10.5用二元一次方程组解决问题（和差倍分问题+比赛积分问题+几何图形问题） 2025--2026学年苏科版七年级数学下册

苏科版数学2025-2026学年七年级下册 10.5用二元一次方程组解决问题 （和差倍分问题+比赛积分问题+几何图形问题） 【题型一】和差倍分问题 【例1】初三某班学生在会议室看录像，每排坐13人，则有1人无处坐，每排14人，则空12个座位，则这间会议室共有座位的排数是(　　) A．12 B．14 C．13 D．15 【例2】小华和家人到杭州西湖景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为（   ） A．10 B．16 C．18 D．20 【例3】甲、乙两人各有书若干本，如果甲从乙处拿10本，那么甲所有的书就比乙所有的书多5倍；如果乙从甲处拿10本，那么两人所有的书相等．问：甲、乙两人原来各有书多少本？ 【例4】学校合唱队男生人数是女生人数的，后来调入3名女生，这时男生人数与女生人数的比是，学校合唱队原来有多少名同学？ 【例5】某校预计安排若干间宿舍给七年级男寄宿生住，若每间宿舍住6人，则有4人住不下，若每间住7人，则有1间只住2人且空余8间宿舍，求该校七年级男寄宿生有多少人？预计安排给七年级男寄宿生的宿舍有多少间？ 【例6】为进一步落实“乡村振兴”工程，某村在政府的扶持下建起了大棚基地，准备种植A、B两种蔬菜．若种植30亩A种蔬菜和50亩B种蔬菜，总收入为42万元；若种植50亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，总收入为38万元、求种植A、B两种蔬菜，平均每亩收入各是多少万元？ 【例7】甲仓库存粮比乙仓库存粮少5吨，现从甲仓库运出存粮30吨，从乙仓库运出存粮的40%，这时乙仓库所余粮食是甲仓库所余粮食的2倍，问甲、乙两仓库原各存粮多少吨？ 【例8】某停车场共设小型车位和车位300个，其中小型车位每小时2元，车位每小时3元，若全部满位1小时，总收费700元，则停车场共设小型车位和车位各多少个？ 【例9】学校组织植树活动，已知在甲地植树的有18人，在乙地植树的有7人，在丙地植树的有5人，现调40人去支援． （1）若前往支援的地点只有甲地和乙地，要使在甲地植树的人数是乙地植树人数的4倍，那么应调往甲、乙两地各多少人？ （2）若甲、乙、丙三地都需要支援，其中调往丙地的人数比调往乙地人数的2倍少1人，要使在甲地植树的人数恰好等于在乙地和丙地植树人数之和，那么应调往甲、乙、丙地各多少人？ 【例10】编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？（用二元一次方程组的知识解答） (2)为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购A，B两种不同材质的编钟配件，A配件每个20元，B配件每个40元，采购这两种配件的预算为100元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购方案？ 【题型二】比赛积分问题 【例1】某次数学竞赛前60名获奖．原定一等奖5人，一等奖15人，三等奖40人，现调为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人，调整后一等奖平均分数降低3分，二等奖平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分．如果原来二等奖比三等奖平均分数多7分，求调整后一等奖比二等奖平均分数多（    ）分 A．5 B．6 C．7 D．8 【例2】篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得2分，败一场得1分，下表是某队全部比赛完成后的部分统计结果：表中x，y满足的二元一次方程组是________． 胜 负 合计 场数 y 10 积分 2x 16 【例3】东辰中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，已知七年级一班在8场比赛中得到13分，问七年级一班胜了__________场． 【例4】足球赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一足球队共赛了15场，共得33分，则该队得胜、负、平场数情况共有 种不同的可能性． 【例5】在篮球比赛中，小明一共投了20个球，命中率为，总共得了32分．小刚投20个球得了17分．（小明、小刚均无罚球） (1)小明各投进几个三分球和几个二分球？ (2)小刚可能的投篮情况是命中几个三分球，几个二分球？ 【例6】某班学生参加智力竞赛，共10道题，答题情况统计如下： 答对题数 0 1 2 3 … 8 9 10 人数 0 2 5 7 … 8 4 1 （1）对答对4题及4题以上的学生来说，每人平均答对7题； （2）对答对7题及7题以下的学生来说，每人平均答对5题． 该班学生共有 人参加智力竞赛． 【例7】2025年湘超联赛火爆三湘大地，永州队带着“永冲锋”的倔强精神，以史诗般的征程“一路突围”，最终力克常德队，将湘超首座冠军奖杯高高捧起．在常规赛中，湖南14个市州进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场），比赛规则如下：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．12月14日常规赛结束，部分球队的积分如表： 队伍 场次 胜 平 负 积分 长沙队 13 11 2 0 35 永州队 13 3 22 岳阳队 13 4 （1）请问在这一次湘超常规赛中一共比了多少场比赛？ （2）求永州队一共胜了多少场？ （3）岳阳的小王由于学习原因，没有了解最新的比赛信息，只知道负4场，他猜测岳阳队的总积分为20分，你认为可能吗？为什么？ 【例8】某联赛部分队伍积分如下（每队已经完成18场比赛）： 队名 比赛场次 胜场数 负场数 总积分 A 18 18 0 54 B 18 9 9 36 C 18 7 11 32 D 18 12 6 42 … … … … … 根据表格提供的信息解答下列问题： （1）求胜一场积　　 分，负一场积　　 分； （2）某队已完成18场比赛，该队的胜场总积分可能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数；若不能，请说明理由． 【例9】下表为某篮球比赛部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 A 12 10 2 22 B 12 9 3 21 C 12 7 5 19 D 11 6 5 17 E 11 … … 13 (1)根据表格信息可知：球队胜一场积　　　　分，负一场积　　　　分； (2)根据积分规则，在E队已经进行的11场比赛中，胜负各多少场？ (3)若此次篮球比赛共16轮（每个球队各有16场比赛），D队已经进行了11场比赛，积分为17分，而D队希望最终积分达到28分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 【题型三】几何图形问题 【例1】张老师要往外地寄运一些资料，将资料用纸包好后成长方体形状，如图所示，张老师准备了一根包装绳，若采用方式①，绳子还剩余24厘米；若采用方式②，绳子刚好用完；若采用方式③，绳子还剩余64厘米．绳子长（    ）（绳子结头处长度忽略不计） A．308厘米 B．318厘米 C．328厘米 D．338厘米 【例2】小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形，小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形，“咳，怎么中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形！”设这些小长方形的长和宽分别为和，则依题意可列二元一次方程组为 ．      【例3】如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是 ． 【例4】如图是一个周长为16的长方形ABCD，它恰好可以分割成5个小长方形（分别标记为①，②，③，④，⑤），其中AE＝CG，AH＝CF，DF＝BH，DE＝BG．若⑤为正方形，则②的周长为　　 ；若①的周长为9.4，则⑤的长与宽之差为　　 ． 【例5】将四个完全相同的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6和2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为，则 ． 【例6】如图1，一个饮料瓶子的上半部分为圆柱，下半部分为长方体，如图2，瓶内装着一些饮料，当瓶子倒放时，液面的高度为 17cm，当瓶子正放时液面的高度为 14cm．如图3，现将瓶内一部分饮料倒满一杯 120ml的杯子，瓶子内剩余的饮料高 8cm，则该瓶子的容积为 ． 【例7】如图，将三个大小相同的小长方形（阴影部分）放入一个长为37、宽为26的大长方形（无重叠），求一个小长方形的长与宽分别是多少？ 【例8】如图，一块长为，宽为的长方形纸板，在它的四个角各切去一个相同的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体状无盖纸盒． (1)求该长方体纸盒底面（阴影部分）的面积； (2)若该长方形纸板长为，宽为，求该长方体纸盒的体积． 【例9】如图，图①是一个长为2n、宽为2m的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形．    (1)图②中拼成的大正方形的面积为　　； (2)图②中的阴影部分的面积为　　； (3)若已知图②中拼成的大正方形的周长为28，阴影部分的周长为20，则图①中平均分成的每个小长方形的面积是　　． 【例10】综合与实践：设计制作纸盒方案 素材一：如图1，现将300张纸板裁剪成材料，1张纸板可以裁成4个正方形或3个长方形，并用这些材料制作两种无盖纸盒（如图2），横式无盖纸盒需要2个正方形和3个长方形，竖式无盖纸盒需要1个正方形和4个长方形．   素材二：①所有纸板都要裁剪，且每张纸板只能裁剪一种材料． ②制作纸盒后没有剩余材料． （1）问题解决：为方便解决问题，设制作了横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个． 问题一：初探材料用量，请完善下表： 纸盒类型 正方形（张数） 长方形（张数） m个横式无盖纸盒 n个竖式无盖纸盒 n 问题二：再探关系，请完善下表： 需裁成正方形的纸板数（张） 需裁成长方形的纸板数（张） 合计 300 问题三：写出m，n之间满足的关系式： ； （2）方案选择：用这300张纸板制作两种纸盒，并且材料没有剩余，得到的横式无盖纸盒的数量能否为竖式无盖纸盒数量的二倍，请你做出判断，写出详细的解答过程． 答案解析 【题型一】和差倍分问题 【例1】初三某班学生在会议室看录像，每排坐13人，则有1人无处坐，每排14人，则空12个座位，则这间会议室共有座位的排数是(　　) A．12 B．14 C．13 D．15 【答案】C 【例2】小华和家人到杭州西湖景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为（   ） A．10 B．16 C．18 D．20 【答案】 【例3】甲、乙两人各有书若干本，如果甲从乙处拿10本，那么甲所有的书就比乙所有的书多5倍；如果乙从甲处拿10本，那么两人所有的书相等．问：甲、乙两人原来各有书多少本？ 【答案】设甲原来有x本书，乙原来有y本书， 由题意得，， 解得， 答：甲原来有40本书，乙原来有20本书． 【例4】学校合唱队男生人数是女生人数的，后来调入3名女生，这时男生人数与女生人数的比是，学校合唱队原来有多少名同学？ 【答案】解：设学校合唱队原来有名女同学，名男同学， 由题意得：， 解得：， ， 答：学校合唱队原来有11名同学． 【例5】某校预计安排若干间宿舍给七年级男寄宿生住，若每间宿舍住6人，则有4人住不下，若每间住7人，则有1间只住2人且空余8间宿舍，求该校七年级男寄宿生有多少人？预计安排给七年级男寄宿生的宿舍有多少间？ 【答案】设该校七年级男寄宿生有x人，预计安排给七年级男寄宿生的宿舍有y间， 根据题意得：， 解得：． 答：该校七年级男寄宿生有394人，预计安排给七年级男寄宿生的宿舍有65间． 【例6】为进一步落实“乡村振兴”工程，某村在政府的扶持下建起了大棚基地，准备种植A、B两种蔬菜．若种植30亩A种蔬菜和50亩B种蔬菜，总收入为42万元；若种植50亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，总收入为38万元、求种植A、B两种蔬菜，平均每亩收入各是多少万元？ 【答案】设种植种蔬菜每亩收入万元，种蔬菜每亩收入万元， 根据题意得：， 解得：， 答：种植种蔬菜每亩收入0.4万元，种蔬菜每亩收入0.6万元． 【例7】甲仓库存粮比乙仓库存粮少5吨，现从甲仓库运出存粮30吨，从乙仓库运出存粮的40%，这时乙仓库所余粮食是甲仓库所余粮食的2倍，问甲、乙两仓库原各存粮多少吨？ 【答案】设甲仓库原来存粮吨，乙仓库原来存粮吨， 由题意得：， 解得：， 答：甲仓库原来存粮45吨，乙仓库原来存粮50吨． 【例8】某停车场共设小型车位和车位300个，其中小型车位每小时2元，车位每小时3元，若全部满位1小时，总收费700元，则停车场共设小型车位和车位各多少个？ 【答案】设小型车位有x个，车位有y个，由题意，得 ， 解得． 所以小型车位有200个，车位有100个． 【例9】学校组织植树活动，已知在甲地植树的有18人，在乙地植树的有7人，在丙地植树的有5人，现调40人去支援． （1）若前往支援的地点只有甲地和乙地，要使在甲地植树的人数是乙地植树人数的4倍，那么应调往甲、乙两地各多少人？ （2）若甲、乙、丙三地都需要支援，其中调往丙地的人数比调往乙地人数的2倍少1人，要使在甲地植树的人数恰好等于在乙地和丙地植树人数之和，那么应调往甲、乙、丙地各多少人？ 【答案】（1）设调往甲地x人，则调往乙地（40﹣x）人， 由题意得：18+x＝4（7+40﹣x）， 解得：x＝34， ∴40﹣x＝6， 答：调往甲地34人，调往乙地6人； （2）设调往乙地m人，调往丙地n人，则调往甲地（40﹣m﹣n）人， 由题意得：， 解得：， ∴40﹣m﹣n＝40﹣8﹣15＝17， 答：应调往甲地17人，乙地8人，丙地15人． 【例10】编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？（用二元一次方程组的知识解答） (2)为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购A，B两种不同材质的编钟配件，A配件每个20元，B配件每个40元，采购这两种配件的预算为100元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购方案？ 【答案】（1）解：设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹， 根据题意得， 解得， 答：大号编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹； （2）解：设配件要买个，配件要买个． 根据题意得：， 整理得：，即， 因为和都为正整数， 所以符合条件的解为或， 答：有两种采购方案，方案一：配件3个，配件1个；方案二：配件1个，配件2个． 【题型二】比赛积分问题 【例1】某次数学竞赛前60名获奖．原定一等奖5人，一等奖15人，三等奖40人，现调为一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人，调整后一等奖平均分数降低3分，二等奖平均分数降低2分，三等奖平均分数降低1分．如果原来二等奖比三等奖平均分数多7分，求调整后一等奖比二等奖平均分数多（    ）分 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【例2】篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，胜一场得2分，败一场得1分，下表是某队全部比赛完成后的部分统计结果：表中x，y满足的二元一次方程组是________． 胜 负 合计 场数 y 10 积分 2x 16 【答案】 【例3】东辰中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，已知七年级一班在8场比赛中得到13分，问七年级一班胜了__________场． 【答案】5 【例4】足球赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一足球队共赛了15场，共得33分，则该队得胜、负、平场数情况共有 种不同的可能性． 【答案】3 【例5】在篮球比赛中，小明一共投了20个球，命中率为，总共得了32分．小刚投20个球得了17分．（小明、小刚均无罚球） (1)小明各投进几个三分球和几个二分球？ (2)小刚可能的投篮情况是命中几个三分球，几个二分球？ 【答案】（1）解：小明投中个数为（个）， 设二分球个数为x，则三分球个数为， ， 解得， 即二分球个数为4个， 三分球个数为：（个）． 答：小明投进8个三分球和4个二分球． （2）解：设小刚命中a个三分球，b个二分球，则，， 当时，，不是自然数，排除； 当时，，符合条件； 当时，，不是自然数，排除； 当时，，符合条件； 当时，，不是自然数，排除； 当时，，不是自然数，排除； 当时，，不符合条件，排除； 答：小刚可能的投篮情况是命中1个三分球，7个二分球；或者3个三分球，4个二分球；或者5个三分球，1个二分球． 【例6】某班学生参加智力竞赛，共10道题，答题情况统计如下： 答对题数 0 1 2 3 … 8 9 10 人数 0 2 5 7 … 8 4 1 （1）对答对4题及4题以上的学生来说，每人平均答对7题； （2）对答对7题及7题以下的学生来说，每人平均答对5题． 该班学生共有 人参加智力竞赛． 【答案】设答对4～7题的有x人，共答对y题，则 ， 解得：， ∴参加竞赛的学生人数为（人）． 故答案为：55． 【例7】2025年湘超联赛火爆三湘大地，永州队带着“永冲锋”的倔强精神，以史诗般的征程“一路突围”，最终力克常德队，将湘超首座冠军奖杯高高捧起．在常规赛中，湖南14个市州进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场），比赛规则如下：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．12月14日常规赛结束，部分球队的积分如表： 队伍 场次 胜 平 负 积分 长沙队 13 11 2 0 35 永州队 13 3 22 岳阳队 13 4 （1）请问在这一次湘超常规赛中一共比了多少场比赛？ （2）求永州队一共胜了多少场？ （3）岳阳的小王由于学习原因，没有了解最新的比赛信息，只知道负4场，他猜测岳阳队的总积分为20分，你认为可能吗？为什么？ 【答案（1）湖南14个市州进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场）， ∴（场）， 答：这一次湘超常规赛中一共比了91场比赛； （2）设永州队胜x场，平y场， 根据题意列二元一次方程组得： ， 解得， 答：永州队一共胜了6场； （3）不可能，理由如下： 设岳阳队胜a场，平b场， 根据题意列二元一次方程组得： ， 解得， ∵a，b不是整数，故不可能． 【例8】某联赛部分队伍积分如下（每队已经完成18场比赛）： 队名 比赛场次 胜场数 负场数 总积分 A 18 18 0 54 B 18 9 9 36 C 18 7 11 32 D 18 12 6 42 … … … … … 根据表格提供的信息解答下列问题： （1）求胜一场积　　 分，负一场积　　 分； （2）某队已完成18场比赛，该队的胜场总积分可能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）设胜一场积x分，负一场积y分， 由题意得：， 解得：， 故答案为：3，1； （2）不能，理由如下： 假设该队的胜场总积分等于负场总积分， 设胜场数为z，则负场数为18﹣z， 由题意得：3z＝18﹣z， 解得：z， ∵z为非负整数， ∴z不符合题意，舍去， ∴某队已完成18场比赛，该队的胜场总积分不可能等于负场总积分． 【例9】下表为某篮球比赛部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 A 12 10 2 22 B 12 9 3 21 C 12 7 5 19 D 11 6 5 17 E 11 … … 13 (1)根据表格信息可知：球队胜一场积　　　　分，负一场积　　　　分； (2)根据积分规则，在E队已经进行的11场比赛中，胜负各多少场？ (3)若此次篮球比赛共16轮（每个球队各有16场比赛），D队已经进行了11场比赛，积分为17分，而D队希望最终积分达到28分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 【答案】（1）解：设胜一场积分，负一场积分， 则由A队得分可得；由B队得分可得； 即，解得， 故答案为：； （2）解：设E队胜场，则负场， ， 解得，则， 答：在E队已经进行的11场比赛中，胜场、负场； （3）解：无法实现， 理由如下： 若此次篮球比赛共16轮（每个球队各有16场比赛），D队已经进行了11场比赛，积分为17分，而D队希望最终积分达到28分， 还剩下场比赛，还需要取得分， 设D队胜场，则负场， ， 解得， ，而只剩下场比赛， 在D队已经进行了11场比赛，积分为17分基础上，D队希望最终积分达到28分是无法实现的． 【题型三】几何图形问题 【例1】张老师要往外地寄运一些资料，将资料用纸包好后成长方体形状，如图所示，张老师准备了一根包装绳，若采用方式①，绳子还剩余24厘米；若采用方式②，绳子刚好用完；若采用方式③，绳子还剩余64厘米．绳子长（    ）（绳子结头处长度忽略不计） A．308厘米 B．318厘米 C．328厘米 D．338厘米 【答案】C 【例2】小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形，小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形，“咳，怎么中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形！”设这些小长方形的长和宽分别为和，则依题意可列二元一次方程组为 ．      【答案】 【例3】如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是 ． 【答案】120厘米 【例4】如图是一个周长为16的长方形ABCD，它恰好可以分割成5个小长方形（分别标记为①，②，③，④，⑤），其中AE＝CG，AH＝CF，DF＝BH，DE＝BG．若⑤为正方形，则②的周长为　　 ；若①的周长为9.4，则⑤的长与宽之差为　　 ． 【答案】8，1.4 【例5】将四个完全相同的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6和2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为，则 ． 【答案】12 【例6】如图1，一个饮料瓶子的上半部分为圆柱，下半部分为长方体，如图2，瓶内装着一些饮料，当瓶子倒放时，液面的高度为 17cm，当瓶子正放时液面的高度为 14cm．如图3，现将瓶内一部分饮料倒满一杯 120ml的杯子，瓶子内剩余的饮料高 8cm，则该瓶子的容积为 ． 【答案】 【例7】如图，将三个大小相同的小长方形（阴影部分）放入一个长为37、宽为26的大长方形（无重叠），求一个小长方形的长与宽分别是多少？ 【答案】设小长方形的长为，宽为． 由图象可得，， 得， 解得， 将代入得， 解得， ∴原方程组的解为， ∴一个小长方形的长与宽分别是16，5． 【例8】如图，一块长为，宽为的长方形纸板，在它的四个角各切去一个相同的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体状无盖纸盒． (1)求该长方体纸盒底面（阴影部分）的面积； (2)若该长方形纸板长为，宽为，求该长方体纸盒的体积． 【答案】（1）解：根据题意，阴影部分长方形长为，宽为， 则阴影部分长方形的面积； （2）解：由题意， 解得， 长方体体积； 当时， （） 答：长方体纸盒的体积为． 【例9】如图，图①是一个长为2n、宽为2m的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形．    (1)图②中拼成的大正方形的面积为　　； (2)图②中的阴影部分的面积为　　； (3)若已知图②中拼成的大正方形的周长为28，阴影部分的周长为20，则图①中平均分成的每个小长方形的面积是　　． 【答案】（1）解：∵图②中拼成的大正方形的边长为， ∴面积为； 故答案为：； （2）解：图②中的阴影部分的边长为， ∴面积为； 故答案为：． （3）解：∵图②中拼成的大正方形的周长为28，阴影部分的周长为20， ∴图②中拼成的大正方形的边长为7，阴影部分的边长为5， ∴， 解得， ∴每个小长方形的面积． 故答案为：6． 【例10】综合与实践：设计制作纸盒方案 素材一：如图1，现将300张纸板裁剪成材料，1张纸板可以裁成4个正方形或3个长方形，并用这些材料制作两种无盖纸盒（如图2），横式无盖纸盒需要2个正方形和3个长方形，竖式无盖纸盒需要1个正方形和4个长方形．   素材二：①所有纸板都要裁剪，且每张纸板只能裁剪一种材料． ②制作纸盒后没有剩余材料． （1）问题解决：为方便解决问题，设制作了横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个． 问题一：初探材料用量，请完善下表： 纸盒类型 正方形（张数） 长方形（张数） m个横式无盖纸盒 n个竖式无盖纸盒 n 问题二：再探关系，请完善下表： 需裁成正方形的纸板数（张） 需裁成长方形的纸板数（张） 合计 300 问题三：写出m，n之间满足的关系式： ； （2）方案选择：用这300张纸板制作两种纸盒，并且材料没有剩余，得到的横式无盖纸盒的数量能否为竖式无盖纸盒数量的二倍，请你做出判断，写出详细的解答过程． 【答案】（1）问题一：初探材料用量，请完善下表： 纸盒类型 正方形（张数） 长方形（张数） m个横式无盖纸盒 n个竖式无盖纸盒 n 问题二：再探关系，请完善下表： 需裁成正方形的纸板数（张） 需裁成长方形的纸板数（张） 合计 300 问题三：； （2）解：不能 假设能得到的横式无盖纸盒的数量为竖式无盖纸盒数量的二倍， 则可得方程组：， 解得， 为纸盒的数量， 为正整数， ∴不符合题意， ∴假设错误． 答：不能得到的横式无盖纸盒的数量为竖式无盖纸盒数量的二倍． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $