第四讲 方程与不等式【重点难点突围专项练】-2026年中考数学二轮专题复习（江苏专用）

**基本信息** 以“十大题型讲练+难度分层”为框架，通过“例题精讲+变式训练”标准化拆解方程与不等式重难点，构建从解法到实际应用的完整方法体系，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |十大题型（含解各类方程/不等式及实际应用）|50题（每题型典例+2变式，分层20题）|标准化拆解题型，详解解题思路与规范步骤，传授得分技巧|从基础解法到实际应用，构建方程与不等式的概念生成、原理推导及应用拓展逻辑链|

第四讲 方程与不等式『重点难点突围专项练（江苏专用）』 （十大题型讲练+难度分层练 共50题） 【解析版】 简介 蓄力升学 逐梦前行 『真题溯源·江苏专版』本资料深度剖析江苏省近两年中考真题及前沿模拟题，直击中考高频考点，精准锁定每年必考的常考题型与思想方法，让你的练习不偏科、不做无用功。 【第一部分 题型讲练·模型拆解】采用“例题精讲+变式训练”模式，对每类重难点题型进行标准化拆解。配套详尽的解题思路与规范步骤，不仅教会你如何解题，更传授得分技巧，帮你建立满分思维。 【第二部分 能力分层·稳步提升】科学设置20题分层训练： 1. 基础能力提升（10题）：快速夯实核心考点，确保基础分不丢分； 2. 拔尖突破冲刺（10题）：聚焦易错题与综合压轴题，挑战思维极限，实现分数阶梯式增长。 『助力升学·决胜考场』依托真题本源，对标中考难度。这套讲义是你通往理想高中的坚实阶梯，愿你以梦为马，提笔为剑，在中考战场上披荆斩棘，金榜题名！ 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 实际问题与一元一次方程 题型二 解二元一方程组 题型三 实际问题与二元一次方程组 题型四 解一元二次方程 题型五 一元二次方程根与系数的关系 题型六 实际问题与一元二次方程 题型七 解分式方程 题型八 实际问题与分式方程 题型九 解不等式(组) 题型十 实际问题与不等式（组) 第一部分 精讲变式 融会贯通 【题型一 实际问题与一元一次方程】 【典例精讲】（2026·江苏扬州·一模）2026年是红军长征胜利90周年，某车间接到制作一批纪念章的任务，原计划每天制作400枚可以完成．实际制作时，每天比原计划多做100枚，结果提前5天完成任务，求这批纪念章一共有多少枚？设这批纪念章一共有x枚，请列方程解决问题． 【答案】10000枚 【思路引导】设这批纪念章一共有枚，原计划每天制作400枚，原计划完成时间为天，实际每天比原计划多做100枚，实际每天制作枚，实际完成时间为天，根据实际比原计划提前5天完成，列方程求解即可； 【规范解答】解：设这批纪念章一共有枚， 根据题意可得， 解得：， 答：这批纪念章一共有枚． 【变式训练1】（2026·江苏连云港·一模）某种直饮机上有温水、开水两个按钮，操作屏示意图如图所示，小明先接温水再接开水，打算接的水，期间不计热损失，利用图中信息解决下列问题： 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量（开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度）． 生活经验：饮水适宜温度是（包括与）． (1)若小明先接温水，则还需再接开水的时间为____； (2)设小明接温水的时间为 ， ①若最终杯子中水的温度是，求的值； ②若要使水杯中水的温度为饮水适宜温度，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【思路引导】（1）设需再接开水的时间为．根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出答案； （2）①由题意知温水体积为，开水体积为，设水杯中水的温度为，根据题意得出与的关系式，再代入数据即可求解； ②根据饮水适宜温度是，结合①中的与的关系式，列出不等式组，解不等式组即可求解． 【规范解答】（1）解：设需再接开水的时间为． 根据题意，得， 解得． 答：需再接开水的时间为． （2）解：①由题意，知温水体积为，开水体积为， 设水杯中水的温度为，由题意， ∴， ∴当时． 解得： ②∵饮水适宜温度是， ∴， 解得． 【变式训练2】（2026·江苏无锡·一模）杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质杆秤、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】 组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力动力臂阻力阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总质量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当秤杆平衡时，得． (1)若取，为了得到零刻度点O的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点C的位置即为点O．请计算此时的长． 【数学建模】 (2)在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析y与x之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当x每增加相同的数值，y的增加量是否也相同？ 【调整优化】 (3)杆秤可用的长度，为了保证杆秤的最大刻度不小于，请计算说明a的取值范围． 【答案】(1) (2)x每增加相同的数值，y的增加量相同 (3) 【思路引导】（1）由，得，将代入求解即可； （2）由题意可得，设（为常数），计算即可； （3）求得，由 得x随着a的增大而减小，结合反比例函数的性质代入即可求解． 【规范解答】（1）解：令，得， ， ∴， ∴， 即； （2）解：， ， ， 设（为常数）， 则， ∴是常数． ∴x每增加相同的数值，y的增加量相同． （3）解：， 整理得， ∵， ∴x随着a的增大而减小． 当最大刻度是时，令， 得， ∴． 【题型二 解二元一方程组】 【典例精讲】（2026·江苏南京·模拟预测）解方程（组） (1)解方程：； (2)解方程组． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【规范解答】（1）解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； （2）解： 得， 得，解得， 把代入②得，解得， ∴原方程组的解为． 【变式训练1】（2025·江苏常州·模拟预测）解方程组和不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式组； （1）解二元一次方程组的指导思想是消元即减少未知数的个数，根据不同的情况选择合适的消元方法，一般采用加减消元法； （2）解一元一次不等式组时，先求出每个不等式的解集，然后找到解集的公共部分，即为不等式组的解集. 【规范解答】（1）解：， ，得：， 解得：， 将代入，得：， 解得：， 故方程组的解为：. （2）解：， 解不等式，去括号： 移项合并： 系数化为1：； 解不等式，去分母： 移项合并： 系数化为1：； 同小取小 故不等式组的解集为：． 【变式训练2】（2025·江苏南通·模拟预测）（1）解方程组： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【思路引导】本题主要考查了解二元一次方程组以及分式的化简求值． （1）利用代入法解二元一次方程组即可． （2）先计算括号里面的分式减法，再计算括号里面的分式除法，最后代入数值计算即可． 【规范解答】解：（1） 由②，得③． 将③代入①，得， 解得． 将代入③，得：． ∴方程组的解为 （2） ∴当时，原式 【题型三 实际问题与二元一次方程组】 【典例精讲】（2024·江苏苏州·二模）每年3月22日是世界水日，这个节日旨在唤起公众节水意识，加强水资源保护．我市市政府为了鼓励居民节约用水，决定实行分级收费制度．若每月用水量不超过13吨（含13吨），每吨按政府补贴优惠价a元收费；若每月用水量超过13吨，则超过部分每吨按市场价b元收费．张明家3月份用水15吨，交水费33元；5月份用水21吨，交水费54元． (1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？ (2)设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数关系式； (3)张明家7月份交水费68元，则他家7月份用了多少吨水？ 【答案】(1)优惠价为每吨2元，市场价为每吨3.5元 (2) (3)25吨 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次方程的应用，把生活实际问题转化为数学的方程组模型和函数模型是解题的关键． （1）由收费标准，根据题意列方程组求解即可； （2）分用水量不大于13吨和大于13吨两种情形求解即可． （3）代入时的函数解析式，即可求出水费． 【规范解答】（1）解：由题意可得： 解得： 答：每吨水的政府补贴优惠价为每吨2元，市场价为每吨3.5元； （2）解：当时，； 当时， ； （3）解：∵， ∴， 由得， 答：张明家7月份用了25吨水． 【变式训练1】（2026·江苏苏州·模拟预测）在一堂化学活动课前，李老师给同学们布置了一个任务：制作A、B两种化学分子的模型，每个化学分子的模型都需要用到小球和塑料管．老师演示了一下，用32个小球、26根塑料管可以制作2个分子模型与1个B分子模型，制作一个A分子模型需要的小球、塑料管数量比为，制作一个B分子模型需要的小球、塑料管数量比为，已知每根塑料管价格是每个小球价格的一半． (1)制作一个A，B分子模型分别需要小球、塑料管的数量各是多少？ (2)李老师说道：“上次的活动课上，我花费200元购得的塑料管数量比花320元购得的小球数量多了80．今天我路过文具商店的时候，看到了促销广告：‘每购买3个小球赠送1根塑料管，清理库存，数量有限！小球仅剩1760个，塑料管仅剩1404根．’我向学校申请了项目活动经费2050元采购小球和塑料管，全部用来制作化学分子模型，一个模型和一个模型为一套，至少需要制作65套才够用．”要使得购买的小球数量按促销广告匹配赠送塑料管后无剩余，且所有材料做成分子模型刚好配套，请你们帮老师算一算，有几种采购方案？（要求：根据题意列出方程、不等式解决问题） 【答案】(1)制作一个A分子模型需要小球10个，塑料管8根，制作一个B分子模型要小球12个，塑料管10根 (2)共有四种方案可选择 【思路引导】（1）设制作一个分子模型需要小球个，塑料管根，制作一个分子模型要小球个，塑料管根，根据用32个小球、26根塑料管可以制作2个分子模型与1个分子模型，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设塑料管的价格是元/根，则小球的价格是元/个，根据花费200元购得的塑料管数量比花320元购得的小球数量多80，列出方程式得出塑料管的单价，小球的单价；设采购材料能制作出套模型，则需要用去个小球，根塑料管，根据向学校申请了项目活动经费2050元采购小球和塑料管，列出一元一次不等式，再由题意列出一元一次不等式组，解不等式组进而得出，即可解决问题． 【规范解答】（1）解：设制作一个分子模型需要小球个，塑料管根，制作一个分子模型要小球个，塑料管根，由题意，得： ， 解得， 答：制作一个分子模型需要小球10个，塑料管8根，制作一个分子模型要小球12个，塑料管10根； （2）解：设塑料管的单价是a元/根，小球的单价是元/个，根据题意得： 解得． 经检验：是原方程的解． 塑料管的单价是元/根，小球的单价是1元/个． 设采购材料能制作出套模型，需要用去个小球，根塑料管． 根据促销活动内容，每购买3个小球赠送1根塑料管， ， 解得． ∵小球仅剩1760个，塑料管仅剩1404根， ∴， 解得， ∴． 至少需要制作65套才够用， ． 综上，． 购买的小球数量按促销广告匹配赠送塑料管后无剩余，且所有材料做成分子模型刚好配套， 是整数且是正整数， ∵22与3互质， ∴必须是3的倍数， ，69，72，75． 共有四种方案可选择． 【变式训练2】某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元． (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8 000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，则要购进A型、B型汽车各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元 (2)购进2辆A型汽车，15辆B型汽车时，才能获得最大利润，最大利润是91000元 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该公司购进m辆A型汽车，全部售出后获得的总利润为w元，则该公司购进辆B型汽车，利用总利润=每辆A型汽车的销售利润型汽车的购进数量+每辆B型汽车的销售利润型汽车的购进数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【规范解答】（1）解：设每辆型汽车的进价是万元，每辆型汽车的进价是万元． 根据题意得：         解得． 答：每辆型汽车的进价是25万元，每辆型汽车的进价是10万元； （2）解：设该公司购进辆型汽车，全部售出后获得的总利润为元． 则该公司购进辆型汽车，根据题意得： ，即， ， 随的增大而减小， 又均为正整数，购进汽车数量为正整数， ∴m为正整数，也为正整数。 要使为整数，m必须为偶数。 ∵，解得。 ∴m可取的值为2，4，6， 的最小值为2， 此时（辆）． 当时，取得最大值，最大值为（元）， 答：购进2辆型汽车，15辆型汽车时，才能获得最大利润，最大利润是91000元． 【题型四 解一元二次方程】 【典例精讲】2026·江苏徐州·一模）解方程或解不等式组． (1)解方程：； (2)解不等式组：． 【答案】(1)， (2)． 【思路引导】（）利用公式法解一元二次方程即可； （）先解两个不等式，然后即可求得解集． 【规范解答】（1）解： ， ∴， ∴，； （2）解：， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为． 【变式训练1】（2026·江苏常州·一模）解方程、解不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)不等式组的解集为 【思路引导】（1）把方程化为，再进一步解方程即可； （2）分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可． 【规范解答】（1）解： ， ， ，即， ， ∴，； （2）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为． 【变式训练2】（2026·江苏徐州·一模）解方程及解不等式组： (1)解方程：； (2)解不等式组． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】（1）利用求根公式进行求解； （2）利用解不等式组的步骤进行求解． 【规范解答】（1）解：， ∵， ， ∴， ∴，； （2）解： 解不等式①得； 解不等式②得； ∴该不等式组的解集为． 【题型五 一元二次方程根与系数的关系】 【典例精讲】（2026·江苏宿迁·三模）约定：在平面直角坐标系内，如果一个点的纵坐标是横坐标的平方，就称这个点为“二次方值点”．若函数（为常数）在第一象限的图象上存在两个不同的“二次方值点”，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据“二次方值点”定义，该点满足，联立一次函数得到一元二次方程，结合“第一象限存在两个不同二次方值点”的条件，利用一元二次方程根的判别式和根的正负性求解的范围即可． 【规范解答】解：∵“二次方值点”满足纵坐标是横坐标的平方，即， ∴联立与， 得， 整理得， ∵函数图象在第一象限存在两个不同的“二次方值点”，说明该一元二次方程有两个不相等的正实数根， 故方程有两个不等实根， ∴， 解得， 又∵两个根均为正数（第一象限横坐标），对于该方程，两根之和，满足两根均为正数， 则还需满足两根之积大于， 两根之积， 解得， 综上，的取值范围是． 【变式训练1】已知：关于的方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)若两实数根、满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的应用； （1）利用一元二次方程有两个实数根时，判别式，列不等式求解的取值范围 （2）根据一元二次方程根与系数的关系，用含的代数式表示两根之和与两根之积，结合已知等式列方程求解，再结合第一问中的取值范围舍去不符合题意的解． 【规范解答】（1）解： 对于方程， 其中，， ∵方程有两个实数根 ， ∴ ，即， 解得； （2）解： ∵、是方程的两个实数根 ∴， ∵ ∴ 整理得 因式分解得 解得或 又∵由（1）知 ∴不符合题意，舍去 ∴ 【变式训练2】（2026·江苏宿迁·一模）在平面直角坐标系中，点，是抛物线上两个不同的点． (1)当时，求的值； (2)当，时，比较与的大小； (3)若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，；当时， (3)的取值范围是或 【思路引导】（1）根据一元二次方程根与系数关系直接求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴，然后分当时和当时两种情况讨论，根据抛物线的增减性比较大小即可； （3）先表示出，根据已知可得，分两种情况讨论：若和若，根据的取值范围列式求解即可． 【规范解答】（1）解：当时，，是一元二次方程的两个根， ． （2）解：抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为直线． 当时，抛物线开口向上，在对称轴右侧，随的增大而增大， ， ； 当时，抛物线开口向下，在对称轴右侧，随的增大而减小， ， ； （3）解： ， ，， ，， ， ， ，即， ， 若，则，即恒有， ，解得； ； 若，则，即恒有， ，解得； ； 综上，的取值范围是或． 【题型六 实际问题与一元二次方程】 【典例精讲】（2026·江苏无锡·一模）某农场拟用总长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为）的矩形养殖区（如图1），篱笆全部用于养殖区围挡． (1)若养殖区的面积计划为，请给出设计方案； (2)为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形区域（如图2），且．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，，围成这样的矩形养殖区符合题意 (2)面积不能达到，见解析 【思路引导】（1）设，则，根据“养殖区的面积计划为”列方程求解即可； （2）设，则，，根据题意列出一元二次方程，然后利用判别式判断即可． 【规范解答】（1）解：设，则． 由题意得：． 解得，． ，即， ∴， ， ∴， ∴，，围成这样的矩形养殖区符合题意； （2）解：设，则，， 由题意得：， 整理得， ， 方程无解， ∴面积不能达到． 【变式训练1】随着汽车数量的不断增加，停车成为一个难题．政府规划利用一块矩形空地修建一个小型停车场，布局如图所示．已知，，阴影部分为车位，需要硬化，其余部分均是宽度为的车道．已知硬化的面积为． (1)求车道的宽度的值； (2)该停车场共有个车位，据调查分析，当每个车位日租金为元时，可全部停满；若每个车位的日租金每上涨1元，就会少租出2个车位．每个车位日租金上涨多少元时，停车场日租金收入最高，且最高日租金是多少元？ 【答案】(1)车道的宽度的值为 (2)每个车位日租金上涨元时，停车场日租金收入最高，最高日租金为元 【思路引导】本题考查一元二次方程的实际应用与二次函数的最值问题，关键是建立正确的面积模型和租金收入函数． （1）根据图形结构，将阴影车位拼接为一个新矩形，用含的式子表示其长和宽，结合面积列出方程求解； （2）设租金上涨元，用含的式子表示日租金和租出车位数量，建立日租金收入的二次函数，利用二次函数的性质求最值． 【规范解答】（1）解：由题意，阴影部分车位拼接后形成的矩形长为米，宽为米， ， 展开化简为：， 因式分解得：， 解得或(舍去)； 故车道的宽度的值为． （2）解：设每个车位日租金上涨元，停车场日租金收入为元， 则每个车位的日租金为元，租出的车位数量为个， ， ， 该二次函数开口向下， 所以当时，有最大值，(元)． 故每个车位日租金上涨元时，停车场日租金收入最高，最高日租金为元． 【变式训练2】综合与实践： 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1： 某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在果园的四周铺设道路，上下两条横向道路（沿方向）的宽度都为米，左右两条纵向道路（沿方向）的宽度都为米，道路围合的中间矩形区域为种植园区（如图中阴影区域）．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过14米，且不小于7米． 素材2：该农户在种植园区种植草莓，市场调研信息：草莓培育一年可产果，若每平方米草莓的月销售利润为100元，每月可销售出5000平方米种植面积对应的草莓产量（即月销售覆盖5000平方米的种植面积）．受天气原因，农户决定降价促销，若每平方米的草莓月利润每下调1元，每月可多销售125平方米种植面积对应的草莓产量，果园每月的承包费为20000元． 问题解决 问题1 （1）种植园区的长为______米，宽为_______米；（用含的代数式表示） 问题2 （2）若种植园区的面积为44800平方米，道路设置的宽度是否符合要求？请说明理由． 问题3 （3）若农户预期一个月的总利润为552000元，为让客户得到实惠，每平方米草莓的月利润应该下调多少元？（总利润=销售利润-承包费） 【答案】（1）， （2）符合要求，理由见详解 （3）每平方米草莓的月利润应该下调48元 【思路引导】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系正确列式是关键． （1）根据图示，结合题意列式即可； （2）根据面积的计算，结合（1）列式求解即可； （3）设每平方米草莓的月利润应该下调元，根据数量关系列式求解即可． 【规范解答】解：（1）根据图示，种植园区的长米，宽为米； （2）符合要求，理由如下， ， 整理得，， 解得，，， ∵道路宽度不超过14米，且不小于7米， ∴，即道路设置的宽度符合要求； （3）设每平方米草莓的月利润应该下调元， ∴， 整理得，， 解得，，， ∵让客户得到实惠， ∴每平方米草莓的月利润应该下调48元． 【题型七 解分式方程】 【典例精讲】（2026·江苏泰州·一模）按要求完成下列计算： (1)计算： (2)解方程： 【答案】(1)4 (2) 【思路引导】（1）根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值分别计算即可； （2）根据解分式方程的方法解答即可； 【规范解答】（1）解： ． （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 解得：， 检验：当时，， 所以分式方程的根为． 【变式训练1】解方程及解不等式组： (1)解方程：； (2)解不等式组：． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了解分式方程和解一元一次不等式组，熟练掌握解方程和解不等式组的方法是解题的关键． （1）将分式方程转化为整式方程，解整式方程，注意检验是否为分式方程的解即可； （2）先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可． 【规范解答】（1）解： 方程两边都乘得：， 整理得：， 解得：，， 检验：把代入得：， 把代入得：， 因此，原分式方程的解是，； （2）解： 解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解集是． 【变式训练2】在百米赛跑上，甲乙同向运动，甲以的速度匀速运动，乙在甲跑了2秒后也开始以一定速度匀速运动，若要使得两者同时到达，设乙的速度为，可列出关于x的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据甲乙的出发时间和同时到达的条件，找时间等量关系列方程即可，总路程为100米，利用时间=路程÷速度表示两人走完全程的时间，再根据时间关系列方程． 【规范解答】解：∵百米赛跑总路程为，甲的速度为， ∴甲走完全程的总时间为 ∵乙比甲晚出发，且两人同时到达终点，乙的速度为， ∴乙走完全程的时间为，乙的运动时间加上晚出发的等于甲的总运动时间， 因此列方程得． 【题型八 实际问题与分式方程】 42．（2026·江苏南通·一模）2025年11月9日南通海门成功举办了马拉松比赛．已知赛程总长约为42km，其中甲选手的平均速度是乙选手的1.2倍，最终甲选手到达终点的时间比乙选手提前40分钟，若设乙选手的平均速度是，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】利用公式“时间=路程÷速度”分别表示甲、乙的全程用时，统一时间单位后，根据甲比乙提前到达的时间关系列出方程即可 【规范解答】解：∵设乙选手的平均速度为， ∴甲选手的平均速度为. ∵总路程为，时间， ∴乙跑完全程的时间为，甲跑完全程的时间为. ∵甲比乙提前分钟到达，统一单位得分钟，且乙的用时大于甲的用时， ∴可列方程 【变式训练1】（2026·江苏扬州·一模）高邮市汪曾祺纪念馆现已被认证为国家AAA景区．现某校准备采购印有汪曾祺纪念馆的、两种类型文创冰箱贴作为奖品．已知个种冰箱贴和个种冰箱贴的进价之和为元，用元购进的种冰箱贴的数量和用元购进的种冰箱贴的数量相同．求和两种冰箱贴的进价． 【答案】、两种冰箱贴的进价分别为元/件、元/件 【思路引导】设A种冰箱贴的进价为元/件，则B种冰箱贴的进价为元/件，根据题意列分式方程求解即可． 【规范解答】解：设A种冰箱贴的进价为元/件，则B种冰箱贴的进价为元/件， 依题意得：， 解得， 经检验是原方程的根，且符合题意， 当时，， 答：、两种冰箱贴的进价分别为元/件、元/件． 【变式训练2】某商店决定购A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同． (1)求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如下表， 售价x（元/件） 销售量（件） 100 ①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？ ②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为每件元时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，直接写出m的值． 【答案】(1)，两种纪念品每件的进价分别是元和元 (2)①当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元；②32 【思路引导】（1）设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元，根据用1000元购进种纪念品的数量和用400元购进种纪念品的数量相同，列出分式方程，进行求解即可； （2）①设利润为，根据图表，利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出函数关系式，根据函数的性质，求出最值即可；②根据题意可得，此时该商场购进型纪念品为件，再由A型纪念品的件数不小于50件，可得，设总利润为，求出函数关系式，根据二次函数函数的性质，即可求出的值． 【规范解答】（1）解：设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元， 由题意，得：， 解得：， 经检验：是原方程的解； 当时：； ∴，两种纪念品每件的进价分别是元和元； （2）解：①设利润为，由表格，得： 当时，， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当售价为元时，利润最大为：元； 当，， ∵， ∴当时，利润最大为元； 综上：当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元． ②∵商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数， ∴A型纪念品的件数小于100件， ∴，此时该商场购进型纪念品为件， ∴购进型纪念品为件， ∵A型纪念品的件数不小于50件， ∴， ∴， 设总利润为y元，根据题意得： ， ∴ ， ∴当时， y随x的增大而增大， ∵， ∴， ∴当时，y有最大值， ∵将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元， ∴， 解得：． 【考点剖析】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，二次函数的应用．根据题意，正确的列出分式方程和函数表示式，利用函数的性质，求最值是解题的关键． 【题型九 解不等式(组)】 【典例精讲】（2026·江苏泰州·模拟预测）计算和解不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【思路引导】（1）根据二次根式的性质、特殊角三角函数值以及零指数幂的运算法则分别化简各项，然后再合并即可； （2）分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后再取它们的公共部分即可得到不等式组的解集． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：， 解①，得 ， 解②，得 ， ∴原不等式组的解集为． 【变式训练1】（2026·江苏无锡·一模）解方程与不等式组 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先计算根的判别式，再代入求根公式即可得到方程的解； （2）先分别求出两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【规范解答】（1）解：， 这里， ， ∴， ∴； （2）解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：； 所以，不等式组的解集为：． 【变式训练2】（2026·江苏南通·模拟预测）计算： (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中； (3)解不等式组：． 【答案】(1) (2)， (3) 【思路引导】（1）根据二次根式的性质、零指数幂、绝对值以及特殊角的三角函数值等知识化简，再进行二次根式的加减运算即可求解； （2）先根据分式的混合运算法则进行化简，再代入求值即可求解； （3）根据求不等式组的解集的方法求解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ， ， 则原式； （3）解：， 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为． 【题型十 实际问题与不等式（组)】 【典例精讲】（2024·江苏宿迁·三模）校为调整学生的伙食，计划购买一批水果．市场调查发现，甲种水果售价元/千克与购买的质量千克之间的函数关系如图所示，乙种水果售价为5元/千克，两种水果共需购买240千克． (1)当时，求与的函数关系式； (2)若购买甲种水果不少于40千克，且购买乙种水果不低于甲种水果的2倍，如何购买两种水果才能使总费用(元)最少？最少是多少元？ 【答案】(1) (2)购买甲种水果千克，乙种水果千克时，总费用最少，最少为元 【思路引导】本题考查一元一次不等式组、一次函数、二次函数的应用； （1）利用待定系数法求解并写为分段函数的形式即可； （2）甲种水果的质量为a千克()，则购买乙种水果千克，根据题意列关于的一元一次不等式组并求解；按照不同的取值范围，分别根据“总费用甲种水果的售价甲种水果的购买质量乙种水果的售价乙种水果的购买质量”写出关于的函数关系式，根据函数的增减性和的取值范围分别求出当为何值时值最小，求出最小值及对应的值，比较的两个最小值，选择较小的一个即可． 【规范解答】（1）解：由图像可知，当甲种水果质量千克时，费用保持不变，为元千克， 所以函数关系式为：， 当甲种水果质量千克时，函数图像为直线， 设函数关系式为：， 将，和，分别代入函数关系式得： ， 解得：， ， 当时，与的函数关系式应为： ． （2）解：设甲种水果的质量为千克 ，则乙种水果的质量为千克， 乙种水果的质量不低于甲种水果质量的倍， ， 解得：， 的范围为：， 当时， ， 此时当最小时，最小， 即当时，有最小值元， 当时， ， 此时当时，离对称轴最远，最小， 即当时，有最小值 元， ， 当时总费用最少，为元，此时千克 故购买甲种水果千克，乙种水果千克时，总费用最少，最少为元． 【变式训练1】某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩，若购进2箱甲型口罩和1箱乙型口罩，共需要资金2800元；若购进3箱甲型口罩和2箱乙型口罩，共需要资金4600元． (1)求甲、乙型号口罩每箱的进价为多少元？ (2)该医药器材经销商计划购进甲、乙两种型号的口罩用于销售，预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种型号口罩共20箱，请问有几种进货方案？并写出具体的进货方案； (3)若销售一箱甲型口罩，利润率为，乙型口罩的售价为每箱1280元，为了促销，公司决定每售出一箱乙型口罩，返还顾客现金m元，而甲型口罩售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求m的值． 【答案】(1)甲型号口罩每箱进价为1000元，乙型号口罩每箱进价为800元 (2)共有四种方案，方案一：购进甲型口罩7箱、乙型口罩13箱；方案二：购进甲型口罩8箱、乙型口罩12箱；方案三：购进甲型口罩9箱、乙型口罩11箱；方案四：购进甲型口罩10箱、乙型口罩10箱 (3)80 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用． （1）设甲型口罩每箱的进价为x元，乙型口罩每箱的进价为y元，根据“若购进2箱甲型口罩和1箱乙型口罩，共需要资金2800元；若购进3箱甲型口罩和2箱乙型口罩，共需要资金4600元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进a箱甲型口罩，则购进箱乙型口罩，根据进货总价不多于万元且不少于万元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再结合a为正整数即可得出各进货方案； （3）设销售完20箱口罩后获得的利润为w元，根据总利润每箱利润销售数量（进货数量），即可得出w关于a的函数关系式，由（2）中所有方案获利相同可得出，解之即可得出m的值． 【规范解答】（1）解：设甲型号口罩每箱进价为x元，乙型号口罩每箱进价为y元， 根据题意可得：， 解得， 答：甲型号口罩每箱进价为1000元，乙型号口罩每箱进价为800元． （2）解：设购进甲型号口罩a箱，则购进乙型号口罩箱， 根据题意可得：， 解得， a可取7、8、9、10， 共有四种方案， 方案一：购进甲型口罩7箱、乙型口罩13箱； 方案二：购进甲型口罩8箱、乙型口罩12箱； 方案三：购进甲型口罩9箱、乙型口罩11箱； 方案四：购进甲型口罩10箱、乙型口罩10箱； （3）解：设销售完20箱口罩后获得的利润为w元，甲型口罩每箱利润为， 依题意，得， 当时，w始终等于8000，取值与a无关． 【变式训练2】某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用、两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）．型车每辆租金元，型车每辆租金元．若辆型和辆型车坐满后共载客人；辆型和辆型车坐满后共载客人． (1)每辆型车、型车坐满后各载客多少人？ (2)若该校计划租用型和型两种客车共辆，总租金不高于元，并将全校人载至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ (3)在这次活动中，学校除租用、两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为千米，甲车从学校出发小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早小时到达目的地．下图是两车离开学校的路程（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数图象．根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，为何值时两车相距千米． 【答案】(1)每辆型车、型车坐满后各载客人、人 (2)共有种租车方案，租辆型车，辆型车最省钱 (3)在甲乙两车第一次相遇后，当小时或小时时，两车相距千米 【思路引导】（1）设每辆型车、型车坐满后各载客人、人，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设租用型车辆，则租用型车辆，由题意列出一元一次不等式组，解不等式组，求整数解即可得出的值，设总租金为元，根据一次函数的性质即可求解； （3）设，，由题意可知，甲车的函数图像经过；乙车的函数图像经过，两点．求出函数解析式，进而即可求解． 【规范解答】（1）解：设每辆型车、型车坐满后各载客人、人，由题意得      解得     答：每辆型车、型车坐满后各载客人、人 （2）设租用型车辆，则租用型车辆，由题意得   解得：     取正整数， ，，， 共有种租车方案     设总租金为元，则 随着的增大而减小 时，最小 租辆型车，辆型车最省钱 （3）设，． 由题意可知，甲车的函数图象经过；乙车的函数图象经过，两点． ∴，     ，即 解得     或 解得 所以，在甲乙两车第一次相遇后，当小时或小时时，两车相距25千米． 【考点剖析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意找到等量关系，列出方程组，不等式组，以及函数解析式是解题的关键． 第二部分 分层训练 实战攻坚 『基础能力提升』 1．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据五只雀六只燕共重16两，可得第一个方程：，互换其中一只后，一方剩余只雀和只燕，另一方剩余只雀和只燕，二者重量相等，可得第二个方程：，即可得到答案． 【规范解答】解：设雀每只两，燕每只两， ． 2．已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】利用不等式的性质逐项判断即可． 【规范解答】解：已知， A、两边同时减去1，得，则A不符合题意， B、两边同时除以2，得，则B不符合题意， C、两边同时乘以，得，则C不符合题意， D、两边同时加上1，得，则D符合题意． 3．（2026·江苏无锡·一模）明代数学家程大位的著作《算法统宗》中有一个问题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉五钱五斤鱼．问肉、鱼各价几何？若设肉x元/斤，鱼y元/斤，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】从题干中提取两个等量关系，依次列方程即可得到结果． 【规范解答】解：设肉元/斤，鱼元/斤，根据题意得， ． 4．（2026·江苏南京·一模）不等式组的解集是______． 【答案】 【思路引导】分别求解两个一元一次不等式，再确定两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【规范解答】解：解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组的解集为． 5．（2026·江苏常州·一模）已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】 【思路引导】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，据此列方程求解即可得到的值． 【规范解答】解：关于的方程有两个相等的实数根， ， ∵，，， ∴ ，整理得， 解得． 6．（2026·江苏南京·一模）某工厂经过调研，发现该厂某产品的月需求量（单位：万件）是销售单价x（单位：元）的反比例函数，其图像如图所示．该产品的月供应量（单位：万件）是销售单价x的一次函数，若销售单价为20元，则月供应量为10万件；若销售单价为40元，则月供应量为30万件．当该产品的月需求量和月供应量相等时，其销售单价为______元． 【答案】 30 【思路引导】根据待定系数法分别求出月需求量、月供应量关于销售单价x的函数，然后令求解即可. 【规范解答】解：设， 把代入，得， ∴， 设， 把，；，分别代入，得， 解得， ∴， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴当该产品的月需求量和月供应量相等时，其销售单价为30元. 7．（2026·江苏无锡·二模）解方程（不等式） (1)； (2)． 【答案】(1) (2)不等式组的解集为 【思路引导】（1）利用配方法解一元二次方程，按步骤配方后开方即可得到结果； （2）分别求解不等式组中两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分即可得到不等式组的最终解集． 【规范解答】（1）解：解方程 移项得 配方得 即 开方得 解得． （2）解：解不等式组 解第一个不等式 移项得 系数化为1得 解第二个不等式 去分母得 去括号得 移项合并得 系数化为1得 所以不等式组的解集为． 8．苏超联赛，球迷团队需购买“手幅”．现有甲、乙两种型号的“手幅”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多元，购买甲、乙两种型号各个共需元．求甲、乙两种型号的“手幅”单价各是多少元？ 【答案】甲种型号的“手幅”的单价是元，乙种型号的“手幅”的商品单价是元 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系是本题的关键．设乙种型号的“手幅”单价是元，则甲种型号的“手幅”单价是元，根据“购买甲、乙两种型号各个共需元”列出一元一次方程，解方程即可得解． 【规范解答】解：设乙种型号的“手幅”单价是元，则甲种型号的“手幅”单价是元． 根据题意得：， 解得， ． 答：甲种型号的“手幅”单价是元，乙种型号的“手幅”单价是元． 9．（2026·江苏常州·一模）如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点，星港街上的点与点的距离为． (1)若甲从点出发，骑车向北匀速直行；同时乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．经过分钟或分钟时，甲、乙两人与点的距离相等．求甲、乙两人的速度； (2)若甲从点先出发，骑车向北匀速直行，1分钟后，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，则甲出发______分钟，两人与点的距离相等． 【答案】(1)，乙的速度是 (2)4分钟或7分钟 【思路引导】（1）设甲的速度是，乙的速度是，根据题意列出方程组，解出的值即可； （2）设甲出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、，根据题意分、、三种情况分析，分别求出、与的关系式，结合列出方程，求出的值即可解答． 【规范解答】（1）解：设甲的速度是，乙的速度是， ∵经过分钟或分钟时，甲、乙两人与点的距离相等 ∴， 解得：， 甲的速度是，乙的速度是； （2）解：设甲出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、， 甲到达A点所用时间为， ①当时，，， 令，则，解得（舍去）； ②当时，，， 令，则， 解得； ③当，，， 令，则， 解得：； 综上所述，甲出发4分钟或7分钟后，两人与点的距离相等． 10．（2026·江苏南京·模拟预测）某智能手机代工厂接到生产万部智能手机的订单，为了满足客户尽快交货的要求，工厂增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了，结果比原计划提前个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部？ 【答案】每月实际生产智能手机万部． 【思路引导】设原计划每月生产智能手机万部，则实际每月生产智能手机万部，根据工作时间工作总量工作效率结合提前个月完成任务，列出分式方程，即可求解． 【规范解答】解：设原计划每月生产智能手机万部，则实际每月生产智能手机万部， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：每月实际生产智能手机万部． 『拔尖突破冲刺』 1．（2026·江苏盐城·一模）小明参加了一场1500米的跑步比赛，他以4米/秒的速度跑了一段路程后，又以3米/秒的速度跑完了剩下的路程，一共花了7.5分钟，设小明以4米/秒的速度跑了x米，则列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据两段跑步的总时间等于总用时建立方程. 【规范解答】解：∵设小明以米/秒的速度跑了米，总路程为米， ∴剩下的路程为米， ∴以米/秒跑米的时间为秒，以米/秒跑剩下路程的时间为秒， ∵总用时为分钟，需统一单位为秒，即总时间为秒， ∴根据总时间的等量关系可列方程. 2．（2026·江苏苏州·一模）我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 【答案】C 【思路引导】根据“同构二次方程”的定义，两个方程的顶点式中的值相同，由第一个方程可知，故第二个方程也满足此条件，通过比较两个方程展开式的系数即可建立方程组求解． 【规范解答】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程与方程为同一个方程， ， ， ， 解得：． 3．（2026·江苏无锡·二模）在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据“A，B两个物体的密度之比为”，列方程求解即可； 【规范解答】解：∵A体积为，B体积比A大，因此B体积为， 由得： A的密度， B的密度， ∵， 即， ∴． 4．（2025·江苏无锡·一模）定义：若x，y满足，（m为常数），则称为“和谐点”．下列说法正确的是（   ） ①是“和谐点”；②直线上有且只有一个“和谐点”；③当时，反比例函数的图象上最多只有两个“和谐点”；④若二次函数的图象上有3个“和谐点”，则或． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【思路引导】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，反比例函数的性质，判别式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．分别把代入和，都求出，即可判断①；先整理得，得或当 ，再结合，得出，则，求出，此时反比例函数的图象上有两个“和谐点”；同理结合，得，得可以为正数，零，负数，即可判断③；把或当 与构建方程组得到两个一元二次方程，根据二次函数的图象上有3个“和谐点”，则两个方程有一个方程有两个不相等的实数根，另一个方程有两个相等的实数根；或两个方程都有两个不相等的实数根，但两个方程有一个公共的实数根，据此讨论求解即可判断④． 【规范解答】解：依题意，把代入， ∴， ∴； 把代入把， ∴， ∴； ∴是“和谐点”； 故①说法是正确的； 依题意，把代入，得， 再把代入， 得， 解得或； ∴直线上有两个“和谐点”； 故②说法是错误的； ∵，， ∴，， 则， ∴， ∴， ∴或当 ， ∵反比例函数的图象上 ∴依题意，则， ∴， 则， ∵， ∴， 此时反比例函数的图象上有两个“和谐点”； 或， ∴， ， ∵， ∴可以为正数，零，负数， 综上当时，反比例函数的图象上最多只有四个“和谐点”； 故③说法是错误的； 联立，得， ∴， 联立，得， ∴方程要么没有实数根，要么有两个不相等的实数根或时，有两个相等的实数根， 当时，此时，即此时方程没有实数根， ∴此时二次函数的图象上只有1个“和谐点”，不符合题意； ∵二次函数的图象上有3个“和谐点”， ∴方程和一共有3个实数根， 当方程有两个相等的实数根，方程有两个不相等的实数根或方程有两个不相等的实数根，方程有两个不相等的实数根，且两个方程有一个实数根相同， ∴，解得； 联立，解得， ∴时方程和方程的解， ∴，解得； 综上所述，或，故④正确； 故选：B． 5．（2026·江苏泰州·一模）一个大正方形和四个全等的小正方形按图1、图2两种方式摆放．根据图中数据，可求得小正方形边长为_____． 【答案】1 【思路引导】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据图示可得等量关系求解即可． 【规范解答】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 由图1和2列出方程组得：， 得， 解得：， 所以小正方形的边长为． 6．（2026·江苏南京·模拟预测）砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的砖雕作品，图②是它的设计图，其中扇形和扇形有相同的圆心O．已知的长为，和的长分别为和，则该砖雕的面积为______． 【答案】140 【思路引导】设扇形的半径为，扇形的半径为，利用弧长公式得出半径之比，结合的长求出和的值，最后利用扇形面积公式求解即可． 【规范解答】解：设扇形的半径为，扇形的半径为，圆心角为， 弧的长为，弧的长为， ，， ，即． ， ， 解得， ， 该砖雕的面积为 ． 7．（2026·江苏宿迁·二模）一个盒中装着仅颜色不同的颗白色小球和颗黑色小球，从盒中随机取出一颗小球，取得白色小球的概率是．如果再往盒中放进6颗同样的白色小球，取得白色小球的概率是，则原来盒中有白色小球__________颗． 【答案】6 【思路引导】根据概率公式可得，则，再由概率公式可得，据此求解即可． 【规范解答】解：∵没有放入白色小球前，从盒中随机取出一颗小球，取得白色小球的概率是， ∴， ∴，即， ∵再往盒中放进6颗同样的白色小球，取得白色小球的概率是， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴原来盒中有白色小球6颗． 8．（2026·江苏南京·一模）如图，是的弦，点C在过点B的切线上，且，交于点P． (1)判断的形状并证明； (2)若，和的面积比是，则的长度是______． 【答案】(1)是等腰三角形，证明见解析 (2)． 【思路引导】（1）利用等角的余角相等求得，再推出，即可证明是等腰三角形； （2）作于点，证明，利用面积相等求得，设，，利用勾股定理和半径相等列式计算即可求解． 【规范解答】（1）解：是等腰三角形， 证明：∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵和的面积比是，即， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴． 9．（2026·江苏扬州·一模）谁的购买方式更划算：刘奶奶和张奶奶喜欢结伴去社区超市购买同一品种的大米，每次购买的价格有波动，她们各自的购物习惯也有不同． (1)刘奶奶和张奶奶两次购买大米：第一次大米的价格为6元/kg，第二次大米的价格为5元/kg．两次购买大米总体看谁更划算？ (2)如果第一次购买大米的价格为元/kg，第二次购买大米的价格为元/kg，且，则两次购买大米总算下来谁更划算呢？ 【答案】(1)总体看刘奶奶更划算 (2)总体看刘奶奶更划算 【思路引导】对于（1），因为已知两次大米的具体单价，所以分别根据刘奶奶和张奶奶的购买习惯，计算两人两次购买的总花费和总质量，再利用平均单价公式算出各自的平均单价，最后比较大小． 对于（2），因为单价是字母和，所以同样按照（1）的思路，用含、的代数式表示出两人的总花费、总质量，进而得到平均单价的代数式，再通过作差法比较两个代数式的大小，判断谁的平均单价更低． 【规范解答】（1）解：刘奶奶两次购买大米的均价为元/kg， 张奶奶两次购买大米的均价为元/kg， ， 总体看刘奶奶更划算． （2）解：刘奶奶两次购买大米的均价为元/kg， 张奶奶两次购买大米的均价为元/kg， ， 又购买大米的价格都在波动，即，， ， ， 总体看刘奶奶更划算． 10．（2026·湖南长沙·一模）我们约定：一元二次方程与一元二次方程互为“轮转对称方程”．二次函数与二次函数互为“轮转对称函数”． (1)直接写出的“轮转对称方程”，并解出这个“轮转对称方程”； (2)对于任意非零实数m，n，点与点始终在关于x的函数的图象上运动，函数与互为“轮转对称函数”． ①求函数的图象的对称轴； ②函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由； (3)若关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限，且，其“轮转对称函数”的图象与x轴交于A、B两点，顶点为点D，与y轴交于点C，点M是的中点，点O是坐标原点．已知，试求：的最大值． 【答案】(1)；， (2)①对称轴为；②过定点， (3)6 【思路引导】（1）根据题意写出方程，然后用因式分解法解方程即可； （2）①根据点P、Q的坐标先求得的对称轴，得到m、n的关系，然后写出表达式，进而根据对称轴公式，即可解答；②根据①中求得的m、n的关系，把的表达式化为，令，据此解答即可； （3）根据题意先求得，设“轮转对称函数”的图象与x轴交于，，根据已知推出，从而得到，进而根据根与系数的关系和二次函数的顶点坐标公式得到，然后化简，根据二次函数的最值问题解答即可． 【规范解答】（1）解：由题可知，的“轮转对称方程”是， 即， 解得，； （2）解：①点与点始终在关于x的函数的图象上运动， 对称轴为， ， ∵函数与互为“轮转对称函数”， ， 函数的图象的对称轴为； ②， 令， 解得，， 函数的图象过定点，． （3）解：关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限， 且， ， 同号， 又且， ， 设“轮转对称函数”的图象与x轴交于，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 令， ， ， ， 当时，， 即的最大值为6． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四讲 方程与不等式『重点难点突围专项练（江苏专用）』 （十大题型讲练+难度分层练 共50题） 【原卷版】 简介 蓄力升学 逐梦前行 『真题溯源·江苏专版』本资料深度剖析江苏省近两年中考真题及前沿模拟题，直击中考高频考点，精准锁定每年必考的常考题型与思想方法，让你的练习不偏科、不做无用功。 【第一部分 题型讲练·模型拆解】采用“例题精讲+变式训练”模式，对每类重难点题型进行标准化拆解。配套详尽的解题思路与规范步骤，不仅教会你如何解题，更传授得分技巧，帮你建立满分思维。 【第二部分 能力分层·稳步提升】科学设置20题分层训练： 1. 基础能力提升（10题）：快速夯实核心考点，确保基础分不丢分； 2. 拔尖突破冲刺（10题）：聚焦易错题与综合压轴题，挑战思维极限，实现分数阶梯式增长。 『助力升学·决胜考场』依托真题本源，对标中考难度。这套讲义是你通往理想高中的坚实阶梯，愿你以梦为马，提笔为剑，在中考战场上披荆斩棘，金榜题名！ 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 实际问题与一元一次方程 题型二 解二元一方程组 题型三 实际问题与二元一次方程组 题型四 解一元二次方程 题型五 一元二次方程根与系数的关系 题型六 实际问题与一元二次方程 题型七 解分式方程 题型八 实际问题与分式方程 题型九 解不等式(组) 题型十 实际问题与不等式（组) 第一部分 精讲变式 融会贯通 【题型一 实际问题与一元一次方程】 【典例精讲】（2026·江苏扬州·一模）2026年是红军长征胜利90周年，某车间接到制作一批纪念章的任务，原计划每天制作400枚可以完成．实际制作时，每天比原计划多做100枚，结果提前5天完成任务，求这批纪念章一共有多少枚？设这批纪念章一共有x枚，请列方程解决问题． 【变式训练1】（2026·江苏连云港·一模）某种直饮机上有温水、开水两个按钮，操作屏示意图如图所示，小明先接温水再接开水，打算接的水，期间不计热损失，利用图中信息解决下列问题： 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量（开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度）． 生活经验：饮水适宜温度是（包括与）． (1)若小明先接温水，则还需再接开水的时间为____； (2)设小明接温水的时间为 ， ①若最终杯子中水的温度是，求的值； ②若要使水杯中水的温度为饮水适宜温度，求的取值范围． 【变式训练2】（2026·江苏无锡·一模）杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质杆秤、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】 组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力动力臂阻力阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总质量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当秤杆平衡时，得． (1)若取，为了得到零刻度点O的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点C的位置即为点O．请计算此时的长． 【数学建模】 (2)在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析y与x之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当x每增加相同的数值，y的增加量是否也相同？ 【调整优化】 (3)杆秤可用的长度，为了保证杆秤的最大刻度不小于，请计算说明a的取值范围． 【题型二 解二元一方程组】 【典例精讲】（2026·江苏南京·模拟预测）解方程（组） (1) 解方程：； (2)解方程组． 【变式训练1】（2025·江苏常州·模拟预测）解方程组和不等式组： (1) (2) 【变式训练2】（2025·江苏南通·模拟预测）（1）解方程组： （2） 先化简，再求值：，其中． 【题型三 实际问题与二元一次方程组】 【典例精讲】（2024·江苏苏州·二模）每年3月22日是世界水日，这个节日旨在唤起公众节水意识，加强水资源保护．我市市政府为了鼓励居民节约用水，决定实行分级收费制度．若每月用水量不超过13吨（含13吨），每吨按政府补贴优惠价a元收费；若每月用水量超过13吨，则超过部分每吨按市场价b元收费．张明家3月份用水15吨，交水费33元；5月份用水21吨，交水费54元． (1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？ (2)设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数关系式； (3)张明家7月份交水费68元，则他家7月份用了多少吨水？ 【变式训练1】（2026·江苏苏州·模拟预测）在一堂化学活动课前，李老师给同学们布置了一个任务：制作A、B两种化学分子的模型，每个化学分子的模型都需要用到小球和塑料管．老师演示了一下，用32个小球、26根塑料管可以制作2个分子模型与1个B分子模型，制作一个A分子模型需要的小球、塑料管数量比为，制作一个B分子模型需要的小球、塑料管数量比为，已知每根塑料管价格是每个小球价格的一半． (1)制作一个A，B分子模型分别需要小球、塑料管的数量各是多少？ (2)李老师说道：“上次的活动课上，我花费200元购得的塑料管数量比花320元购得的小球数量多了80．今天我路过文具商店的时候，看到了促销广告：‘每购买3个小球赠送1根塑料管，清理库存，数量有限！小球仅剩1760个，塑料管仅剩1404根．’我向学校申请了项目活动经费2050元采购小球和塑料管，全部用来制作化学分子模型，一个模型和一个模型为一套，至少需要制作65套才够用．”要使得购买的小球数量按促销广告匹配赠送塑料管后无剩余，且所有材料做成分子模型刚好配套，请你们帮老师算一算，有几种采购方案？（要求：根据题意列出方程、不等式解决问题） 【变式训练2】某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元． (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8 000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，则要购进A型、B型汽车各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【题型四 解一元二次方程】 【典例精讲】2026·江苏徐州·一模）解方程或解不等式组． (1)解方程：； (2)解不等式组：． 【变式训练1】（2026·江苏常州·一模）解方程、解不等式组： (1) ； (2)． 【变式训练2】（2026·江苏徐州·一模）解方程及解不等式组： (1)解方程：； (2)解不等式组． 【题型五 一元二次方程根与系数的关系】 【典例精讲】（2026·江苏宿迁·三模）约定：在平面直角坐标系内，如果一个点的纵坐标是横坐标的平方，就称这个点为“二次方值点”．若函数（为常数）在第一象限的图象上存在两个不同的“二次方值点”，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知：关于的方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)若两实数根、满足，求的值． 【变式训练2】（2026·江苏宿迁·一模）在平面直角坐标系中，点，是抛物线上两个不同的点． (1)当时，求的值； (2)当，时，比较与的大小； (3)若对于，，都有，求的取值范围． 【题型六 实际问题与一元二次方程】 【典例精讲】（2026·江苏无锡·一模）某农场拟用总长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为）的矩形养殖区（如图1），篱笆全部用于养殖区围挡． (1)若养殖区的面积计划为，请给出设计方案； (2)为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形区域（如图2），且．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 【变式训练1】随着汽车数量的不断增加，停车成为一个难题．政府规划利用一块矩形空地修建一个小型停车场，布局如图所示．已知，，阴影部分为车位，需要硬化，其余部分均是宽度为的车道．已知硬化的面积为． (1)求车道的宽度的值； (2)该停车场共有个车位，据调查分析，当每个车位日租金为元时，可全部停满；若每个车位的日租金每上涨1元，就会少租出2个车位．每个车位日租金上涨多少元时，停车场日租金收入最高，且最高日租金是多少元？ 【变式训练2】综合与实践： 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1： 某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在果园的四周铺设道路，上下两条横向道路（沿方向）的宽度都为米，左右两条纵向道路（沿方向）的宽度都为米，道路围合的中间矩形区域为种植园区（如图中阴影区域）．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过14米，且不小于7米． 素材2：该农户在种植园区种植草莓，市场调研信息：草莓培育一年可产果，若每平方米草莓的月销售利润为100元，每月可销售出5000平方米种植面积对应的草莓产量（即月销售覆盖5000平方米的种植面积）．受天气原因，农户决定降价促销，若每平方米的草莓月利润每下调1元，每月可多销售125平方米种植面积对应的草莓产量，果园每月的承包费为20000元． 问题解决 问题1 （1）种植园区的长为______米，宽为_______米；（用含的代数式表示） 问题2 （2）若种植园区的面积为44800平方米，道路设置的宽度是否符合要求？请说明理由． 问题3 （3）若农户预期一个月的总利润为552000元，为让客户得到实惠，每平方米草莓的月利润应该下调多少元？（总利润=销售利润-承包费） 【题型七 解分式方程】 【典例精讲】（2026·江苏泰州·一模）按要求完成下列计算： (1) 计算： (2)解方程： 【变式训练1】解方程及解不等式组： (1) 解方程：； (2)解不等式组：． 【变式训练2】在百米赛跑上，甲乙同向运动，甲以的速度匀速运动，乙在甲跑了2秒后也开始以一定速度匀速运动，若要使得两者同时到达，设乙的速度为，可列出关于x的方程为（   ） A． B． C． D． 【题型八 实际问题与分式方程】 42．（2026·江苏南通·一模）2025年11月9日南通海门成功举办了马拉松比赛．已知赛程总长约为42km，其中甲选手的平均速度是乙选手的1.2倍，最终甲选手到达终点的时间比乙选手提前40分钟，若设乙选手的平均速度是，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2026·江苏扬州·一模）高邮市汪曾祺纪念馆现已被认证为国家AAA景区．现某校准备采购印有汪曾祺纪念馆的、两种类型文创冰箱贴作为奖品．已知个种冰箱贴和个种冰箱贴的进价之和为元，用元购进的种冰箱贴的数量和用元购进的种冰箱贴的数量相同．求和两种冰箱贴的进价． 【变式训练2】某商店决定购A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同． (1)求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如下表， 售价x（元/件） 销售量（件） 100 ①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？ ②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为每件元时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，直接写出m的值． 【题型九 解不等式(组)】 【典例精讲】（2026·江苏泰州·模拟预测）计算和解不等式组： (1) ； (2)． 【变式训练1】（2026·江苏无锡·一模）解方程与不等式组 (1)； (2) 【变式训练2】（2026·江苏南通·模拟预测）计算： (1) 计算：； (2) 先化简，再求值：，其中； (3) 解不等式组：． 【题型十 实际问题与不等式（组)】 【典例精讲】（2024·江苏宿迁·三模）校为调整学生的伙食，计划购买一批水果．市场调查发现，甲种水果售价元/千克与购买的质量千克之间的函数关系如图所示，乙种水果售价为5元/千克，两种水果共需购买240千克． (1)当时，求与的函数关系式； (2)若购买甲种水果不少于40千克，且购买乙种水果不低于甲种水果的2倍，如何购买两种水果才能使总费用(元)最少？最少是多少元？ 【变式训练1】某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩，若购进2箱甲型口罩和1箱乙型口罩，共需要资金2800元；若购进3箱甲型口罩和2箱乙型口罩，共需要资金4600元． (1)求甲、乙型号口罩每箱的进价为多少元？ (2)该医药器材经销商计划购进甲、乙两种型号的口罩用于销售，预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种型号口罩共20箱，请问有几种进货方案？并写出具体的进货方案； (3)若销售一箱甲型口罩，利润率为，乙型口罩的售价为每箱1280元，为了促销，公司决定每售出一箱乙型口罩，返还顾客现金m元，而甲型口罩售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求m的值． 【变式训练2】某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用、两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）．型车每辆租金元，型车每辆租金元．若辆型和辆型车坐满后共载客人；辆型和辆型车坐满后共载客人． (1)每辆型车、型车坐满后各载客多少人？ (2)若该校计划租用型和型两种客车共辆，总租金不高于元，并将全校人载至目的地．该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？ (3)在这次活动中，学校除租用、两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为千米，甲车从学校出发小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早小时到达目的地．下图是两车离开学校的路程（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数图象．根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，为何值时两车相距千米． 第二部分 分层训练 实战攻坚 『基础能力提升』 1．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 2．已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏无锡·一模）明代数学家程大位的著作《算法统宗》中有一个问题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急；道旁行人告诉他，九斤肉五钱五斤鱼．问肉、鱼各价几何？若设肉x元/斤，鱼y元/斤，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏南京·一模）不等式组的解集是______． 5．（2026·江苏常州·一模）已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为______． 6．（2026·江苏南京·一模）某工厂经过调研，发现该厂某产品的月需求量（单位：万件）是销售单价x（单位：元）的反比例函数，其图像如图所示．该产品的月供应量（单位：万件）是销售单价x的一次函数，若销售单价为20元，则月供应量为10万件；若销售单价为40元，则月供应量为30万件．当该产品的月需求量和月供应量相等时，其销售单价为______元． 7．（2026·江苏无锡·二模）解方程（不等式） (1)； (2)． 8．苏超联赛，球迷团队需购买“手幅”．现有甲、乙两种型号的“手幅”，已知一个甲种型号比一个乙种型号多元，购买甲、乙两种型号各个共需元．求甲、乙两种型号的“手幅”单价各是多少元？ 9．（2026·江苏常州·一模）如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点，星港街上的点与点的距离为． (1)若甲从点出发，骑车向北匀速直行；同时乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．经过分钟或分钟时，甲、乙两人与点的距离相等．求甲、乙两人的速度； (2)若甲从点先出发，骑车向北匀速直行，1分钟后，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，则甲出发______分钟，两人与点的距离相等． 10．（2026·江苏南京·模拟预测）某智能手机代工厂接到生产万部智能手机的订单，为了满足客户尽快交货的要求，工厂增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了，结果比原计划提前个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部？ 『拔尖突破冲刺』 1．（2026·江苏盐城·一模）小明参加了一场1500米的跑步比赛，他以4米/秒的速度跑了一段路程后，又以3米/秒的速度跑完了剩下的路程，一共花了7.5分钟，设小明以4米/秒的速度跑了x米，则列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏苏州·一模）我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 3．（2026·江苏无锡·二模）在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏无锡·一模）定义：若x，y满足，（m为常数），则称为“和谐点”．下列说法正确的是（   ） ①是“和谐点”；②直线上有且只有一个“和谐点”；③当时，反比例函数的图象上最多只有两个“和谐点”；④若二次函数的图象上有3个“和谐点”，则或． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 5．（2026·江苏泰州·一模）一个大正方形和四个全等的小正方形按图1、图2两种方式摆放．根据图中数据，可求得小正方形边长为_____． 6．（2026·江苏南京·模拟预测）砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的砖雕作品，图②是它的设计图，其中扇形和扇形有相同的圆心O．已知的长为，和的长分别为和，则该砖雕的面积为______． 7．（2026·江苏宿迁·二模）一个盒中装着仅颜色不同的颗白色小球和颗黑色小球，从盒中随机取出一颗小球，取得白色小球的概率是．如果再往盒中放进6颗同样的白色小球，取得白色小球的概率是，则原来盒中有白色小球__________颗． 8．（2026·江苏南京·一模）如图，是的弦，点C在过点B的切线上，且，交于点P． (1)判断的形状并证明； (2)若，和的面积比是，则的长度是______． 9．（2026·江苏扬州·一模）谁的购买方式更划算：刘奶奶和张奶奶喜欢结伴去社区超市购买同一品种的大米，每次购买的价格有波动，她们各自的购物习惯也有不同． (1)刘奶奶和张奶奶两次购买大米：第一次大米的价格为6元/kg，第二次大米的价格为5元/kg．两次购买大米总体看谁更划算？ (2)如果第一次购买大米的价格为元/kg，第二次购买大米的价格为元/kg，且，则两次购买大米总算下来谁更划算呢？ 10．（2026·湖南长沙·一模）我们约定：一元二次方程与一元二次方程互为“轮转对称方程”．二次函数与二次函数互为“轮转对称函数”． (1)直接写出的“轮转对称方程”，并解出这个“轮转对称方程”； (2)对于任意非零实数m，n，点与点始终在关于x的函数的图象上运动，函数与互为“轮转对称函数”． ①求函数的图象的对称轴； ②函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由； (3)若关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限，且，其“轮转对称函数”的图象与x轴交于A、B两点，顶点为点D，与y轴交于点C，点M是的中点，点O是坐标原点．已知，试求：的最大值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $