第16章二次根式 单元测试卷-2025-2026学年沪科版数学八年级下学期.

2025-2026学年八年级下学期数学单元测试卷 （测试范围：二次根式） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的定义“一般地，我们把形如的式子叫做二次根式”即可判断． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，选项说法错误，不符合题意； B、被开方数是负数，选项说法错误，不符合题意； C、是三次根式，选项说法错误，不符合题意； D、因为，所以是二次根式，选项说法正确，符合题意． 2．下列根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】最简二次根式需满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，对各选项逐一判断即可. 【详解】解：对于选项A，，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； 对于选项B，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 对于选项C，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因式，是最简二次根式； 对于选项D，，被开方数含分母，不是最简二次根式. 3．若与最简二次根式可以合并，则（   ） A．24 B．25 C．7 D．6 【答案】C 【分析】先将化为最简二次根式，再根据可合并的最简二次根式是同类二次根式，被开方数相等，列方程求解即可． 【详解】解：， 又与最简二次根式可以合并， 二者是同类二次根式，化简后被开方数相等， 得 ， 解得 ． 4．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对选项A，，故A错误； 对选项B，，故B错误； 对选项C，，运算结果正确，故C正确； 对选项D，，故D错误． 5．下列各数中，可使式子有意义的的取值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】二次根式的被开方数须为非负数，分式的分母不能为0，据此列出不等式确定x的范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵ 式子有意义 ∴ 需同时满足二次根式和分式有意义的条件． 即 解得 且 ． 结合选项可知，只有符合条件． 6．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质和运算法则逐一计算各选项，即可判断正确结果． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，计算错误，不符合题意． 7．已知是整数，则正整数n的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先分解被开方数的质因数，再根据二次根式为整数的要求，即可求出正整数n的最小值； 【详解】解：∵， ∴， ∴， 要使为整数，则需为完全平方数， ∵，两个质因数的指数都为1，要使为完全平方数，其所有质因数的指数都必须是偶数， ∴正整数n的最小值为． 8．已知，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简求值，根据推出，再将化为，最后代入计算即可．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴值为． 故选：A． 9．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用完全平方公式得到，算出的值，即可算出答案． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 10．如图，在中，，，，现将三角形按如下三种方式折叠，分别记图①中的，图②中的，图③中的，则a，b，c之间的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查折叠的性质，勾股定理，先由②得，求出，得，勾股定理求出，根据折叠的性质求出a，b，c的值即可比较． 【详解】解：由②得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠得，， 图3中， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．计算：______． 【答案】10 【分析】利用即可求解． 【详解】解：． 12．当时，的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，把代入计算即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 13．化简： _____． 【答案】 【详解】解： ． 14．计算：__________． 【答案】/ 【分析】先根据二次根式的除法法则计算除法运算，再将各项化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可求解． 【详解】解：原式． 15．一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为________． 【答案】或 【分析】本题未明确等腰三角形的腰长和底边长，需要分情况讨论，先化简给定的二次根式，再结合三角形三边关系验证能否构成三角形，最后计算周长． 【详解】解：先化简二次根式，得，， 分两种情况讨论： ① 当腰长为，底边长为时， 因为，满足三角形三边关系， 此时周长为； ② 当腰长为，底边长为时， 因为，满足三角形三边关系， 此时周长为， 综上，它的周长为或． 16．汉族传统的扇文化起源于远古时代，扇子的分类多种多样．如图扇子的扇面分别为长方形和圆形，若两种扇面的面积相等，其中长方形扇面的长为，宽为，则圆形扇面的周长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握对应图形面积公式及周长公式是解题的关键．先利用长方形扇面的长和宽求出面积，设圆形扇面半径为，根据两种扇面的面积相等，求出半径，最后代入圆的周长公式求解即可． 【详解】解：由题可得， 长方形扇面的面积， 设圆形扇面半径为， 因为两种扇面的面积相等， 根据圆的面积公式， 解得（负值舍去）， 因此圆形扇面的周长． 故答案为：． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）根据二次根式加减运算法则进行计算即可． （2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 18．已知，． (1)求和的值； (2)求的值； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用二次根式的加法运算法则进行计算即可； （2）将代数式化为 ，把（1）中结果，利用整体代入法代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ； （2）解： ． 19．当时，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：把代入，得 20．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．已知最简二次根式与最简二次根式可以合并． (1)求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)1或 (2)2或 【分析】本题考查最简二次根式合并的性质与二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． （1）根据最简二次根式可合并的性质，得到两个二次根式的被开方数相等，列方程求解后验证被开方数非负得到的值； （2）根据二次根式被开方数必须非负，求出y的值，再代入计算得到的值． 【详解】（1）解：根据题意得，最简二次根式与最简二次根式可以合并， 则， 整理得：， 解得：或， 当时，，，符合题意， 当时，，，符合题意， 因此，的值为1或； （2）解：根据题意得： 解得：， 由（1）知：或， 当、时，， 当、时， 因此，的值为2或． 22．阅读下面内容： 我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时，，，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，求的最小值． (2)当时，求当x取何值时有最小值?最小值是多少? 【答案】(1)2 (2)时有最小值，最小值是4 【分析】（1）直接利用求解； （2）将变形为，再利用求解． 【详解】（1）解：当时，， ，当且仅当即时取等号， 的最小值为2． （2）解：当时，， ， 当时取等号，此时， 开平方，得， 或（不符合题意，舍去）， 时，等号成立， ∴当时，有最小值，最小值是4． 23．小兵在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)仿照上面的方法，若将化成，其中，则_____，______． (2)请你仿照上面的方法化简：； (3)若，其中，且a，m，n均为正整数，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 或 【分析】（1）根据题意，得解答即可． （2）根据所学方法求解即可； （3）利用完全平方公式，等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 且，故，． （2）解：根据题意，得 ， 故； （3）解：， ， 或， 或， 故或． 24．现有两块同样大小的长方形木板①②，甲木工采用如图①所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为和的正方形木板，． (1)图①截出的正方形木板的边长为______，的边长为______； (2)求图①中阴影部分的周长； (3)乙木工想采用如图②所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不能截出，理由见解析 【分析】（1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）先求出阴影部分的长和宽，根据长方形周长公式即可求解； （3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：∵正方形木板A的面积为，正方形木板B的面积为， ∴正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为， （2）解：∵正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为， ∴阴影部分宽为， ∴阴影部分周长为， （3）解：不能截出； 理由：，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为． 由（2）可得长方形木板的长为，宽为． ∵，但， ∴不能截出． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期数学单元测试卷 （测试范围：二次根式） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 2．下列根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．若与最简二次根式可以合并，则（   ） A．24 B．25 C．7 D．6 4．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 5．下列各数中，可使式子有意义的的取值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知是整数，则正整数n的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 8．已知，则值为（   ） A． B． C． D． 9．若，则（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，现将三角形按如下三种方式折叠，分别记图①中的，图②中的，图③中的，则a，b，c之间的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．计算：______． 12．当时，的值是______． 13．化简： _____． 14．计算：__________． 15．一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为________． 16．汉族传统的扇文化起源于远古时代，扇子的分类多种多样．如图扇子的扇面分别为长方形和圆形，若两种扇面的面积相等，其中长方形扇面的长为，宽为，则圆形扇面的周长为__________． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 18．已知，． (1)求和的值； (2)求的值； 19．当时，求代数式的值． 20．计算： (1)； (2) 21．已知最简二次根式与最简二次根式可以合并． (1)求的值． (2)若，求的值． 22．阅读下面内容： 我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当，时，，，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，求的最小值． (2)当时，求当x取何值时有最小值?最小值是多少? 23．小兵在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)仿照上面的方法，若将化成，其中，则_____，______． (2)请你仿照上面的方法化简：； (3)若，其中，且a，m，n均为正整数，求的值． 24．现有两块同样大小的长方形木板①②，甲木工采用如图①所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为和的正方形木板，． (1)图①截出的正方形木板的边长为______，的边长为______； (2)求图①中阴影部分的周长； (3)乙木工想采用如图②所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $