河南南阳市方城县第一高级中学2026届高三第二学期第四次质检数学试题

2026届高三第二学期第四次质检数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设z＝1+i，则z2﹣i＝（　　） A．i B．﹣i C．1 D．﹣1 2．已知平面向量（﹣1，），（，）．若（k）⊥（2），则k＝（　　） A． B． C．﹣2 D．2 3．已知集合M＝{x||x﹣4|＜1}，N＝{x|0＜lnx＜2}，则M∩N＝（　　） A．{x|0＜x＜5} B．{x|1＜x＜5} C．{x|3＜x＜5} D．{x|1＜x＜e2} 4．若函数f（x）＝cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线对称，则φ＝（　　） A． B． C． D． 5．某科技馆“人造太阳”模型外观为圆台形，上底面半径为0.8m，下底面半径为1.2m，圆台母线长为1.5m，模型外侧面需要喷漆，则喷漆面积为（　　） A． B．πm2 C．3πm2 D．6πm2 6．已知某放射性同位素的含量N与时间t的关系式为，其中N0为初始含量．则当该放射性同位素的含量为时，t的值约为（　　）附：ln2≈0.693． A．33 B．45 C．67 D．78 7．已知函数f（x）＞0，且若f（8）＝1，则（　　） A．f（1）≥3 B．f（2）≤10 C．f（3）≤31 D．f（4）≤16 8．设直线l：x+y﹣1＝0，一束光线从原点O出发沿射线y＝kx（x≥0）向直线l射出，与l交于点P，经l反射后与x轴交于点M，再次经x轴反射后与y轴交于点N．若光线所经长度OP+PM+MN，则k的值为（　　） A． B． C． D． 二．多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（　　） A．双曲线的一条渐近线方程为y＝﹣x B．椭圆和双曲线共焦点 C．椭圆的离心率 D．椭圆和双曲线的图象有4个公共点 10．已知狄利克雷函数．设函数f（x）＝D（x）•sinπx，则（　　） A．f（x）是奇函数 B．f（x）是周期函数 C．f（x）的值域是[﹣1，1] D．f（x）在区间[﹣1，1]上的有理数零点恰有2个 11．如图，在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，，，则（　　） A． B．AC′⊥平面A′BD C．AC′的长为6 D．平行六面体的体积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知2sin（α）＝cosα，则tanα＝　 　 ． 13．已知“函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数”，根据这个结论，若函数图象的对称中心是（1，﹣1），则t＝ 　 　 ． 14．如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切．若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为　 　 ． 四．解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知函数，f（x）的部分图象如图所示，P，Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为（1，A）． （1）求f（x）的最小正周期及φ的值； （2）若点R的坐标为（0，0），，求A的值． 16．（15分）已知函数． （1）若f（x）在区间（1，2）上单调递增，求a的取值范围； （2）讨论函数g（x）＝f'（x）﹣x的零点个数． 17．（15分）如图一所示，四边形ABCD是边长为的正方形，沿BD将C点翻折到C1点位置（如图二所示），使得二面角A﹣BD﹣C1成直二面角．E，F分别为BC1，AC1的中点． （Ⅰ）求证：BD⊥AC1； （Ⅱ）求平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值． 18．（17分）每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p，q（p＜q）．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． （1）在第一轮比赛中，求甲，乙至少有一人胜出的概率； （2）若甲，乙两轮都失败的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求p，q的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 19．（17分）定义：对椭圆及任意一点P（x0，y0），称直线为C关于点P的“极线”． 结论1：若点P在椭圆C上，则C关于点P的极线就是C在点P处的切线． 结论2（椭圆的光学性质）：从椭圆一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会经过另一个焦点． 试根据上面的定义和结论解决下列问题： 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，C关于点P（﹣4，0）的极线lP与C相交于A，B两点． （1）求|AB|； （2）设C在点A处的切线为lA，在点B处的切线为lB，过在lP上且在C外一点D作C的两条切线，切点分别为M，N，证明：直线MN，lA，lB相交于一点； （3）若Q（m，n）是C上除顶点以外的任意一点，直线QF1和QF2分别与直线相交于点S，T，证明：|QS|+|QT|为定值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A A C C C C D D ACD AB AC 三．填空题 12．1． 13．﹣1． 14．． 四．解答题 15．解：（1）函数的最小正周期， 由P（1，A）为函数图象的最高点，得，k∈Z，解得，k∈Z， 而，所以； （2）由Q为函数图象的最低点，P（1，A），， 得点Q的坐标为（4，﹣A），R（1，0），PR⊥OR， 又，则，过点Q作QS⊥OR于点S，S（4，0）， 因此A＝QS＝RS＝3． 16．解：（1）由已知可得， ，x＞0， 因为f（x）在区间（1，2）上单调递增， 所以f′（x）≥0在区间（1，2）上恒成立， 即a≤x2+x在区间（1，2）上恒成立， 当x＝1时，x2+x取最小值2， 所以a≤2． （2）因为g（x）＝f′（x）﹣x， 所以，x＞0， 令g（x）＝0得a＝﹣x3+x2+x， 令h（x）＝﹣x3+x2+x，x＞0， h′（x）＝﹣3x2+2x+1＝﹣（3x+1）（x﹣1）， 当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，h（x）在区间（0，1）上单调递增； 当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）在区间（1，+∞）上单调递减， 所以h（x）max＝h（1）＝1， 综上：当a＞1时，函数g（x）无零点， 当a＝1或a≤0时，函数g（x）有一个零点， 当0＜a＜1时，函数g（x）有两个零点． 17．解：（Ⅰ）证明：取BD中点O，连结AO，C1O， ∵AB＝AD＝C1B＝C1D， ∴BD⊥AO，BD⊥C1O， ∵AO，C1O⊂平面AC1O，∴BD⊥平面AC1O， ∵AC1⊂平面AC1O，∴BD⊥AC1． （Ⅱ）解：∵二面角A﹣BD﹣C1是直二面角， ∴∠C1OA＝90°，∴C1O⊥AO，∴OA，OB，OC1两两垂直， 以O为原点，OA、OB、OC1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，﹣1，0），C1（0，0，1）， ∵E，F分别为BC1，AC1的中点． ∴E（0，），F（）， ∴（），（0，）， 设（x，y，z）是平面DEF的一个法向量， ∴，令y＝1，得（1，1，﹣3）， ∵OC1⊥平面ABD，∴平面ABD的一个法向量（0，0，1）， 设平面DEF与平面ABD所成的锐二面角为θ， 则cosθ． ∴平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值为． 18．解：（1）已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，； 在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p，q（p＜q）， 则在第一轮比赛中甲，乙两人都失败的概率， 所以在第一轮比赛中，甲，乙至少有一人胜出的概率． （2）①记事件Ai为甲在第i轮胜出，事件Bi为乙在第i轮胜出，（i＝1，2）， 由题意A1，A2，B1，B2相互独立，且，，P（A2）＝p，P（B2）＝q， 若甲，乙两轮都失败的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为， 则 ， ， 整理得， 所以， 将代入得25q2﹣35q+12＝0，解得或， 当时，，不满足p＜q； 当时，； 综上，； ②甲没有两轮都胜出的概率， 乙没有两轮都胜出的概率， 所以甲、乙两人都没有两轮都胜出的概率， 所以至少有一人两轮都胜出的概率为． 19．解：（1）由题意：椭圆关于点P（﹣4，0）的极线lP的方程为，解得x＝﹣1， 则，所以， 取， 所以； （2）证明：根据所给结论可知lA，lB分别是C关于点A，B的极线， 如图（1），取， 则． 由解得 所以lA和lB交于点P（﹣4，0）， 要证明直线MN，lA，lB相交于一点，只需证明直线MN过点P（﹣4，0）即可． 设M（xM，yM），N（xN，yN），D（﹣1，yD）． 根据所给结论，可知直线，直线， 因为直线DM和DN都经过点D（﹣1，yD）， 所以， 所以直线MN的方程为，将（﹣4，0）代入，得，方程也成立， 所以直线MN过点P（﹣4，0），故直线MN，lA，lB相交于一点． （3）证明：由题意，C在Q点处的切线方程为，则l与lQ平行，且经过坐标原点， 如图（2）所示，由椭圆的光学性质，可知∠GQS＝∠HQT， 又因为l∥lQ，所以∠GQS＝∠QST，∠HQT＝∠QTS， 所以∠QST＝∠QTS，所以|QS|＝|QT|． 过F2作F2R∥QS，与l交于点R， 则∠F2RT＝∠QST＝∠QTS，所以|F2R|＝|F2T|． 另一方面，因为|OF1|＝|OF2|，∠SOF1＝∠ROF2，∠SF1O＝∠RF2O， 所以△F1SO≌△F2RO， 从而|F1S|＝|F2R|，所以|F1S|＝|F2T|． 因此|QS|+|QT|＝|QS|+|F1S|+|QT|﹣|F2T|＝|QF1|+|QF2|＝4，故|QS|+|QT|为定值． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/9 10:38:33；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 1 学科网（北京）股份有限公司 $