第二讲 整式、乘法公式、因式分解【重点难点突围专项练】-2026年中考数学二轮专题复习（江苏专用）

**基本信息** 聚焦江苏中考整式与因式分解，以“题型拆解+分层训练”构建方法体系，实现概念-运算-应用的逻辑递进，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型讲练|5题型（1典例+3变式）|标准化拆解、解题思路与步骤、得分技巧|概念-运算-公式-因式分解递进，真题溯源覆盖高频考点| |分层训练|20题（基础10+拔尖10）|基础夯实与综合突破结合|从核心考点到压轴题，阶梯式提升运算能力与应用意识|

第二讲 整式、乘法公式、因式分解『重点难点突围专项练（江苏专用）』 【解析版】 简介 蓄力升学 逐梦前行 『真题溯源·江苏专版』本资料深度剖析江苏省近两年中考真题及前沿模拟题，直击中考高频考点，精准锁定每年必考的压轴题型与思想方法，让你的练习不偏科、不做无用功。 【第一部分 题型讲练·模型拆解】采用“例题精讲+变式训练”模式，对每类重难点题型进行标准化拆解。配套详尽的解题思路与规范步骤，不仅教会你如何解题，更传授得分技巧，帮你建立满分思维。 【第二部分 能力分层·稳步提升】科学设置20题分层训练： 1. 基础能力提升（10题）：快速夯实核心考点，确保基础分不丢分； 2. 拔尖突破冲刺（10题）：聚焦易错题与综合压轴题，挑战思维极限，实现分数阶梯式增长。 『助力升学·决胜考场』依托真题本源，对标中考难度。这套讲义是你通往理想高中的坚实阶梯，愿你以梦为马，提笔为剑，在中考战场上披荆斩棘，金榜题名！ 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 整式的有关概念 题型二 整式的运算 题型三 与乘法公式有关的运算 题型四 因式分解的概念 题型五 因式分解 第一部分 精讲变式 融会贯通 【题型一 整式的有关概念】 【典例精讲】（2026·江苏苏州·模拟预测）观察下列等式． ，，，，…… 按照规律，第个等式（为正整数）为________． 【答案】 【思路引导】本题考查了数字类规律的探究．通过观察已知等式，左边均为连续整数的平方差，右边均为奇数，且与序号n相关，推导出第n个等式即可求解． 【完整解答】解：∵，，，，…… ∴第n个等式为， 故答案为：． 【变式训练1】（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为_______．（用含n的代数式表示） 【答案】/ 【思路引导】本题考查图形的变化规律，从简单情形入手，找到一般规律即可．观察图形，发现后面一个图案比前一个图案多3个黑色棋子即可解决． 【完整解答】解：观察发现： 第一个图形有个黑色棋子， 第二个图形有个黑色棋子， 第三个图形有个黑色棋子， …， 第n个图形有个黑色棋子， 故答案为：． 【变式训练2】如图，，点……在射线上，点……在射线上，，……均为等边三角形，依此类推，若，则的边长为______． 【答案】 【思路引导】本题考查了图形类的规律探索，等边三角形的性质，等角对等边，三角形外角的性质，利用等边三角形的性质得到，，则可计算出，所以，利用同样的方法得到，，，利用此规律得到，即可求解． 【完整解答】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴，， … ∴． ∵， ∴当时，， 故答案为：． 【变式训练3】如图是某圆形景观广场，图中小黑点代表喷水口，其中圆心是广场中心喷水口，小红统计喷水口的数量，发现了一些规律．记每个圆内喷水口的数量从内向外分别记为，，，则． (1)__________，__________ (2)小红通过计算发现任意两个连续奇数的平方差是整数的倍数，写出的最大值，并结合图形简述理由； (3)任意两个奇数的平方差还满足（2）中的结论吗？请从“数”和“形”两个角度说明理由． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析 (3)成立，理由见解析 【思路引导】本题考查的是图形类与数字类的综合探究；多项式乘以多项式，理解题意是关键； （1）根据图形计算，再归纳即可； （2）先通过具体的数据的计算，猜想结论；再结合图形验证即可； （3）从数来说：设两个奇数为和，计算平方差为，分、同为奇数或偶数和一奇一偶两种情况，得出为的整数倍，即可得到结论，再结合图形探究即可. 【完整解答】（1）解：由题意可得：， ∴， ∴归纳可得：； （2）解： ∵， ， ， 猜想：任意两个连续奇数的平方差是整数的倍数，的最大值为； 由图形可得：,,,,, ，， ∴， ， ， . （3）解：任意两个奇数的平方差满足（2）中的结论，理由如下： 从数来说：设两个奇数为和， ∴ ； 当、同为奇数或偶数时，为偶数， ∴是的整数倍， 当、为一个奇数，一个偶数时，是偶数， ∴是的整数倍， ∴任意两个连续奇数的平方差是整数的倍数，的最大值为； 从图形来说：任意两个奇数的平方差就是圆环内黑点的个数，都是的整数倍. 【题型二 整式的运算】 【典例精讲】（2025·江苏扬州·中考真题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先化简二次根式、计算含特殊角的三角函数值的混合运算和零指数幂，再计算二次根式的混合运算即可得； （2）先计算单项式乘以多项式、同底数幂的除法，再计算整式的加减法即可得． 【完整解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式训练1】（2025·江苏常州·模拟预测）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【思路引导】（1）先计算三角函数，化简绝对值，零次幂，再合并即可； （2）利用多项式乘多项式，完全平方公式展开，再合并即可； 本题考查整式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【完整解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【变式训练2】（2025·江苏连云港·一模）先化简，再求值：，其中， ． 【答案】， 【思路引导】本题考查了整式的化简求值，掌握完全平方公式，平方差公式是解题的关键．先根据完全平方公式，平方差公式，以及整式的混合运算法则进行化简，然后把x、y的值代入化简后的式子进行计算，即可解题． 【完整解答】解： ， 当， 时，原式． 【变式训练3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查整式的混合运算及分式的混合运算，熟练掌握完全平方公式、单项式乘以多项式及分式混合运算法则是解题关键． （1）利用完全平方公式及单项式乘以多项式运算法则去括号，再合并同类项即可得答案； （2）括号内先通分计算分式减法，再利用分式除法法则计算即可得答案． 【完整解答】（1）解： ． （2） ． 【题型三 与乘法公式有关的运算】 【典例精讲】（2025·江苏无锡·模拟预测）（1）计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【思路引导】本题考查了特殊三角函数的混合运算，整式的混合运算，解题关键是熟记特殊三角函数值． （1）先计算三角函数，负整数指数幂，二次根式的乘法，再计算加减； （2）先利用多项式乘以多项式，完全平方公式展开，再去括号，然后合并同类项即可． 【完整解答】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【变式训练1】（2025·江苏南京·二模）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【思路引导】本题主要考查实数的混合运算和整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据立方根的算术平方根的意义化简各项后再进行加减运算即可； （2）原式根据平方差公式和完全平方公式把括号展开后再合并即可得到结果． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练2】（2026·江苏扬州·一模）先化简，再求值：，其中x是方程的根． 【答案】； 【思路引导】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再进行约分得到最简结果，最后将方程进行变化并将其整体代入计算即可求出值． 【完整解答】解： ， 由题意得， ， ∴． 【变式训练3】（2026·江苏扬州·一模）计算： (1)； (2)化简：． 【答案】(1)0 (2) 【思路引导】（1）根据零指数幂、特殊锐角三角函数值以及绝对值的定义进行计算即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ． 【题型四 因式分解的概念】 【典例精讲】下列各式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了因式分解，解题的关键是理解因式分解的定义．把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可． 【完整解答】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； D．符合定义，故选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式训练1】（2023·江苏无锡·模拟预测）下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了因式分解的知识，掌握因式分解的方法是解题的关键．根据因式分解的定义以及提公因式法、公式法进行分解逐一判断即可． 【完整解答】解：A、原式，不符合题意； B、原式，不符合题意； C、原式，符合题意； D、原式，不符合题意． 故选：C． 【变式训练2】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了因式分解的定义，根据因式分解是把几个多项式的和化为几个整式的积的形式来求解． 【完整解答】解：A. ，分解不彻底，故该选项不正确，不符合题意； B. ，原计算错误，故该选项不正确，不符合题意； C. ，是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式训练3】下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键． 利用因式分解的定义判断即可． 【完整解答】解：A.等式的右边不是积的形式，故选项错误； B. 等式右边是积的形式且因式分解正确，故选项正确； C.等式的右边不是积的形式，故选项错误； D.等式的右边不是积的形式，故选项错误． 故选：B． 【题型五 因式分解】 【典例精讲】（2025·江苏盐城·三模）已知实数a，b，c满足，． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了不等式的性质，因式分解的应用，求一个数的平方根，正确求出是解题的关键． （1）根据题意可得，再由可得，据此可证明结论； （2）根据，，可得，进一步可得，据此可得答案． 【完整解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练1】（2025·江苏泰州·三模）如果，那么______． 【答案】9 【思路引导】本题考查了同底数幂的除法、求代数式的值、完全平方公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．逆用同底数幂的除法和幂的乘方可得，由题意可得，再利用完全平方公式和整体代入求值即可求解． 【完整解答】解：， ∵ ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：9． 【变式训练2】（2024·江苏泰州·模拟预测）（1）计算： ； （2）分解因式： ； （3）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【思路引导】本题考查了分解因式，二次根式的混合运算，分式的混合运算的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先根据乘法分配律展开，然后根据二次根式的乘法计算，最后合并同类项即可； （2）根据完全平方公式分解即可； （3）先算括号里面的分式减法，再算分式除法，最后代入求出即可． 【完整解答】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 当时， 原式． 【变式训练3】（2024·江苏泰州·二模）已知，存在实数m使成立，则m的值为____． 【答案】1 【思路引导】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，把代入，可得，再结合非负数的性质可得答案． 【完整解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：； 故答案为： 第二部分 分层训练 实战攻坚 基础能力提升 1．（2026·江苏南通·一模）下列各式运算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查同类项概念与幂的基本运算，掌握幂的运算法则即可求解，计算各选项结果后判断即可． 【完整解答】解：选项A：与不是同类项，不能合并，因此A不符合要求． 选项B：根据同底数幂乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加． ∵ ， ∴ 结果为，因此B符合要求． 选项C：根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘． ∵ ， ∴ 结果不为，因此C不符合要求． 选项D：根据同底数幂除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减． ∵ ， ∴ 结果不为，因此D不符合要求． 2．（2026·江苏泰州·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据合并同类项法则，同底数幂除法法则，积的乘方法则和完全平方公式，逐一判断各选项运算是否正确． 【完整解答】解：A．与不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不合题意； B．，故该选项计算错误，不合题意； C．，故该选项计算正确，符合题意； D．，故该选项计算错误，不合题意． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知，则的值是（   ） A．8 B． C．2 D． 【答案】B 【思路引导】本题考查因式分解、代数式求值，先将所求代数式因式分解，再代入已知条件计算即可． 【完整解答】解：∵，， ∴． 故选：B． 4．（2026·江苏泰州·一模）如图，有A、B、C三种不同规格型号的卡片若干张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，其中．从这些卡片中取出m张卡片（每种卡片至少取一张），无缝隙、无重叠地拼成一个正方形，则m的值可以是（    ） A．20 B．24 C．25 D．28 【答案】C 【思路引导】设取A型卡片张，B型卡片张，C型卡片张，根据题意可得为完全平方式，据此即可解答． 【完整解答】解：设取A型卡片张，B型卡片张，C型卡片张， 则组成的图形面积为， 无缝隙、无重叠地拼成一个正方形， 为完全平方式， 可取，，， 即，符合要求， m的值可以是． 5．因式分解：______． 【答案】 【思路引导】先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【完整解答】解： ． 6．（2026·江苏南京·模拟预测）计算：的结果是______． 【答案】 【思路引导】先拆分指数，逆用积的乘方法则，再结合平方差公式化简计算，即可得到结果． 【完整解答】解： ， ∴的结果是． 7．（2026·吉林长春·一模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【思路引导】本题考查了整式的乘法运算，合并同类项，根据完全平方公式，平方差公式进行化简，再合并同类项，最后将字母的值代入，即可求解． 【完整解答】解： ． 当 ， 时，原式 ． 8．（2025九年级·江苏·专题练习）化简：． 【答案】 【思路引导】本题考查了分式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算；根据分式混合运算法则进行计算即可． 【完整解答】解：， ． 9．（2024·江苏南通·模拟预测）（1）先化简，再求值：，其中． （2）计算． 【答案】（1），；（2） 【思路引导】本题考查了平方差公式、完全平方公式、分式的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据分式的运算法则以及因式分解进行计算即可； （2）根据分式的运算法则以及因式分解进行计算即可． 【完整解答】解：（1）原式， 当时，原式； （2）原式 ． 10．（2026·江苏南京·模拟预测）按照要求解答： (1)如图①，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为（）的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积；可以验证乘法公式是______． (2)类似地，在棱长为的正方体上挖去一个棱长为（）的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中几何体的体积．由此可以得到的因式分解的等式是______，并证明这个等式． (3)结合上述经验，将因式分解的结果是______． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）通过两种方法计算同一阴影面积，验证平方差公式； （2）通过两种方法计算同一几何体体积，推导并证明立方差公式； （3）拆项构造立方差公式，结合提公因式、完全平方公式进行因式分解． 【完整解答】（1）解：据图可知，对于阴影部分的面积， 方法：； 方法：， 故． （2）解：据图可知，对于图中几何体的体积， 方法：； 方法：， 故， 证明： ， 左边， 左边右边． （3）解： ． 拔尖突破冲刺 1．（2026·江苏苏州·模拟预测）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】运用提公因式法、平方差公式对各选项逐一验证即可． 【完整解答】解：A选项中，，故本选项因式分解错误； B选项中，无法因式分解，故本选项因式分解错误； C选项中，，故本选项因式分解正确； D选项中，无法因式分解，故本选项因式分解错误． 2．若实数a、b满足，则的值是（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【思路引导】利用完全平方公式对条件进行变形，根据非负数的性质求出a，b的值，最后求a+b即可． 【完整解答】解：由得：+（a﹣2b）2＝0， 根据非负数的性质得：， 解得：， ∴a+b＝2+1＝3， 故选：C． 【考点剖析】本题考查了非负数的性质和完全平方公式进行因式分解，根据非负数的性质求出a，b的值是解题的关键． 3．（2026·江苏宿迁·二模）设是方程的两个根，则代数式的值等于（    ） A． B．4 C． D．12 【答案】A 【思路引导】利用一元二次方程根的概念和根与系数的关系，得到，，，然后通过将高次项降次后得到，然后代入求值． 【完整解答】解：∵是方程的两个根， ∴，，， ∴，， ∵， ∴原式 ． 4．（2026·江苏盐城·一模）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第2026个代数式是______． 【答案】 【思路引导】本题考查单项式的规律探索，分别找出代数式的符号、系数绝对值、的次数对应的规律，再将代入规律计算即可． 【完整解答】解：∵第1个代数式为 第2个代数式为 第3个代数式为 第4个代数式为 …… ∴第个代数式为 将代入得 5．（2026·江苏南通·一模）已知且，将多项式中的个(，且为整数)字母添加一个括号(括号里不能再有括号)，并同时改变括号前的符号后得到一个新多项式，并写出整个新多项式的绝对值，然后再进行去绝对值运算，称这种操作为“绝对变括操作”，例如：等，下列结论正确的是________． ①若时，存在“绝对变括操作”，使其运算结果与原多项式的和为； ②存在“绝对变括操作”，使其运算结果与原多项式相同； ③当时，所有的“绝对变括操作”共有4种不同的运算结果 【答案】①②/②① 【思路引导】设原多项式，由已知条件可确定且．对于结论①，当时，给添加括号，将原多项式改写为，结合、可判断该式为正，去绝对值后的运算结果，计算，故结论①正确；对于结论②，当时，给全部5项添加括号得到，因，故，操作结果与原多项式相同，结论②正确；对于结论③，通过分类讨论、、的操作情况，仅1种操作，有2种操作，有3种操作，总计5种不同运算结果，并非4种，故结论③错误，最终确定正确结论为①②． 【完整解答】解：设原多项式为，由可知，且即． ①若，给项添加括号，将原多项式改写为． ∵，， ∴， ∴去绝对值后运算结果． 则， 故存在这样的“绝对变括操作”，结论①正确． ②若，所有的项添加括号，新多项式为：． ∵， ∴， 即操作结果与原多项式相同，结论②正确． ③当时，仅1种操作，结果为； 当时，有2种操作： 给添加括号，结果为； 给添加括号，结果为； 当时，有3种操作： 给添加括号，结果为； 给添加括号，结果为； 给添加括号，结果为． 综上，共有5种不同的运算结果，不是4种，结论③错误． 综上，正确的结论是①②． 6．（2026·江苏南通·一模）计算与解方程： (1)计算：； (2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ， 检验：当时，． 原分式方程的解为． 7．（2025·江苏南通·二模）（1）化简求值：，其中，； （2）解方程：． 【答案】（1），；（2） 【思路引导】本题主要考查了整式的化简求值，解分式方程． （1）先根据乘法公式去括号，然后合并同类项化简，再代值计算即可； （2）先去分母，化成整式方程，求得整式方程的解，再检验即可得解． 【完整解答】解：（1） ， 当，时，原式； （2）， 去分母得， 解得， 经检验是原方程的解． 8．（2025·江苏盐城·二模）我们知道能被整除的数的规律，设是一个三位数，若可以被整除，则这个数就能被整除．例如，三位数108，，可以被整除， 就能被整除． 【发现】将三位数去掉末尾数字得到两位数，再用减去的倍所得的差为．若能被整除，则三位数就能被整除． 【验证】如，对于三位数，，可以被整除， 就能被整除． （1）用上述方法判断能否被整除？并说明你的理由； 【探究】（2）请用含，，的代数式表示___________； （3）结合（2）论证“发现”中的结论正确． 【迁移】（4）下列结论正确的是___________（填序号） ①在三位数中，若满足是的倍数，则是的倍数； ②在三位数中，若满足是的倍数，则是的倍数； ③在四位数中，若满足是的倍数，则是的倍数； 【答案】（1）能，理由见解析；（2）；（3）见解析；（4）① 【思路引导】本题考查了数的整除、整式加减的应用、有理数的混合运算、列代数式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出，结合能够被整除即可得解； （2）根据题意表示出代数式即可； （3）由（2）可得，由题意可得（为整数），推出，表示出，即可得解； （4）仿照（3）的方式逐项分析即可得解． 【完整解答】解：（1）能被整除，理由如下： ，能够被整除， 能被整除； （2）由题意可得：， 故答案为：； （3）由（2）可得， 能被7整除， （为整数）， ， ， 三位数能被整除； （4）①， 是的倍数， （为整数）， ， ， 是的倍数，故①正确； ②， 是的倍数， （为整数）， ， ，不一定是的倍数，故②错误； ③， 是的倍数， （为整数）， ， ，不一定是的倍数，故③错误； 综上所述，正确的是①， 故答案为：①． 9．（2025·江苏宿迁·三模）近两年直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在网络平台上对一款成本价为120元的商品进行直播销售，如果按每件200元销售，每天可卖出40件．通过市场调查，该商品售价每降低1元，日销售量增加2件，设每件商品降价元． (1)每件商品降价元时，日销售量为______件： (2)若日销售盈利为4800元，为尽快减少库存，的值应为多少； (3)设日销售盈利为元，当为何值时，取值最大，最大值是多少？ 【答案】(1) (2)的值应为40； (3)当时，取最大值，最大值是5000． 【思路引导】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的解析式和方程是解题的关键． （1）根据售价每降低1元，日销售量增加2件列出对应的代数式即可； （2）根据利润（售价成本价）数量列出方程求解即可； （3）根据利润（售价成本价）数量列出关于x的二次函数关系，利用二次函数的性质求解即可． 【完整解答】（1）解：由题意得，每件商品降价x元时，日销售量为件， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴， 解得， ∵为尽快减少库存， ∴的值应为40； （3）解：由题意得，， ， ∴当时，取最大值，最大值是5000． 10．（2025·江苏扬州·三模）【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）①________；②________； 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：． 反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________； ②若、均为整数，且、满足，求的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）①；② 【思路引导】本题考查十字相乘法进行因式分解，理解“十字相乘法”的内涵是正确解答的关键． （1）利用如图1、图2，仿图3的“十字”可以对进行因式分解； （2）①利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解；②利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解； （3）①利用题中的“十字”可以对多项式进行因式分解；②利用如解析图所示的“十字”可以对多项式进行因式分解为，然后结合有理数的乘法运算分析求解即可． 【完整解答】 解：（1）， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①∵ ∴； ②∵ ∴， ∴， 故答案为：； （3）①根据题意得： ∴， 故答案为：； ②， ∴， ∴， ∵、均为整数， ∴为奇数，不能为3的倍数， ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二讲 整式、乘法公式、因式分解『重点难点突围专项练（江苏专用）』 【原卷版】 简介 蓄力升学 逐梦前行 『真题溯源·江苏专版』本资料深度剖析江苏省近两年中考真题及前沿模拟题，直击中考高频考点，精准锁定每年必考的压轴题型与思想方法，让你的练习不偏科、不做无用功。 【第一部分 题型讲练·模型拆解】采用“例题精讲+变式训练”模式，对每类重难点题型进行标准化拆解。配套详尽的解题思路与规范步骤，不仅教会你如何解题，更传授得分技巧，帮你建立满分思维。 【第二部分 能力分层·稳步提升】科学设置20题分层训练： 1. 基础能力提升（10题）：快速夯实核心考点，确保基础分不丢分； 2. 拔尖突破冲刺（10题）：聚焦易错题与综合压轴题，挑战思维极限，实现分数阶梯式增长。 『助力升学·决胜考场』依托真题本源，对标中考难度。这套讲义是你通往理想高中的坚实阶梯，愿你以梦为马，提笔为剑，在中考战场上披荆斩棘，金榜题名！ 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 整式的有关概念 题型二 整式的运算 题型三 与乘法公式有关的运算 题型四 因式分解的概念 题型五 因式分解 第一部分 精讲变式 融会贯通 【题型一 整式的有关概念】 【典例精讲】（2026·江苏苏州·模拟预测）观察下列等式． ，，，，…… 按照规律，第个等式（为正整数）为________． 【变式训练1】（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为_______．（用含n的代数式表示） 【变式训练2】如图，，点……在射线上，点……在射线上，，……均为等边三角形，依此类推，若，则的边长为______． 【变式训练3】如图是某圆形景观广场，图中小黑点代表喷水口，其中圆心是广场中心喷水口，小红统计喷水口的数量，发现了一些规律．记每个圆内喷水口的数量从内向外分别记为，，，则． (1)__________，__________ (2)小红通过计算发现任意两个连续奇数的平方差是整数的倍数，写出的最大值，并结合图形简述理由； (3)任意两个奇数的平方差还满足（2）中的结论吗？请从“数”和“形”两个角度说明理由． 【题型二 整式的运算】 【典例精讲】（2025·江苏扬州·中考真题）计算： (1) ； (2)． 【变式训练1】（2025·江苏常州·模拟预测）（1）计算：； （2）化简：． 【变式训练2】（2025·江苏连云港·一模）先化简，再求值：，其中， ． 【变式训练3】计算： (1) ； (2)． 【题型三 与乘法公式有关的运算】 【典例精讲】（2025·江苏无锡·模拟预测）（1）计算： （2） 化简： 【变式训练1】（2025·江苏南京·二模）计算 (1)； (2)． 【变式训练2】（2026·江苏扬州·一模）先化简，再求值：，其中x是方程的根． 【变式训练3】（2026·江苏扬州·一模）计算： (1) ； (2)化简：． 【题型四 因式分解的概念】 【典例精讲】下列各式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2023·江苏无锡·模拟预测）下列因式分解正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【题型五 因式分解】 【典例精讲】（2025·江苏盐城·三模）已知实数a，b，c满足，． (1)求证：； (2)若，求的值． 【变式训练1】（2025·江苏泰州·三模）如果，那么______． 【变式训练2】（2024·江苏泰州·模拟预测）（1）计算： ； （2）分解因式： ； （3）先化简，再求值：，其中． 【变式训练3】（2024·江苏泰州·二模）已知，存在实数m使成立，则m的值为____． 第二部分 分层训练 实战攻坚 基础能力提升 1．（2026·江苏南通·一模）下列各式运算结果为的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏泰州·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知，则的值是（   ） A．8 B． C．2 D． 4．（2026·江苏泰州·一模）如图，有A、B、C三种不同规格型号的卡片若干张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，其中．从这些卡片中取出m张卡片（每种卡片至少取一张），无缝隙、无重叠地拼成一个正方形，则m的值可以是（    ） A．20 B．24 C．25 D．28 5．因式分解：______． 6．（2026·江苏南京·模拟预测）计算：的结果是______． 7．（2026·吉林长春·一模）先化简，再求值：，其中，． 8．（2025九年级·江苏·专题练习）化简：． 9． （2024·江苏南通·模拟预测）（1）先化简，再求值：，其中． （3） 计算． 10．（2026·江苏南京·模拟预测）按照要求解答： (1)如图①，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为（）的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积；可以验证乘法公式是______． (2)类似地，在棱长为的正方体上挖去一个棱长为（）的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中几何体的体积．由此可以得到的因式分解的等式是______，并证明这个等式． (3)结合上述经验，将因式分解的结果是______． 拔尖突破冲刺 1．（2026·江苏苏州·模拟预测）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若实数a、b满足，则的值是（    ） A．1 B． C．3 D． 3．（2026·江苏宿迁·二模）设是方程的两个根，则代数式的值等于（    ） A． B．4 C． D．12 4．（2026·江苏盐城·一模）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，则第2026个代数式是______． 5．（2026·江苏南通·一模）已知且，将多项式中的个(，且为整数)字母添加一个括号(括号里不能再有括号)，并同时改变括号前的符号后得到一个新多项式，并写出整个新多项式的绝对值，然后再进行去绝对值运算，称这种操作为“绝对变括操作”，例如：等，下列结论正确的是________． ①若时，存在“绝对变括操作”，使其运算结果与原多项式的和为； ②存在“绝对变括操作”，使其运算结果与原多项式相同； ③当时，所有的“绝对变括操作”共有4种不同的运算结果 6．（2026·江苏南通·一模）计算与解方程： (1)计算：； (2)解方程：． 7．（2025·江苏南通·二模）（1）化简求值：，其中，； （2）解方程：． 8．（2025·江苏盐城·二模）我们知道能被整除的数的规律，设是一个三位数，若可以被整除，则这个数就能被整除．例如，三位数108，，可以被整除， 就能被整除． 【发现】将三位数去掉末尾数字得到两位数，再用减去的倍所得的差为．若能被整除，则三位数就能被整除． 【验证】如，对于三位数，，可以被整除， 就能被整除． （1）用上述方法判断能否被整除？并说明你的理由； 【探究】（2）请用含，，的代数式表示___________； （3）结合（2）论证“发现”中的结论正确． 【迁移】（4）下列结论正确的是___________（填序号） ①在三位数中，若满足是的倍数，则是的倍数； ②在三位数中，若满足是的倍数，则是的倍数； ③在四位数中，若满足是的倍数，则是的倍数； 9．（2025·江苏宿迁·三模）近两年直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在网络平台上对一款成本价为120元的商品进行直播销售，如果按每件200元销售，每天可卖出40件．通过市场调查，该商品售价每降低1元，日销售量增加2件，设每件商品降价元． (1)每件商品降价元时，日销售量为______件： (2)若日销售盈利为4800元，为尽快减少库存，的值应为多少； (3)设日销售盈利为元，当为何值时，取值最大，最大值是多少？ 10．（2025·江苏扬州·三模）【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）①________；②________； 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：． 反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________； ②若、均为整数，且、满足，求的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $