12.4定理（第2课时）课件 -2025-2026学年苏科版七年级数学下册

12.4 定理 第2课时多边形的内角和、外角和定理 苏科版（2024）七年级数学下册 第12章 定义 命题 证明 学习目标 1. 探索并掌握多边形的内角和定理、外角和定理，并能简单应用； 2. 理解多边形内角和、外角和定理之间的关系，进一步感悟定理的作用. 　 北京水立方建筑外墙由透明的气垫膜材料制成，这种材料不仅能够提供很好的保温性能，还可以反射阳光，减轻建筑物的热量吸收，外墙上的几何结构呈现出多边形的形态，极具特色． 　 这些多边形形态各异，大小不一，它们的内角和有什么特征？ 情境创设 新知探究 我们先以四边形为例. A B C D P 如图是一个任意的四边形ABCD，在四边形内部任取一点P，连接点P与4个顶点就得到了4个三角形，这4个三角形的内角和减去以P为顶点的周角就是四边形的内角和. 你能利用三角形的内角和求四边形的内角和呢？ A B C D 将四边形分割成2个三角形. 180° 180° A B C D 将四边形分割成4个三角形. O 180°× 4-360°=360° 活动一：探究多边形内角和定理 P 四边形ABCD的内角和＝180°×4－360° ＝180°×（4－2） ＝360°． 数学建构 活动一　如何求得四边形的内角和？ 　 思考：你有不同的方法求得四边形的内角和吗？ 　 我们可以得出同样的结论：四边形的内角和为360°. (备用) 数学建构 活动一　如何求得四边形的内角和？ 活动一：探究多边形内角和定理 解：如图所示，在n边形内任取一点P， 连接PA1，PA2，…，PAn. A4 A5 An A1 A2 A3 P 对于n边形的内角和，你有什么猜想? 把n边形分成n个三角形， 所以n边形的内角和n×180°−360°=(n−2)·180°. 还有不同想法吗？ 活动一：探究多边形内角和定理 解：如图所示，在n边形边上任取一点P，连接PA1，PA2，PA3，PA6，…，PAn. 对于n边形的内角和，你有什么猜想? A4 A5 An A1 A2 A3 P n边形的内角和：(n-1)×180°−180°=(n−2)·180°. 把n边形分成(n-1)个三角形， 四边形 ABCD 的内角和=180°x4-360°=180°x(4-2)= 360°. A B C D P 对任意的五边形，同样可得: 五边形的内角和=180°x5-360°=180°x(5-2)= 540° 讨论 对于n边形的内角和，你有什么猜想? 一般地，可以得到多边形内角和定理: n边形的内角和等于(n-2)·180° 　 我们可以得到多边形内角和定理：　　　　　　　　　　　　　　． … 　 如上图，n边形可以利用内部任一点依次与各顶点连接，得到n个三角形，故其内角和为　　　　　　　　　　　　　． 多边形 三角形 四边形 五边形 … 内角和 180° 360° 540° … 数学建构 活动二　对于n边形的内角和，你有什么猜想？ 活动一：探究多边形内角和定理 解：从n边形的一个顶点引出 条对角线， 对于n边形的内角和，你有什么猜想? A4 A5 An A1 A2 A3 (n−3) (n−3)条对角线把n边形分成 个三角形， n边形的内角和为(n−2)⋅180°. (n−2) 多边形内角和定理：n边形的内角和为(n−2)⋅180°. 活动二：探究多边形外角和定理 多边形有内角，也有外角，如图，延长CD， 得到射线CF，∠EDF是五边形ABCDE的一 个外角. 顺次延长多边形的各边：AB，BC， CD，…，在每个顶点处得到一个外角， 这些外角的和叫作这个多边形的外角和. 思考：内角和有一般规律，外角和也有一般规律吗? 如图，△ABC的3个内角及3个对应外角共形成3个平角，因为三角形的内角和为 180°，所以三角形的外角和是180°x3-180°，即 360°. 2 3 1 B C A β α γ 活动二：探究多边形外角和定理 仿照多边形的内角和研究过程，如何求多边形的外角和? 还有不同方法吗？ 三角形的外角和 由三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和得： ∠γ= ∠1+ ∠2，∠β= ∠1+∠3，∠α= ∠2+ ∠3 又：∠1+∠2+∠3=180°， ∴∠γ+∠β+ረα=2（∠1+∠2+∠3）=360°. 　 1. 多边形有内角，也有外角．如图，延长CD，得到射线CF，∠EDF是五边形ABCDE的一个外角． F 　 顺次延长多边形的各边：AB，BC，CD，…，在每个顶点处得到一个外角，这些外角的和叫作这个多边形的外角和. 　 2. 操作：五边形ABCDE还有哪些外角？画一画， 找一找！ 数学活动 　 内角和有一般规律，外角和也有一般规律吗？根据刚才的探究经验，你认为应该如何求出多边形的外角和？ 先考虑简单情形！ 1 3 2 α γ β 　 任意三角形的外角和是多少度？ 　 ∠α＋∠β＋∠γ ＝ 180°×3－180°＝360°． 数学活动 活动三　探索任意三角形、四边形外角和． 活动二：探究多边形外角和定理 仿照多边形的内角和研究过程，如何求多边形的外角和? 如图，四边形ABCD的4个内角及4个对应外 角共形成4个平角. 因为四边形的内角和为360°， 所以四边形的外角和180°×4-360°=360°. 四边形的外角和 思考：五边形的外角和等于多少度？ 六边形呢？ 180°×5-540°=360°. 180°×6-720°=360°. n边形的外角和是多少？ 活动二：探究多边形外角和定理 n边形的外角和 仿照多边形的内角和研究过程，如何求多边形的外角和? =180°·n-多边形的内角和 =180°·n-180°·(n-2) =180°×2 =360°. 多边形外角和定理：n边形的外角和等于360°. 如图，四边形ABCD的4个内角及4个对应外角共形成4个平角，因为四边形的内角和为 360°，所以四边形的外角和是 180°x4-360°，即 360°. A B C D 2 3 1 4 β α γ δ 一个多边形截去一个内角之后，形成的另一个多边形的内角和是2520°，求原多边形的边数. 思考：一个多边形截去一个内角，可以怎么截呢？以四边形为例. 三角形 四边形 五边形 思考：一个n边形截去一个内角后，边数有什么变化呢？ 一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，可能加1. 概念归纳 多边形内角和定理 1. 定理：n边形的内角和等于(n－2)·180°. 2. 公式的证明 证明方法 图形 证 法 1 从n边形的一个顶点出发可以作(n－3)条对角线，将这个n边形分成(n－2)个三角形，这(n－2)个三角形的内角和恰好是这个n边形的内角和， 为(n－2)×180° 如图所示，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的四个外角,若∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4= ______.    如图，因为∠EAB=120°， 所以∠5=180°−∠EAB=180°−120°=60°. 因为多边形的外角和为360°， 所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°， 所以∠1+∠2+∠3+∠4=360−∠5=300° . 300° 5 （1）一个多边形的每一个外角都等于30°，它的边数是        ； （2）一个多边形的每一个内角都等于144°，它的边数是         ； 10 12 (1) 如果多边形(边数为n)的每个外角都相等，则n×每个外角的度数=360°． (2) 设此多边形边数为n，可以根据“(n-2)× 180°=用每一个内角的度数×边数n．还可以先求每个外角的度数，再根据n×每个外角的度数360°来求. 课堂小结 多边形内角和定理 多边形外角和定理 谢谢大家 $