共有14个数据，将数据从小到大排列后，中位数为第7个和第8个数据的平均数， ∵前两类体温的总天数为，因此第7个、第8个数据均为， ∴中位数为． 7．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，，平分交于D，若，则的面积等于（   ） A．3 B．6 C．12 D．24 【答案】B 【详解】解：过点作交于点， 平分交于D， ，，， ， ． 8．（2026·山东临沂·模拟预测）将一个含角的三角板按照如图所示的方式放置在直尺上，此时，直尺边正好是三角板的角平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在含角的三角板中，， ∵为平分线， ∴， 由三角形的内角和可得，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 9．（2026·山东济南·一模）如图，，的角平分线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， ， 平分， ， ， ． 10．（2026·山东济宁·一模）下列图形中，能说明一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A选项，图中与是对顶角，根据对顶角相等，可得，符合题意； B选项，图中是三角形的一个外角，是与它不相邻的一个内角， 根据三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角，可得 ，不符合题意； C选项，图中，则三角形中其余两个角相加为，即，不符合题意； D选项，图中与是相邻的两个角，除非角平分线否则不一定相等，不符合题意 ． 11．（2026·山东青岛·一模）某思政社团开展“讲古代著名思想家、政治家故事的活动”．通过查阅资料，该社团了解了孔子，孟子，孙子，亚里士多德这4位思想家、政治家的生平，知晓了他们取得的伟大成就对世界发展起到的巨大推进作用．现从这4位思想家、政治家中随机选取其中2位的故事进行分享，则选取的2位都是中国思想家、政治家的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：用A、B、C、D分别表示孔子，孟子，孙子，亚里士多德这4位思想家、政治家，列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中选取的2位都是中国思想家、政治家的结果数有6种， ∴选取的2位都是中国思想家、政治家的概率为． 12．（2026·山东济宁·一模）3月14日是国际数学节．某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好都选到活动“玩转幻方”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：把“竞速华容道”“玩转幻方”“巧解鲁班锁”三个活动分别记为A，B，C， 列表可得： 小红小丽 A B C A B C 共有种等可能的结果，其中她们恰好都选到活动“玩转幻方”的情况有种， 故她们恰好都选到活动“玩转幻方”的概率为． 13．（2026·山东德州·一模）小明想知道图钉的钉尖朝上的概率大概是多少，以下做法正确的是（   ） A．画树状图求概率 B．列表格求概率 C．抛掷次，其中有次钉尖朝上，则钉尖朝上的概率约为 D．抛掷次，钉尖朝上有次，则钉尖朝上的概率约为 【答案】D 【详解】解：∵抛掷图钉时，钉尖朝上与钉尖朝下不是等可能事件， ∴不能使用画树状图或列表法求概率， ∴选项、不正确， ∵抛掷次，试验次数过少，频率不稳定，不能用来估计概率， ∴选项不正确， ∵抛掷次，属于大量重复试验，可以用该频率估计钉尖朝上的概率，， ∴选项正确． 14．（2026·河南南阳·一模）3月14日是国际数学日．某数学小组在今年的数学日活动中策划了“逻辑快递”“图形幻方”和“的追击”三个游戏．如果小鼎和小成每人随机选择一个游戏参加，那么他们选择相同游戏的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：记三个游戏分别为1，2，3， 列表如下： 1 2 3 1 2 3 可知一共9种情况，其中两人选择相同游戏的结果有3种，即，，， ∴选择相同游戏的概率． 15．（2026·江苏徐州·一模）如图，从一个边长是8的正六边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），将剪下来的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：六边形是正六边形， ， 则弧的长为，即圆锥底面周长为， 设圆锥底面半径为r，则， ∴， 圆锥底面半径为． 16．（2025·山东临沂·二模）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体侧面积为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由三视图知：几何体是圆锥，其中圆锥的母线长为4，底面半径为2， ∴圆锥的侧面积， 故选：B． 17．（2025·山东淄博·二模）菲尔兹奖是数学领域的国际最高奖项之一，每四年颁发一次．以下是部分菲尔兹奖得主的年龄（单位：岁）：32，33，31，29，31，29，31，32，则下列说法正确的是（    ） A．中位数是31，方差是14 B．众数是31，标准差是 C．平均数是31，方差是 D．极差是4，标准差是 【答案】C 【详解】解：在数据32，33，31，29，31，29，31，32中， 首先将数据从小到大排列：29，29，31，31，31，32，32，33． 中位数计算：由于有8个数据，中位数是第4和第5个数的平均值，即； 众数计算：出现次数最多的数是31，出现了3次． 平均数计算：平均数为； 方差为：； 标准差为：； 极差为：； 故选：C． 18．（2026·云南楚雄·一模）如图，在中，，点D，E分别是，的中点，交于点F，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴相似比． ∵点D，E分别是，的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵点D是的中点， ∴为的中线， ∴， ∴， ∴． 19．（2026·陕西榆林·二模）如图，是等边的中线，于点．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是等边的中线，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积. 20．（2026·安徽阜阳·二模）如图所示，是的边的中点，平分，于点，且，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如下图所示，延长交于点， 平分， ， 于点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又点是的边的中点， 是的中位线， ． 21．（2026·安徽合肥·二模）如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接并延长交于点，已知，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵是边上的中线， ∴为中点， ∵为中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．（2026·河北保定·模拟预测）如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．珍珍发现答案中是根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明的，则被墨迹覆盖住的条件可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．添加后，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，不合题意； B．由可得，仅有一组对边平行，不能证明四边形是平行四边形，不合题意； C．添加后，一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形是平行四边形，不合题意； D．由可得，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，符合题意． 23．（2026·安徽合肥·一模）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中斜边与直线n交于点D．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在左边作， 由三角板可得，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．（2026·山东潍坊·一模）抛掷两枚骰子，用m和n分别表示两枚骰子朝上的点数，那么点数之差的绝对值可能取中的任何一个整数，记整数r的概率为，，则P取得最大值时对应的r值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．5 【答案】B 【详解】解：∵抛掷两枚骰子，所有等可能的结果总数为种． 分别计算不同对应的概率： 当时，满足的结果共种，； 当时，满足的结果共种，； 当时，满足的结果共种，； 当时，满足的结果共种，； 当时，满足的结果共种，； 当时，满足的结果共种，； ∵， ∴取得最大值时对应的值为． 25．（2023·山东济南·一模）编号为到的个小球分放在两个盒子和中，号小球在盒子中，把这个小球从盒子中移至盒子中，这时盒子中小球号码数的平均数增加了，中小球号码数的平均数也增加了，则原来在盒子中的小球个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设原来盒子中有个小球，小球数码的平均数为，则盒子中有个小球，小球数码的平均数为， 根据题意可得：， 由②得：， 由③得：， ， 整理得：， 解得：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $