第七讲 圆的综合问题【重点难点突围专项练】-2026年中考数学二轮专题复习（江苏专用）

**基本信息** 以江苏中考圆的七大核心题型为载体，通过“例题精讲+变式训练”实现模型拆解，分层训练夯实基础与突破压轴，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型讲练|7题型（1典例+3变式）|标准化拆解圆性质应用，传授得分技巧与规范步骤|从圆的性质（求角、线段、半径）到综合应用（最值、面积、切线证明、作图），形成递进逻辑链| |分层训练|基础10题+拔尖10题|基础题夯实核心考点，拔尖题聚焦易错与压轴题|通过真题溯源，对标中考难度，实现分数阶梯式增长|

第七讲 圆的综合问题『重点难点突围专项练（江苏专用）』 （七大题型讲练+难度分层练 共48题） 【解析版】 简介 蓄力升学 逐梦前行 『真题溯源·江苏专版』本资料深度剖析江苏省近两年中考真题及前沿模拟题，直击中考高频考点，精准锁定每年必考的常考题型与思想方法，让你的练习不偏科、不做无用功。 【第一部分 题型讲练·模型拆解】采用“例题精讲+变式训练”模式，对每类重难点题型进行标准化拆解。配套详尽的解题思路与规范步骤，不仅教会你如何解题，更传授得分技巧，帮你建立满分思维。 【第二部分 能力分层·稳步提升】科学设置20题分层训练： 1. 基础能力提升（10题）：快速夯实核心考点，确保基础分不丢分； 2. 拔尖突破冲刺（10题）：聚焦易错题与综合压轴题，挑战思维极限，实现分数阶梯式增长。 『助力升学·决胜考场』依托真题本源，对标中考难度。这套讲义是你通往理想高中的坚实阶梯，愿你以梦为马，提笔为剑，在中考战场上披荆斩棘，金榜题名！ 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 利用圆性质求角的度数 题型二 利用圆性质求线段的长度 题型三 利用圆性质求圆的半径 题型四 利用圆性质求线段的最值 题型五 利用圆性质求阴影部分的面积 题型六 切线的证明综合应用 题型七 利用圆性质作图 第一部分 精讲变式 融会贯通 【考向一 利用圆性质求角的度数】 【典例精讲】（2026·江苏盐城·一模）如图，在扇形中，点P在上，连接，将沿折叠得到．若，且与所在的圆相切于点B．则______． 【答案】 【思路引导】由切线的性质得，则，由折叠得 ，所以 ，则，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：∵与所在的圆相切于点B， ∴， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练1】（2026·江苏扬州·一模）如图，A、B、C是圆O上的三点，已知，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】连接，先根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理可得的度数，再根据圆周角定理即可得． 【规范解答】解：如图，连接， ， ， ， ∴． 【变式训练2】（2026·江苏扬州·一模）如图，点、在上，点是劣弧的中点，，则为___________． 【答案】 【思路引导】根据等弧所对的圆周角相等，且都等于这条弧所对圆心角的一半求解即可． 【规范解答】解：点是劣弧的中点， ， ， ， ． 【变式训练3】（2026·江苏扬州·一模）如图，在中，过、、三点的与相交于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】由平行四边形的对角相等可得，再由四边形是圆内接四边形，可得，得出的度数，然后通过角度和差即可求解． 【规范解答】解：四边形是平行四边形， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ． 【考向二 利用圆性质求线段的长度】 【典例精讲】（2026·江苏无锡·模拟预测）已知圆的半径为1，为圆外一点，，是圆的切线，连接交圆于点． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)1 【思路引导】（1）运用切线长定理和切线的性质得出，，，从而证明； （2） 由可得，继而得到，于是求出，． 【规范解答】（1）解：证明：∵，是圆的切线， ∴，，， 又∵， ∴， （2）∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式训练1】如图，在中，，延长到点，以为直径作，交的延长线于点，延长到点，使． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）连接，根据等边对等角可证，根据直角三角形的两个锐角互余可证，根据可证，等量代换可证，从而可证是的切线； （2）连接，过点作，可证，根据相似三角形的性质可以求出，，根据可证，根据相似三角形的性质可以求出，，利用勾股定理可以求出的长度． 【规范解答】（1）证明：如下图所示，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又点在上， 是的切线； （2）解：如下图所示，连接，过点作， 是的直径， ， ， 又， ， ， 的半径为， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 设，则， ， 在中，， ， 解得：， 【变式训练2】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，内接于，的平分线交于点E，交于点D，连接，若，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】题目主要考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线， 综合运用这些知识点是解题关键． 连接，根据题意得出，再由相似三角形的判定和性质得出，即，，，设，然后代入求解即可． 【规范解答】解：连接，如图所示： ∵的平分线交于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴即， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴即， 解得：， 经检验：为原分式方程的根， ∴， 故选：D． 【变式训练3】（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，，经过点，与边，分别交于点，，且与相切，切点为点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）连接，根据切线的性质可得，从而得到，进而得到，再结合等边对等角可得，即可求证； （2）连接与相交于点，设，则， ，根据平行证明 ， 得到，从而可表示出，再次根据平行证明 ，列式解方程即可得解 ． 【规范解答】（1）证明：如图，连接， 与相切， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：如图，连接与相交于点， 设，则， ， 为的直径， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ，即 ， 解得， ． 【考向三 利用圆性质求圆的半径】 【典例精讲】（25-26九年级下·江苏南京·月考）如图，在中，连接，是的外接圆，交于点，连接． (1)求证：． (2)若． 求证：与相切． 若，．则的半径为 ． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； ． 【思路引导】（）由平行四边形性质可得，所以，然后通过弧、弦、圆心角的关系即可求证； （）连接并延长，交于点，连接，通过弧、弦、圆心角的关系得，由垂径定理得，即，又四边形是平行四边形，所以，所以，再由切线的判定方法即可求证； 由（）得，又四边形是平行四边形，则，，证明，所以，即，解得，再求出，设的半径为，则，由勾股定理得，即，求出的值即可． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接并延长，交于点，连接， ∵， ∴， 由垂径定理得，即， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴与相切； 由（）得， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 设的半径为，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴的半径为． 【变式训练1】（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，过，两点的交于点，． (1)求证：与相切； (2)若，， ①求的长； ②的半径为________． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【思路引导】（1）如图，在优弧上取一点E，连接，，，， 设，先根据等腰三角形的性质得到，再根据圆内接四边形的两个对角互补和补角性质得到，根据圆周角定理可得，则，进而可得，利用切线的判定可得结论； （2）①证明，利用相似三角形的对应边成比例列方程求解； ②过A作于H，于F，设半径，证明四边形是矩形得到，，利用等腰三角形的性质和勾股定理求解即可． 【规范解答】（1）证明：如图，在优弧上取一点E，连接，，，， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，又为的半径， ∴与相切； （2）解：①∵， ∴，又， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得（负值已舍去） ∴； ②过A作于H，于F，设半径， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得，即， 解得，即的半径为． 【考点剖析】本题考查切线的判定、圆周角定理、圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，添加合适的辅助线是解答的关键． 【变式训练2】（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，是的内接三角形，，直径与边交于点，点是的中点.若，则的半径为_____． 【答案】 【思路引导】连接，，证明，，利用正弦函数解答即可． 【规范解答】解：连接， ∵点是的中点， ∴ ∴ ∵是的直径， ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ 故的半径为． 【变式训练3】（2026·江苏盐城·一模）如图，内接于，是直径，的平分线交于点D，交⊙O于点E，连接，作，交的延长线于点F． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若求的半径和的长． 【答案】(1)与相切 (2)， 【思路引导】（1）连接，先根据角平分线的定义得，进而得出，再根据等腰三角形的性质得出，然后根据平行线的性质说明，则此题可证； （2）在中，根据勾股定理求出半径；再说明，可得，然后根据勾股定理求出，进而得出，最后根据平行线分线段成比例得出，再代入数值得出答案． 【规范解答】（1）解：直线是的切线，理由如下： 连接， ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：在中，， ∵， ∴，即， 解得， ∴的半径是． ∵是的直径， ∴． ∵ ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，， 即， 解得， ∴． ∵， ∴，即， ∴． 【考向四 利用圆性质求线段的最值】 【典例精讲】如图，在平面直角坐标系中，，，半径为4，为上任意一点，是的中点，则的最小值是______． 【答案】3 【思路引导】连接，取的中点H，连接．利用三角形的中位线定理可得，推出点E的运动轨迹是以H为圆心半径为2的圆，据此求解即可． 【规范解答】解：如图，连接，取的中点H，连接． ∵，， ∴， ∴点E的运动轨迹是以H为圆心半径为2的圆， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值． 【变式训练1】（2026·江苏扬州·一模）如图，在中，，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，则长的最大值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【思路引导】先确定点C与点E的运动轨迹，继而得到，当最大时，最大，当最小，最大，再进行计算最大值即可． 【规范解答】解：， ， 点是在以为直径的圆上运动． ，且是绕点旋转， 点是以点为圆心，以为半径的圆上运动． ， 当最大时，最大，即最小，最大． 如图，当与相切于点，且点在内部时，最小，最大． ， ， ， ， ， 此时，即的最大值为． 【变式训练2】（2026·江苏无锡·一模）如图，已知，，，，点为的中点，则点与点之间的最小距离为______． 【答案】/ 【思路引导】延长至点，使得，连接，则是的中位线，得到，连接，设与的交点为，则的最小值为的长，过点作交的延长线于点，证明四边形是菱形，过点作的延长线于点，在中，求出，，从而得出，则，进而求得的最小值，即可得解． 【规范解答】解：如图，延长至点，使得，连接， 点为的中点， 是的中位线， ， 当最小时，最小， ， 点在以点为圆心，为半径的圆上， 连接，设与的交点为，则的最小值为的长，过点作交的延长线于点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， 过点作的延长线于点， ， 在中，，， ， ， ， 的最小值为， 即点与点之间的最小距离为． 【变式训练3】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图1，在⊙中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且． (1)求点到直线的距离． (2)如图2，优弧上存在一动点，从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当点运动至点处时，停止转动．过点作直线，直线与优弧交于另一点． ①当直线与优弧相切时，的值为______． ②当时，求阴影部分面积． (3)在（2）的转动过程中，如图3，过点作直线，与直线交于点，则在转动过程中，的最大值为___． 【答案】(1)； (2)①或；②； (3) 【思路引导】本题考查了圆的切线的性质、等边三角形的判定与性质、扇形面积的计算、垂径定理、直角三角形的性质等知识点，关键是熟练掌握圆的相关性质，结合几何图形的特点，通过作辅助线构造直角三角形或特殊三角形，结合图形的运动变化分析求解． （1）先根据圆心角和半径相等判定为等边三角形，得到的长度和的度数，再结合切线的性质得到，进而求出的度数，最后利用直角三角形中角对的直角边是斜边的一半，求出点到的距离． （2）①分直线在左侧和右侧两种相切的情况，结合切线的性质、平行线的性质得到，分别求出两种情况下旋转的角度，再结合转动速度求出对应的值； ②先根据的值求出的度数，结合平行线和切线的性质得到相关角的度数，再利用垂径定理和直角三角形的性质求出的长度和圆心到的距离，最后用扇形的面积减去的面积，得到阴影部分的面积． （3）通过作辅助线构造矩形和直角三角形，将的长度转化为与相关的表达式，再根据垂线段最短的性质得到的最大值，进而求出的最大值． 【规范解答】（1）解：如图，连接，过点作于点， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵优弧与直线相切于点， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 即点到直线的距离为； （2）①解：如图，当直线与优弧相切，且直线在的左侧时， ∵直线与优弧相切， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∵从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒， ∴，解得； 当直线与优弧相切，且直线在的右侧时， ∵直线与优弧相切， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 此时顺时针旋转的度数为， ∴，解得； 综上，当直线与优弧相切时，的值为或； ②解：如图，连接，过点作于点，设l交于点， ∵， ∴， ∵优弧与直线相切于点， ∴， ∵直线， ∴直线， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴阴影部分面积； （3）解：如图，延长交于点，过点作于点，过点作于点， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴为点到直线的垂线段， ∴， ∵， ∴， 当点与点重合时，取得最大值， 此时的最大值为． 【考向五 利用圆性质求阴影部分的面积】 【典例精讲】（2026·江苏南通·一模）如图，已知内接于是的直径，连接，，平分，． (1)求AC的长； (2)求图中阴影部分面积． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）由是的直径，可得，再由BC平分，为等腰直角三角形，由锐角三角函数求AC的长即可； （2）连接OC，用减去可求出阴影面积． 【规范解答】（1）解：是的直径， ． 平分， ． ． 为等腰直角三角形． ； （2）连接OC，则． 【变式训练1】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，点在的直径的延长线上，点在上，连接．已知，； (1)求证：与相切； (2)在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路引导】本题考查了切线的判定，特殊角的三角函数，求扇形的面积，解题的关键是：熟练掌握相关定理． （1）连接，由，，得到，，由，得到，进而得到，即可求证； （2）作，根据特殊角三角函数求出，，根据即可求解． 【规范解答】（1）证明：如图1，连接， ∵ ，， ∴ ，， ∵ 点，点在上， ∴ ，， ∴ ， ∴ 与相切． （2）解：如图2，过点作于， ∵ ，， ∴ ， ∵ ，， ∴，即， ∴ ， ∴ ，， ∴ ． 【变式训练2】（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在弧上（点C不与点E，F重合），半径分别与，相交于点，，则阴影部分的面积为_______． 【答案】 【思路引导】连接，作于，于，证明，四边形为正方形，得出，，进而可得，再由计算即可得解． 【规范解答】解：连接，作于，于， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴，即， ∵在中，，，D是的中点， ∴，，， ∴平分， ∴， ∴，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴． 【变式训练3】（2026·江苏宿迁·一模）如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为6，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）连接，交于点，根据等腰三角形的性质得到，由D为的内心，得到，求得，根据圆周角定理得到，求得，根据切线的性质得到即可； （2）根据三角函数的定义得到，求得，再求得，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【规范解答】（1）证明：连接，交于点， ， ， 又为的内心， ， ， ∴， ∴， 又为的直径， ， ， 又∵， ， ∴是的切线； （2）解：， ， ， 又， ，， ， ． 【考向六 切线的证明综合应用】 【典例精讲】（2026·江苏扬州·一模）如图，的边上有一点． (1)用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，用无刻度直尺和圆规在线段的延长线上求作点，使以点为圆心，长为半径的圆与相切，切点为；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（1）、（2）的条件下，若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【思路引导】（1）以点为圆心，适当长为半径画弧，与相交于两点，以该两点为圆心任意长为半径画弧，两弧相交于一点，过点与该点作射线，与的交点即为点； （2）作的角平分线交于点，再以为圆心，为半径作圆，与相切于点，即为所求； （3）在中，利用锐角三角函数结合勾股定理可求得，长，从而可得，长，设，在中，利用勾股定理列式解方程即可得解． 【规范解答】（1）解：如图，过点作的垂线，垂足点即为所求； （2）解：如图，作的角平分线交于点，再以为圆心，为半径作圆，与相切于点，即为所求； 点在的角平分线上，，， ， 为半径， 是的切线，切点为； （3）解：中，，， ，， ， ， 设，则， 在中，， ，解得， 即的半径长为． 【变式训练1】如图，为的直径，C为 上一点，连接，，过点C的直线与相切，与延长线交于点D，点F为上一点，且，，连接并延长交射线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路引导】（1）如图所示，连接，可证，根据为的切线，，即可求证； （2）根据（1）中，设的半径为，可证，可算出的半径，再根据三角形相似即可求解． 【规范解答】（1）证明：如图所示，连接， ， ， ， ， ， ， 为的切线， ， ． （2）解：∵， 设，则， ， 设的半径为，则， 由（1）可知，， ， ， ， ， ∴的半径为 3 ， ， ， ， ． 【考点剖析】本题主要考查圆与三角形的综合，涉及相似三角形的性质和判定，切线的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，掌握圆的切线的性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【变式训练2】（2025·江苏苏州·二模）如图1，以为直径的与的边交于点D，，点M是直径下方半圆上的一动点，连接，．交于点P． (1)若，，求的值； (2)记的面积为，的面积为，若，的半径为．求线段的长； (3)如图2，当动点M运动到恰好使得P为的中点时，的角平分线交于点E，交于点F，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、正切的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由圆周角定理可得，求出，由勾股定理可得，最后由正切的定义即可得解； （2）证明，得出，，结合勾股定理求出，，即可得解； （3）作于，连接、，可推出，，从而可得，，进而得出，证明，，推出，即可得解． 【规范解答】（1）解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵的半径为． ∴， ∵， ∴，， ∴； （3）解：如图，作于，连接、， ∵，P为的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵平分，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练3】（24-25九年级下·河北邯郸·开学考试）如图1，图2，在中，，点E为边上一点（包括端点），经过点E，点C作，总满足与相切于点E，设的半径为r．    (1)通过计算判断与的位置关系； (2)如图2，当点O落在上时， ①求r的值； ②求落在内部的弧的弧长（包括端点）； (3)直接写出r的取值范围． 【答案】(1) (2)①3；② (3) 【思路引导】（1）根据勾股定理的逆定理即可求解； （2）①连接，先证明切于C点，由和边切于点E，得，，证明，然后利用相似三角形的性质即可求解； ②根据弧长公式计算即可； （3）根据当为直径时，圆O半径最小和当E点与B点重合时，半径最大求出临界值即可． 【规范解答】（1）解：， ． ， ． ， 为直角三角形，且， ． （2）如图，当点O落在上时，连接，设与的另一个交点为点F．    ①， ∴切于C点． 和边切于点E， ， ， ． ， ， ，即， ． ②由于圆心O在上， ， ∴弧的长为． （3）解：． 如图，当为直径时，此时，圆O半径最小． ， ， ∴半径r最小为．    当E点与B点重合时，半径最大， 如图，连接，过O作于H．   ， ． ． 在中，． ， ， ，即r的最大值为． 综上所述，r的取值范围为． 【考点剖析】本题考查平行四边形的性质以及勾股定理逆定理，切线的判定与性质，切线长定理，解直角三角形，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 【考向七 利用圆性质作图】 【典例精讲】（2026·江苏徐州·一模）作图题：要求①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． (1)如图，已知直线l，作一个圆与之相切； (2)如图，已知，延长．作圆，使该圆与边的延长线及线段均相切． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（）先在直线上任取一点并作的垂线，在垂线上取异于的点，以为圆心、为半径作圆；依据切线的判定定理(且是半径)，该圆与直线相切； （）先延长，再作和的外角平分线，两线交于点，过作的垂线，垂足为，以为圆心、为半径作圆；依据角平分线的性质(角平分线上的点到角两边距离相等)，该圆与的三边(含延长线)都相切，即为的旁切圆． 【规范解答】（1）解：①选点：在直线上任取两点，作线段的垂线平分线，交直线于点， ②定半径：在这条垂线上任取异于的点， ③画圆：以为圆心、长为半径作圆， 所得圆即为所求（作法不唯一，只要满足圆心到直线的距离等于半径即可）； 原理：且是圆的半径，满足切线的判定条件，因此圆与相切； （2）解：①延长边：延长（过端向外延伸）、延长（过端向外延伸）； ②作角平分线：分别作的外角平分线、的外角平分线，两条平分线交于点； ③以为圆心、长为半径作圆， 所得圆即为所求； 原理：角平分线上的点到角两边距离相等， 因此点到延长线、延长线、的距离都等于， 因此该圆与三条线都相切；（作图时保留角平分线、垂线、圆弧的作图痕迹即可）； 【变式训练1】（2026·江苏宿迁·二模）如图，点是线段上一点，如果满足，那么称线段被点黄金分割，点是线段的黄金分割点．完成下列问题： (1)填空：如图①，点是线段的黄金分割点，若，则__________；（用含根号的式子表示） (2)如图②，在中，，点在斜边上，，点在直角边上，，证明：点是线段的黄金分割点； (3)尺规作图：如图③，作出线段的一个黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）由勾股定理得，则，，再证明，即可证明结论； （3）如图1，作出线段的中点，过点B作的垂线，并在该垂线上截取，以点C为圆心，的长为半径画弧交于点D，再以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点P，则点P即为所求；同理在图2中作出靠近点A的黄金分割点即可． 【规范解答】（1）解：∵点是线段的黄金分割点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（已检验）或（舍去）； （2）证明：∵在中，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点是线段的黄金分割点； （3）解：如图所示，即为所求． 【变式训练2】（2026·江苏宿迁·一模）根据要求完成下列各题： (1)如图1，在中，作一个，使D、E、F分别在、、上． (2)如图2，在矩形中，，，P为矩形内部一点，且，求周长的最小值． (3)如图3，在中，，，M、N分别为、上的动点，且，点O为的中点，当最大时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路引导】（1）先作，再在上截取，即可得到； （2）过点作交、于点、，利用三角形面积公式求出，作点关于的对称点，则当点、、三点共线时，有最小值为的长，利用勾股定理求出，即可得解； （3）过作的平行线交于点，连接，，根据条件可以推导出是的中点，从而确定是在三角形的中位线上的一个动点，然后过作使与相切于点，根据圆周角定理的推论可以确定当与重合时，最大，再画出点与重合时，的位置，最后求出即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，过点作交、于点、， 在矩形中，，， ， ， ， 作点关于的对称点，连接， ，， ， 当点、、三点共线时，有最小值为的长， 在中，， 有最小值为， 周长的最小值为． （3）解：如图，过作的平行线交于点，连接，， ， ， ， ， 又， ， ， ， 又是中点， ， ， ， ， ， 共线，且是中点， 过作的平行线交于点，交于点， 则， 为的中位线， 过作，使其与相切于点，连接，， 连接，，设交于点，连接， 当与不重合时，，， ， ∴当与重合时，， 此时，最大， 延长交于点，作交于， 过作的平行线交于， 当与重合时，与重合，与重合， 作于点，设交于， ，， ， ， 解得， ， ， ， ， 连接，交于点，连接， 则，，     ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 当最大时，． 【考点剖析】本题是一道综合性大题，考查了尺规作图，将军饮马模型，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的推论，三角形中位线的性质，全等三角形的判定与性质，本题的关键是确定点O的轨迹，找到使最大时，点O的位置． 【变式训练3】（2026·江苏徐州·一模）按要求完成下列问题． (1)如图①，在中，，，垂足为．求证：． (2)已知点在线段上．在图②中，用直尺和圆规作出一个，使得且是锐角．（保留作图痕迹，简述作图步骤） (3)如图③，在中，，点在边上，，连接．若线段上存在点（包含端点），使得，则的取值范围是________． 【答案】(1)证明见解析 (2)图见解析 (3) 【思路引导】（1）利用两角对应相等证明两个直角三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例进行推导证明； （2）以为直径作，若，则，可得，则点的运动轨迹为以为圆心，长为半径的圆，由为锐角，可知点在外部，据此作图即可； （3）先通过两角对应相等证明三角形相似，推导出点的轨迹，再根据点的运动轨迹和在线段上的条件，找到临界位置计算出的最小值，从而确定其取值范围． 【规范解答】（1）证明： ， ， ， ， ，即． （2）解：如图为． 作的垂直平分线，交于点，以长为半径作； 过点作的垂线，交于点； 以点为圆心，长为半径作弧，在外部的弧上取一点为，连接，，即为所求． （3）解：如图，作的外接圆，以点为圆心，长为半径作圆，两圆交点为，连接，， ，， ， ， ， ，为定值，则也为定值， 点的运动轨迹是以点为圆心，长为半径的圆， ，且点在上， 点的运动轨迹为， 当点与点重合时，取得最小值，此时， ， 设，，则， ， ，， 在中，， ， ， 故的取值范围为． 第二部分 分层训练 实战攻坚 『基础能力提升』 1．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，四边形内接于圆，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【规范解答】解：∵四边形内接于圆， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·江苏宿迁·一模）如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【思路引导】根据垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，最后根据三角形面积公式计算即可． 【规范解答】解：∵为的直径，弦于，且， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴的面积为． 3．（2026·江苏无锡·二模）如图，是的直径，垂直平分交于，两点，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】由，根据垂径定理，勾股定理计算圆的半径，利用扇形的面积公式计算即可． 【规范解答】解：如图，连接，，设、的交点为， ∵是⊙的直径，垂直平分交⊙于C，D两点， ∴，，， ∴四边形是菱形，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴． 4．（2026·江苏南京·一模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在格点上，则经过点B的的长度是______． 【答案】 【思路引导】先确定圆心的位置，然后根据弧长公式可进行求解． 【规范解答】解：由题意可确定圆心位置，如图所示， 由图可知：， ∴的长度为． 5．（2026·江苏扬州·一模）如图，点C在直径的延长线上，与半圆O相切于点D，，，则弧的长度为________．（结果保留） 【答案】/ 【思路引导】由切线的性质得到，从而得到，根据直角三角形的性质得到，再利用弧长公式即可求解． 【规范解答】解：连接，如图： ∵与半圆相切， ∴， ∵，， ∴，， ∴的长度． 6．（2026·江苏盐城·一模）如图，是半圆的直径，点C、D是半圆上的两点，，且，则的度数为_____°． 【答案】20 【思路引导】先求得，根据四边形是半圆的内接四边形，可以求得 ，根据直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【规范解答】解：，， ， ， 由四边形是半圆的内接四边形， ， 是半圆的直径， ， ； 7．（2025·江苏·一模）请仅用无刻度直尺（即不使用刻度尺上的刻度功能）和0.5毫米黑色墨水签字笔作出所要求的图形并在答题卡上保留作图痕迹． 如图，矩形直尺的一个直角顶点在圆周上，请作出该圆的一条直径． 【答案】见详解 【思路引导】本题主要考查了无刻度直尺作图，90度的圆周角所对的弦是直径，熟知相关性质是正确解答此题的关键．将直尺的一组邻边延长，与圆交于两点，连接这两点即为圆的直径． 【规范解答】解：将直尺的一组邻边延长，与圆交于M、N两点，连接即为圆的直径，即为求作； 理由：由题意，直尺的一个角为直角， ， 是圆的直径． 8．（2025·江苏无锡·三模）如图，在的边上取一点O，以O为圆心，为半径画，与边相切于点D，，连接交于点E，连接，并延长交线段于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）连接，由切线的性质可知，再根据题意易证，即得出，即证明出是的切线； （2）设的半径为r，由，，可得，，可得，再进一步求解即可. 【规范解答】（1）解：如图，连接， 与边相切于点D， ，即， ，，， ， ， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为r， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴的半径为. 【考点剖析】本题考查切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形．作合适的辅助线是解答本题的关键． 9．（2026·江苏泰州·一模）如图，四边形内接于，平分，连接，延长至点，使，连接． (1)求证：； (2)若，，求值． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）根据角平分线定义得，．由圆内接四边形的性质得到，即可证得； （2）证明，即可得到值． 【规范解答】（1）证明：平分， ． ∴ ． 四边形内接于 ． 又， ． 在和中 ； （2） ，， ． ， ． 10．（2026·江苏盐城·一模）团扇又称宫扇、纨扇，是一种圆形有柄的扇子，它代表着团圆友善、吉祥如意，是中国汉族传统工艺品及艺术品．如图1是一柄团扇示意图，它由一个手柄和一个扇面组成，手柄所在直线经过扇面圆心，将其插入扇架中间并垂直于底座，为方便取用，扇架两端的支架高度要不大于手柄长度的一半，如图2，已知该团扇的半径为，过扇柄一端P的直线与扇面相切于点A，． (1)求扇架支架的的最大高度； (2)为了美观，要在如图2所示的阴影部分做装饰，求做装饰部分的面积． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）连接，，过点作于点，依题意得：，，，在同一条直线上，，，，在中，由勾股定理得，进而得，由此可得扇架两端支架的取值范围； （2）先在中，利用锐角三角函数求出，进而再分别求出，，进而即可得出阴影部分面积． 【规范解答】（1）解：连接，，如图所示： 依题意得：，，，在同一条直线上， ∵扇面的半径为， ∴， ∵直线与扇面相切于点，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴（cm）， ∴扇架两端支架的取值范围为：； ∴的最大高度为； （2）解：过点作于点，如图所示： 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ， ∴装饰部分的面积为：． 『拔尖突破冲刺』 1．如图，半径为5的与正五边形相切于点B、E，则弧的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】连接，，根据正五边形的性质得到的度数，根据切线的性质得到的度数，利用弧长公式解答即可． 【规范解答】解：连接，， ∵五边形是正五边形， ， 、与相切， ， ， 弧的长为． 【考点剖析】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键． 2．如图，为直径，为上一点（异于、，平分交于点，交于点； （1）； （2）； （3）； （4）连结、，四边形面积为； 上述结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】（1）根据在同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等，进行判断； （2）连接，证明，便可判断正误； （3）连接、，延长到点，使，连接，证明，得是等腰直角三角形，便可判断正误； （4）由全等三角形得，进而由等腰直角三角形的面积公式，便可判断正误． 【规范解答】解：（1）平分， ， ，故（1）结论正确； （2）连接， ， ， ， ， ，故（2）结论正确； （3）连接、，延长到点，使，连接， 四边形是的内接四边形， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，故（3）结论正确； （4）， ， ，故（4）结论错误； 综上所述，正确的有3个． 3．（2026·江苏泰州·一模）如图，两个同心圆中，为大圆的弦，与小圆相切于点，为的中点，的延长线交小圆于点．若小圆的半径已知，要求的长，只要知道（   ） A．的长 B．与的积 C．与大圆半径的比 D．的度数 【答案】C 【思路引导】连接，过点作于点，根据垂径定理以及 可得，然后证明，即可求解． 【规范解答】解：连接，过点作于点， 则， ∵与小圆相切于点， ∴ ∴ ∵为的中点，经过圆心， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵已知， ∴当已知时，即可求解．故C符合题意． 4．（2026·江苏泰州·一模）如图，为的直径，点P在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，，则_______． 【答案】 【思路引导】连接，，，设与交于点Ｅ，利用线段垂直平分线的判定和性质，圆周角定理，正切函数的应用，求解即可； 【规范解答】解：连接，，，设与交于点Ｅ， ，与相切，切点分别为C，D． 则，，， 直线垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 5．（2026·江苏泰州·模拟预测）“黄金螺旋”的画法通常以斐波那契数列为边长作正方形，再画四分之一圆弧连接而成．若换用数列（从第三项起，每一项等于前两项之和）作为正方形的边长，按同样方式构造螺旋线．如图，最小的正方形边长为2，依次得到边长分别为2，2，4，6，10的五个正方形，并在每个正方形内画圆心角为的圆弧，连成一段螺旋线，则这段螺旋线的长度为___________．（结果保留） 【答案】 【思路引导】这段螺旋线由5段圆心角为的圆弧组成，每段圆弧的半径等于对应正方形的边长，利用弧长公式计算各段弧长后求和即可得到总长度． 【规范解答】解：根据弧长公式，其中为圆心角度数，为圆弧半径， 由题意得，5段圆弧的半径依次为2，2，4，6，10， 分别计算各段弧长： ，，，，， 总螺旋线长度为：． 6．（2026·江苏宿迁·一模）在矩形中，，，某一时刻，动点E从点D出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向点C匀速运动；同时，动点F从点C出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接、，交于点M，在上取一点P，使得，在这一运动过程中，点P所经过的路径长是___________． 【答案】 【思路引导】根据特殊角的三角函数值，求出，设运动时间为秒，则， ，进而证明，推出，再证明，得出，即点在以为圆心，半径长为的圆上运动，路径为，最后利用弧长公式求解即可． 【规范解答】解：在矩形中，，， ，，， ， ， 设运动时间为秒，则， ， ， 又， ， ， ， ， 如图，当点在点位置时，此时点、、重合， ， ， 当点在点位置时，此时点、重合，， ，即， 又， ， ， 取中点，以为圆心，长为半径作圆，则， 点在以为圆心，半径长为的圆上运动，即路径为， ， ， 的长为， 点P所经过的路径长是 7．（2026·江苏宿迁·一模）如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路引导】（1）过点O作于点E，根据圆的切线的性质，以及等角的余角相等，证明，得到，则是的半径，即可得证； （2）由勾股定理可得，利用相似三角形的性质，分别求出，，即可得解． 【规范解答】（1）证明：过点O作于点E， 于点D， ， ，， ， ， 又为的切线， ， ， ， ， 在和中， ， ， 是的半径， ， 是的切线； （2）解：在中，，， ， 由（1）可知，， 又， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，即的半径． 8．（2026·江苏泰州·模拟预测）【阅读材料】 在平面内，取一个定点A和定线段，对于平面内不与、重合的任意一点B，若点D在射线上，且满足，则称点D为点B关于线段的等角对应点． 例如：如图1，在中，点D在边上，且，则点D是点B关于线段的等角对应点． 【基础理解】 (1)如图1，在中，，，点D是点B关于线段的等角对应点，则线段的长为___________； 【探索应用】 (2)如图2，在中，，，，请以A为定点为定线段，利用无刻度的直尺和圆规，作出点B关于线段的等角对应点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)在（2）的条件下，求证：，并求线段的长． 【拓展延伸】 (4)如图3，已知的半径为5，点A为上一定点，为的直径，点为上的动点（不与点重合）．若点为点关于线段的等角对应点，试判断点的运动路径是直线还是圆弧？请说明理由；在点从点运动到弧中点的过程中，直接写出点的运动路径的长度． 【答案】(1) (2)图见解析 (3)证明见解析， (4)点的运动路径是直线；运动路径的长度为10 【思路引导】（1）证明，再利用相似三角形对应边成比例即可求解； （2）作，交于点，则点D即为所求： （3）利用勾股定理求出，证明，再利用相似三角形的性质即可证明以及求出线段的长； （4）连接、、，由为的直径，得到，根据“等角对应点”的定义得到，则，点的轨迹为过且垂直于的直线；再讨论点分别在点以及弧中点时，对应的点的位置，即可求出点的运动路径的长度． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：如图2，点D即为所求： （3）证明：∵，，， ∴， 由（2）作图可得，， ∵， ∴， ∴，， ∴，； （4）解：连接、、， ∵为的直径， ∴， ∵点为点关于线段的等角对应点， ∴，点在射线上， ∴，点的轨迹为过且垂直于的直线， ∴点的运动路径是直线； 当点与点重合时，点恰好与点重合， 当点运动到弧中点时， 如图3，连接， ∵点运动到弧中点，的半径为5， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动路径的长度为10． 9．（2026·江苏泰州·一模）如图，点C为上一点，连接并延长至点A，使． (1)请用无刻度的直尺和圆规在圆上找一点B，使为的切线（保留作图痕迹，不写作法），并证明； (2)在（1）的条件下，设的半径为5，求的长度． 【答案】(1)见详解 (2) 【思路引导】（1）以点C为圆心，为半径画弧交于点B，连接即可； （2）根据弧长公式即可； 【规范解答】（1）解：如图，以点C为圆心，为半径画弧交于点B，连接即可． 证明：连接，， 根据题意可得， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线． （2）解：根据（1）可得， ∵的半径为5， ∴的长． 10．（2026·江苏宿迁·二模）如图，菱形的边长为，，点、分别在边、上，且，，点从点出发，沿折线以的速度向点匀速运动(不与点重合)，的外接圆交边于点，连接、．设点运动时间为． (1)当点在边．上运动时，证明：； (2)当点在边上运动时，试判断的形状，并说明理由； (3)在运动过程中，若点在内部，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 (3)或 【思路引导】（1）易知和都是等边三角形，利用同弧所对的圆周角相等，得到，从而得到，继而得到； （2）利用证明得到，继而得到，故是等边三角形； （3）画出当点E和点N重合时的图形，设的外接圆与、分别交于点，则当点P在线段上(含端点M，不含端点)或线段上(不含端点)时，点N在内部，分别利用（1）（2）的结论求出点的位置，即和的长度，结合图形即可得解． 【规范解答】（1）解：证明：在菱形中，，，， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∵的外接圆交边于点， ∴， ∴， ∴； （2）是等边三角形，理由如下： ∵四边形是的内接四边形， ∴， 又∵， ∴， 又由（1）得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （3）当点E和点N重合时，设的外接圆与、分别交于点， 则当点P在线段上(含端点M，不含端点)或线段上(不含端点)时，点N在内部， ①由（1）的， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵点从点出发，沿折线以的速度向点匀速运动(不与点重合)， ∴当时，点P与点重合， ∴当时，点在内部，此时点P在线段上(含端点M，不含端点)； ②由（2）得， ∴， ∴当时，点P与点重合， 又∵当时，点P与点重合， ∴当时，点在内部，此时点P在线段上(不含端点)； 综上所述：当或时，点在内部． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七讲 圆的综合问题『重点难点突围专项练（江苏专用）』 （七大题型讲练+难度分层练 共48题） 【原卷版】 简介 蓄力升学 逐梦前行 『真题溯源·江苏专版』本资料深度剖析江苏省近两年中考真题及前沿模拟题，直击中考高频考点，精准锁定每年必考的常考题型与思想方法，让你的练习不偏科、不做无用功。 【第一部分 题型讲练·模型拆解】采用“例题精讲+变式训练”模式，对每类重难点题型进行标准化拆解。配套详尽的解题思路与规范步骤，不仅教会你如何解题，更传授得分技巧，帮你建立满分思维。 【第二部分 能力分层·稳步提升】科学设置20题分层训练： 1. 基础能力提升（10题）：快速夯实核心考点，确保基础分不丢分； 2. 拔尖突破冲刺（10题）：聚焦易错题与综合压轴题，挑战思维极限，实现分数阶梯式增长。 『助力升学·决胜考场』依托真题本源，对标中考难度。这套讲义是你通往理想高中的坚实阶梯，愿你以梦为马，提笔为剑，在中考战场上披荆斩棘，金榜题名！ 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 利用圆性质求角的度数 题型二 利用圆性质求线段的长度 题型三 利用圆性质求圆的半径 题型四 利用圆性质求线段的最值 题型五 利用圆性质求阴影部分的面积 题型六 切线的证明综合应用 题型七 利用圆性质作图 第一部分 精讲变式 融会贯通 【考向一 利用圆性质求角的度数】 【典例精讲】（2026·江苏盐城·一模）如图，在扇形中，点P在上，连接，将沿折叠得到．若，且与所在的圆相切于点B．则______． 【变式训练1】（2026·江苏扬州·一模）如图，A、B、C是圆O上的三点，已知，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2026·江苏扬州·一模）如图，点、在上，点是劣弧的中点，，则为___________． 【变式训练3】（2026·江苏扬州·一模）如图，在中，过、、三点的与相交于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【考向二 利用圆性质求线段的长度】 【典例精讲】（2026·江苏无锡·模拟预测）已知圆的半径为1，为圆外一点，，是圆的切线，连接交圆于点． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【变式训练1】如图，在中，，延长到点，以为直径作，交的延长线于点，延长到点，使． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，，求的长． 【变式训练2】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，内接于，的平分线交于点E，交于点D，连接，若，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，，经过点，与边，分别交于点，，且与相切，切点为点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【考向三 利用圆性质求圆的半径】 【典例精讲】（25-26九年级下·江苏南京·月考）如图，在中，连接，是的外接圆，交于点，连接． (1)求证：． (2)若． 求证：与相切． 若，．则的半径为 ． 【变式训练1】（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，过，两点的交于点，． (1)求证：与相切； (2)若，， ①求的长； ②的半径为________． 【变式训练2】（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，是的内接三角形，，直径与边交于点，点是的中点.若，则的半径为_____． 【变式训练3】（2026·江苏盐城·一模）如图，内接于，是直径，的平分线交于点D，交⊙O于点E，连接，作，交的延长线于点F． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若求的半径和的长． 【考向四 利用圆性质求线段的最值】 【典例精讲】如图，在平面直角坐标系中，，，半径为4，为上任意一点，是的中点，则的最小值是______． 【变式训练1】（2026·江苏扬州·一模）如图，在中，，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，则长的最大值是（    ） A．4 B． C． D． 【变式训练2】（2026·江苏无锡·一模）如图，已知，，，，点为的中点，则点与点之间的最小距离为______． 【变式训练3】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图1，在⊙中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且． (1)求点到直线的距离． (2)如图2，优弧上存在一动点，从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当点运动至点处时，停止转动．过点作直线，直线与优弧交于另一点． ①当直线与优弧相切时，的值为______． ②当时，求阴影部分面积． (3)在（2）的转动过程中，如图3，过点作直线，与直线交于点，则在转动过程中，的最大值为___． 【考向五 利用圆性质求阴影部分的面积】 【典例精讲】（2026·江苏南通·一模）如图，已知内接于是的直径，连接，，平分，． (1)求AC的长； (2)求图中阴影部分面积． 【变式训练1】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，点在的直径的延长线上，点在上，连接．已知，； (1)求证：与相切； (2)在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积． 【变式训练2】（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，在中，，，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好在弧上（点C不与点E，F重合），半径分别与，相交于点，，则阴影部分的面积为_______． 【变式训练3】（2026·江苏宿迁·一模）如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为6，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 【考向六 切线的证明综合应用】 【典例精讲】（2026·江苏扬州·一模）如图，的边上有一点． (1)用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，用无刻度直尺和圆规在线段的延长线上求作点，使以点为圆心，长为半径的圆与相切，切点为；（保留作图痕迹，不写作法） (3)在（1）、（2）的条件下，若，，求的半径长． 【变式训练1】如图，为的直径，C为 上一点，连接，，过点C的直线与相切，与延长线交于点D，点F为上一点，且，，连接并延长交射线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式训练2】（2025·江苏苏州·二模）如图1，以为直径的与的边交于点D，，点M是直径下方半圆上的一动点，连接，．交于点P． (1)若，，求的值； (2)记的面积为，的面积为，若，的半径为．求线段的长； (3)如图2，当动点M运动到恰好使得P为的中点时，的角平分线交于点E，交于点F，求的值． 【变式训练3】（24-25九年级下·河北邯郸·开学考试）如图1，图2，在中，，点E为边上一点（包括端点），经过点E，点C作，总满足与相切于点E，设的半径为r．    (1)通过计算判断与的位置关系； (2)如图2，当点O落在上时， ①求r的值； ②求落在内部的弧的弧长（包括端点）； (3)直接写出r的取值范围． 【考向七 利用圆性质作图】 【典例精讲】（2026·江苏徐州·一模）作图题：要求①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． (1)如图，已知直线l，作一个圆与之相切； (2)如图，已知，延长．作圆，使该圆与边的延长线及线段均相切． 【变式训练1】（2026·江苏宿迁·二模）如图，点是线段上一点，如果满足，那么称线段被点黄金分割，点是线段的黄金分割点．完成下列问题： (1)填空：如图①，点是线段的黄金分割点，若，则__________；（用含根号的式子表示） (2)如图②，在中，，点在斜边上，，点在直角边上，，证明：点是线段的黄金分割点； (3)尺规作图：如图③，作出线段的一个黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法） 【变式训练2】（2026·江苏宿迁·一模）根据要求完成下列各题： (1)如图1，在中，作一个，使D、E、F分别在、、上． (2)如图2，在矩形中，，，P为矩形内部一点，且，求周长的最小值． (3)如图3，在中，，，M、N分别为、上的动点，且，点O为的中点，当最大时，求的长． 【变式训练3】（2026·江苏徐州·一模）按要求完成下列问题． (1)如图①，在中，，，垂足为．求证：． (2)已知点在线段上．在图②中，用直尺和圆规作出一个，使得且是锐角．（保留作图痕迹，简述作图步骤） (3)如图③，在中，，点在边上，，连接．若线段上存在点（包含端点），使得，则的取值范围是________． 第二部分 分层训练 实战攻坚 『基础能力提升』 1．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，四边形内接于圆，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏宿迁·一模）如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2026·江苏无锡·二模）如图，是的直径，垂直平分交于，两点，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏南京·一模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在格点上，则经过点B的的长度是______． 5．（2026·江苏扬州·一模）如图，点C在直径的延长线上，与半圆O相切于点D，，，则弧的长度为________．（结果保留） 6．（2026·江苏盐城·一模）如图，是半圆的直径，点C、D是半圆上的两点，，且，则的度数为_____°． 7．（2025·江苏·一模）请仅用无刻度直尺（即不使用刻度尺上的刻度功能）和0.5毫米黑色墨水签字笔作出所要求的图形并在答题卡上保留作图痕迹． 如图，矩形直尺的一个直角顶点在圆周上，请作出该圆的一条直径． 8．（2025·江苏无锡·三模）如图，在的边上取一点O，以O为圆心，为半径画，与边相切于点D，，连接交于点E，连接，并延长交线段于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 9．（2026·江苏泰州·一模）如图，四边形内接于，平分，连接，延长至点，使，连接． (1)求证：； (2)若，，求值． 10．（2026·江苏盐城·一模）团扇又称宫扇、纨扇，是一种圆形有柄的扇子，它代表着团圆友善、吉祥如意，是中国汉族传统工艺品及艺术品．如图1是一柄团扇示意图，它由一个手柄和一个扇面组成，手柄所在直线经过扇面圆心，将其插入扇架中间并垂直于底座，为方便取用，扇架两端的支架高度要不大于手柄长度的一半，如图2，已知该团扇的半径为，过扇柄一端P的直线与扇面相切于点A，． (1)求扇架支架的的最大高度； (2)为了美观，要在如图2所示的阴影部分做装饰，求做装饰部分的面积． 『拔尖突破冲刺』 1．如图，半径为5的与正五边形相切于点B、E，则弧的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，为直径，为上一点（异于、，平分交于点，交于点； （1）； （2）； （3）； （4）连结、，四边形面积为； 上述结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2026·江苏泰州·一模）如图，两个同心圆中，为大圆的弦，与小圆相切于点，为的中点，的延长线交小圆于点．若小圆的半径已知，要求的长，只要知道（   ） A．的长 B．与的积 C．与大圆半径的比 D．的度数 4．（2026·江苏泰州·一模）如图，为的直径，点P在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，，则_______． 5．（2026·江苏泰州·模拟预测）“黄金螺旋”的画法通常以斐波那契数列为边长作正方形，再画四分之一圆弧连接而成．若换用数列（从第三项起，每一项等于前两项之和）作为正方形的边长，按同样方式构造螺旋线．如图，最小的正方形边长为2，依次得到边长分别为2，2，4，6，10的五个正方形，并在每个正方形内画圆心角为的圆弧，连成一段螺旋线，则这段螺旋线的长度为___________．（结果保留） 6．（2026·江苏宿迁·一模）在矩形中，，，某一时刻，动点E从点D出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向点C匀速运动；同时，动点F从点C出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接、，交于点M，在上取一点P，使得，在这一运动过程中，点P所经过的路径长是___________． 7．（2026·江苏宿迁·一模）如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 8．（2026·江苏泰州·模拟预测）【阅读材料】 在平面内，取一个定点A和定线段，对于平面内不与、重合的任意一点B，若点D在射线上，且满足，则称点D为点B关于线段的等角对应点． 例如：如图1，在中，点D在边上，且，则点D是点B关于线段的等角对应点． 【基础理解】 (1)如图1，在中，，，点D是点B关于线段的等角对应点，则线段的长为___________； 【探索应用】 (2)如图2，在中，，，，请以A为定点为定线段，利用无刻度的直尺和圆规，作出点B关于线段的等角对应点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)在（2）的条件下，求证：，并求线段的长． 【拓展延伸】 (4)如图3，已知的半径为5，点A为上一定点，为的直径，点为上的动点（不与点重合）．若点为点关于线段的等角对应点，试判断点的运动路径是直线还是圆弧？请说明理由；在点从点运动到弧中点的过程中，直接写出点的运动路径的长度． 9．（2026·江苏泰州·一模）如图，点C为上一点，连接并延长至点A，使． (1)请用无刻度的直尺和圆规在圆上找一点B，使为的切线（保留作图痕迹，不写作法），并证明； (2)在（1）的条件下，设的半径为5，求的长度． 10．（2026·江苏宿迁·二模）如图，菱形的边长为，，点、分别在边、上，且，，点从点出发，沿折线以的速度向点匀速运动(不与点重合)，的外接圆交边于点，连接、．设点运动时间为． (1)当点在边．上运动时，证明：； (2)当点在边上运动时，试判断的形状，并说明理由； (3)在运动过程中，若点在内部，求的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $