第五讲 统计与概率【重点难点突围专项练】-2026年中考数学二轮专题复习（江苏专用）

**基本信息** 以“真题溯源+模型拆解+分层突破”构建统计与概率专项训练体系，通过12大题型标准化拆解与56题梯度训练，培养数据观念与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型讲练|12题型（1典例+2变式）|“例题精讲+变式”双轨模式，提炼列表法/树状图法等6类解题模型，强调规范步骤与得分技巧|从统计调查（数据收集）→ 数据描述（图表分析）→ 数据分析（集中趋势/波动）→ 概率计算（古典概型/应用），形成完整知识链| |分层训练|基础10题+拔尖10题|基础题聚焦核心考点夯实，拔尖题突破综合压轴与易错点，对标中考难度分层提升|通过真实情境问题（如心理健康调查、体育测试），渗透数据分析观念与模型应用意识，衔接中考命题趋势|

第五讲 统计与概率『重点难点突围专项练（江苏专用）』 （十二大题型讲练+难度分层练 共56题） 【解析版】 简介 蓄力升学 逐梦前行 『真题溯源·江苏专版』本资料深度剖析江苏省近两年中考真题及前沿模拟题，直击中考高频考点，精准锁定每年必考的常考题型与思想方法，让你的练习不偏科、不做无用功。 【第一部分 题型讲练·模型拆解】采用“例题精讲+变式训练”模式，对每类重难点题型进行标准化拆解。配套详尽的解题思路与规范步骤，不仅教会你如何解题，更传授得分技巧，帮你建立满分思维。 【第二部分 能力分层·稳步提升】科学设置20题分层训练： 1. 基础能力提升（10题）：快速夯实核心考点，确保基础分不丢分； 2. 拔尖突破冲刺（10题）：聚焦易错题与综合压轴题，挑战思维极限，实现分数阶梯式增长。 『助力升学·决胜考场』依托真题本源，对标中考难度。这套讲义是你通往理想高中的坚实阶梯，愿你以梦为马，提笔为剑，在中考战场上披荆斩棘，金榜题名！ 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 统计调査 题型二 频数与频率 题型三 频数分布直方图 题型四 数据的集中趋势 题型五 数据的波动程度 题型六 简单的概率计算 题型七 用列举法求概率 题型八 用频率估计概率 题型九 概率在转盘抽奖中的应用 题型十 概率在比赛中的应用 题型十一 游戏的公平性 题型十二 概率的其他应用 第一部分 精讲变式 融会贯通 【题型一 统计调査】 【典例精讲】（2026·江苏扬州·一模）中学生心理健康受到社会的广泛关注，为深入落实“健康第一”教育理念，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图． 根据图中信息回答下列问题： (1)接受问卷调查的学生共有________人，条形统计图中m的值________，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为________． (2)若该校共有学生1000人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为________人． (3)若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名男生的概率． 【答案】(1)80，16， (2)50 (3)恰好抽到2名男生的概率为． 【思路引导】（1）用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数减去其他项的人数，求出“了解很少”的人数；用乘以扇形统计图中“非常了解”部分所占的百分比即可； （2）用总人数1000乘以“不了解”的人数所占的百分比即可； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到2名男生的结果数，然后利用概率公式求解． 【规范解答】（1）解：接受问卷调查的学生共有（人）， （人）， 扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为； 故答案为：80，16，； （2）解：根据题意得： （人）， 答：估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为50人； （3）解：由题意列树状图： 由树状图可知，所有等可能的结果有12种，恰好抽到2名男生的结果有2种， ∴恰好抽到2名男生的概率为． 【变式训练1】（2026·江苏扬州·一模）双减政策实施后，某校为了解九年级学生每天的睡眠时间的情况，随机抽取了九年级部分学生进行调查．将调查数据分成五组：A组（小时），B组（小时），C组（小时），D组（小时），E组（小时）．整理后制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次共调查了______名学生，B组所对的扇形圆心角的度数为______°； (2)请补全条形统计图； (3)若该校九年级共有600名学生，请计算该校九年级学生中睡眠时间在8小时以上（含8小时）的学生约有多少人？ 【答案】(1)， (2)见解析 (3)人 【思路引导】（1）由E组的人数除以占比求解调查的学生数，再由乘以B组的占比求解圆心角度数； （2）用总人数减去A、B、D、E组的人数求出C组的人数，即可补全条形统计图； （3）用样本估计总体的方法求解即可． 【规范解答】（1）解：， ， ∴本次共调查了名学生，B组所对的扇形圆心角的度数为； （2）解：C组人数：（人）， 补全条形统计图为： （3）解：（人）， 答：该校九年级学生中睡眠时间在8小时以上（含8小时）的学生约有人． 【变式训练2】（2026·江苏扬州·一模）某市组织中学生无人机技能操作比赛，随机抽取部分比赛成绩（成绩为整数，用表示）作为样本进行整理，并绘制成统计图表，部分信息如下： 组别 成绩（） (1)图中___________； (2)扇形统计图中组所在的扇形的圆心角是___________． (3)已知该市共有名中学生参赛，比赛成绩分以上为“优秀”，根据样本数据估计该市获得“优秀”等级的参赛人数． 【答案】(1) (2) (3)人 【思路引导】（1）通过组频数和所占比例可求出样本总数，再用样本总数减去其他组的频数之和即可求出的值； （2）根据圆心角度数等于组频数占样本总数的比例乘以进行计算即可； （3）用总人数乘以组和组频数占样本总数的比例之和即可． 【规范解答】（1）解：样本总数为：， ； （2）解： 扇形统计图中组所在的扇形的圆心角为； （3）解：（人）， 即根据样本数据估计获得“优秀”等级的参赛人数为人． 【题型二 频数与频率】 【典例精讲】为庆祝2022年中国举办冬奥会，为让同学们更了解冬季运动，我校开展以学习“冬日运动”（A短道速滑、B花样滑冰、C跳台滑雪、D冰壶）为主题的书画展，为了解作品主题分布情况，在学生上交的作品中，随机抽取了50份进行统计，并根据调查统计结果绘制了同统计图表： 主题 频数 频率 A短道速滑 B花样滑冰 C跳台滑雪 D冰壶 合计 请结合上述信息完成下列问题： (1)　　　，　　　； (2)请补全条形统计图； (3)若该校共收到350份学生作品，请估计我校以“跳台滑雪”为作品主题的学生人数． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）用B主题的频数除以50可得的值；用1分别减去A，B，C主题的频率可得的值． （2）分别求出C，D主题的频数，补全条形统计图即可． （3）根据用样本估计总体，用乘以C主题的频率，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：，． （2）解：C主题的频数为，主题的频数为． 补全条形统计图如图所示． （3）解：． 估计我校以“跳台滑雪”为作品主题的学生人数为人． 【变式训练1】2021年体育中考前夕，我校为了了解男生的体育情况随机调查了九年级50名男生“1分钟跳绳”的次数，并将调查所得的数据整理如下： 1分钟跳绳次数的频数、频率分布表： 成绩段 频数 频率 5 10 a b m c 12 n 根据以上图表信息，解答下列问题： (1)表中的　 　，　 　； (2)请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应的数据）． (3)我校九年级共有600名男生，按当前情况请你估计我校九年级男生“1分钟跳绳”有多少人能达满分（次数次达满分）． 【答案】(1)，16 (2)见解析 (3)336人 【思路引导】本题主要考查了频数与频率分布表，频数分布直方图，用样本估计总体，正确读懂统计图与统计表是解题的关键． （1）根据频率等于频数除以总数可求出a、b的值，进而可求出m的值； （2）根据（1）所求补全统计图即可； （3）用600乘以样本中满分的人数占比即可得到答案． 【规范解答】（1）解：由题意得，，， ∴； （2）解：补全频数分布直方图如下： （3）解：人， ∴估计我校九年级男生“1分钟跳绳”有336人能达满分． 【变式训练2】（24-25九年级上·陕西西安·期中）九年级语文组举行诗歌朗诵比赛，24位参赛选手抽签决定比赛内容．在一个不透明的盒子里放有四张大小、形状及质地相同的卡片，卡片上分别写有A．《沁园春·雪》毛泽东，B．《七律·长征》毛泽东，C．《乡愁》余光中，D．《你是人间四月天》林徽因四首诗． (1)初赛时，每位选手随机抽取一张卡片，记录下内容后再放回．24次抽签中抽到毛泽东诗词的有10次．则抽到毛泽东诗词的频率是__________． (2)决赛时，小远和小航两名并列第一要赛出一个特等奖，为了避免内容重复，小远先从盒子中随机抽取一张卡片，小航再从余下的卡片中随机抽取一张，用列表法或树状图法求两人恰好都抽到毛泽东诗词的概率． 【答案】(1) (2)2 【思路引导】本题主要考查了频率和列表法与树状图法，利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率． （1）用抽到毛泽东诗词的次数除以总次数即可； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出两人都抽到毛泽东诗词的结果数，然后根据概率公式计算． 【规范解答】（1）解：（1）抽到毛泽东诗词的频率； 故答案为：； （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中两人都抽到毛泽东诗词的结果数为2， 所以两人恰好都抽到毛泽东诗词的概率． 【题型三 频数分布直方图】 【典例精讲】（2026·江苏盐城·一模）神舟二十二号飞船的成功发射，激发了某校学生对航天知识的浓厚兴趣．校团委为了解该校九年级学生对航天知识的掌握情况，随机抽取一部分学生进行航天知识测试（满分100分）． (1)【收集数据】下列抽样调查方式中最合适的是_____．（只填写序号） ①随机抽取九年级部分女生； ②随机抽取九年级一个班级学生； ③从九年级的每个班中随机抽取2名学生． (2)【整理并描述数据】校团委将所抽取学生的测试成绩整理后分成四组，并绘制成下面两幅不完整的统计图： 请补全频数分布直方图（写出计算过程）； (3)【应用数据】若测试成绩80分及以上为掌握情况较好，估计该校九年级840名学生中，航天知识掌握情况较好的人数． 【答案】(1)③； (2)见解析； (3)航天知识掌握情况较好的人数是名． 【思路引导】（1）根据抽样调查要具有广泛性、代表性判断即可； （2）结合频数分布直方图，扇形统计图，可求出样本容量，再计算即可； （3）根据用样本估计总体，先计算出样本中所占比，再乘总人数即可求解． 【规范解答】（1）解：根据抽样调查要具有广泛性、代表性，故抽样调查方式中最合适的是③； （2）解：（名）， （名）； （3）解：（名）， 答：航天知识掌握情况较好的人数是名． 【变式训练1】某学校初二和初三两个年级各有600名同学，为了科普卫生防疫知识，学校组织了一次在线知识竞赛，小宇分别从初二、初三两个年级随机抽取了40名同学的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．初二、初三年级学生知识竞赛成绩不完整的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）： b．初二年级学生知识竞赛成绩在这一组的数据如下： 80  80  81  83  83  84  84  85  86  87  88  89  89 c．初二、初三学生知识竞赛成绩的平均数、中位数、方差如下： 平均数 中位数 方差 初二年级 80.8 m 96.9 初三年级 80.6 86 153.3 根据以上信息，回答下列问题： (1)补全上面的知识竞赛成绩频数分布直方图； (2)写出表中m的值； (3)A同学看到上述的信息后，说自己的成绩能在本年级排在前，B同学看到A同学的成绩后说：“很遗憾，你的成绩在我们年级进不了前”．请判断A同学是 （填“初二”或“初三”）年级的学生，你判断的理由是 ． (4)若成绩在85分及以上为优秀，请估计初二年级竞赛成绩优秀的人数为 ． 【答案】(1)见解析 (2)80.5 (3)初二；初三年级中位数高，若A是初三年级学生，其成绩必定超过中位数，放在初二年级，成绩会更靠前，不符合题意 (4)225 【思路引导】（1）先根据总人数为40求出的人数，继而补全图形； （2）根据中位数的定义求解可得； （3）利用中位数的意义求解可得； （4）利用样本估计总体思想求解可得． 【规范解答】（1）解：初二年级成绩在的人数为：， 补全图形如下： （2）解：由题意知初二学生知识竞赛成绩的第20、21个数据为80、81， ∴中位数； （3）解：A同学是初二年级的学生， 理由：初三年级中位数高，若A是初三年级学生，其成绩必定超过中位数，放在初二年级，成绩会更靠前，不符合题意； （4）解：估计初二年级竞赛成绩优秀的人数为（人）． 【变式训练2】2025·江苏泰州·三模）洋思中学组织七、八年级学生去小南湖研学，并在小南湖开展了传统文化教育活动．活动结束后组织了一场传统文化知识竞赛，竞赛满分为100分．现随机抽取七、八年级各人的竞赛成绩，统计整理并绘制了如下不完整的统计图表： ①将抽查的两个年级成绩（用表示）进行整理，并将成绩分为4个等级： A．；    B．；C．；D．． ②八年级等级学生成绩为：82，86，86，84，86，84，86，89； 分析数据： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 80 79 45．7 八年级 85 86 32．9 根据以上信息解答下列问题： (1)题中_____，表格中_____； (2)若该校七年级有1000名学生，八年级有900名学生，请你估计该校七年级和八年级学生成绩达到等级及以上的学生人数共_____人； (3)请从平均数，中位数，众数，方差中任选两个统计量评价哪个年级传统文化知识掌握情况较好？ 【答案】(1)40；86 (2)710 (3)八年级的传统文化知识掌握情况较好，理由见解析 【思路引导】本题主要考查调查与统计的相关计算，掌握样本估算总体数量的计算方法，中位数，圆心角的计算，调查数据作决策的方法是关键． （1）根据八年级A组有16人，占比为，可得a的值，根据中位数的计算得到b的值，即可求解； （2）根据样本百分比估算总体数量的方法即可求解； （3）根据调查数据作决策即可． 【规范解答】（1）解：八年级A组有16人，占比为， ∴（人）， ∴七、八年级各抽取40人， ∴， ∵八年级A组有16人，B组有10人，C组有8人，D组有6人， ∴中位数在第20，21位同学成绩的平均数， ∵八年级B等级学生成绩从大到小排序为：89，86，86，86，86，84， 84，82， ∴； 故答案为：40；86； （2）解：（人）， ∴该校七年级和八年级学生成绩达到A等级及以上的学生人数共约710人， 故答案为：710； （3）解：八年级的传统文化知识掌握情况较好，理由如下， ∵七年级的中位数小于八年级的中位数，七年级的方差大于八年级的方差， ∴八年级中间部分比七年级中间部分多，八年级成绩比七年级成绩稳定， ∴八年级的传统文化知识掌握情况较好． 【题型四 数据的集中趋势】 【典例精讲】（2026·江苏扬州·一模）为了解某校学生视力状况，调查小组随机抽取了该校部分学生进行调查，列出如下不完整的统计表． 抽取的学生视力状况统计表 视力 视力 视力 视力 视力 健康状况组别 A：视力正常 B：轻度视力不良 C：中度视力不良 D：重度视力不良 人数 4 22 8 a 百分比 b (1) ， ； (2)抽样调查数据的中位数所在组别为 组；（填A、B、C或D） (3)已知该校共有800名学生，请估计该校“重度视力不良”学生的人数． 【答案】(1)6； (2)B (3)该校 “重度视力不良”学生的人数为120人． 【思路引导】（1）根据A组数据求出总人数，再根据人数求百分比或根据百分比求人数． （2）根据中位数的定义解答即可． （3）根据用样本估计总体的方法计算即可． 【规范解答】（1）解：总人数， 故，． （2）解：样本总人数为40人， 按视力从高到低排序，中位数应为第20位和第21位数据的平均数，A组有4人，A组和B组共有人，所以第20位和第21位数据均落在B组，故中位数所在组别为B组． （3）解：（人）， ∴该校 “重度视力不良”学生的人数为120人． 【变式训练1】（2026·江苏连云港·一模）2026年3月，全国两会在北京顺利召开，意义非凡．为了解学生对两会精神的知晓程度，某校从九年级，两个班中各随机抽查了名学生进行两会知识测试，分别对学生的测试成绩（满分为分）进行收集、整理和分析（测试成绩用表示，都为整数，结果分为四个类型：为不了解；为比较了解；为了解；为非常了解）． 【收集数据】抽取的班学生对于两会精神“了解”的测试成绩为，，，，，； 抽取的班学生的测试成绩为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 【整理数据】，两班的数据整理如下： 【分析数据】，两班的平均数、中位数、众数和方差如表所示； 平均数 中位数 众数 方差 班 班 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：____，_____，请补全条形统计图； (2)假设这两个班共有学生人，请估计这两班在这次测试中成绩为“了解”的学生人数； (3)从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，对，两个班成绩进行简要评价． 【答案】(1)，，图见解析 (2)人 (3)见解析 【思路引导】（1）根据中位数、众数定义求解即可； （2）根据样本估计总体进行计算即可； （3）根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行解答即可； 【规范解答】（1）解：班不了解人数为人，比较了解人数为人，了解共人，故非常了解共人， 将成绩按从小到大排序，可知中位数位于第、之间， 故， 由B班成绩，可得， 补全条形图如下： （2）解：人， 故成绩为“了解”的学生人数约为人； （3）解：从平均数看，，两班学生测试成绩的平均水平一样； 从中位数看，班学生测试成绩的中位数低于班学生测试成绩的中位数，说明班的整体水平好一些； 从众数看，班学生测试成绩的众数低于班学生测试成绩的众数，说明班学生测试成绩的高分集中趋势高一些； 从方差看，班学生测试成绩的方差低于班学生测试成绩的方差，说明班学生测试成绩的波动小一些． 【变式训练2】（2026·江苏无锡·一模）近年来，教育部多次强调将“健康第一”的理念落在实处，聚焦体育锻炼、心理健康、近视防控等领域．为了解九年级学生近视率，某校在九年级随机抽取了部分学生进行了视力调查，并将调查所得数据整理、绘制成两张如图所示的不完整的统计表和统计图，根据信息回答下列问题： 九年级部分学生视力频数分布表 分组 视力 频数 A B C D E (1)本次调查的样本容量是______，B组视力在扇形统计图中对应的圆心角为______； (2)此次抽样调查中，视力的中位数落在______组； (3)自月日起实施的《儿童青少年裸眼视力和屈光状态评价规范》规定：裸眼视力大于为视力正常．已知该校九年级共有名学生，请根据样本情况估计全校九年级学生中视力正常的人数． 【答案】(1)； (2) (3)人 【思路引导】（1）利用组频数及所占百分比求样本容量；用频数除以样本容量再乘以即可求解； （2）按照中位数的求法求解即可； （3）利用样本估计总体即可. 【规范解答】（1）解：∵；， ∴样本容量是；组视力在扇形统计图中对应的圆心角为； （2）解：∵， 由表格可知，数据由小到大频数分别是，第个数在组， ∴视力的中位数落在组； （3）解：∵， ∴， ∴估计全校九年级学生中视力正常的人数为人. 【题型五 数据的波动程度】 【典例精讲】（2026·江苏无锡·模拟预测）某数学兴趣小组对九年级（）班的学生的视力进行了调查，统计数据如图所示．请根据表格提示，完成数据的统计与分析．表格第列的数据是班里组的视力情况． (1)根据表中数据，补全条形统计图； (2)扇形统计图中，视力在及以上区域所占圆心角约为_______（保留位有效数字）：各组中极差最大的组是________；前三组中视力标准差最大的组为_______； (3)某同学经常熬夜打游戏，结合数据与两幅统计图，从熬夜、打游戏的危害与戴眼镜的不便等角度，对他进行合理劝说． 【答案】(1)图见解析 (2)；第组和第组；第组 (3)见解析 【思路引导】（）统计表格中各视力分组的人数，确定总人数，补全条形统计图； （）及以上区域的圆心角，所以用该分组的占比乘以；因为要找极差最大的组，所以分别计算每组的最大值与最小值的差再比较；因为要找前三组中标准差最大的组，所以根据标准差反映数据离散程度的性质，判断数据波动最大的组； （）对于劝说内容，因为要结合数据，所以从统计出的视力不良人数占比、视力差的影响等角度组织语言． 【规范解答】（1）解：统计各视力段的人数： ，共 人 ； ，共人 ； 根据人数补全条形统计图： ：对应高度格 ； ：对应高度格；如图： （2）解：总共有名学生， 及以上共人， ∴视力在及以上区域所占圆心角约为：， 各组中的极差是： 第组：； 第组：； 第组： ； 第组：； 第组：； 第组：； 第组：； ∵； ∴各组中极差最大的组是：第组和第组： 第组数据： ， 和是， 平均数 ， 方差：， 第组数据：， 和：， 平均数， 方差：， 第组数据：， 和：， 平均数， 方差：， 方差越大标准差越大， ∵， ∴前三组中标准差最大的是第组； （3）同学，从统计结果能看出来，咱们班九成同学视力都不到，大多和不良用眼习惯有关．长期熬夜打游戏非常损伤视力，一旦视力下降变成近视，日常运动、生活都会很不方便，戴眼镜也会带来很多额外的不便，还会影响未来的升学和职业选择；所以一定要控制打游戏的时间，早睡作息规律，好好保护自己的视力呀！ 【变式训练1】（25-26八年级上·四川成都·期末）为迎接中考体育测试，某校九年级学生共进行了五次体育模拟测试、小明根据甲同学的五次测试成绩绘制了统计表，并给出了乙同学五次测试成绩的方差的计算过程． 甲同学五次体育模拟测试成绩统计表 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 成绩（分） 65 69 67 69 70 小明将乙同学五次模拟测试成绩直接代入方差公式，计算过程如下： ． 根据上述信息，完成下列问题： (1)甲同学五次测试成绩的众数为________分，中位数为________分； (2)根据甲、乙两位同学这五次模拟测试成绩的平均数和方差分析，你认为谁的体育成绩更好？并说明理由； (3)如果甲再测试1次，第六次模拟测试成绩为68分，与前5次相比，甲6次模拟测试成绩的方差________．（填“变大”“变小”或“不变”） 【答案】(1)69，69 (2)乙的体育成绩更好，理由见解析 (3)变小 【思路引导】本题考查平均数、众数、中位数、方差，解题的关键是牢记方差和平均数定义及计算公式． （1）根据众数和中位数的定义即可解答； （2）利用平均数和方差作比较可得结论； （3）求出甲6次模拟测试成绩的方差，然后与前5次模拟测试成绩的方差作比较即可； 【规范解答】（1）解：甲同学的成绩为 65、69、67、69、70，其中69出现了2次，次数最多， ∴众数为69分． 将成绩从小到大排列为 65、67、69、69、70，中间的数是 69， ∴中位数为69分． 故答案为：69，69； （2）甲的平均成绩：分 从乙的方差计算过程可知，乙的平均成绩 分． 两人平均数相同． 乙的方差 ． 乙的体育成绩更好．因为两人平均成绩相同，但乙的方差更小， ∴乙的成绩更稳定． （3）第六次成绩为 68 分，与平均数相同．加入该成绩后，平均数仍然为68 ， 原来5次的方差是 ， ∵， ∴方差确实变小了 故答案为：变小． 【变式训练2】（2025·江苏淮安·二模）快递业为商品走进千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送速度、服务、收费和投递范围等方面各具优势．网店店主小刘打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小刘收集了10家网店店主对两家快递公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： ①配送速度得分（满分分）： 甲：；乙：． ②服务质量得分统计图（满分分）： ③配送速度和服务质量得分统计表： 快递公司统计量 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：_________，_________，比较大小：________（填“”“”或“”）； (2)综合上表中的统计量，你认为小刘应选择哪家公司？请说明理由． 【答案】(1)，， (2)小刘应选择甲公司，理由见解析 【思路引导】（）根据中位数、众数的定义及方差的意义解答即可； （）根据平均数、中位数、众数及方差的意义判断即可； 本题考查了平均数、中位数、众数及方差，掌握平均数、中位数、众数及方差的意义是解题的关键． 【规范解答】（1）解：甲的配送速度得分由低到高排序为：，，，，，，，，，， ∴中位数， ∵分出现的次数最多， ∴众数， 由折线统计图可知，甲的服务质量得分分布于，乙的服务质量得分分布于，甲的数据波动更小，数据更稳定， ∴， 故答案为：，，； （2）解：小刘应选择甲公司，理由如下： 配送速度方面，甲乙两公司的平均分相同，中位数相同，但甲的众数高于乙公司，这说明甲在配送速度方面可能比乙公司表现的更好；服务质量方面，二者的平均相同，但甲的方差明显小于乙，说甲的服务质量更稳定，因此应该选择甲公司． 【题型六 简单的概率计算】 【典例精讲】（2026·江苏无锡·二模）某班举行诗词朗诵大赛，每位参赛人员需要在：A．《将进酒》、B．《夜雨寄北》、C．《念奴娇·赤壁怀古》这三首古诗词中随机选择一首进行朗诵（A、B为唐诗，C为宋词）．该班的小明和小雪参加了此次大赛． (1)小明选择C．《念奴娇·赤壁怀古》的概率是________； (2)请用列表或画树状图的方法，求两人之间只有一人选择唐诗的概率． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）利用概率公式，直接计算随机事件的概率即可； （2）用画树状图列举出所有等可能的结果，数出符合“只有一人选择唐诗”的结果数，再利用概率公式计算即可； 【规范解答】（1）解：根据题意，共有3种等可能的选择结果，其中小明选择C．《念奴娇·赤壁怀古》的结果有1种， 因此小明选择C．《念奴娇·赤壁怀古》的概率是； （2）解：根据题意画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两人之间只有一人选择唐诗的结果有4种， 因此两人之间只有一人选择唐诗的概率为． 【变式训练1】（2026·江苏苏州·一模）为全面落实素质教育，某校积极开展校本课程建设．教务处需要对某天下午的三节校本课程进行安排，已知三节不同的课程分别是本土人物传记、丝绸制作和昆曲学习，每节课只安排一门课程且不重复，根据以上信息回答下列问题． (1)第一节是昆曲学习课的概率为__________；（请直接写出结果） (2)请用画树状图的方法，求第二节为丝绸制作课且第三节为本土人物传记课的概率． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）由概率公式直接求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【规范解答】（1）解：∵三节不同的课程分别是本土人物传记、丝绸制作和昆曲学习，每节课只安排一门课程且不重复， ∴第一节是昆曲学习课的概率为； （2）解：设本土人物传记、丝绸制作和昆曲学习分别为A、B、C表示， 则画树状图为： 共6种情况， 其中第二节为丝绸制作课且第三节为本土人物传记课的只有1种情况， 故第二节为丝绸制作课且第三节为本土人物传记课的概率为． 【变式训练2】一个不透明的口袋中有个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数-1，2，-3，4． （1）摇匀后任意摸出个球，则摸出的乒乓球球面上的数是正数的概率为 _； （2）摇匀后先从中任意摸出个球(不放回)，记下数字作为平面直角坐标系内点的横坐标：再从余下的个球中任意摸出个球，记下数字作为点的纵坐标，用列表或画树状图的方法求：两次摸球后得到的点恰好在函数图像上的概率． 【答案】（1）；（2）两次摸球后得到的点恰好在函数图像的概率为 【思路引导】（1）直接利用概率公式计算； （2）利用列表法，展示所有12种等可能的结果数，找出两次摸球后得到的点恰好在函数图像上的结果数，然后根据公式求解． 【规范解答】解：（1）摸出的乒乓球球面上的数是正数的概率为：； 故答案为：； 用列表法表示为： 点的坐标 ∴共有种等可能的结果，其中两次摸球后得到的点恰好在函数图像的有种， 设事件“两次摸球后得到的点恰好在函数图像”记为“事件”， 则； 答：两次摸球后得到的点恰好在函数图像的概率为； 【考点剖析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率． 【题型七 用列举法求概率】 【典例精讲】（2026·江苏泰州·模拟预测）为丰富校园生活，学校举办“经典咏流传”朗诵比赛，内容分为：A．唐诗、B．宋词、C．元曲． (1)小华从三个项目中随机抽取一个朗诵，求恰好抽中“宋词”的概率； (2)若小敏和小杰两人采用抽签方式，每人从三个项目中随机抽取一个，且两人抽取的项目不能相同．请用列表或树状图法，求小敏抽中“唐诗”且小杰抽中“元曲”的概率． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据列举法求概率求解即可； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出小敏和小杰都没有抽到“元曲”的结果数，然后根据概率公式求解． 【规范解答】（1）解：随机抽取一个朗诵的结果：A．唐诗、B．宋词、C．元曲，总共有3种等可能的结果，抽中“宋词”的情况有1种，故（抽中宋词）； （2）解：画树状图如下： 共6种等可能性的结果，其中小敏抽中唐诗、小杰抽中元曲的情况有1种，故（小敏抽唐诗且小杰抽元曲）． 【变式训练1】（2026·江苏苏州·一模）苏州博物馆推出“非遗体验日”活动，设置了三项代表性体验项目：A．宋锦织造技艺，B．香山帮传统建筑营造技艺，C．苏州缂丝织造技艺．甲、乙两名中学生各自独立地从三项活动中随机选择一项参与体验． (1)甲同学选择A项目（宋锦织造技艺）的概率为__________； (2)请运用画树状图或列表的方法，求甲、乙两名同学选择项目恰好包含B项目（香山帮传统建筑营造技艺）但不包含C项目（苏州缂丝织造技艺）的概率． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）列表得到所有的等可能的结果，再找出符合条件的结果，再利用概率公式求解即可． 【规范解答】（1）解：项目数为3项（A、B、C），A项目（宋锦织造技艺）是其中1项，故他恰好选中A项目（宋锦织造技艺）的概率为． （2）解：采用列表法（甲先选，乙后选，有放回）： 甲乙 A B C A AA AB AC B BA BB BC C CA CB CC 所有可能的结果共种且每种结果的可能性相同，甲、乙两名同学选择项目恰好包含B项目（香山帮传统建筑营造技艺）但不包含C项目（苏州缂丝织造技艺）的结果有3种，概率为． 【变式训练2】（2023·江苏泰州·二模）某村深入贯彻落实习近平新时代中国特色社会主义思想，认真践行“绿水青山就是金山银山”理念．在外打工的王大叔返回江南创业，承包了四座荒山，各栽100棵小枣树，发现成活率均为97%，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他任意选了两座山（记作甲山、乙山），从两山上随意各采摘了4棵树上的小枣，每棵的产量如折线统计图所示． (1)直接写出甲山4棵小枣树产量的中位数； (2)分别计算甲、乙两座山小枣样本的平均数，并判断哪座山的样本的产量高； (3)用样本平均数估计四座荒山小枣的产量总和； (4)用树状图或表格分析王大叔选中甲、乙两座山的概率． 【答案】(1)38千克 (2)甲座山小枣样本的平均数为40千克，乙座山小枣样本的平均数为40千克，甲、乙两座山的样本的产量一样高 (3)15520千克 (4) 【思路引导】（1）根据中位数的定义求解可得． （2）根据平均数的定义分别计算出甲、乙两座山样本的产量，据此可得． （3）用平均数乘枣树的棵树，求得四座山的产量和，再乘成活率即可． （4）用表格或树状图列出所有可能的结果，然后用概率公式即可求得． 【规范解答】（1）解：因为甲山4棵小枣树产量分别为34千克、36千克、40千克、50千克， 所以甲山4棵小枣树产量的中位数为（千克）． 故答案为：38千克． （2）解：因为（千克）， （千克）， 所以， 所以甲、乙两座山的样本的产量一样高． 答：甲座山小枣样本的平均数为40千克，乙座山小枣样本的平均数为40千克，甲、乙两座山的样本的产量一样高． （3）四座山的小枣树的总产量为：（千克）． 答：用样本平均数估计四座荒山小枣的产量总和为15520千克． （4）将这四座山分别记作甲山、乙山、丙山、丁山，列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲乙 甲丙 甲丁 乙 乙甲 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 由上表可知，共有12种等可能的结果，其中选中甲、乙两座山的结果数为2种， 所以王大叔选中甲、乙两座山的概率为． 【考点剖析】本题考查了统计与概率，涉及折线统计图、平均数、中位数、用样本平均数估计总体、画树状图或列表求简单事件的概率等，解题的关键是根据折线统计图得出正确的信息． 【题型八 用频率估计概率】 【典例精讲】（2025·江苏无锡·模拟预测）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)请估计：当 很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到 ）； (2)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？ (3)在（）的条件下，若从中先摸出一只球，不放回，再摸出一只球，请用列表或树状图的方法求两次都摸到白球的概率． 【答案】(1) (2)口袋中黑色的球只，白色的球有只 (3)两次都摸到白球的概率为 【思路引导】本题考查了频率估计概率，画树状图或列表法求概率，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据表中的数据，估计出摸到白球的频率； （）通过摸到白球的频率即可求出摸到白球和黑球的概率，然后通过口袋中黑、白两种颜色的球的概率即可求出口袋中黑、白两种颜色的球； （）画出树状图，一共有种等可能结果，两次都摸到白球的情况有种结果，然后利用概率公式即可求解． 【规范解答】（1）解：根据题意可得当很大时，摸到白球的频率将会接近， 故答案为：； （2）解：∵当很大时，摸到白球的频率将会接近， ∴摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是， ∴口袋中有白球（只），黑球（只）， 答：口袋中黑色的球只，白色的球有只； （3）解：画树状图如图， 一共有种等可能结果，两次都摸到白球的情况有种结果， ∴两次都摸到白球的概率为． 【变式训练1】（2025·云南昆明·一模）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某数学学习兴趣小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667 摸到白球的频率 (1)该数学学习兴趣小组在实验过程中发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______精确到，由此可估计出红球有______个． (2)现从该袋子中一次摸出2个球，请用列表法或画树状图法中的一种方法，求恰好摸到2个红球的概率． 【答案】(1)、2； (2)树状图见解析， 【思路引导】本题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）利用频率估计概率求解即可； （2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【规范解答】（1）解：该数学学习兴趣小组在实验过程中发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是，由此可估计出红球有（个）， 故答案为：、2； （2）解：根据题意画树状图如下： 由树状图知，共有6种等可能结果，其中摸到2个红球的有2种结果， 个球都是红球的概率为 【变式训练2】一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小明每次从袋子中摸出一个球，记录下颜色，然后放回，重复这样的试验1000次，记录结果如下： 实验次数 200 300 400 500 600 700 800 1000 摸到红球次数 151 221 289 358 429 497 571 702 摸到红球频率 0.75 0.74 0.72 0.72 0.72 0.71 (1)表格中__________，__________．（精确到0.01） (2)估计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为__________；（精确到0.1） (3)如果袋子中有28个红球，4个白球，若干黄球，估计袋子中黄球的个数和摸到黄球的概率？ 【答案】(1)； (2) (3)黄球有8个， 【思路引导】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．也考查了概率的计算． （1）用摸到红球的次数除以试验次数即可求出摸到红球的频率； （2）找到多次试验频率逐渐稳定到的常数即可求得概率； （3）根据题意列出方程求求出黄球的个数，再根据概率公式求概率即可． 【规范解答】（1）解：； ； 故答案为：；； （2）解：观察发现随着实验次数的增多，摸到红球的频率逐渐稳定在常数附近， 所以计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为， 故答案为：； （3）解：设袋子中有黄球x个， 根据题意得， ， 解得， ∴黄球有8个， ∴摸到黄球的概率为． 【题型九 概率在转盘抽奖中的应用】 【典例精讲】一款游戏的规则如下：如图①为游戏棋盘，从起点到终点共7步；如图②是一个被分成4个大小相等的扇形的转盘，转动转盘，待转盘自动停止后，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止），每次棋子按照指针所指的数字前进相应的步数，若棋子最终能恰好落在终点的视为通过游戏，棋子从起点前进2步到达B，第二次转动转盘指针所指数字为3，…，直到棋子到达终点或超过终点停止． （1）转动转盘一次，求转盘停止后指针指向4的概率； （2）请用列表或画树状图法，求转动转盘两次能通过游戏的概率． 【答案】（1）P（指针指向4）＝；（2）P（转动转盘两次能通过游戏）＝． 【思路引导】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可得出答案． 【规范解答】（1）∵转盘被分成4个大小相等的扇形， ∴P（指针指向4）＝． （2）列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 通过游戏是恰好到达终点即两次指针所指扇形区域数字之和为7， 由表可得共有16种等可能的结果，其中和为7的结果有2种， ∴P（转动转盘两次能通过游戏）＝． 【考点剖析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，进而求出概率． 【变式训练1】小明参加了一个抽奖游戏：一个不透明的布袋里装有1个红球，2个蓝球，4个黄球，8个白球，这些小球除颜色外完全相同．从布袋里摸出1球，摸到红球、蓝球、黄球、白球可分别得到奖金30元、20元、5元和0元，则小明摸一次球得到的平均收益是________元． 【答案】6 【思路引导】求出任摸一球，摸到红球、黄球、绿球和白球的概率，那么获奖的平均收益可以用加权平均数的方法求得． 【规范解答】解： =2+4 =6（元） 故答案为6 【考点剖析】此题主要考查了考查概率的计算和加权平均数的计算方法，理解获奖平均收益实际就是求各种奖项的加权平均数． 【变式训练2】某化妆品专卖店，为了吸引顾客，在“母亲节”当天举办了某种品牌化妆品有奖酬宾活动，凡购物满188元者，有两种奖励方案供选择：第一种方案是直接获得18元的礼金券，第二种方案是得到一次摇奖的机会．已知在摇奖机内装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，摇奖者必须从摇奖机内一次连续摇出两个球，根据球的颜色决定送礼金券的多少（如表） 某种品牌化妆品 球 两红 一红一白 两白 礼金券（元） 12 24 12 (1)请你用列表法（或画树状图法）求一次连续摇出一红一白两球的概率． (2)如果一名顾客当天在本店购物满188元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠． 【答案】(1) (2)选择摇奖 【思路引导】（1）将球的颜色编号，列树状图时相当于第一个球抽完不放回，两次抽完共有12种等可能结果，看一红一白的结果有多少种，利用概率公式求出概率即可； （2）根据概率计算出摇奖的平均收益，与直接得奖券的收益比较大小即可得． 【规范解答】（1）解：树状图为： ∴一共有12种情况，摇出一红一白的情况共有8种， ∴摇出一红一白的概率==； （2）∵两红的概率P=，两白的概率P=，一红一白的概率P=， ∴摇奖的平均收益是：×12+×24+×12=20元． ∵20＞18， ∴我选择摇奖. 【考点剖析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【题型十 概率在比赛中的应用】 【典例精讲】48．（2026·河北廊坊·一模）某市端午赛龙舟，“追风”与“破浪”两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟，同规格较量，“追风”队皆占优．但“破浪”队的快速舟可胜“追风”队的中速舟，中速舟可胜“追风”队的慢速舟．若“追风”队按快、中、慢顺序固定出场，“破浪”队随机安排顺序．则“破浪”队获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】先列出“破浪”队所有等可能的出场顺序，找出满足“破浪”队获胜的情况，再根据概率公式计算概率，即可得到答案． 【规范解答】解：∵“追风”队出场顺序固定为快，中，慢，设“破浪”队的三种龙舟为快，中，慢，对“破浪”队的出场顺序进行列举，所有等可能的结果共6种，分别为：快中慢，快慢中，中快慢，中慢快，慢快中，慢中快． 根据比赛规则，“破浪”队要获得三局两胜，仅有一种出场顺序满足获胜条件，即：“破浪”队慢对“追风”队快（输一局），快对“追风”队中（赢一局），中对“追风”队慢（赢一局）． ∴“破浪”队获胜的概率为 ． 【变式训练1】在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字，乙口袋中的小球上分别标有数字，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n． (1)请用列表或画树状图的方法表示出所有可能的结果； (2)若m，n都是方程的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)小明获胜的概率大，理由见解析 【思路引导】本题考查了列表法与树状图法、一元二次方程的解法以及概率公式；画出树状图是解题的关键． （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果； （2）画树状图展示所有种等可能的结果数，m，n都是方程的解的结果有4个，m，n都不是方程的解的结果有2个，然后根据概率公式求解． 【规范解答】（1）解：树状图如图所示： 所有可能的结果有 共种结果； （2）小明获胜的概率大， 理由：∵m，n都是方程的解， ∴，或， 由树状图得：共有个等可能的结果，m，n都是方程的解的结果有4个（包括和两种情况），m，n都不是方程的解的结果有2个（包括与）， 小明获胜的概率为，小利获胜的概率为， ∴小明获胜的概率大． 【变式训练2】（23-24九年级上·福建泉州·期末）贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）本题考查了概率的计算，逐局分析胜负计算概率即可解题． （2）本题考查了用列举法求概率，考虑前4局中乙恰好当1次裁判出现的局数，逐一计算概率，即可解题． 【规范解答】（1）解：要第4局甲当裁判，则第3局甲输， 第1局甲当裁判， 第2局甲为选手， 每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判， 第2局甲获胜， 第4局甲当裁判的概率； （2）解：第1局甲当裁判， 乙恰好当1次裁判出现在第2、3、4局， 当在第2局时的概率， 当在第3局时的概率， 当在第4局时的概率， 乙恰好当1次裁判的概率． 【题型十一 游戏的公平性】 【典例精讲】（24-25九年级上·全国·期末）如图是两个可以自由转动的转盘，转盘A中数字1所在扇形区域的圆心角为90°，转盘B被分成面积相等的三个扇形．游戏规则：依次转动转盘A，B，当转盘停止后，若指针指向的两个区域的数字之和大于5，则甲获胜；否则乙获胜．(如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘) (1)转动转盘B，指针指向的数字为3的概率是 ； (2)这个游戏公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，见解析 【思路引导】本题考查了概率的定义，概率的统计方式，概率的计算公式，掌握概率的定义是解题的关键． （1）先求出盘的数字3扇形区域的圆心角，再利用概率公式即可解答； （2）先用列表法求出所有可能的结果及甲、乙获胜的概率即可解答． 【规范解答】（1）解：转盘被分成面积相等的三个扇形，盘中数字3所对扇形区域的圆心角为， 盘中数字3所对扇形区域占整体的， ∴转动转盘B，指向的数字为3的概率是， 故答案为：； （2）解：不公平 如图，将盘4等分，这样才是指向每个区域的可能性均等，用列表法表示所有等可能出现的结果如下： 这样指向每个区域的可能性相同 列表得 AB 1 2 2 2 3 4 5 5 5 4 5 6 6 6 5 6 7 7 7 共有12种等可能结果，其中指针指向的两个区域的数字之和大于5，即甲获胜的有7种， ∴， 所以游戏不公平． 【变式训练1】（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）一个不透明的口袋中装有4个分别标有数字，，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同．小红先从口袋中随机摸出一个小球记下数字为；小颖在剩下的3个小球中随机摸出一个小球记下数字为． (1)请用列表法或画树状图的方法表示出由，确定的点所有可能的结果； (2)若规定：点在第一象限或第三象限小红获胜；点在第二象限或第四象限则小颖获胜．这个游戏是否公平，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)这个游戏不公平，理由见详解 【思路引导】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率． （1）通过列表展示所有12种等可能性的结果数； （2）找出在第一象限或第三象限的结果数和第二象限或第四象限的结果数，然后根据概率公式计算两人获胜的概率． 【规范解答】（1）列表如下： 3 4 3 4 （2）从上面的表格可以看出，所有可能出现的结果共有12种，且每种结果出现的可能性相同， 其中点在第一象限或第三象限的结果有4种， 第二象限或第四象限的结果有8种， 所以小红获胜的概率， 小颖获胜的概率， ∵ 这个游戏不公平． 【变式训练2】（2024·江苏宿迁·模拟预测）有两个可以自由转动的均匀转盘A，B．转盘A被平均分成4等份，分别标上，2，6，8四个数字；转盘B被平均分成3等份，分别标上，，3三个数字．自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字（指向分界线时重新转），把A转盘指的数字作为被除数，B转盘指针指的数字作为除数，计算这两个数的商．小贝和小晶用以上两个转盘做游戏，规则是：若这两数的商为负整数，则小贝赢；若这两个数的商为正数，则小晶赢．你认为该游戏公平吗？请你用画树状图或列表的方法，说明是否公平；如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平． 【答案】树状图或列表见解析，不公平．改成：若这两数的商为负整数，则小贝赢；否则小晶赢．（改的公平即可）． 【思路引导】本题考查的是游戏的公平性问题，利用列表法与画树状图的方法求解随机事件的概率，先列表得到所有的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可； 【规范解答】解：画树状图如下： 共有12种等可能事件，小贝赢即商是负整数的有6种等可能结果，小晶赢所即商为正数有5种等可能结果； 所以：，， 所以， 所以游戏不公平． 修改规则如下：若这两数的商为负整数，则小贝赢；否则小晶赢． 【题型十二 概率的其他应用】 【典例精讲】疫情防控期间，任何人进入校园都必须测量体温，体温正常方可进校．现在学校需在东门、南门和西门分别增加一人测温，甲、乙、丙三人被随机增派到三个校门测温．小明每天走东门进校，小丽每天走西门进校．请用所学概率知识解决下列问题： （1）写出甲、乙、丙被分配到三个校门测温的所有可能结果； （2）小明、小丽两人中，进校时谁遇到甲的可能性大？请说明理由． 【答案】（1）有6种，见解析；（2）一样大，见解析． 【思路引导】（1）画树状图，计算判断；（2）计算各自的概率，比较大小判断即可． 【规范解答】解：（1）画树状图如图： 共有6个等可能的结果； （2）小明、小丽两人中，进校时遇到甲的可能性一样大，理由如下： 由（1）可知，共有6个等可能的结果，其中甲分配在东门的结果有2个，甲分配在西门的结果有2个， ∴小明进校时谁遇到甲的概率为， 小丽进校时谁遇到甲的概率为， ∴小明、小丽两人中，进校时遇到甲的可能性一样大． 【考点剖析】本题考查了画树状图确定等可能性，判断游戏的公平性，准确画树状图，并用概率公式计算事件的概率是解题的关键． 【变式训练1】小明周末来到公园，发现在公园一角有一种“守株待兔”游戏．游戏设计者提供了一只兔子和一个有、、、、五个出入口的兔笼，而且笼内的兔子从每个出入口走出兔笼的机会是均等的．规定：①玩家只能将小兔从、两个出入口放入，②如果小兔进入笼子后选择从或进入的出入口离开，则可获得一只价值元小兔玩具，并且每玩一次需付费元． (1)请用表格或树状图求小明玩一次“守株待兔”游戏能得到小兔玩具的概率； (2)假设有人次玩此游戏，估计游戏设计者可赚多少元？ 【答案】(1) (2)估计游戏设计者可赚元 【思路引导】（1）通过画树状图列出所有等可能的结果，再找出符合“①玩家只能将小兔从、两个出入口放入，②如果小兔进入笼子后选择从或进入的出入口离开”的结果数，根据概率公式计算得到小兔玩具的概率． （2）先计算每人次游戏设计者的收益，再结合人次的总参与量，用总收费减去总赔付金额，得到设计者的总盈利． 【规范解答】（1）解：画树状图为 共有10种等可能的结果数，其中符合“①玩家只能将小兔从、两个出入口放入，②如果小兔进入笼子后选择从或进入的出入口离开”的结果数为4， 所以小明玩一次“守株待兔”游戏能得到小兔玩具的概率； （2）解：（元）， 所以估计游戏设计者可赚1000元． 【变式训练2】某校为了解学生“自主学习、合作交流”的情况，对某班部分同学进行了一段时间的跟踪调查，将调查结果(A:特别好;B:好;C:一般;D:较差)绘制成以下两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图; (2)扇形统计图中，D类所占圆心角为 ; (3)学校想从被调查的A类(1名男生、2名女生)和D类(男、女生各占一半)中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求所选的两位同学恰好是一男一女的概率. 【答案】(1)补图见解析；(2)36°；(3). 【思路引导】（1）由条形统计图与扇形统计图，可求得C，D的人数，继而补全统计图； （2）可求出D所占百分比，进而求得扇形统计图中，D类所占圆心角； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选的两位同学恰好是男一女的情况再利用概率公式即可求得答. 【规范解答】解：(1)补全条形统计图: (2)36°; (3)树状图如下： 所选的两位同学恰好是一男一女的概率为. 【考点剖析】本题考点是条形统计图、扇形统计图以及用列表法与树状图法求概率，熟练掌握知识点，并会灵活运用是解题的关键. 第二部分 分层训练 实战攻坚 『基础能力提升』 1．（25-26九年级下·江苏无锡·期中）已知一组数据：5，4，3，4，6，8，则这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．4，4 B．5，4 C．4， D．4，5 【答案】C 【思路引导】先确定出现次数最多的数得到众数，再将数据排序后计算中间位置的中位数即可． 【规范解答】解：∵这组数据为5，4，3，4，6，8，其中4出现的次数最多，为2次，其余数各出现1次， ∴这组数据的众数为4， 将这组数据从小到大排列为：3，4，4，5，6，8，共6个数据，最中间的两个数为4和5， ∴中位数为 . ∴这组数据的众数和中位数分别是4，． 2．（2026·江苏泰州·一模）小华五次“50米跑”成绩的平均数与方差分别为（单位：s）和（单位：），为了提高成绩，小华进行了训练，两个月后小华再次进行了五次“50米跑”测试，发现比原来更快更稳定了，则训练后成绩的平均数（单位：s）与方差（单位：）可能是（    ） A．， B．， C．，1.4 D．，1.4 【答案】A 【思路引导】根据“更快”“更稳定”的含义，分别判断平均数和方差的范围，得到符合条件的选项，50米跑用时越短说明速度越快，方差越小说明成绩越稳定。 【规范解答】解：训练后成绩比原来更快，米跑平均用时越短代表速度越快，原平均用时为 训练后平均数 ，排除B，D选项， 训练后成绩比原来更稳定，方差越小代表数据越稳定，原方差为， 训练后方差 ，排除C选项， 符合条件的是A选项． 3．（2026·江苏扬州·一模）下列说法不正确的是（   ） A．调查一批电池的使用寿命，适宜采用普查的方式 B．经过一个路口时，遇到绿灯是随机事件 C．了解手机已用存储空间占总内存空间的百分比，适宜采用扇形统计图 D．若甲组数据的方差大于乙组数据的方差，则乙组数据更稳定 【答案】A 【思路引导】根据调查方式选择、随机事件定义、统计图应用、方差的性质，逐项判断． 【规范解答】解：A、∵调查电池使用寿命具有破坏性，不适合采用普查，应当采用抽样调查， ∴选项A说法错误； B、∵遇到红灯或绿灯是不确定的，遇到绿灯可能发生也可能不发生，符合随机事件定义， ∴选项B说法正确； C、∵扇形统计图的特点是可以清晰反映各部分占总体的百分比， ∴了解已用存储空间占总内存空间的百分比适合用扇形统计图，选项C说法正确； D、∵方差越大，数据波动越大，稳定性越差， ∴甲组方差大于乙组方差时，乙组数据更稳定，选项D说法正确． 4．（2026·江苏常州·一模）小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机地停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______． 【答案】 【思路引导】本题考查几何概率的求法. 首先根据图形确定方砖的总数量，然后确定阴影方砖的数量，最后利用概率公式进行计算即可． 【规范解答】解：观察图形可知，地板被平均分成了块方砖，其中阴影方砖有3块. 因为方砖的形状和大小都是一样的，所以小球停留在每块方砖上的可能性相同. 所以小球最终停留在阴影区域的概率是． 5．（22-23九年级上·四川资阳·期末）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的红色和白色球共6个，现从袋子中取出1个球，记下球的颜色后放回，通过大量的重复抽取发现，抽到红色球的次数约为总抽取次数的，则袋子中红色球有______个． 【答案】2 【思路引导】根据大量重复试验中频率稳定于概率，得到抽到红色球的概率为，再结合概率公式列方程求解即可． 【规范解答】解：设袋子中红色球有个． ∵大量重复抽取后，抽到红色球的频率约为， ∴抽到红色球的概率为， ∴， 解得：． 6．（2025·山西·模拟预测）截至2025年底，国内某外卖平台已开通53条无人机航线，累计配送订单超45万单，为优化无人机配送系统，工作人员对A，B两种型号的无人机受不同因素影响的程度进行评分，数据如下（评分越高，影响程度越小，满分10分）： 型号 影响因素 城市环境 山地地形 天气 障碍物识别 A型 8 B型 9 9 平台计划再购进一批无人机，将城市环境、山地地形、天气、障碍物识别四项得分按的比例确定无人机的综合得分，则平台应选择的无人机型号是______型（填“A”或“B”）． 【答案】B 【思路引导】本题考查加权平均数的应用．根据加权平均数的计算公式分别计算A、B两种型号无人机的综合得分，再通过比较得分大小确定应选择的型号． 【规范解答】解：根据加权平均数的计算公式： A型无人机的综合得分：（分） B型无人机的综合得分：（分） ∵，且评分越高影响程度越小， ∴平台应选择B型无人机． 故答案为：B． 7．（2026·江苏宿迁·一模）某校为了学生身心健康发展，保证学生每天的运动时间不低于2小时，开展了丰富多彩的体育社团活动课，开设了5种球类运动社团活动课：A．篮球，B．足球，C．排球，D．羽毛球，E．乒乓球．为了解学生最喜欢以上哪种球类运动社团活动课，要求每位学生必须参加且限报一项，该校从全体学生中随机抽取部分学生进行调查，将收集的数据整理后，绘制了如下两幅统计图，请你结合图中所给的信息解答下列问题： (1)本次一共调查了___________人，___________； (2)请补全条形统计图； (3)若该校共有3000名学生，请你估计该校最喜欢“C．排球和D．羽毛球”的学生共有多少人． 【答案】(1)200，25 (2)见解析 (3)1200人 【思路引导】（1）根据最喜欢“A．篮球”的人数除以占比得出调查人数，再根据最喜欢“D．羽毛球”的学生人数求出； （2）求出最喜欢“C．排球”的学生人数，再补全条形统计图； （3）用学校总人数乘以最喜欢“C．排球和D．羽毛球”的学生占比求解． 【规范解答】（1）解：（人）， ，即； （2）解：最喜欢“C．排球”的学生人数为， 补全条形统计图如图所示： （3）解：（人）， 答：估计该校最喜欢“C．排球和D．羽毛球”的学生共有1200人． 8．（2026·江苏盐城·一模）某电影院为了全面了解观众对《飞驰人生3》的满意度情况，进行随机抽样调查，分为四个类别：A．非常满意；B．满意；C．基本满意；D．不满意．依据调查数据绘制成图1和图2的统计图（不完整）．根据以上信息，解答下列问题： (1)本次接受调查的观众共有______人； (2)扇形统计图中，扇形C的圆心角是______； (3)请补全条形统计图； (4)春节期间，该电影院来观看《飞驰人生3》的观众约4000人，请估计观众中对该电影满意的人数．（A、B、C类视为满意） 【答案】(1)100 (2)54 (3)图见解析 (4)3800人 【思路引导】（1）用A类别的人数除以所占的比例，进行求解即可； （2）用360度乘以C类别的人数，进行求解即可； （3）根据C类别的人数补全条形图即可； （4）利用样本估计总体的思想进行求解即可. 【规范解答】（1）解：（人）； （2）解：C类别的人数为：， ； （3）解：补全条形图如图： （4）解：（人）； 答：估计观众中对该电影满意的人数为3800人． 9．（2026·江苏苏州·一模）“健康第一”是苏州市教育局2026年春季开展的一项以学生身心健康为核心的教育主题行动，旨在落实体育强身、心理润心、近视防控、睡眠管理等工作，促进学生全面健康成长．某数学学习小组为了解本校九年级学生的健康情况，开展了相关调查活动，随机抽取了部分学生调查他们身体质量指数“”数据，其计算公式为（m表示体重，单位：千克；表示身高，单位：米）．标准见表： 的范围 健康类型 体重过低 正常 超重 肥胖 【收集数据】随机抽取该校部分学生，测算出他们的数据组成样本． 【整理数据】将学生的数据按照以下标准分成A，B，C，D四组进行整理，如下表： 类别 A B C D 体重情况 过低 正常 超重 肥胖 人数（人）      36 9 3 【描述数据】根据学生的BMI数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： (1)参与本次调查的学生人数为__________人； (2)补全条形统计图； (3)若该校九年级共有600名学生，请估计身体质量指数正常的学生人数． 【答案】(1)60 (2)见解析 (3)360名 【思路引导】（1）用D类别的人数除以其人数占比即可求出参与本次调查的学生人数； （2）求出A类别的人数，再补全统计图即可； （3）用600乘以样本中身体质量指数正常的学生人数占比即可得到答案． 【规范解答】（1）解：人， ∴参与本次调查的学生人数为60人； （2）解：A类别的人数为人， 补全统计图如下： （3）解：名， 答：估计身体质量指数正常的学生人数为360名． 10．（2026·江苏宿迁·一模）某校随机对部分学生“整理错题的行为习惯”进行问卷调查．问卷主题是：“作业或考试中做错的题目你及时纠错解疑吗？”，设置的选项有：：偶尔，：较少，：较多，：一直．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图．请根据图中信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查人数是 ，请补全条形统计图； (2)选项“较多”对应的圆心角是 度； (3)若该校共2000名学生，请根据统计结果估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有多少名？ 【答案】(1)200，见解析 (2)108 (3)700 【思路引导】（1）根据“偶尔”的人数除以其所对的百分比即可求出本次抽样调查人数，用总人数减去已知组的人数求出“较多”组的人数，补全条形图即可； （2）用乘以选项“较多”对应的百分比求解即可； （3）用该校的总人数乘以“一直”组所对的百分比求解即可． 【规范解答】（1）解：本次抽样调查人数是（人）， 选项“较多”的人数为（人）， 补全条形统计图如下： （2）解：选项“较多”对应的圆心角是； （3）解：（名）， 答：“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有700名． 『拔尖突破冲刺』 1．（2026·江苏无锡·模拟预测）某银行为客户定制了，，，，共5个理财产品，并对5个理财产品的持有客户进行抽样调查，得出如图所示的统计图： 根据以上数据，下列推断错误的是（   ） A．周岁人群理财人数最多 B．周岁人群理财总费用最少 C．理财产品更受理财人青睐 D．年龄越大的年龄段的人均理财费用越高 【答案】B 【思路引导】根据扇形统计图判断人数比例，根据折线统计图判断人均费用变化及计算总费用，根据条形统计图判断理财产品受欢迎程度，逐一分析选项即可． 【规范解答】解：A、由扇形统计图可知，周岁人群理财人数占比为，在所有年龄段中占比最大，故该选项推断正确； B、设理财总人数为， 则周岁人群理财总费用为：；周岁人群理财总费用为：；周岁人群理财总费用为：； 周岁人群理财总费用为：.，， 周岁人群理财总费用最少，故该选项推断错误； C、由条形统计图可知，选择B理财产品的人数比例为，占比最高，说明B理财产品更受理财人青睐，故该选项推断正确； D、由折线统计图可知，随着年龄段的增大，人均理财费用依次为3500元、4500元、5500元、6200元，呈上升趋势，故该选项推断正确． 2．（2023·江苏镇江·模拟预测）某创业团队有研发、管理和操作三个小组，各组的日工资和人数如下表： 研发组 管理组 操作组 日工资（元） 200 180 160 人数（人） 3 4 5 现从管理组分别抽调1人到研发组和操作组，调整后与调整前相比，下列说法中正确的有（    ） ①平均日工资增大        ②日工资的方差减小 ③日工资的中位数不变    ④日工资的众数不变 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了求平均数，众数，中位数和方差，根据平均数，众数，中位数和方差的定义分别计算调整前后的平均数，众数，中位数和方差，比较即可得到答案． 【规范解答】解：调整前平均日工资： ， 调整后平均日工资：，调整前后平均日工资不变，故①错误； 调整前日工资的方差为：， 调整后日工资的方差为： ， ∴调整后日工资比调整前日工资的方差增大，故②错误； 调整前日工资的中位数为：， 调整后日工资的中位数为： ， ∴调整后日工资的中位数比调整前的中位数减小，故③错误； 调整前后日工资的众数都是160，不变，故④正确． 故选A． 3．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，“中国七巧板”是由七个几何图形组成的正方形，其中1、2、3、5、7是等腰直角三角形，4是正方形，6是平行四边形．一只体型微小的小虫在七巧板上随机停留，则刚好停在6号板区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查几何概率的应用，设围成的正方形的边长为a，算出6号板的面积与整体正方形的面积比即可知道答案． 【规范解答】解：设围成的正方形的边长为a， 则正方形的对角线长为， 五号板的直角边为， ∴六号板的一边为，另一边为：， ∴六号板的面积为， 正方形的面积为：， ∴停在1号板区域的概率是； 故选：B ． 4．（23-24九年级上·陕西咸阳·月考）从数字2，3，4中任选两个数组成一个两位数，其中个位数比十位数大的概率是______． 【答案】/0.5 【思路引导】本题主要考查了列举法求概率，结合题意作出树状图是解题关键．结合题意作出树状图，结合树状图，即可获得答案． 【规范解答】解：根据题意，作出树状图如下， 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中个位数比十位数大的有3中结果， 所以，个位数比十位数大的概率是． 故答案为：． 5．（23-24九年级上·全国·期末）在一个不透明的袋子里，装有6个红球和若干个白球，它们除颜色外都相同，为估袋中白球的个数，小红经过大量摸球试验，发现“摸到红球”的频率在附近摆动，我们可以估计袋中白球有____个． 【答案】4 【思路引导】本题主要考查了利用频率估计概率，分式方程．熟练掌握大量反复试验下频率稳定值即概率是解题关键． 设白球个数为个，由摸到红球的频率稳定在附近得出口袋中得到红色球的概率，然后根据概率公式列方程求解即可． 【规范解答】解：设白球个数为个， ∵摸到红色球的频率稳定在左右， ∴口袋中得到红色球的概率为， ∴， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴白球的个数为4个． 故答案为：4． 6．如图，将一个圆四等分，中心角为的扇形绕圆心转动，在圆心处装有一指示灯，当扇形与阴影区域有重叠（圆心除外）部分时，指示灯会发光，否则不发光，当扇形任意转动时，指示灯发光的概率为______．    【答案】 【思路引导】先根据当扇形与阴影区域有重叠（圆心除外）部分时，指示灯会发光，扇形为，得到发光的范围，再根据概率公式进行计算即可得到答案． 【规范解答】解：当扇形与阴影区域有重叠（圆心除外）部分时，指示灯会发光，扇形为， 发光的范围为：， 指示灯发光的概率为， 故答案为：． 【考点剖析】本题主要考查了几何概率，根据当扇形与阴影区域有重叠（圆心除外）部分时，指示灯会发光，扇形为，得到发光的范围是解题的关键． 7．（2026·江苏泰州·一模）如图所示的电路图中有，，，四个开关，保持打开状态． (1)“当随机闭合，，，中一个开关时，灯泡发光”是_____事件；（填“随机”、“必然”或“不可能”） (2)用列表或画树状图的方法，求事件“随机闭合，，，中的两个开关时，灯泡发光”的概率． 【答案】(1)不可能 (2) 【思路引导】（1）只有同时闭合与；或与；或与，灯泡才会发光，据此解答即可； （2）先画出树状图，则可得随机闭合两个开关的所有等可能的结果，再找出灯泡发光的结果，利用概率公式计算即可． 【规范解答】（1）解：∵只有同时闭合与；或与；或与，灯泡才会发光， ∴当随机闭合，，，中一个开关时，灯泡不会发光， ∴“当随机闭合，，，中一个开关时，灯泡发光”是不可能事件． （2）解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，随机闭合两个开关，共有12种等可能的结果，其中，灯泡发光的结果有6种， 则事件“随机闭合，，，中的两个开关时，灯泡发光”的概率为， 答：事件“随机闭合，，，中的两个开关时，灯泡发光”的概率为． 8．（2026·江苏无锡·二模）某实践小组为了解游客对该市“古城智能导览”项目中服务机器人的使用满意度，计划从参观古城的游客中随机抽取部分游客进行问卷调查． (1)【确定调查方式】下列抽样调查方式最合理的是（    ） A．只在景区入口处抽取年轻游客进行调查 B．只在智能导览机器人旁抽取使用过的游客进行调查 C．在景区内不同时段、不同区域随机抽取各类游客进行调查 D．只抽取景区工作人员进行调查 (2)【整理分析数据】问卷调查测试满分100分，所有问卷结果都在60分以上，评分分数用x表示，结果分为四个等级：不满意：，比较满意：，满意：，非常满意：．部分信息如下： 信息一： 信息二：评分“满意”等级的数据（单位：分） 分数 80 81 82 83 84 88 人数 10 20 20 10 20 10 根据以上信息解答下列问题： ①该调查的样本容量为________， ②请补全条形统计图；所抽取的游客中使用满意程度评分的中位数为________分； (3)【作出合理估计】清明节期间，该城市约有20万人次使用了“古城智能导览”项目，请估计这些游客中对“古城智能导览”项目非常满意的人次． 【答案】(1)C (2)①200；②图见详解；82.5 (3)6万人 【思路引导】（1）根据抽样调查的基本要求解答即可； （2）①根据图中满意占比，人数为90人求解即可； ②求出非常满意人数，即可补全条形统计图；再根据中位数的定义求解即可； （3）根据样本估计总体的方法解答即可； 【规范解答】（1）解：抽样调查要求样本具有广泛性和代表性，A只抽取年轻人、B只抽取使用过的游客、D只抽取工作人员，样本都不具备代表性，只有C在景区不同时段、不同区域抽取各类游客，抽样最合理，故选C； （2）解：①由题意可知，“满意”等级共人， 扇形图中满意占比，因此样本容量为； ②非常满意人数为人， 补全条形统计图如图： 200个数据从小到大排列，中位数为第100和第101个数据的平均数： 前两个等级（不满意比较满意）共个数据，结合满意等级的人数分布： 80分共10个（累计），81分共20个（累计），82分共20个（累计）， 因此第100个数据为82，第101个数据为83，中位数为； （3）解：样本中非常满意的频率为， 因此20万人次中非常满意的人次约为：（万人次）， 答：估计非常满意的人次约为万人次． 9．（2026·江苏泰州·一模）小明家所在小区的电梯显示屏记录了2026年3月26日至4月1日这7天内电梯的运行距离（单位：米）和运行次数（单位：次），如图所示： (1)这7天电梯运行距离的中位数是________米，运行次数的极差是________次； (2)小明观察图2中条形的高度，得出结论“3月31日的运行次数约是3月26日的2倍”，但实际计算后发现，3月31日的运行次数是3月26日的________倍（精确到0.1），小明得出的结论错误的原因是什么？ 【答案】(1)13740，160 (2)1.1；纵轴不是从0开始的． 【思路引导】（1）根据中位数和极差的定义求解即可； （2）根据条形统计图的数据分析即可． 【规范解答】（1）解：将这7天电梯运行距离从小到大排列为：、、、、、、， 则中位数是， 由条形统计图可知，7天运行次数最多次，最少次， 则运行次数的极差是（次） （2）解：由条形统计图可知，3月31日的运行次数是次，3月26日的运行次数是次， 则3月31日的运行次数是3月26日的倍， 小明得出的结论错误的原因是纵轴不是从0开始的． 10．（23-24九年级上·河南郑州·期末）从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革、为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下： a．信息处理速度（满分10分）        b．信息识别准确度（满分10分）      c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表 项目 统计量 软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.3 7 b 5.6 乙 7.65 a 7 4.9 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中______，_____；观察统计图得：_____（填“”“”或“”）； (2)若某市共有20.4万人使用甲款软件，请估计对本款软件信息识别准确度打分超过7分的人数； (3)综合上表中的统计量，你认为哪款软件使用效果更好？请说明理由（列出两条即可）． 【答案】(1)，， (2) (3)甲，理由见解析 【思路引导】（1）根据中位数、众数与方差的定义即可求解； （2）用样本估计总体即可； （3）根据平均数和方差的意义进行判断即可． 【规范解答】（1）解：共个数据，乙组数据第个、第个数据分别为、， 中位数， 甲组数据中出现的次数最多， 众数， 由信息识别准确度的折线图可知：， 故答案为：，，； （2）解：（人）， 估计对本款软件信息识别准确度打分超过7分的人数约为人； （3）解：甲款软件使用效果更好（答案不唯一），理由如下： 信息识别准确度得分的平均数甲高于乙，而且甲的方差小于乙的方差， 甲更稳定， 甲款软件使用效果更好． 【考点剖析】本题主要考查了中位数，众数，平均数，方差，用样本估计总体等知识点，能根据中位数、众数、平均数、方差的意义对题目进行分析是解题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五讲 统计与概率『重点难点突围专项练（江苏专用）』 （十二大题型讲练+难度分层练 共56题） 【原卷版】 简介 蓄力升学 逐梦前行 『真题溯源·江苏专版』本资料深度剖析江苏省近两年中考真题及前沿模拟题，直击中考高频考点，精准锁定每年必考的常考题型与思想方法，让你的练习不偏科、不做无用功。 【第一部分 题型讲练·模型拆解】采用“例题精讲+变式训练”模式，对每类重难点题型进行标准化拆解。配套详尽的解题思路与规范步骤，不仅教会你如何解题，更传授得分技巧，帮你建立满分思维。 【第二部分 能力分层·稳步提升】科学设置20题分层训练： 1. 基础能力提升（10题）：快速夯实核心考点，确保基础分不丢分； 2. 拔尖突破冲刺（10题）：聚焦易错题与综合压轴题，挑战思维极限，实现分数阶梯式增长。 『助力升学·决胜考场』依托真题本源，对标中考难度。这套讲义是你通往理想高中的坚实阶梯，愿你以梦为马，提笔为剑，在中考战场上披荆斩棘，金榜题名！ 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 统计调査 题型二 频数与频率 题型三 频数分布直方图 题型四 数据的集中趋势 题型五 数据的波动程度 题型六 简单的概率计算 题型七 用列举法求概率 题型八 用频率估计概率 题型九 概率在转盘抽奖中的应用 题型十 概率在比赛中的应用 题型十一 游戏的公平性 题型十二 概率的其他应用 第一部分 精讲变式 融会贯通 【题型一 统计调査】 【典例精讲】（2026·江苏扬州·一模）中学生心理健康受到社会的广泛关注，为深入落实“健康第一”教育理念，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图． 根据图中信息回答下列问题： (1)接受问卷调查的学生共有________人，条形统计图中m的值________，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为________． (2)若该校共有学生1000人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为________人． (3)若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名男生的概率． 【变式训练1】（2026·江苏扬州·一模）双减政策实施后，某校为了解九年级学生每天的睡眠时间的情况，随机抽取了九年级部分学生进行调查．将调查数据分成五组：A组（小时），B组（小时），C组（小时），D组（小时），E组（小时）．整理后制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次共调查了______名学生，B组所对的扇形圆心角的度数为______°； (2)请补全条形统计图； (3)若该校九年级共有600名学生，请计算该校九年级学生中睡眠时间在8小时以上（含8小时）的学生约有多少人？ 【变式训练2】（2026·江苏扬州·一模）某市组织中学生无人机技能操作比赛，随机抽取部分比赛成绩（成绩为整数，用表示）作为样本进行整理，并绘制成统计图表，部分信息如下： 组别 成绩（） (1)图中___________； (2)扇形统计图中组所在的扇形的圆心角是___________． (3)已知该市共有名中学生参赛，比赛成绩分以上为“优秀”，根据样本数据估计该市获得“优秀”等级的参赛人数． 【题型二 频数与频率】 【典例精讲】为庆祝2022年中国举办冬奥会，为让同学们更了解冬季运动，我校开展以学习“冬日运动”（A短道速滑、B花样滑冰、C跳台滑雪、D冰壶）为主题的书画展，为了解作品主题分布情况，在学生上交的作品中，随机抽取了50份进行统计，并根据调查统计结果绘制了同统计图表： 主题 频数 频率 A短道速滑 B花样滑冰 C跳台滑雪 D冰壶 合计 请结合上述信息完成下列问题： (1)　　　，　　　； (2)请补全条形统计图； (3)若该校共收到350份学生作品，请估计我校以“跳台滑雪”为作品主题的学生人数． 【变式训练1】2021年体育中考前夕，我校为了了解男生的体育情况随机调查了九年级50名男生“1分钟跳绳”的次数，并将调查所得的数据整理如下： 1分钟跳绳次数的频数、频率分布表： 成绩段 频数 频率 5 10 a b m c 12 n 根据以上图表信息，解答下列问题： (1)表中的　 　，　 　； (2)请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应的数据）． (3)我校九年级共有600名男生，按当前情况请你估计我校九年级男生“1分钟跳绳”有多少人能达满分（次数次达满分）． 【变式训练2】（24-25九年级上·陕西西安·期中）九年级语文组举行诗歌朗诵比赛，24位参赛选手抽签决定比赛内容．在一个不透明的盒子里放有四张大小、形状及质地相同的卡片，卡片上分别写有A．《沁园春·雪》毛泽东，B．《七律·长征》毛泽东，C．《乡愁》余光中，D．《你是人间四月天》林徽因四首诗． (1)初赛时，每位选手随机抽取一张卡片，记录下内容后再放回．24次抽签中抽到毛泽东诗词的有10次．则抽到毛泽东诗词的频率是__________． (2)决赛时，小远和小航两名并列第一要赛出一个特等奖，为了避免内容重复，小远先从盒子中随机抽取一张卡片，小航再从余下的卡片中随机抽取一张，用列表法或树状图法求两人恰好都抽到毛泽东诗词的概率． 【题型三 频数分布直方图】 【典例精讲】（2026·江苏盐城·一模）神舟二十二号飞船的成功发射，激发了某校学生对航天知识的浓厚兴趣．校团委为了解该校九年级学生对航天知识的掌握情况，随机抽取一部分学生进行航天知识测试（满分100分）． (1)【收集数据】下列抽样调查方式中最合适的是_____．（只填写序号） ①随机抽取九年级部分女生； ②随机抽取九年级一个班级学生； ③从九年级的每个班中随机抽取2名学生． (2)【整理并描述数据】校团委将所抽取学生的测试成绩整理后分成四组，并绘制成下面两幅不完整的统计图： 请补全频数分布直方图（写出计算过程）； (3)【应用数据】若测试成绩80分及以上为掌握情况较好，估计该校九年级840名学生中，航天知识掌握情况较好的人数． 【变式训练1】某学校初二和初三两个年级各有600名同学，为了科普卫生防疫知识，学校组织了一次在线知识竞赛，小宇分别从初二、初三两个年级随机抽取了40名同学的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．初二、初三年级学生知识竞赛成绩不完整的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）： b．初二年级学生知识竞赛成绩在这一组的数据如下： 80  80  81  83  83  84  84  85  86  87  88  89  89 c．初二、初三学生知识竞赛成绩的平均数、中位数、方差如下： 平均数 中位数 方差 初二年级 80.8 m 96.9 初三年级 80.6 86 153.3 根据以上信息，回答下列问题： (1)补全上面的知识竞赛成绩频数分布直方图； (2)写出表中m的值； (3)A同学看到上述的信息后，说自己的成绩能在本年级排在前，B同学看到A同学的成绩后说：“很遗憾，你的成绩在我们年级进不了前”．请判断A同学是 （填“初二”或“初三”）年级的学生，你判断的理由是 ． (4)若成绩在85分及以上为优秀，请估计初二年级竞赛成绩优秀的人数为 ． 【变式训练2】2025·江苏泰州·三模）洋思中学组织七、八年级学生去小南湖研学，并在小南湖开展了传统文化教育活动．活动结束后组织了一场传统文化知识竞赛，竞赛满分为100分．现随机抽取七、八年级各人的竞赛成绩，统计整理并绘制了如下不完整的统计图表： ①将抽查的两个年级成绩（用表示）进行整理，并将成绩分为4个等级： A．；    B．；C．；D．． ②八年级等级学生成绩为：82，86，86，84，86，84，86，89； 分析数据： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 80 79 45．7 八年级 85 86 32．9 根据以上信息解答下列问题： (1)题中_____，表格中_____； (2)若该校七年级有1000名学生，八年级有900名学生，请你估计该校七年级和八年级学生成绩达到等级及以上的学生人数共_____人； (3)请从平均数，中位数，众数，方差中任选两个统计量评价哪个年级传统文化知识掌握情况较好？ 【题型四 数据的集中趋势】 【典例精讲】（2026·江苏扬州·一模）为了解某校学生视力状况，调查小组随机抽取了该校部分学生进行调查，列出如下不完整的统计表． 抽取的学生视力状况统计表 视力 视力 视力 视力 视力 健康状况组别 A：视力正常 B：轻度视力不良 C：中度视力不良 D：重度视力不良 人数 4 22 8 a 百分比 b (1) ， ； (2)抽样调查数据的中位数所在组别为 组；（填A、B、C或D） (3)已知该校共有800名学生，请估计该校“重度视力不良”学生的人数． 【变式训练1】（2026·江苏连云港·一模）2026年3月，全国两会在北京顺利召开，意义非凡．为了解学生对两会精神的知晓程度，某校从九年级，两个班中各随机抽查了名学生进行两会知识测试，分别对学生的测试成绩（满分为分）进行收集、整理和分析（测试成绩用表示，都为整数，结果分为四个类型：为不了解；为比较了解；为了解；为非常了解）． 【收集数据】抽取的班学生对于两会精神“了解”的测试成绩为，，，，，； 抽取的班学生的测试成绩为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 【整理数据】，两班的数据整理如下： 【分析数据】，两班的平均数、中位数、众数和方差如表所示； 平均数 中位数 众数 方差 班 班 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：____，_____，请补全条形统计图； (2)假设这两个班共有学生人，请估计这两班在这次测试中成绩为“了解”的学生人数； (3)从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量，对，两个班成绩进行简要评价． 【变式训练2】（2026·江苏无锡·一模）近年来，教育部多次强调将“健康第一”的理念落在实处，聚焦体育锻炼、心理健康、近视防控等领域．为了解九年级学生近视率，某校在九年级随机抽取了部分学生进行了视力调查，并将调查所得数据整理、绘制成两张如图所示的不完整的统计表和统计图，根据信息回答下列问题： 九年级部分学生视力频数分布表 分组 视力 频数 A B C D E (1)本次调查的样本容量是______，B组视力在扇形统计图中对应的圆心角为______； (2)此次抽样调查中，视力的中位数落在______组； (3)自月日起实施的《儿童青少年裸眼视力和屈光状态评价规范》规定：裸眼视力大于为视力正常．已知该校九年级共有名学生，请根据样本情况估计全校九年级学生中视力正常的人数． 【题型五 数据的波动程度】 【典例精讲】（2026·江苏无锡·模拟预测）某数学兴趣小组对九年级（）班的学生的视力进行了调查，统计数据如图所示．请根据表格提示，完成数据的统计与分析．表格第列的数据是班里组的视力情况． (1)根据表中数据，补全条形统计图； (2)扇形统计图中，视力在及以上区域所占圆心角约为_______（保留位有效数字）：各组中极差最大的组是________；前三组中视力标准差最大的组为_______； (3)某同学经常熬夜打游戏，结合数据与两幅统计图，从熬夜、打游戏的危害与戴眼镜的不便等角度，对他进行合理劝说． 【变式训练1】（25-26八年级上·四川成都·期末）为迎接中考体育测试，某校九年级学生共进行了五次体育模拟测试、小明根据甲同学的五次测试成绩绘制了统计表，并给出了乙同学五次测试成绩的方差的计算过程． 甲同学五次体育模拟测试成绩统计表 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 成绩（分） 65 69 67 69 70 小明将乙同学五次模拟测试成绩直接代入方差公式，计算过程如下： ． 根据上述信息，完成下列问题： (1)甲同学五次测试成绩的众数为________分，中位数为________分； (2)根据甲、乙两位同学这五次模拟测试成绩的平均数和方差分析，你认为谁的体育成绩更好？并说明理由； (3)如果甲再测试1次，第六次模拟测试成绩为68分，与前5次相比，甲6次模拟测试成绩的方差________．（填“变大”“变小”或“不变”） 【变式训练2】（2025·江苏淮安·二模）快递业为商品走进千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送速度、服务、收费和投递范围等方面各具优势．网店店主小刘打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小刘收集了10家网店店主对两家快递公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： ①配送速度得分（满分分）： 甲：；乙：． ②服务质量得分统计图（满分分）： ③配送速度和服务质量得分统计表： 快递公司统计量 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：_________，_________，比较大小：________（填“”“”或“”）； (2)综合上表中的统计量，你认为小刘应选择哪家公司？请说明理由． 【题型六 简单的概率计算】 【典例精讲】（2026·江苏无锡·二模）某班举行诗词朗诵大赛，每位参赛人员需要在：A．《将进酒》、B．《夜雨寄北》、C．《念奴娇·赤壁怀古》这三首古诗词中随机选择一首进行朗诵（A、B为唐诗，C为宋词）．该班的小明和小雪参加了此次大赛． (1)小明选择C．《念奴娇·赤壁怀古》的概率是________； (2)请用列表或画树状图的方法，求两人之间只有一人选择唐诗的概率． 【变式训练1】（2026·江苏苏州·一模）为全面落实素质教育，某校积极开展校本课程建设．教务处需要对某天下午的三节校本课程进行安排，已知三节不同的课程分别是本土人物传记、丝绸制作和昆曲学习，每节课只安排一门课程且不重复，根据以上信息回答下列问题． (1)第一节是昆曲学习课的概率为__________；（请直接写出结果） (2)请用画树状图的方法，求第二节为丝绸制作课且第三节为本土人物传记课的概率． 【变式训练2】一个不透明的口袋中有个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数-1，2，-3，4． （1）摇匀后任意摸出个球，则摸出的乒乓球球面上的数是正数的概率为 _； （2）摇匀后先从中任意摸出个球(不放回)，记下数字作为平面直角坐标系内点的横坐标：再从余下的个球中任意摸出个球，记下数字作为点的纵坐标，用列表或画树状图的方法求：两次摸球后得到的点恰好在函数图像上的概率． 【题型七 用列举法求概率】 【典例精讲】（2026·江苏泰州·模拟预测）为丰富校园生活，学校举办“经典咏流传”朗诵比赛，内容分为：A．唐诗、B．宋词、C．元曲． (1)小华从三个项目中随机抽取一个朗诵，求恰好抽中“宋词”的概率； (2)若小敏和小杰两人采用抽签方式，每人从三个项目中随机抽取一个，且两人抽取的项目不能相同．请用列表或树状图法，求小敏抽中“唐诗”且小杰抽中“元曲”的概率． 【变式训练1】（2026·江苏苏州·一模）苏州博物馆推出“非遗体验日”活动，设置了三项代表性体验项目：A．宋锦织造技艺，B．香山帮传统建筑营造技艺，C．苏州缂丝织造技艺．甲、乙两名中学生各自独立地从三项活动中随机选择一项参与体验． (1)甲同学选择A项目（宋锦织造技艺）的概率为__________； (2)请运用画树状图或列表的方法，求甲、乙两名同学选择项目恰好包含B项目（香山帮传统建筑营造技艺）但不包含C项目（苏州缂丝织造技艺）的概率． 【变式训练2】（2023·江苏泰州·二模）某村深入贯彻落实习近平新时代中国特色社会主义思想，认真践行“绿水青山就是金山银山”理念．在外打工的王大叔返回江南创业，承包了四座荒山，各栽100棵小枣树，发现成活率均为97%，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他任意选了两座山（记作甲山、乙山），从两山上随意各采摘了4棵树上的小枣，每棵的产量如折线统计图所示． (1)直接写出甲山4棵小枣树产量的中位数； (2)分别计算甲、乙两座山小枣样本的平均数，并判断哪座山的样本的产量高； (3)用样本平均数估计四座荒山小枣的产量总和； (4)用树状图或表格分析王大叔选中甲、乙两座山的概率． 【题型八 用频率估计概率】 【典例精讲】（2025·江苏无锡·模拟预测）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)请估计：当 很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到 ）； (2)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？ (3)在（）的条件下，若从中先摸出一只球，不放回，再摸出一只球，请用列表或树状图的方法求两次都摸到白球的概率． 【变式训练1】（2025·云南昆明·一模）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某数学学习兴趣小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667 摸到白球的频率 (1)该数学学习兴趣小组在实验过程中发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______精确到，由此可估计出红球有______个． (2)现从该袋子中一次摸出2个球，请用列表法或画树状图法中的一种方法，求恰好摸到2个红球的概率． 【变式训练2】一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小明每次从袋子中摸出一个球，记录下颜色，然后放回，重复这样的试验1000次，记录结果如下： 实验次数 200 300 400 500 600 700 800 1000 摸到红球次数 151 221 289 358 429 497 571 702 摸到红球频率 0.75 0.74 0.72 0.72 0.72 0.71 (1)表格中__________，__________．（精确到0.01） (2)估计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为__________；（精确到0.1） (3)如果袋子中有28个红球，4个白球，若干黄球，估计袋子中黄球的个数和摸到黄球的概率？ 【题型九 概率在转盘抽奖中的应用】 【典例精讲】一款游戏的规则如下：如图①为游戏棋盘，从起点到终点共7步；如图②是一个被分成4个大小相等的扇形的转盘，转动转盘，待转盘自动停止后，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止），每次棋子按照指针所指的数字前进相应的步数，若棋子最终能恰好落在终点的视为通过游戏，棋子从起点前进2步到达B，第二次转动转盘指针所指数字为3，…，直到棋子到达终点或超过终点停止． （1）转动转盘一次，求转盘停止后指针指向4的概率； （2）请用列表或画树状图法，求转动转盘两次能通过游戏的概率． 【变式训练1】小明参加了一个抽奖游戏：一个不透明的布袋里装有1个红球，2个蓝球，4个黄球，8个白球，这些小球除颜色外完全相同．从布袋里摸出1球，摸到红球、蓝球、黄球、白球可分别得到奖金30元、20元、5元和0元，则小明摸一次球得到的平均收益是________元． 【变式训练2】某化妆品专卖店，为了吸引顾客，在“母亲节”当天举办了某种品牌化妆品有奖酬宾活动，凡购物满188元者，有两种奖励方案供选择：第一种方案是直接获得18元的礼金券，第二种方案是得到一次摇奖的机会．已知在摇奖机内装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，摇奖者必须从摇奖机内一次连续摇出两个球，根据球的颜色决定送礼金券的多少（如表） 某种品牌化妆品 球 两红 一红一白 两白 礼金券（元） 12 24 12 (1)请你用列表法（或画树状图法）求一次连续摇出一红一白两球的概率． (2)如果一名顾客当天在本店购物满188元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠． 【题型十 概率在比赛中的应用】 【典例精讲】48．（2026·河北廊坊·一模）某市端午赛龙舟，“追风”与“破浪”两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟，同规格较量，“追风”队皆占优．但“破浪”队的快速舟可胜“追风”队的中速舟，中速舟可胜“追风”队的慢速舟．若“追风”队按快、中、慢顺序固定出场，“破浪”队随机安排顺序．则“破浪”队获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字，乙口袋中的小球上分别标有数字，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n． (1)请用列表或画树状图的方法表示出所有可能的结果； (2)若m，n都是方程的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？说明理由． 【变式训练2】（23-24九年级上·福建泉州·期末）贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 【题型十一 游戏的公平性】 【典例精讲】（24-25九年级上·全国·期末）如图是两个可以自由转动的转盘，转盘A中数字1所在扇形区域的圆心角为90°，转盘B被分成面积相等的三个扇形．游戏规则：依次转动转盘A，B，当转盘停止后，若指针指向的两个区域的数字之和大于5，则甲获胜；否则乙获胜．(如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘) (1)转动转盘B，指针指向的数字为3的概率是 ； (2)这个游戏公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由． 【变式训练1】（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）一个不透明的口袋中装有4个分别标有数字，，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同．小红先从口袋中随机摸出一个小球记下数字为；小颖在剩下的3个小球中随机摸出一个小球记下数字为． (1)请用列表法或画树状图的方法表示出由，确定的点所有可能的结果； (2)若规定：点在第一象限或第三象限小红获胜；点在第二象限或第四象限则小颖获胜．这个游戏是否公平，请说明理由． 【变式训练2】（2024·江苏宿迁·模拟预测）有两个可以自由转动的均匀转盘A，B．转盘A被平均分成4等份，分别标上，2，6，8四个数字；转盘B被平均分成3等份，分别标上，，3三个数字．自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字（指向分界线时重新转），把A转盘指的数字作为被除数，B转盘指针指的数字作为除数，计算这两个数的商．小贝和小晶用以上两个转盘做游戏，规则是：若这两数的商为负整数，则小贝赢；若这两个数的商为正数，则小晶赢．你认为该游戏公平吗？请你用画树状图或列表的方法，说明是否公平；如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平． 【题型十二 概率的其他应用】 【典例精讲】疫情防控期间，任何人进入校园都必须测量体温，体温正常方可进校．现在学校需在东门、南门和西门分别增加一人测温，甲、乙、丙三人被随机增派到三个校门测温．小明每天走东门进校，小丽每天走西门进校．请用所学概率知识解决下列问题： （1）写出甲、乙、丙被分配到三个校门测温的所有可能结果； （2）小明、小丽两人中，进校时谁遇到甲的可能性大？请说明理由． 【变式训练1】小明周末来到公园，发现在公园一角有一种“守株待兔”游戏．游戏设计者提供了一只兔子和一个有、、、、五个出入口的兔笼，而且笼内的兔子从每个出入口走出兔笼的机会是均等的．规定：①玩家只能将小兔从、两个出入口放入，②如果小兔进入笼子后选择从或进入的出入口离开，则可获得一只价值元小兔玩具，并且每玩一次需付费元． (1)请用表格或树状图求小明玩一次“守株待兔”游戏能得到小兔玩具的概率； (2)假设有人次玩此游戏，估计游戏设计者可赚多少元？ 【变式训练2】某校为了解学生“自主学习、合作交流”的情况，对某班部分同学进行了一段时间的跟踪调查，将调查结果(A:特别好;B:好;C:一般;D:较差)绘制成以下两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图; (2)扇形统计图中，D类所占圆心角为 ; (3)学校想从被调查的A类(1名男生、2名女生)和D类(男、女生各占一半)中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用画树状图或列表的方法求所选的两位同学恰好是一男一女的概率. 第二部分 分层训练 实战攻坚 『基础能力提升』 1．（25-26九年级下·江苏无锡·期中）已知一组数据：5，4，3，4，6，8，则这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．4，4 B．5，4 C．4， D．4，5 2．（2026·江苏泰州·一模）小华五次“50米跑”成绩的平均数与方差分别为（单位：s）和（单位：），为了提高成绩，小华进行了训练，两个月后小华再次进行了五次“50米跑”测试，发现比原来更快更稳定了，则训练后成绩的平均数（单位：s）与方差（单位：）可能是（    ） A．， B．， C．，1.4 D．，1.4 3．（2026·江苏扬州·一模）下列说法不正确的是（   ） A．调查一批电池的使用寿命，适宜采用普查的方式 B．经过一个路口时，遇到绿灯是随机事件 C．了解手机已用存储空间占总内存空间的百分比，适宜采用扇形统计图 D．若甲组数据的方差大于乙组数据的方差，则乙组数据更稳定 4．（2026·江苏常州·一模）小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机地停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______． 5．（22-23九年级上·四川资阳·期末）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的红色和白色球共6个，现从袋子中取出1个球，记下球的颜色后放回，通过大量的重复抽取发现，抽到红色球的次数约为总抽取次数的，则袋子中红色球有______个． 6．（2025·山西·模拟预测）截至2025年底，国内某外卖平台已开通53条无人机航线，累计配送订单超45万单，为优化无人机配送系统，工作人员对A，B两种型号的无人机受不同因素影响的程度进行评分，数据如下（评分越高，影响程度越小，满分10分）： 型号 影响因素 城市环境 山地地形 天气 障碍物识别 A型 8 B型 9 9 平台计划再购进一批无人机，将城市环境、山地地形、天气、障碍物识别四项得分按的比例确定无人机的综合得分，则平台应选择的无人机型号是______型（填“A”或“B”）． 7．（2026·江苏宿迁·一模）某校为了学生身心健康发展，保证学生每天的运动时间不低于2小时，开展了丰富多彩的体育社团活动课，开设了5种球类运动社团活动课：A．篮球，B．足球，C．排球，D．羽毛球，E．乒乓球．为了解学生最喜欢以上哪种球类运动社团活动课，要求每位学生必须参加且限报一项，该校从全体学生中随机抽取部分学生进行调查，将收集的数据整理后，绘制了如下两幅统计图，请你结合图中所给的信息解答下列问题： (1)本次一共调查了___________人，___________； (2)请补全条形统计图； (3)若该校共有3000名学生，请你估计该校最喜欢“C．排球和D．羽毛球”的学生共有多少人． 8．（2026·江苏盐城·一模）某电影院为了全面了解观众对《飞驰人生3》的满意度情况，进行随机抽样调查，分为四个类别：A．非常满意；B．满意；C．基本满意；D．不满意．依据调查数据绘制成图1和图2的统计图（不完整）．根据以上信息，解答下列问题： (1)本次接受调查的观众共有______人； (2)扇形统计图中，扇形C的圆心角是______； (3)请补全条形统计图； (4)春节期间，该电影院来观看《飞驰人生3》的观众约4000人，请估计观众中对该电影满意的人数．（A、B、C类视为满意） 9．（2026·江苏苏州·一模）“健康第一”是苏州市教育局2026年春季开展的一项以学生身心健康为核心的教育主题行动，旨在落实体育强身、心理润心、近视防控、睡眠管理等工作，促进学生全面健康成长．某数学学习小组为了解本校九年级学生的健康情况，开展了相关调查活动，随机抽取了部分学生调查他们身体质量指数“”数据，其计算公式为（m表示体重，单位：千克；表示身高，单位：米）．标准见表： 的范围 健康类型 体重过低 正常 超重 肥胖 【收集数据】随机抽取该校部分学生，测算出他们的数据组成样本． 【整理数据】将学生的数据按照以下标准分成A，B，C，D四组进行整理，如下表： 类别 A B C D 体重情况 过低 正常 超重 肥胖 人数（人）      36 9 3 【描述数据】根据学生的BMI数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： (1)参与本次调查的学生人数为__________人； (2)补全条形统计图； (3)若该校九年级共有600名学生，请估计身体质量指数正常的学生人数． 10．（2026·江苏宿迁·一模）某校随机对部分学生“整理错题的行为习惯”进行问卷调查．问卷主题是：“作业或考试中做错的题目你及时纠错解疑吗？”，设置的选项有：：偶尔，：较少，：较多，：一直．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图．请根据图中信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查人数是 ，请补全条形统计图； (2)选项“较多”对应的圆心角是 度； (3)若该校共2000名学生，请根据统计结果估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有多少名？ 『拔尖突破冲刺』 1．（2026·江苏无锡·模拟预测）某银行为客户定制了，，，，共5个理财产品，并对5个理财产品的持有客户进行抽样调查，得出如图所示的统计图： 根据以上数据，下列推断错误的是（   ） A．周岁人群理财人数最多 B．周岁人群理财总费用最少 C．理财产品更受理财人青睐 D．年龄越大的年龄段的人均理财费用越高 2．（2023·江苏镇江·模拟预测）某创业团队有研发、管理和操作三个小组，各组的日工资和人数如下表： 研发组 管理组 操作组 日工资（元） 200 180 160 人数（人） 3 4 5 现从管理组分别抽调1人到研发组和操作组，调整后与调整前相比，下列说法中正确的有（    ） ①平均日工资增大        ②日工资的方差减小 ③日工资的中位数不变    ④日工资的众数不变 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图，“中国七巧板”是由七个几何图形组成的正方形，其中1、2、3、5、7是等腰直角三角形，4是正方形，6是平行四边形．一只体型微小的小虫在七巧板上随机停留，则刚好停在6号板区域的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·陕西咸阳·月考）从数字2，3，4中任选两个数组成一个两位数，其中个位数比十位数大的概率是______． 5．（23-24九年级上·全国·期末）在一个不透明的袋子里，装有6个红球和若干个白球，它们除颜色外都相同，为估袋中白球的个数，小红经过大量摸球试验，发现“摸到红球”的频率在附近摆动，我们可以估计袋中白球有____个． 6．如图，将一个圆四等分，中心角为的扇形绕圆心转动，在圆心处装有一指示灯，当扇形与阴影区域有重叠（圆心除外）部分时，指示灯会发光，否则不发光，当扇形任意转动时，指示灯发光的概率为______．    7．（2026·江苏泰州·一模）如图所示的电路图中有，，，四个开关，保持打开状态． (1)“当随机闭合，，，中一个开关时，灯泡发光”是_____事件；（填“随机”、“必然”或“不可能”） (2)用列表或画树状图的方法，求事件“随机闭合，，，中的两个开关时，灯泡发光”的概率． 8．（2026·江苏无锡·二模）某实践小组为了解游客对该市“古城智能导览”项目中服务机器人的使用满意度，计划从参观古城的游客中随机抽取部分游客进行问卷调查． (1)【确定调查方式】下列抽样调查方式最合理的是（    ） A．只在景区入口处抽取年轻游客进行调查 B．只在智能导览机器人旁抽取使用过的游客进行调查 C．在景区内不同时段、不同区域随机抽取各类游客进行调查 D．只抽取景区工作人员进行调查 (2)【整理分析数据】问卷调查测试满分100分，所有问卷结果都在60分以上，评分分数用x表示，结果分为四个等级：不满意：，比较满意：，满意：，非常满意：．部分信息如下： 信息一： 信息二：评分“满意”等级的数据（单位：分） 分数 80 81 82 83 84 88 人数 10 20 20 10 20 10 根据以上信息解答下列问题： ①该调查的样本容量为________， ②请补全条形统计图；所抽取的游客中使用满意程度评分的中位数为________分； (3)【作出合理估计】清明节期间，该城市约有20万人次使用了“古城智能导览”项目，请估计这些游客中对“古城智能导览”项目非常满意的人次． 9．（2026·江苏泰州·一模）小明家所在小区的电梯显示屏记录了2026年3月26日至4月1日这7天内电梯的运行距离（单位：米）和运行次数（单位：次），如图所示： (1)这7天电梯运行距离的中位数是________米，运行次数的极差是________次； (2)小明观察图2中条形的高度，得出结论“3月31日的运行次数约是3月26日的2倍”，但实际计算后发现，3月31日的运行次数是3月26日的________倍（精确到0.1），小明得出的结论错误的原因是什么？ 10．（23-24九年级上·河南郑州·期末）从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革、为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下： a．信息处理速度（满分10分）        b．信息识别准确度（满分10分）      c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表 项目 统计量 软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7.3 7 b 5.6 乙 7.65 a 7 4.9 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中______，_____；观察统计图得：_____（填“”“”或“”）； (2)若某市共有20.4万人使用甲款软件，请估计对本款软件信息识别准确度打分超过7分的人数； (3)综合上表中的统计量，你认为哪款软件使用效果更好？请说明理由（列出两条即可）． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $