湖南长沙市长郡中学等校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

高二数学期中 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页.时量120分钟.满分150分. 第I卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知i是虚数单位，复数满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 抛物线C：的焦点为F，C上的点到F的距离等于到直线的距离，则（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 4. 设，，且，则的最小值为（ ） A. 8 B. C. 10 D. 5. 已知函数为奇函数，则（ ） A. -2 B. 0 C. -3 D. -1 6. 若事件A，B满足，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，若，使得有解，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，，则有两组解 B. 若，则 C. 若，则为等腰三角形 D. （为外接圆的半径） 10. 首项为正数的等差数列的前n项和为，且，当取到最大值时，n的取值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 11. 已知正方体的棱长为2，球为其内切球，球为其外接球，点P是的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 球与球的体积之比为 B. 点P到球表面的距离的最小值为 C. 若在正方体内部放置两个相互外切的球，两球球心同在正方体的一条体对角线上且两球都与正方体的三个面相切，则这两个球的体积之和的最小值为 D. 分别以正方体的四个顶点A，C，，为球心，为半径作四个球，记这四个球的公共部分为几何体Ω，几何体Ω内能容纳的最大球的表面积为 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中的系数是________．（用数字作答） 13. 已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为______. 14. 已知向量，满足，，，若，，且，分别是在，上的投影向量，则的最小值为_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期与单调增区间； （2）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，求面积的最大值. 16. 已知等差数列及其前项和满足，.数列满足. （1）求数列和的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 17. 如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，，是正三角形，，为上一点. （1）证明：平面； （2）若∥平面，求二面角的余弦值. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若有两个极值点. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 19. 已知过点的椭圆：的离心率为，直线过椭圆C的右焦点F，且与椭圆C交于A，B两点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线的斜率存在，点A关于x轴的对称点是，求证：直线过x轴上的定点M，并求其坐标； （3）在（2）的条件下，过点M作x轴的垂线与交于点Q，记线段的中点为，的面积为，的面积为，求的取值范围. 高二数学期中 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页.时量120分钟.满分150分. 第I卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】ACD 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】15 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1），，. （2）. 【16题答案】 【答案】（1），. （2）. 【17题答案】 【答案】（1） 法一：如图所示，取的中点，的中点，连接，，，， 因为是正三角形，，则， 又为的中点，所以， 又底面四边形为菱形，， 所以是等边三角形，所以， 因为，平面，平面，所以平面. 又平面，进而， 同理可得， 因为，平面，平面，所以平面 法二：设，连接，则，在点相互平分， 又在菱形中，， 是正三角形，则， 而，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； 作交于点M，则平面， 因为底面四边形为菱形，，，所以， 因为是正三角形，，所以， 在中，， 又因为在中，， 所以， 所以点M与点A重合，即平面. （2）. 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）； （ii）因为，且是方程的根， 所以且， 则， 令，，则， 令，则，令，解得， 因为在上单调递增，且， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以使得函数在上单调递增，在上单调递减，且. 故函数的最大值为 ，即得证. 【19题答案】 【答案】（1） （2） 设，，， 当直线与轴不重合时，设直线的方程为， 联立化简得， 且，，① 又，直线的方程为， 令，解得， 将①代入可得，所以定点为， 当直线与轴重合时，即直线为轴，也过点， 所以直线过轴上的定点. （3）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $