平面向量与复数综合复习训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦复数、平面向量及解三角形综合应用，以多样化题型构建“概念-运算-应用”逻辑链，强化知识迁移与实际问题解决。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数|1单1填|基本运算|复数代数形式与几何意义的关联| |平面向量基础|3单2多|坐标运算、投影向量、线性表示|向量概念→线性运算→数量积的递进| |解三角形|4单1多3解答|面积计算、边角关系、形状判断、实际应用|向量工具支撑三角形边角转化，体现数学建模与推理|

答案和解析 1.【答案】 【解析】解： ．故，故选D． 2.【答案】 【解析】【解答】解：当点在线段上时，由可得，设，则，因此，解得，于是．当点在线段的延长线上时，由可得．设，则，解得，，于是．所以或． 故选D． 3.【答案】 【解析】解：由向量与的夹角为，得，由在方向上的投影向量为，得，则，即，联立，可得，所以． 故选：． 4.【答案】 【解析】解： 以，为坐标轴建立平面直角坐标系，如图： 设正方形边长为，则，，．， ，解得．．故选D． 5.【答案】 解：钝角三角形的面积是，，，，即． 当为钝角时，，利用余弦定理得： ，即当为锐角时，，利用余弦定理得：，即，此时，则为直角三角形，不合题意，舍去，则． 故选B． 6.【答案】 解：由余弦定理可得，则为锐角，但是，的大小不清楚，故A错误； 因为，则，且，，所以，即，故B正确， 由余弦定理可得，因为，所以，故符号条件的三角形只有一个，故C错误，由正弦定理可得，即，所以或，则或，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，故D错误，故选：． 7.【答案】  解：如图所示，设台风移动处的时间为，则，依题意可得， 在三角形中，由余弦定理可得， 依题意该城市受台风侵袭等价于，即，，化简得：，解得．所以该城市受台风侵袭的时间为． 8.【答案】 解：根据锐角，有因为，所以，所以 解得所以． 由正弦定理可得 ，令，则，所以， 因为图象开口向上，对称轴为，所以在上单调递增． 所以．故选 A． 9.【答案】 解：对于选A，与的夹角为锐角，， 当时与的夹角为，，故错误；对于选项．向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，正确；对于选项若，则在方向上的投影向量为，故正确；对于选项因为，两边平方得，，则， ，故， 而向量的夹角范围为，得与的夹角为，故项错误．故错误的选项为．故选． 10.【答案】 解：在中，，，选项，若，可得，此角有两个解，故A错误选项，，得，由余弦定理得，边上的高为，故B正确；选项，由余弦定理得因为，所以当且仅当时取等号，所以三角形的周长，所以三角形周长可以为，故C不正确，选项，若为锐角三角形，得，，，故D正确． 故选BD． 11.【答案】 解：，对于，因为函数在区间上单调递减，所以， 所以的最小正周期 ，则的最小正周期的最小值为，故A错误；对于，因为函数在区间上单调递减，且，所以的图像关于点对称，所以，故B正确；对于，若恒成立，则为函数的周期或周期的倍数，所以，所以，因为 ，所以，又，所以，所以，即满足条件的有且仅有个，故C正确；对于，由题意可知为单调递增区间的子集，所以 ，其中，解得，，则且，解得或，当时，，当时，，故的取值范围是，故D正确．故选：． 12.【答案】 解：由题意，，，因为为实数，，． 故答案为． 13.【答案】 解：的内角，，的对边分别为，，．，利用正弦定理可得，由于，，所以，所以，则 由于，则：， 当时，，解得，所以． 当时，，解得不合题意，舍去．故：．故答案为：． 14.【答案】 解：因为平分，所以，，即，又，整理得，故，所以， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值是．故答案为：． 15.【答案】解：由得：，则，又， ，则，，所以； 解法一：，， 则 ，，，则， 又 ，所以； 解法二：由得到或 由，，所以．  16.【答案】解：在中，利用正弦定理可得：，又，则，则，即，因，则，则，又，则． 因，则两边平方得：，又，则，则， 在中，由余弦定理得，化简得则，即，得或，当时，，则当时，，，则．  17.解：在中，因为，由正弦定理得， 所以，又，，所以，因为，所以 ，因为 ，由余弦定理得，则，即，则的周长为； 由可知，在中，，，由正弦定理得 ，所以，则 ，因为为锐角三角形，所以所以，则 ，从而，故的取值范围是．  18.解：由，，且，得，；又，；由余弦定理得，即，；又的面积为，，，．由知，，则，，，，；，又，，，，周长的取值范围．  19.解：，时，，且，的值域为；由得，，， ，解得，原不等式的解集为：； ，由，得，且恰有两个不同的解，，即，的取值范围为．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平面向量与复数综合复习题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设为虚数单位，若，则(    ) A. B. C. D. 2.已知点，，点在直线上，且，则点的坐标为(    ) A. B. C. 或 D. 或 3.已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则(    ) A. B. C. D. 4.如图，正方形中，，分别是，的中点，若，则等于(    ) A. B. C. D. 5.钝角的面积是，，，则(    ) A. B. C. D. 6.在中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的是(    ) A. 若，则为锐角三角形 B. 若为锐角三角形，有，则 C. 若，，，则符合条件的有两个 D. 若，则为等腰三角形 7.已知在某滨海城市附近的海面出现台风活动，据监测，目前台风中心位于城市的东偏南方向，距城市的海面点处，并以的速度向西偏北方向移动．已知该台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为则城市受台风影响的时间为(    ) A. B. C. D. 8.设锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法中错误的为(    ) A. 已知，且与夹角为锐角，则 B. 已知，不能作为平面内所有向量的一组基底 C. 若与平行，在方向上的投影向量为 D. 若非零，满足则与的夹角是 10.在中，，，所对的边分别是，，，，，则(    ) A. 若，则角有一个解 B. 若，则边上的高为 C. 的周长不可能为 D. 若为锐角三角形，则面积的最值范围为， 11.已知函数，且在区间上单调递减，则下列结论正确的有(    ) A. 的最小正周期是 B. 若，则 C. 若恒成立，则满足条件的有且仅有个 D. 若，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，为虚数单位，若为实数，则的值为________． 13.的内角，，的对边分别为，，已知，，则的面积为          ． 14.在三角形中，角、、的对边分别为、、，且的平分线交于，若，则的最小值为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知向量，，且． 若，求的值； 若，求的值． 16.本小题分 中，内角，，的对边分别为，，已知，． 求角 若边上的点满足，，求的面积． 17.本小题分 在中，角所对的边分别为已知． 若，求的周长； 若为锐角三角形，求的取值范围． 18.本小题分 在中，分别是角所对的边，已知，，，且 ． 求角的大小 若的面积为，求的值． 求周长的取值范围． 19.本小题分 已知函数， 当时，求的值域； 解不等式：； 若时，方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $