精品解析：山东济宁市实验中学等校2025-2026学年高一第二学期期中质量检测数学试题

2025－2026学年度第二学期期中质量检测 高一数学试题 2026.05 注意事项： 1．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名和准考证号，然后用黑色签字笔将本人的姓名、座号和准考证号填写在答题卡相应位置． 2．作答选择题时，用2B铅笔将正确选项填涂在答题卡相应位置．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．作答非选择题时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限. 2. 用斜二测画法画一个边长为4的正方形的直观图，则直观图的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据斜二测画法的原则可知，，， 所以对应直观图的面积为. 3. 已知是不共线的向量，且，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面向量共线定理依次判断即可. 【详解】对于A，若共线，则存在实数使得，所以， 由于是不共线的向量，因此对应系数必须相等，即且，矛盾，因此不共线，故A错误； 对于B，，因此， 又因为向量与有一个公共点，因此三点共线，故B正确； 对于C，若共线，则存在实数使得，所以， 由于是不共线的向量，因此对应系数必须相等，即且，矛盾，因此不共线，故C错误； 对于D，， 若共线，则存在实数使得，所以， 由于是不共线的向量，因此对应系数必须相等，即且，矛盾，因此不共线，故D错误； 4. 在中，，是角，所对的边，，，，则边的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理得，，所以. 5. 在长方体中，分别为和的中点，则下列说法错误的是（ ） A. 四点共面 B. 三线共点 C. 与是异面直线 D. 与是相交直线 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知证明即可判断A，利用平面的基本性质证明共点判断B，应用异面直线的定义判断C、D. 【详解】由分别为和的中点，则， 而，故为平行四边形， 所以，则，故四点共面，A对， 由A知与共面，且，，所以与必交于一点， 若，即，而平面，则平面， 由，平面，则平面， 由平面平面，故， 综上，三线共点，B对， 由平面，平面，平面，，则与是异面直线，C对， 由平面，平面，平面，，则与是异面直线，D错. 6. 已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用在方向上的投影向量的定义求解. 【详解】因为向量， 所以，， 所以在方向上的投影向量的坐标为：. 7. 正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是（ ） A. B. C. 28 D. 56 【答案】A 【解析】 【分析】将正四棱台补成正四棱锥，根据长度比例关系结合锥体的体积运算求解即可. 【详解】将正四棱台补成正四棱锥，O为底面中心，如图所示， 则，，可得，， 所以该棱台的体积是. 8. 若复数满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】首先分析题意，设出复数，求出复数的模找变量之间的关系，整体代入求解即可. 【详解】设，则， 所以， 因为，所以 ，即， 则 . 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. 的虚部为1 B. C. D. 为纯虚数 【答案】BC 【解析】 【详解】，故的虚部为，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； 是实数，故D错误. 10. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 圆锥的体积为 C. 圆锥的外接球的表面积为 D. 圆锥的内切球的体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB，求出圆锥的母线长和高，即可求出侧面积和体积；对于C，求出外接球半径，即可得出外接球体积；对于D，求出内切球半径，即可得出内切球表面积. 【详解】设圆锥的底面半径，母线长为， 则侧面展开图半圆的弧长等于圆锥底面周长，即，解得， 所以圆锥的高. 对于A：圆锥侧面积，A正确. 对于B：圆锥体积，B错误. 对于C：设外接球的半径为，球心在圆锥的高上， 由勾股定理得，，即，解得， 圆锥的外接球的表面积，C正确. 对于D：设内切球半径为，圆锥轴截面为边长为2的等边三角形， 则，解得. 所以内切球的体积为，D正确. 11. 在中，角所对的边分别为，．若为的垂心，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. 边的最小值为 D. 若，则为等腰三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】化简得，利用余弦定理判断A；根据，可得，再由三角形面积公式判断B；由余弦定理和基本不等式判断C；设中点为，则，得三点共线，则判断D. 【详解】根据题意，，即， 所以， 由于，则，A错误； 由，即， 所以，则，B正确； 由余弦定理，， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，C正确； 设中点为，则， 所以三点共线， 因为为的垂心，即，则， 所以，则为等腰三角形，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】由向量，可得向量， 又，所以，解得. 13. 某校兴趣小组想要测量某塔的高度，在塔附近选取了相距50米的（与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度__________米． 【答案】 【解析】 【详解】设塔高米， 在中，从点观测该塔塔顶的仰角为，得，所以； 在中，从点观测该塔塔顶的仰角为，得，所以； 在中，已知，， 由余弦定理得， 得，  化简得，解得 或（舍去）， 即塔高为米. 14. 在中，角所对的边分别为，且，若，，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】化简得，根据余弦定理，得，再对两边平方得，可解问题. 【详解】由，得, 即 即， 根据余弦定理，， 得， 又，则， 得， 则. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数满足． （1）求复数； （2）若复数是关于的方程的一个根，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以； 【小问2详解】 因为复数是关于的方程的一个根， 所以，展开得， 所以，解得. 16. 已知向量． （1）求； （2）求与的夹角． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的运算律计算即可； （2）利用向量的夹角公式计算即可. 【小问1详解】 已知向量 所以，，解得， 所以 【小问2详解】 因为， 又因为． 所以，设与的夹角为，且， 所以，得，即与的夹角为. 17. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，且，且为的中点． （1）求证：平面； （2）设平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并证明． 【答案】（1） 设为的中点，连接，． 又因为为的中点，所以，， 又因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面 （2） 直线与平面平行，证明如下： 因为平面，平面，平面平面，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 【解析】 【分析】（1）取线段中点，利用中位线及已知平行关系构造平行四边形，从而证得，进而推出线面平行； （2）由已证的线面平行及线在另一平面内，得两平面交线与该线平行，从而该交线平行于目标平面. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，在中，，与交于点． （1）试用表示和； （2）若． （i）求的大小； （ii）若以为底面的直三棱柱的所有顶点均在半径为的球的球面上，求直三棱柱的体积． 【答案】（1）， （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）设，利用基底表示，再结合三点共线可求； （2）（i）结合（1）以及数量积的运算律可得； （ii）先利用余弦定理得，再利用正弦定理得出△外接圆半径，利用得出直三棱柱的高，即可利用体积公式计算. 【小问1详解】 因为，所以． 设，则， 则， 又，三点共线， 所以存在实数使得，即， 因为不共线，所以，解得， 所以. 【小问2详解】 （i）因为， 所以 ， 解得，又，所以； （ii）在△中，由余弦定理， 得到，解得， 所以△外接圆的直径为，解得， 设直三棱柱的高为，其外接球的半径为， 则，即，解得， 又△的面积为， 所以直三棱柱的体积为. 19. 在中，角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若平分交于，且，求边上的高； （3）若为锐角三角形，为边的中点，求中线长度的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】(1)根据正弦定理和辅助角公式计算即可； (2)根据面积，结合余弦定理计算即可； (3)利用向量法表示，结合三角函数求解取值范围. 【小问1详解】 由正弦定理得 因为， 所以， 所以， 因为，所以，即 又所以 【小问2详解】 因为平分交于，所以， 又，即， 化简得． 在△中，由余弦定理得 ，即， 所以 解得 又，所以， 所以边上的高为． 【小问3详解】 因为为边的中点，所以， 所以， 由正弦定理得 ，所以，， 所以 因为△为锐角三角形，所以，即， 所以，所以， 所以，所以， 所以中线长度的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第二学期期中质量检测 高一数学试题 2026.05 注意事项： 1．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名和准考证号，然后用黑色签字笔将本人的姓名、座号和准考证号填写在答题卡相应位置． 2．作答选择题时，用2B铅笔将正确选项填涂在答题卡相应位置．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．作答非选择题时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 用斜二测画法画一个边长为4的正方形的直观图，则直观图的面积是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是不共线的向量，且，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 4. 在中，，是角，所对的边，，，，则边的值为（ ） A. B. C. D. 5. 在长方体中，分别为和的中点，则下列说法错误的是（ ） A. 四点共面 B. 三线共点 C. 与是异面直线 D. 与是相交直线 6. 已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是（ ） A. B. C. 28 D. 56 8. 若复数满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. 的虚部为1 B. C. D. 为纯虚数 10. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 圆锥的体积为 C. 圆锥的外接球的表面积为 D. 圆锥的内切球的体积为 11. 在中，角所对的边分别为，．若为的垂心，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. 边的最小值为 D. 若，则为等腰三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则__________． 13. 某校兴趣小组想要测量某塔的高度，在塔附近选取了相距50米的（与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度__________米． 14. 在中，角所对的边分别为，且，若，，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数满足． （1）求复数； （2）若复数是关于的方程的一个根，求实数的值． 16. 已知向量． （1）求； （2）求与的夹角． 17. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，且，且为的中点． （1）求证：平面； （2）设平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并证明． 18. 如图，在中，，与交于点． （1）试用表示和； （2）若． （i）求的大小； （ii）若以为底面的直三棱柱的所有顶点均在半径为的球的球面上，求直三棱柱的体积． 19. 在中，角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若平分交于，且，求边上的高； （3）若为锐角三角形，为边的中点，求中线长度的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $