10.5用二元一次方程组解决问题（古数学问题+行程问题+工程问题） 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

苏科版数学2025-2026学年七年级下册 10.5用二元一次方程组解决问题 （古数学问题+行程问题+工程问题） 【题型一】古数学问题 【例1】《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何？”学了方程（组后，我们可以非常顺捷地解决这个问题．如果设鸡有只，兔有只，那么可列方程组为　　 A． B． C． D． 【例2】《算法统宗》是一本通俗实用的数学书，也是将数字入诗的代表作，这本书由明代程大位花了近20年完成，程大位还有一首类似二元一次方程组的饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醅厚酒醇．醇酒二瓶醉五客，薄酒三瓶醉二人，共同饮了一十六，三十四客醉颜生，试问高明能算士，几多醅酒几多醇？”这首诗是说，好酒二瓶，可以醉倒5位客人；薄酒三瓶，可以醉倒二位客人，如果34位客人醉倒了，他们总共饮下16瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？设有好酒x瓶，薄酒y瓶．依题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【例3】《九章算术》中记载了一个问题，大意是甲、乙两人各带了若干钱．若甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱50．若乙得到甲所有钱的，则乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？设甲带了钱x，乙带了钱y，依题意，下面所列方程组正确的是（ ） A． B． C． D． 【例4】《九章算术》是我国古代数学专著，其中第八卷记录了这样一道题：“今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗，与上禾二秉，而实一十斗．问上、下禾实一秉各几何？”其大意为“今有捆上等禾结出的粮食，减去斗上等禾，再加上捆下等禾结出的粮食，共斗；捆下等禾结出的粮食，加上斗下等禾，再加上捆上等禾结出的粮食，共斗，问上等禾和下等禾每捆各能结出多少斗粮食（斗为体积单位）？”设上等禾每能结出斗粮食，下等每能结出斗粮食，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【例5】据《九章算术》记载：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”译文：用绳子测量水井深度，若将绳子折成三等份，则每等份井外余绳四尺；若将绳子折成四等份，则每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各几尺？设绳长尺，井深尺．由题意，可得方程组： ． 【例6】“方程”二字最早见于我国数学经典著作《九章算术》，该书的第八章名为“方程”．如从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程，则将中两个方程联立成方程组可表示为 ． 【例7】我国古代数学名著《九章算术》一书中记载了这样一个问题：“今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问家数、牛价各几何．”大意为：今有若干户人家共同买牛，若每7家共出190个钱，则少330个钱：若每9家共出270个钱，则多30个钱．问共同买牛的家数和牛价各是多少？请你解决上述问题． 【例8】我国古典数学文献《增删算法统宗・六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同．请问甲，乙各有多少只羊？（列二元一次方程组解答） 【例9】明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著，某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多九客，一房九客少七客．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住人，那么有人无房可住；如果每一间客房住人，那么就有一间房少人． (1)请列方程组，求出该店有客房多少间？房客多少人？ (2)假设店主李三公将客房进行改造后，共有间客房，每间客房收费钱，且每间客房最多入住人，一次性定客房间以上（含间），房费按八折优惠，若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 【例10】魏晋时期的数学家张丘建在古算书《张丘建算经》中提出著名的百鸡问题，即“今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁，母，雏各几何？”其大意是：公鸡5文钱1只，母鸡3文钱1只，小鸡3只1文钱，用100文钱买100只鸡，其中公鸡，母鸡和小鸡都必须要有，问公鸡，母鸡和小鸡各多少只？设公鸡，母鸡和小鸡各有x，y，z只，请回答下列问题． (1)请列出满足题意的方程组，并求出y与z(用含x的代数式表示)； (2)由于x，y，z均为小于100的正整数，请写出所有满足条件的x的值． 【题型二】行程问题 【例1】从A地到B地需要经过一段上坡路和一段平路，小明上坡速度为4km/h，平路速度为5km/h，下坡速度为6km/h．已知他从A地到B地需用35min，从B地返回A地需用24min．问从A地到B地全程是多少千米？我们可将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，如果设未知数x，y，且列出一个方程为，则另一个方程是（　　） A． B． C． D． 【例2】已知某一铁路隧道长1500米．有一列火车匀速从隧道通过，测得火车开始进入隧道到完全出隧道共有1分钟，整列火车都在隧道里的时间为40秒，设火车长x米，火车的速度y米/秒，则可得方程组（　　） A． B． C． D． 【例3】从A地到B地骑车要走上坡、下坡、平路三个路段，全程．某人上坡每小时行，下坡每小时行，平路每小时行．如图，他从地到地用了，从地到地用了，则从A地到B地上坡、下坡、平路的路程分别是 ． 【例4】《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来．某日，戴宗去180里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了6小时，则戴宗的速度为 里/小时． 【例5】火车以40m/s的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时30s，其中火车全身都在隧道里的时间是20s，求隧道和火车的长度． 【例6】从王老师家到学校有一段上坡路、一段 的平路和一段下坡路， 王老师每天步行上、下班，如果上坡路的平均速度为 ，平路的平均速度为 ，下坡路的平均速度为 ，那么王老师从家到学校需 ，从学校到家需 ．求 从王老师家到学校的上坡路和下坡路的路程． 【例7】A、B两地相距3千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，20分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲所余路程为乙所余路程的2倍． (1)求甲、乙每小时各行多少千米？ (2)在他们出发后几分钟两人相距1.5千米（直接写出结果）？ 【例8】甲、乙两班同时从学校出发去距离学校的军营军训，甲班学生步行速度为，乙班学生步行速度为，学校有一辆汽车，该车空车速度为，载人时的速度为，且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，现在要求两个班的学生同时到达军营，问他们至少需要多少时间才能到达？ 【例9】如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失． (1)①甲同学用空杯先接了温水，温水的体积是 ；再接了开水，若混合后的水温为，则温水温度升高了 （用含有t的式子表示）． ②根据题目条件求出温水和开水混合后的温度t． (2)乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求乙同学分别接温水和开水的时间． 【例10】小华从家里出发到学校去上学，前路段小华步行，其余路段小华骑自行车． 已知小华步行的平均速度为60m/min，骑自行车的平均速度为200m/min，小华从家里到学校一共用了22min． (1)小红同学提出问题：小华家里离学校有多少m？ 前路段小华步行所用时间是多少min？ 请你就小红同学提出的问题直接设出未知数列方程组进行解答． (2)请你再根据题目的信息，就小华走的“路程”或“时间”，提出一个能用二元一次方程组解答但与第（1）问不完全相同的问题，并设出未知数、列出方程组． 【题型三】工程问题 【例1】甲、乙两个工程队负责修建一条长为800米的公路，甲工程队独立施工3天后，乙工程队加入．两工程队联合施工7天后，还剩70米的工程未能完成．已知甲工程队每天比乙工程队多施工3米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米．根据题意，所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【例2】今冬徐州市出现强降雪天气．甲、乙两队共同负责一条大街的扫雪工作，若由甲、乙两队合作3小时可完成扫雪工作；若甲队先单独扫雪4小时，再由乙队单独扫雪1小时可完成扫雪工作．若甲队先单独扫雪2小时，再由乙队单独扫雪，完成此项工作两队共需要 小时。 【例3】某工地派96人去挖土和运土，如果平均每人每天挖土5或运土3，那么该怎样分配挖土和运土的人数，使挖出土的土刚好及时运走？ 【例4】某工厂承接了一批加工任务，要求在规定时间内完成．如果每天加工120个零件，那么在规定时间内只能完成任务的90%；如果每天加工150个零件，那么可提前1天完成任务，且多加工50个零件．求规定的时间和这批零件的总数． 【例5】为了积极推进轨道交通建设，某城市计划修建总长度36千米的有轨电车轨道该任务由甲、乙两工程队先后接力完成，甲工程队每天修建0.06千米，乙工程队每天修建0.08千米，两工程队共需修建500天．求甲、乙两工程队分别修建有轨电车轨道多少千米？ 【例6】某城市准备对市区内的一段19.2km长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工24m．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工16m，结果工程如期完工．那么，甲、乙两队原计划每天各施工多少米？ 【例7】为绿化祖国的大好河山，每年的3月日是全国的植树节活动，某学校组织一批树苗给学生栽种，绿化一片荒地，初一的同学接受这个光荣的任务，一班的同学若每人种6棵，则剩下棵树苗无人栽种，若每人种7棵，还能帮其他班级栽种棵，一班有多少个同学，领到有多少棵树苗？ 【例8】某服装厂接到生产一批防护服的任务，甲车间单独完成需15天，甲车间生产2天后，由于疫情紧急，需提前5天完成任务，乙车间加入共同生产正好如期完成 (1) 乙车间单独完成这批防护服需几天？ (2) 若甲车间平均每天生产200套防护服，问乙车间平均每天生产防护服多少套？ 【例9】伊通河被誉为长春的母亲河，为把伊通河打造成集人文自然、创意休闲、文化传承于一体的城市风景区．现将一段长为225米的河道综合整治任务交由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治10米，共用时20天，求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明同学设甲工程队整治河道用了x天，根据题意，小明所列方程为_______； (2)小华同学的思路是“设甲工程队整治河道m米，乙工程队整治河道n米”，请你按照他的思路写出完整解答过程． 【例10】某中学新建了一栋4层的教学楼，每层楼有8间教室，共有4道门可进出这栋大楼，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，1分钟内可以通过140名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可通过400名学生． (1)平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？ (2)检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低20%．安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在10分钟内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学楼每间教室最多有45名学生，则建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由． 答案解析 【题型一】古数学问题 【例1】《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何？”学了方程（组后，我们可以非常顺捷地解决这个问题．如果设鸡有只，兔有只，那么可列方程组为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【例2】《算法统宗》是一本通俗实用的数学书，也是将数字入诗的代表作，这本书由明代程大位花了近20年完成，程大位还有一首类似二元一次方程组的饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醅厚酒醇．醇酒二瓶醉五客，薄酒三瓶醉二人，共同饮了一十六，三十四客醉颜生，试问高明能算士，几多醅酒几多醇？”这首诗是说，好酒二瓶，可以醉倒5位客人；薄酒三瓶，可以醉倒二位客人，如果34位客人醉倒了，他们总共饮下16瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？设有好酒x瓶，薄酒y瓶．依题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【例3】《九章算术》中记载了一个问题，大意是甲、乙两人各带了若干钱．若甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱50．若乙得到甲所有钱的，则乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？设甲带了钱x，乙带了钱y，依题意，下面所列方程组正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【例4】《九章算术》是我国古代数学专著，其中第八卷记录了这样一道题：“今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗，与上禾二秉，而实一十斗．问上、下禾实一秉各几何？”其大意为“今有捆上等禾结出的粮食，减去斗上等禾，再加上捆下等禾结出的粮食，共斗；捆下等禾结出的粮食，加上斗下等禾，再加上捆上等禾结出的粮食，共斗，问上等禾和下等禾每捆各能结出多少斗粮食（斗为体积单位）？”设上等禾每能结出斗粮食，下等每能结出斗粮食，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【例5】据《九章算术》记载：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”译文：用绳子测量水井深度，若将绳子折成三等份，则每等份井外余绳四尺；若将绳子折成四等份，则每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各几尺？设绳长尺，井深尺．由题意，可得方程组： ． 【答案】 【例6】“方程”二字最早见于我国数学经典著作《九章算术》，该书的第八章名为“方程”．如从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程，则将中两个方程联立成方程组可表示为 ． 【答案】 【例7】我国古代数学名著《九章算术》一书中记载了这样一个问题：“今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问家数、牛价各几何．”大意为：今有若干户人家共同买牛，若每7家共出190个钱，则少330个钱：若每9家共出270个钱，则多30个钱．问共同买牛的家数和牛价各是多少？请你解决上述问题． 【答案】设有x家，牛价为y个钱，根据题意，得： ， 解得：， 答：共有126家共同买牛，牛价为3750个钱． 【例8】我国古典数学文献《增删算法统宗・六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同．请问甲，乙各有多少只羊？（列二元一次方程组解答） 【答案】设甲有羊x只，乙有羊y只， 根据题意，得 解得， 答：甲有羊63只，乙有羊45只． 【例9】明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著，某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多九客，一房九客少七客．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住人，那么有人无房可住；如果每一间客房住人，那么就有一间房少人． (1)请列方程组，求出该店有客房多少间？房客多少人？ (2)假设店主李三公将客房进行改造后，共有间客房，每间客房收费钱，且每间客房最多入住人，一次性定客房间以上（含间），房费按八折优惠，若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 【答案】（1）解：设该店有客房间，房客有人， 由题意得，， 解得， 答：该店有客房间，房客有人； （2）解：若每间客房住人，则需要定客房间，需付房费元， 若一次性定客房间，需付房费元， ∵， ∴诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性定客房间更合算． 【例10】魏晋时期的数学家张丘建在古算书《张丘建算经》中提出著名的百鸡问题，即“今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁，母，雏各几何？”其大意是：公鸡5文钱1只，母鸡3文钱1只，小鸡3只1文钱，用100文钱买100只鸡，其中公鸡，母鸡和小鸡都必须要有，问公鸡，母鸡和小鸡各多少只？设公鸡，母鸡和小鸡各有x，y，z只，请回答下列问题． (1)请列出满足题意的方程组，并求出y与z(用含x的代数式表示)； (2)由于x，y，z均为小于100的正整数，请写出所有满足条件的x的值． 【答案】解：(1)由题意，得 解得 (2)由(1)得 因为x，y，z都是正整数， 所以x，x都是正整数， 所以x一定是4的倍数， 当x＝4时，y＝18，z＝78，符合题意； 当x＝8时，y＝11，z＝81，符合题意； 当x＝12时，y＝4，z＝84，符合题意； 当x＝16时，y＝－3，z＝87，不符合题意； 同理当x>16时都不满足题意； 综上所述，x＝4或x＝8或x＝12. 【题型二】行程问题 【例1】从A地到B地需要经过一段上坡路和一段平路，小明上坡速度为4km/h，平路速度为5km/h，下坡速度为6km/h．已知他从A地到B地需用35min，从B地返回A地需用24min．问从A地到B地全程是多少千米？我们可将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，如果设未知数x，y，且列出一个方程为，则另一个方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【例2】已知某一铁路隧道长1500米．有一列火车匀速从隧道通过，测得火车开始进入隧道到完全出隧道共有1分钟，整列火车都在隧道里的时间为40秒，设火车长x米，火车的速度y米/秒，则可得方程组（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【例3】从A地到B地骑车要走上坡、下坡、平路三个路段，全程．某人上坡每小时行，下坡每小时行，平路每小时行．如图，他从地到地用了，从地到地用了，则从A地到B地上坡、下坡、平路的路程分别是 ． 【答案】、、． 【例4】《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来．某日，戴宗去180里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了6小时，则戴宗的速度为 里/小时． 【答案】60 【例5】火车以40m/s的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时30s，其中火车全身都在隧道里的时间是20s，求隧道和火车的长度． 【答案】设隧道的长度为xm，火车的长度为ym， 依题意得， 解得． 答：隧道的长度为1000m，火车的长度为200m． 【例6】从王老师家到学校有一段上坡路、一段 的平路和一段下坡路， 王老师每天步行上、下班，如果上坡路的平均速度为 ，平路的平均速度为 ，下坡路的平均速度为 ，那么王老师从家到学校需 ，从学校到家需 ．求 从王老师家到学校的上坡路和下坡路的路程． 【答案】解：设从王老师家到学校的上坡路的路程为，下坡路的路程为，根据题意得， 解得： 答：从王老师家到学校的上坡路的路程为，下坡路的路程为． 【例7】A、B两地相距3千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，20分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲所余路程为乙所余路程的2倍． (1)求甲、乙每小时各行多少千米？ (2)在他们出发后几分钟两人相距1.5千米（直接写出结果）？ 【答案】（1）解：设甲每小时行千米． 乙每小时行千米． 依题意： 解方程组得 答：甲每小时行4千米，乙每小时行5千米． （2）相遇前：（3-1.5）÷（+） =1.5÷ =10（分钟）， 相遇后：（3+1.5）÷（+） =4.5÷ =30（分钟）． 故在他们出发后10分钟或30分钟两人相距1.5千米． 【例8】甲、乙两班同时从学校出发去距离学校的军营军训，甲班学生步行速度为，乙班学生步行速度为，学校有一辆汽车，该车空车速度为，载人时的速度为，且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，现在要求两个班的学生同时到达军营，问他们至少需要多少时间才能到达？ 【答案】设甲班学生从学校乘汽车出发至处下车步行，乘车 ，空车返回至处，乙班同学于处上车，此时已步行了 ． 则 解得，． 则至少需要（小时）． 答：他们至少需要6.75小时才能到达． 【例9】如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失． (1)①甲同学用空杯先接了温水，温水的体积是 ；再接了开水，若混合后的水温为，则温水温度升高了 （用含有t的式子表示）． ②根据题目条件求出温水和开水混合后的温度t． (2)乙同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求乙同学分别接温水和开水的时间． 【答案】（1）解：① ， ②由题意得， 解得： 此时杯子里水的温度为 （2）解：设乙同学接温水的时间为，接开水的时间为． 解得： 答：乙同学接温水的时间为，接开水的时间为 【例10】小华从家里出发到学校去上学，前路段小华步行，其余路段小华骑自行车． 已知小华步行的平均速度为60m/min，骑自行车的平均速度为200m/min，小华从家里到学校一共用了22min． (1)小红同学提出问题：小华家里离学校有多少m？ 前路段小华步行所用时间是多少min？ 请你就小红同学提出的问题直接设出未知数列方程组进行解答． (2)请你再根据题目的信息，就小华走的“路程”或“时间”，提出一个能用二元一次方程组解答但与第（1）问不完全相同的问题，并设出未知数、列出方程组． 【答案】（1）解：设小华家里离学校有m，前路段小华步行所用时间是min． 根据题意得，    解得   答：小华家里离学校有3000m，前路段小华步行所用时间是10min． （2）小华从家里到学校去上学步行了多少m？小华骑自行所用时间是多少min？ 设小华从家里到学校去上学步行了sm，小华骑自行所用时间是多少tmin，根据题意得， 【题型三】工程问题 【例1】甲、乙两个工程队负责修建一条长为800米的公路，甲工程队独立施工3天后，乙工程队加入．两工程队联合施工7天后，还剩70米的工程未能完成．已知甲工程队每天比乙工程队多施工3米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米．根据题意，所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【例2】今冬徐州市出现强降雪天气．甲、乙两队共同负责一条大街的扫雪工作，若由甲、乙两队合作3小时可完成扫雪工作；若甲队先单独扫雪4小时，再由乙队单独扫雪1小时可完成扫雪工作．若甲队先单独扫雪2小时，再由乙队单独扫雪，完成此项工作两队共需要 小时。 【答案】7 【例3】某工地派96人去挖土和运土，如果平均每人每天挖土5或运土3，那么该怎样分配挖土和运土的人数，使挖出土的土刚好及时运走？ 【答案】设x人去挖土，y人运土， 根据题意得：， 解得：． 答：有36人挖土，有60人运土，使挖出土的土刚好及时运走． 【例4】某工厂承接了一批加工任务，要求在规定时间内完成．如果每天加工120个零件，那么在规定时间内只能完成任务的90%；如果每天加工150个零件，那么可提前1天完成任务，且多加工50个零件．求规定的时间和这批零件的总数． 【答案】设规定的时间为t天，这批零件的总数为m个， 依题意列二元一次方程组得： 解得． 即规定的时间为12天，这批零件的总数为1600个， 答：规定的时间为12天，这批零件的总数为1600个． 【例5】为了积极推进轨道交通建设，某城市计划修建总长度36千米的有轨电车轨道该任务由甲、乙两工程队先后接力完成，甲工程队每天修建0.06千米，乙工程队每天修建0.08千米，两工程队共需修建500天．求甲、乙两工程队分别修建有轨电车轨道多少千米？ 【答案】设甲、乙两工程队分别修建有轨电车轨道为千米，由题意可得： ，化简得 解得 答：甲、乙两工程队分别修建有轨电车轨道为千米． 【例6】某城市准备对市区内的一段19.2km长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工24m．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工16m，结果工程如期完工．那么，甲、乙两队原计划每天各施工多少米？ 【答案】解：假设甲队原计划每天施工x米，乙队原计划每天施工y米， 原计划120天合作施工19.2km， 故可得方程120×（x+y）＝19200， 实际情况：甲先以原计划施工60天，后甲按照每天（x+24）m施工剩余的60天； 乙先以原计划施工60天，后停工30天，最后按照每天（y+16）m施工剩余的30天； 由此可得方程60x+60×（x+24）+60y+30×（y+16）＝19200， 可得方程组， 化简得， 解得， 故甲队原计划每天施工96米，乙队原计划每天施工64米． 【例7】为绿化祖国的大好河山，每年的3月日是全国的植树节活动，某学校组织一批树苗给学生栽种，绿化一片荒地，初一的同学接受这个光荣的任务，一班的同学若每人种6棵，则剩下棵树苗无人栽种，若每人种7棵，还能帮其他班级栽种棵，一班有多少个同学，领到有多少棵树苗？ 【答案】设一班有x个同学，领到有y棵树苗，由题意得， ， 解得， 答：一班有个同学，领到有棵树苗． 【例8】某服装厂接到生产一批防护服的任务，甲车间单独完成需15天，甲车间生产2天后，由于疫情紧急，需提前5天完成任务，乙车间加入共同生产正好如期完成 (1) 乙车间单独完成这批防护服需几天？ (2) 若甲车间平均每天生产200套防护服，问乙车间平均每天生产防护服多少套？ 【答案】（1）解：设甲每天生产x套，则总任务为15x套，乙每天生产y套， 则（15-5）x+（15-2-5）y=15x， 整理得10x+8y=15x， ∴y=， ∴15x=， 答：乙车间单独完成这批防护服需24天． （2）解：（套） 答：乙车间平均每天生产防护服125套． 【例9】伊通河被誉为长春的母亲河，为把伊通河打造成集人文自然、创意休闲、文化传承于一体的城市风景区．现将一段长为225米的河道综合整治任务交由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治10米，共用时20天，求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明同学设甲工程队整治河道用了x天，根据题意，小明所列方程为_______； (2)小华同学的思路是“设甲工程队整治河道m米，乙工程队整治河道n米”，请你按照他的思路写出完整解答过程． 【答案】（1）解：由题意可得， ， 故答案为：； （2）解：由题意可得：， 解得， 答：甲、乙两个工程队分别整治河道75米、150米． 【例10】某中学新建了一栋4层的教学楼，每层楼有8间教室，共有4道门可进出这栋大楼，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，1分钟内可以通过140名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可通过400名学生． (1)平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？ (2)检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低20%．安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在10分钟内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学楼每间教室最多有45名学生，则建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由． 【答案】（1）设平均每分钟一道正门可以通过名学生，一道侧门可以通过名学生， 依题意，得：， 解得：． 答：平均每分钟一道正门可以通过60名学生，一道侧门可以通过40名学生． （2）符合安全规定，理由如下： 这栋大楼最多拥有学生数为（名， 10分钟可通过学生数为（名． ， 建造的这4道门符合安全规定． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $