精品解析：安徽合肥一六八中学2025-2026学年第二学期高一年级期中检测数学试题

2025－2026学年第二学期高一年级期中检测试题 高一数学试题 时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 2. 若向量满足，则（ ） A. B. C. 8 D. 12 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 直四棱柱是长方体 B. 正六棱锥的侧面都是正三角形 C. 用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 D. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥 4. 已知向量，满足，，则（ ）． A. B. C. D. 5. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．则△ABC的形状为( ) A. 正三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 6. 打羽毛球是一项全民喜爱的体育活动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为7cm，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成的直径是6.8cm，底部所围成圆的直径是2.8cm，据此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的面积大约为（ ） A. 105.5cm2 B. 111cm2 C. 92.8cm2 D. 100.8cm2 7. 如图，在矩形中，为边上靠近点的三等分点，为边上靠近点的四等分点，且线段交于点.若，则（ ） A. B. C. D. 8. 在平面四边形ABCD中，，若，则（　　） A. B. 2 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知非零复数在复平面内对应的点分别为为坐标原点，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 若，则存在实数，使得 D. 若，则 10. 如图，在正方体中，、、分别是、、的中点，有下列四个结论正确的是（ ） A. 与是异面直线； B. 、、相交于一点； C. ； D. 平面. 11. 设的内角、、所对的边为、、，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，向量在向量方向上的投影向量为___________.（用坐标表示） 13. 在中，内角所对的边分别为，是的中点，若 且，则面积的最大值是___ 14. 如图所示，在直三棱柱中，，，，点是线段上的一动点，则线段的最小值为__________． 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，在直三棱柱中，是的中点. （1）证明：平面； （2）设，求几何体的体积. 16. 已知复数z满足|z|，z的实部大于0，z2的虚部为2. （1）求复数z； （2）设复数z，z2，z﹣z2之在复平面上对应的点分别为A，B，C，求（）的值. 17. 在中，内角所对的边分别为，且. （1）求的值； （2）若，求的值. 18. 在中，点分别在边和边上，且，交于点，设. （1）若，求实数； （2）若且，求； （3）设，，的面积分别为，求. 19. 如图，在矩形中，，点是线段的中点，点分别为线段上的一点，且，点是线段的中点． （1）求的值； （2）若，求线段的长度； （3）设，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第二学期高一年级期中检测试题 高一数学试题 时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用复数的运算法则化简求解即可. 【详解】复数在复平面内对应的点为，则 故选：. 2. 若向量满足，则（ ） A. B. C. 8 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积的运算求得，再利用模长与数量积的关系求解即可. 【详解】，得， 所以. 故选：A. 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 直四棱柱是长方体 B. 正六棱锥的侧面都是正三角形 C. 用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 D. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥 【答案】C 【解析】 【分析】由正棱柱、正棱锥的概念判断A、B；由旋转体的结构特征判断C、D． 【详解】对于A，长方体是底面为矩形的直四棱柱，故A不正确； 对于B，正棱锥的侧面都是等腰三角形，所以正六棱锥的侧面都是等腰三角形，故B不正确； 对于C，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台,故C正确； 对于D，以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥，故D不正确. 故选：C. 4. 已知向量，满足，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算出，，再利用夹角公式求解即可. 【详解】由，，两式相加，得， 所以，，所以， 所以. 故选：A． 5. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．则△ABC的形状为( ) A. 正三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简已知条件可得B，故可判断三角形形状. 【详解】由知，， ∴＝， ，， ， ∴， ∵在△ABC中，， ∴， ∵，∴， 即△ABC为直角三角形． 故选：C． 6. 打羽毛球是一项全民喜爱的体育活动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为7cm，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成的直径是6.8cm，底部所围成圆的直径是2.8cm，据此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的面积大约为（ ） A. 105.5cm2 B. 111cm2 C. 92.8cm2 D. 100.8cm2 【答案】A 【解析】 【分析】将圆台补成圆锥，由相似求出小圆锥的母线长，结合圆锥侧面积公式求出圆台的侧面积. 【详解】将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面的面积为大圆锥和小圆锥的侧面积之差， 因为顶端所围成的直径是6.8cm，底部所围成圆的直径是2.8cm， 所以相应半径为3.4cm，1.4cm. 设小圆锥母线长为，则大圆锥母线长为， 由相似得，，即， 所以羽毛所在曲面面积 . 7. 如图，在矩形中，为边上靠近点的三等分点，为边上靠近点的四等分点，且线段交于点.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先把用表示出来，然后利用共线定理设，，联立方程即可求解. 【详解】 在矩形中，， 由题意：为靠近的三等分点，故；  为靠近的四等分点，故， 因为在上，设， 又因为在上，根据向量共线定理，存在参数使得： ， 代入得： ， 两个表达式对应系数相等： ， 联立得，解得，代入得. 因此. 8. 在平面四边形ABCD中，，若，则（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立坐标系，利用平面向量的坐标法求解. 【详解】以AC所在直线为x轴，AC的垂直平分线为y轴， 建立平面直角坐标系（点D在x轴上方）， 设，则， ， 因为，所以 所以，解得，所以. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知非零复数在复平面内对应的点分别为为坐标原点，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 若，则存在实数，使得 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【详解】结合复数运算法则及复数几何意义化简计算即可. 【解答】对A，即，两边平方可得，A对； 对，取，则，当，B错； 对，即，两边平方可得， 故，故，因此存在实数，使得，C对； 对，取，但，D错. 故选：AC 10. 如图，在正方体中，、、分别是、、的中点，有下列四个结论正确的是（ ） A. 与是异面直线； B. 、、相交于一点； C. ； D. 平面. 【答案】BD 【解析】 【分析】本题首先可根据、判断出A错误，然后根据平面平面得出B正确，再然后根据得出C错误，最后根据线面平行的判定即可证得D正确. 【详解】A项：如图，连接、、， 因为、分别是、的中点，多面体是正方体， 所以，，， 因为，所以与是同一平面内的相交直线，A错误； B项：因为平面平面，平面，平面， 所以、、相交于一点，B正确； C项：如图，连接与交于点，连接、， 由正方体性质易知，是中点， 因为是中点，所以，， 因为，，所以，， 故四边形是平行四边形，，易知C错误； D项：因为，平面，平面， 所以平面，D正确， 故选：BD. 11. 设的内角、、所对的边为、、，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用余弦定理与基本不等式可判断AB选项的正误；利用反证法结合不等式的基本性质可判断C选项的正误；利用特殊值法可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，由余弦定理可得， ，故，A选项正确； 对于B选项，，则，则， 由余弦定理可得， ，故，B选项正确； 对于C选项，假设，则，则， 所以，，与矛盾， 假设不成立，故，故C选项正确； 对于D，取，，满足， 且，则为锐角，故D选项错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，向量在向量方向上的投影向量为___________.（用坐标表示） 【答案】 【解析】 【分析】由向量坐标可求出，从而可求方向相同的单位向量；由向量的数量积坐标表示求数量积，进而求出，即可求在向量方向上的投影向量. 【详解】由于，则，即与向量方向相同的单位向量为， 又，则， ∴向量在向量方向上的投影向量为. 故答案为： 13. 在中，内角所对的边分别为，是的中点，若 且，则面积的最大值是___ 【答案】 【解析】 【分析】由题意及正弦定理得到，于是可得，；然后在和中分别由余弦定理及可得．在此基础上可得，再由基本不等式得到，于是可得三角形面积的最大值． 【详解】如图，设，则, 在和中，分别由余弦定理可得， 两式相加，整理得， ∴．① 由及正弦定理得， 整理得，② 由余弦定理的推论可得，所以． 把①代入②整理得， 又，当且仅当时等号成立， 所以，故得． 所以． 即面积的最大值是． 故答案为． 【点睛】本题考查解三角形在平面几何中的应用，解题时注意几何图形性质的合理利用．对于三角形中的最值问题，求解时一般要用到基本不定式，运用时不要忽视等号成立的条件．本题综合性较强，考查运用知识解决问题的能力和计算能力． 14. 如图所示，在直三棱柱中，，，，点是线段上的一动点，则线段的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，再根据两点之间线段最短，结合勾股定理，余弦定理等求解即可. 【详解】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面， 设点的新位置为，连接，则有，如图， 当三点共线时，则即为的最小值， 在三角形中，，， 由余弦定理得， 所以，即， 在中，，， 由勾股定理可得且. 同理可求，因为， 所以为等边三角形，所以， 所以在中，，， 由余弦定理得. 故答案为：. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，在直三棱柱中，是的中点. （1）证明：平面； （2）设，求几何体的体积. 【答案】（1）连接交于，连接，如图，则是中点，又是中点，所以， 又平面，平面，所以平面； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，证明后得证线面平行； （2）由直三棱柱的体积减去三棱锥的体积可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，所以，所以，， ． 16. 已知复数z满足|z|，z的实部大于0，z2的虚部为2. （1）求复数z； （2）设复数z，z2，z﹣z2之在复平面上对应的点分别为A，B，C，求（）的值. 【答案】（1）1+i；（2）﹣2. 【解析】 【分析】 （1）先设出复数的表达式,结合已知条件中,实部大于,和的虚部为,列出方程求解出复数的表达式. （2）由（1）求出复数的表达式,即可得到,,在复平面上对应的点坐标,进而求出结果. 【详解】（1）设复数z=x+yi,x、y∈R; 由|z|,得x2+y2=2; 又z的实部大于即x>0, z2=x2﹣y2+2xyi的虚部为2xy=2, 所以xy=1; 解得x=1,y=1; 所以复数z=1+i; （2）复数,则,; 则A（1,1）,B（0,2）,C（1,﹣1）; 所以. 【点睛】本题考查了求复数的表达式及复数的几何意义,解题时的方法是设出复数的表达式,按照题意得到方程组进行求解,本题较为基础. 17. 在中，内角所对的边分别为，且. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）由余弦定理可得，再与已知等式比较，即可求出的值． （2）先由第（1）问求出，再由得到，利用正弦定理把表示为，最后用二倍角公式和两角和的正弦公式计算即可． 【小问1详解】 在中，由余弦定理得. 又因为，所以. 因为，是三角形的边长，所以，故. 解得. 【小问2详解】 由第（1）问知. 因为是三角形内角，所以，且，于是. 由，得. 由正弦定理得. 又因为，所以. 由二倍角公式得. 因为，所以. 由二倍角公式得. 因此. 所以. 故的值为． 18. 在中，点分别在边和边上，且，交于点，设. （1）若，求实数； （2）若且，求； （3）设，，的面积分别为，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，根据向量的线性运算可得，，结合平面向量基本定理运算求解； （2）可得，根据向量垂直可得，即可得结果； （3）由（1）可知：，，不妨设的面积为1，结合比例关系运算求解即可. 【小问1详解】 因为，则 ， 设，则 ， 则，解得. 【小问2详解】 由（1）可知：， 因为，即， 又因为， 若，则， 即，可得， 则，所以. 【小问3详解】 由（1）可知：，， 不妨设的面积为1， 因为，则的面积为2，可得的面积， 又因为，则的面积为4， 且，则的面积为8，可得的面积， 由可知的面积为， 所以. 19. 如图，在矩形中，，点是线段的中点，点分别为线段上的一点，且，点是线段的中点． （1）求的值； （2）若，求线段的长度； （3）设，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先求出，的长度，再根据数量积的运算律计算可得； （2）首先在中由正弦定理求出，在中由正弦定理求出，最后在中利用余弦定理计算可得； （3）在中由正弦定理求出，在中由正弦定理求出，再由数量积的运算律得到，再利用三角恒等变换公式化简，转化为关于的三角函数，结合的范围及正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 在矩形中，点是线段的中点， 所以，又，所以， 所以 ． 【小问2详解】 在矩形中，，所以，所以． 在中，， 根据正弦定理，得． 在中，，，则， 由正弦定理，可得． 在中，， 根据余弦定理， 得，所以． 【小问3详解】 在中，， 根据正弦定理，得． 在中，，则， 根据正弦定理，可得． 因为， 所以 ， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 即的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是通过基底法转化得，再利用正弦定理和三角恒等变换得，最后根据正弦型函数的性质求出其值域即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $