精品解析：山西省临汾市第三中学2025-2026学年度第二学期期中考试八年级数学

临汾三中2025—2026学年度第二学期期中检测 八年级数学检测题 （时间：120分钟 总分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）． 1. 下列式子是分式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，形如（A、B是整式，B中含有字母）的式子叫做分式．根据分式的定义求解即可． 【详解】A、，分母中不含字母，不是分式，不符合题意； B、，分子分母均为整式且分母中含有字母，是分式，符合题意； C、，分母中不含字母，不是分式，不符合题意； D、，分母中不含字母，不是分式，不符合题意． 故选：B． 2. 研发的智能系统在分析数据时，其精确的算法对微观结构的测量精度可高达米，数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：数据用科学记数法可表示为． 3. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是∶第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：点的横坐标为负，纵坐标为正，所以点在第二象限． 故选：B． 4. 反比例函数的图象经过点，，则a的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先求出比例系数，再代入点坐标计算的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在该反比例函数图象上， ∴， ∴． 5. 点关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，利用规则直接求解即可． 【详解】解：点关于x轴的对称点的坐标为． 6. 下列约分正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了约分，根据分式的性质逐项分析即可得解，熟练掌握分式的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、，故约分错误，不符合题意； B、，故约分错误，不符合题意； C、，故约分正确，符合题意； D、，故约分错误，不符合题意； 故选：C． 7. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 随的增大而增大 B. 当时， C. 函数图象与轴的交点为 D. 函数图象经过第二、三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，以及一次函数与坐标轴的交点． 根据一次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴y随x的增大而减小，故本选项不符合题意； B．当时，，y随x的增大而减小， ∴当时，，故本选项不符合题意； C．当时，， ∴函数图象与y轴的交点坐标是，故本选项符合题意； D．∴，， ∴函数的图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意； 故选：C． 8. 在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，解题时注意：系数k的符号决定直线的方向以及双曲线的位置．由图象结合性质判断反比例函数中的k和一次函数中的k的值是否一致即可判断． 【详解】解：A、反比例函数图象在第二、四象限，则，一次函数图象经过一、三、四象限，则， k的取值不同，故此选项错误； B、反比例函数图象在第一、三象限，则，一次函数图象与y轴交于正半轴，则，即，k的取值不同，故此选项错误； C、反比例函数图象在第二、四象限，则，一次函数图象经过一、二、四象限，则，与y轴交于正半轴，则，即，k的取值相同，故此选项正确； D、反比例函数图象在第一、三象限，则，一次函数图象经过二、三、四象限，则，k的取值不同，故此选项错误； 故选：C． 9. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（ ） A. B. ．且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程．先解分式方程得到的表达式，再根据解是非负数及分式方程分母不为0（解不为增根）列不等式组，求解得出的取值范围． 【详解】解：∵原分式方程为 ∴将方程右边变形为，两边同乘去分母得： 移项合并同类项得： ∴ ∵方程的解是非负数 ∴ 解得：． 又∵分式方程分母不能为0，即 ∴ 解得：． ∴的取值范围是且． 故选：D． 10. 如图1，在长方形中，动点P从点A出发，沿运动，至点D处停止．点P运动的路程为x，的面积为y，且y与x之间满足的关系如图2所示，则当时，对应的x的值是（　　） A. 4 B. 4或12 C. 4或16 D. 5或12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键． 根据图象求出和，再分析当点P在上运动时，当点P在上运动时的的高为4，据此求出x的值即可． 【详解】解：当点P运动到点B处时，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 当点P在上运动时，， ∴， ∴， 当点P在上运动时，， ∴， ∴， 综上，x的值为4或12． 故选：B． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 当x ________ 时，分式 有意义． 【答案】≠3 【解析】 【详解】由题意得 x-3≠0, ∴x≠3. 12. 若点A（1，y1）和点B（2，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1与y2的大小关系是_____． 【答案】y1＜y2 【解析】 【分析】由k=-2可知，反比例函数y＝﹣的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则问题可解. 【详解】解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣2＜0， ∴此函数在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵点A（1，y1），B（2，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上，2＞1， ∴y1＜y2， 故答案为：y1＜y2． 【点睛】本题考查了反比例函数的增减性，解答关键是注意根据比例系数k的符号确定，在各个象限内函数的增减性解决问题. 13. 如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将交点的纵坐标代入求出横坐标，确定交点的坐标；再根据二元一次方程组的解与两直线交点坐标的对应关系，得出方程组的解． 【详解】解：∵ 点在直线上， ∴ 把代入，得， 解得， ∴ 点的坐标为， ∵ 二元一次方程组可变形为， ∴ 该方程组的解就是直线与交点的坐标， ∵ 直线与的交点为 ∴方程组的解是． 14. 若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则m的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的增根，先去分母，可求出方程的根，再根据原方程有增根，得，可求出m的值． 【详解】， 去分母，得， 解得． ∵原方程有增根， ∴， 即， ∴， 解得． 故答案为：． 15. 如图，D为正方形中边的中点，反比例函数的图象经过点D，交边于点E．若的面积为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设正方形的边长为，则，，，由题意可得，，求出反比例函数解析式为，进而可得，求出，再结合的面积为，计算即可得出结果． 【详解】解：设正方形的边长为，则，，， ∵点为的中点， ∴，， 将代入反比例函数可得， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本题共75分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤） 16. 计算： （1）； （2）化简分式并从中选一个你认为合适的整数x代入求值． 【答案】（1） （2），当时，原式（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）先计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂、算术平方根，再计算加减即可得出结果； （2）先根据分式的混合运算法则进行化简，再根据分式有意义的条件，选择合适的值，代入化简后的式子计算即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 要使原式有意义，则式中所有分母均不能为，即，，，， 解得：且， ∵， ∴当时，原式． 当时，原式． 17. 解分式方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2）分式方程无解 【解析】 【分析】（1）根据解分式方程的步骤计算即可得出结果； （2）根据解分式方程的步骤计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：去分母可得：， 去括号可得：， 移项并合并同类项可得：， 系数化为1可得：， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为； 【小问2详解】 解：去分母可得：， 去括号可得：， 移项并合并同类项可得：， 系数化为1可得：， 检验，当时，， ∴原分式方程无解． 18. 我们知道，弹簧挂上重物后会伸长．如果一根弹簧在弹性限度内，弹簧的长度与所挂重物的质量之间的关系如下表，下表是他们试验时记录的数据（在一定的弹性限度内）： 所挂重物的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 12 12.5 13 13.5 14 14.5 （1）弹簧不挂重物时的自然长度为______；当弹簧的长度为时，所挂重物的质量是______． （2）根据所测量的数据，求该弹簧长度y与所挂重物的质量x之间的函数关系式． 【答案】（1）12，8 （2） 【解析】 【分析】（1）根据表格可得弹簧不挂重物时的自然长度为，所挂重物的质量每增加，弹簧的长度增加，由此计算即可得出结果； （2）由表格分析可得，随的变化是均匀的，即是的一次函数，设，利用待定系数法计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：由表格可得：弹簧不挂重物时的自然长度为，所挂重物的质量每增加，弹簧的长度增加， 当弹簧的长度为时，所挂重物的质量是； 【小问2详解】 解：由表格分析可得，随的变化是均匀的，即是的一次函数， 设， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴弹簧长度y与所挂重物的质量x之间的函数关系式为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）请直接写出一次函数大于反比例函数时，x的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为 （2）或 【解析】 【分析】（1）将代入反比例函数求出的值，即可得出反比例函数的表达式，计算出，再利用待定系数法计算即可得出一次函数的表达式； （2）结合函数图象即可得出结果． 【小问1详解】 解：将代入反比例函数可得， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 将代入反比例函数可得，即， ∴， 将，代入一次函数的表达式可得， 解得：， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由图象可得：一次函数大于反比例函数时，x的取值范围为或． 20. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图像，观察分析图像特征，概括函数性质．请根据函数相关知识，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． x … 0 1 2 3 4 5 6 7 … y … 7 5 m 1 1 3 n 7 … （1）表格中：______，______． （2）在直角坐标系中画出该函数图象． （3）观察图象： ①根据函数图象可得，该函数的最小值是______； ②写出该图象的一条性质______； ③进一步探究函数图象发现：函数图象与x轴有______个交点，所以对应的方程有______个解． 【答案】（1）， （2） 解：画出函数图象如图所示： （3）①；②当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小；③， 【解析】 【分析】（1）将和代入函数计算即可得出结果； （2）先描点，再连线，即可得出函数图象； （3）结合函数图象分析即可得出结果． 【小问1详解】 解：当时，，即， 当时，，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①根据函数图象可得，该函数的最小值是； ②写出该图象的一条性质当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小； ③进一步探究函数图象发现：函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程有个解． 21. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指标数随时间(分钟)的变化规律如图所示(其中、分别为线段，为双曲线的一部分)： （1）分别求出线段和双曲线的函数关系式； （2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 【答案】（1）线段的函数关系式为；双曲线的函数关系式为 （2）能 【解析】 【分析】（1）根据点A，B，C的坐标，利用待定系数法求解； （2）令（1）中两个函数关系式中的函数值大于等于36，求出x值的取值范围，结合图形即可得出结论． 【小问1详解】 解：由图可知，点A，B，C的坐标分别为，，， 设线段的函数关系式为， 将，代入，得： ， 解得， 线段的函数关系式为； 设双曲线的函数关系式为， 将代入，得：， 解得， 双曲线的函数关系式为； 【小问2详解】 解：令， 解得， 令， 解得， 结合图形可知，当时，， ， 经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的应用，解题的关键利用待定系数法求出函数解析式． 22. 山西博物院以丰富的馆藏和展览资源为设计元素，潜心研发了一系列特色的文创产品，其中“卣（yǒu）”趣系列鸮（xiāo）卣毛毡背包和“铜”趣系列鸟尊毛绒玩具颇受广大游客喜爱．某网店为了满足人们的购物需求，计划购进两种系列的文创产品进行销售，已知每个鸮卣毛毡背包的进价是每个鸟尊毛绒玩具进价的2倍，现用1500元购进鸮卣毛毡背包的数量比用1200元购进鸟尊毛绒玩具的数量少15套． （1）求每个鸮卣毛毡背包和每个鸟尊毛绒玩具的进价分别为多少元； （2）该网店决定用1500元购进鸮卣毛毡背包和鸟尊毛绒玩具，且购进鸟尊毛绒玩具的数量不超过鸮卣毛毡背包数量的一半，则购进鸮卣毛毡背包至少多少套？ （3）在（2）的条件下，该网店每个鸮卣毛毡背包的售价为90元，每个鸟尊毛绒玩具的售价为50元，则如何安排进货，才能让店铺获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1）每个鸟尊毛绒玩具的进价为元，每个鸮卣毛毡背包的进价为元 （2）购进鸮卣毛毡背包至少套 （3）当购进鸮卣毛毡背包套，鸟尊毛绒玩具套，店铺获得最大利润，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）设每个鸟尊毛绒玩具的进价为元，则每个鸮卣毛毡背包的进价为元，根据“现用1500元购进鸮卣毛毡背包的数量比用1200元购进鸟尊毛绒玩具的数量少15套”列出分式方程，解分式方程即可得出结果； （2）设购进鸮卣毛毡背包套，则购进鸟尊毛绒玩具套，根据“购进鸟尊毛绒玩具的数量不超过鸮卣毛毡背包数量的一半”列出一元一次不等式，解不等式即可得出结果； （3）设购进鸮卣毛毡背包套，总利润为元，则购进鸟尊毛绒玩具套，由题意可得关于的关系式，再结合一次函数的性质计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：设每个鸟尊毛绒玩具的进价为元，则每个鸮卣毛毡背包的进价为元， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解且符合题意； ∴， ∴每个鸟尊毛绒玩具的进价为元，每个鸮卣毛毡背包的进价为元； 【小问2详解】 解：设购进鸮卣毛毡背包套，则购进鸟尊毛绒玩具套， 由题意可得：， 解得：， ∴购进鸮卣毛毡背包至少套； 【小问3详解】 解：设购进鸮卣毛毡背包套，总利润为元，则购进鸟尊毛绒玩具套， 由题意可得： ， ∵， ∴随着的增大而减小， 由（2）可得， ∴当时，取得最大值，为（元），此时购进鸟尊毛绒玩具（套）， 故当购进鸮卣毛毡背包套，鸟尊毛绒玩具套，店铺获得最大利润，最大利润是元． 23. 综合与探究如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与x轴、y轴分别相交于点D，C，连接，． （1）求一次函数与反比例函数的表达式． （2）求的面积． （3）在y轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）一次函数的表达式为；反比例函数的表达式为 （2） （3）点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出一次函数与反比例函数的表达式； （2）先求出，即可得出，再根据计算即可得出结果； （3）由勾股定理可得,设点的坐标为，分两种情况：当时，则；当时，；分别计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过，两点， ∴， 解得：， ∴一次函数的表达式为，，； 将代入反比例函数可得， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象与y轴相交于点C， ∴当时，，即， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 设点的坐标为， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴当时，则， 解得：或， ∴或， 当时，， 解得：或， 当时，点与点重合，不能构成三角形，故不符合题意，舍去， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临汾三中2025—2026学年度第二学期期中检测 八年级数学检测题 （时间：120分钟 总分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）． 1. 下列式子是分式的是（ ）． A. B. C. D. 2. 研发的智能系统在分析数据时，其精确的算法对微观结构的测量精度可高达米，数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 反比例函数的图象经过点，，则a的值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 5. 点关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 下列约分正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 随的增大而增大 B. 当时， C. 函数图象与轴的交点为 D. 函数图象经过第二、三、四象限 8. 在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（ ） A. B. ．且 C. D. 且 10. 如图1，在长方形中，动点P从点A出发，沿运动，至点D处停止．点P运动的路程为x，的面积为y，且y与x之间满足的关系如图2所示，则当时，对应的x的值是（　　） A. 4 B. 4或12 C. 4或16 D. 5或12 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 当x ________ 时，分式 有意义． 12. 若点A（1，y1）和点B（2，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1与y2的大小关系是_____． 13. 如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解是__________． 14. 若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则m的值是_______． 15. 如图，D为正方形中边的中点，反比例函数的图象经过点D，交边于点E．若的面积为，则______． 三、解答题（本题共75分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤） 16. 计算： （1）； （2）化简分式并从中选一个你认为合适的整数x代入求值． 17. 解分式方程 （1）； （2）． 18. 我们知道，弹簧挂上重物后会伸长．如果一根弹簧在弹性限度内，弹簧的长度与所挂重物的质量之间的关系如下表，下表是他们试验时记录的数据（在一定的弹性限度内）： 所挂重物的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 12 12.5 13 13.5 14 14.5 （1）弹簧不挂重物时的自然长度为______；当弹簧的长度为时，所挂重物的质量是______． （2）根据所测量的数据，求该弹簧长度y与所挂重物的质量x之间的函数关系式． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）请直接写出一次函数大于反比例函数时，x的取值范围． 20. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图像，观察分析图像特征，概括函数性质．请根据函数相关知识，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． x … 0 1 2 3 4 5 6 7 … y … 7 5 m 1 1 3 n 7 … （1）表格中：______，______． （2）在直角坐标系中画出该函数图象． （3）观察图象： ①根据函数图象可得，该函数的最小值是______； ②写出该图象的一条性质______； ③进一步探究函数图象发现：函数图象与x轴有______个交点，所以对应的方程有______个解． 21. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指标数随时间(分钟)的变化规律如图所示(其中、分别为线段，为双曲线的一部分)： （1）分别求出线段和双曲线的函数关系式； （2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 22. 山西博物院以丰富的馆藏和展览资源为设计元素，潜心研发了一系列特色的文创产品，其中“卣（yǒu）”趣系列鸮（xiāo）卣毛毡背包和“铜”趣系列鸟尊毛绒玩具颇受广大游客喜爱．某网店为了满足人们的购物需求，计划购进两种系列的文创产品进行销售，已知每个鸮卣毛毡背包的进价是每个鸟尊毛绒玩具进价的2倍，现用1500元购进鸮卣毛毡背包的数量比用1200元购进鸟尊毛绒玩具的数量少15套． （1）求每个鸮卣毛毡背包和每个鸟尊毛绒玩具的进价分别为多少元； （2）该网店决定用1500元购进鸮卣毛毡背包和鸟尊毛绒玩具，且购进鸟尊毛绒玩具的数量不超过鸮卣毛毡背包数量的一半，则购进鸮卣毛毡背包至少多少套？ （3）在（2）的条件下，该网店每个鸮卣毛毡背包的售价为90元，每个鸟尊毛绒玩具的售价为50元，则如何安排进货，才能让店铺获得最大利润？最大利润是多少元？ 23. 综合与探究如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与x轴、y轴分别相交于点D，C，连接，． （1）求一次函数与反比例函数的表达式． （2）求的面积． （3）在y轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $