北京市2025-2026学年人教版数学下册阶段测试

《北京初一数学下学期期末测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A C C B D D B D 1．D 【分析】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数是无理数． 根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数即可． 【详解】选项A：是分数，属于有理数； 选项B：，是整数，属于有理数； 选项C：，是有限小数，属于有理数； 选项D：无法表示为整数或分数，且是无限不循环小数，属于无理数． 故选：D． 2．D 【分析】本题主要考查的是各象限内点的坐标特点、坐标轴上点的坐标特点．本题主要考查的是各象限内点的坐标特点，各象限内点的坐标特点：第一象限点的坐标为，第二象限点的坐标为，第三象限点的坐标为，第四象限点的坐标为，坐标轴上点的坐标特点：点在x轴上，，点在y轴上，据此回答即可． 【详解】解：．点在第一象限，故该选项不符合题意； ．点在x轴上，故该选项不符合题意； ．点在第四象限，故该选项不符合题意； ．点在第二象限，故该选项符合题意； 故选：D． 3．C 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，进行判定即可． 【详解】解：A、调查对乘坐飞机的旅客进行安检，应用全面调查，故此选项符合题意； B、调查某批次的汽车抗撞击能力，因为抗撞击能力检测属于有损检测，故应用抽样调查，故此选项不符合题意； C、调查某市居民垃圾分类的情况，人数众多，应用抽样调查，故此选项不符合题意； D、调查市场上冷冻食品的质量情况，应用抽样调查，故此选项不符合题意． 故选：A． 4．C 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键：①不等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐个选项进行判断，即可解答． 【详解】解：A、若，根据不等式的性质①得，，原变形不成立，故本选项不符合题意； B、若，根据不等式的性质②得，，原变形不成立，故本选项不符合题意； C、若，根据不等式的性质③得，，原变形成立，故本选项符合题意； D、若，令，，得，原变形不成立，故本选项不符合题意； 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直、对顶角相等，熟练掌握平行线的性质是解题关键．先根据垂直可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，然后根据对顶角相等即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵直线， ∴ 由对顶角相等得：， 故选：C． 6．B 【分析】本题主要考查了在数轴上表示解集、解不等式等知识点，正确求解不等式成为解题的关键． 先确定数轴表示的解集，然后再通过解不等式逐项判断即可． 【详解】解：由题意可知数轴表示的解集为：， A．的解集为，不符合题意； B．的解集为，符合题意； C．的解集为，不符合题意； D．的解集为，不符合题意． 故选：B． 7．D 【分析】分别求出各不等式的解集，再根据不等式的解集是x＞3求出a的取值范围即可． 【详解】 ∵解不等式①得：，解不等式②得：， ∵关于的不等式组的解集为， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 8．D 【分析】本题主要考查了真假命题的判断，不等式的性质，平方根的定义，相反数，点到坐标轴的距离等知识，逐一分析各选项是否符合数学定义或性质即可判断． 【详解】解：A． 若a，b，两边同乘时不等号方向改变，即，故A错误． B． 9的平方根是，而3是算术平方根，故B错误． C． 的相反数为，显然不等于原数，故C错误． D． 点到x轴的距离为，到y轴的距离为，均等于1，故D正确． 故选：D 9．B 解析：根据题意可列方程组： 将①+②,得：5x+5y =175 两边同时除以5,得：x+y=35 因此购买1枚徽章和1枚书签共需35元，故选B. 故选：B． 10．D 【分析】本题考查了条形统计图、折线统计图，根据折线统计图中同比增速都是正数，可知年月年月期间，新能源汽车的产量保持同比增长，发展态势良好；由条形统计图可知，年的四个季度中，第四季度的三个月的日均产量相对于前三个季度日均产量较高，可知第四季度为新能源汽车的生产旺季；根据年的月和月的日均产量和同比增速分别计算出据年的月和月的日均产量，通过比较可知：年月的新能源汽车日均产量低于年月的新能源汽车日均产量． 【详解】解：由折线统计图可知， 年月年月期间，同比增速都是正数， 年月年月期间，新能源汽车的产量保持同比增长，发展态势良好， 故正确； 由条形统计图可知，年的四个季度中，第四季度的三个月的日均产量相对于前三个季度日均产量较高， 第四季度为新能源汽车的生产旺季， 故正确； 年月的新能源汽车日均产量万辆，同比增长， 所月新能源汽车日均产量是万辆， 年月的新能源汽车日均产量万辆，同比增长， 所月新能源汽车日均产量是万辆， 年月的新能源汽车日均产量低于年月的新能源汽车日均产量， 故正确． 故选：D． 11．B 【分析】本题主要考查了点到直线的线段中，垂线段最短．解题的关键是理解垂线段最短． 小明在长方形的篮球场上沿直线进行折返跑训练中，为垂线段最短，即可求解． 【详解】小明在进行折返跑训练中，为垂线段最短 选B点折返跑过的路程最短． 故答案为：B． 12．1 【分析】本题考查了绝对值的非负性、算术平方根的非负性、求代数式的值，先根据绝对值的非负性以及算术平方根的非负性求出，，再代入代数式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴，， ∴， 故答案为：1． 13．3 【分析】因为一个正数的平方根有两个，它们是互为相反数的关系，列出方程求得的值，进而求得的值，代入代数式即可求解． 【详解】解：， 解得， ∴， ∴， 即的立方根为3 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平方根的应用、立方根，掌握一个正数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键． 14．/度 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键．根据题意知，，，得到，再根据平行线的性质得到，即可求解． 【详解】解：根据题意知，，， ， , ， ， ， 故答案为： 15． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用、求代数式的值，根据每个三角形的三个顶点上的数字之和相等得出，，得出，，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，， ，， ， 故答案为：． 16． 13 13 【分析】本题考查了逻辑推理．根据题意推理求解即可． 【详解】解：由题意得某班所有男生的人数为人， 选择1分钟跳绳的人数为17人， ∴选择实心球的人数为人； 已知选择排球的两位同学均选择了健身长拳和1分钟跳绳的组合， 而选择游泳的四位同学选择其他两类组合的情况各不相同， ∴对应的组合可能为：篮球，1分钟跳绳；篮球，实心球；足球，1分钟跳绳；足球，实心球； 在选择篮球的16人中，已经确定2人选择游泳， 因此剩余的14人需要选择健身长拳； 而在选择1分钟跳绳的17人中，选择排球而非篮球的人有2人；选择游泳而非健身长拳的人有2人；因此选择1分钟跳绳的剩余的人； 要使选择篮球、健身长拳、1分钟跳绳组合的人数最多，则在已经确定选择篮球、健身长拳的14人中，尽可能多的选择跳绳， 而1分钟跳绳的名额剩余13人， ∴在上述14人中有13人选择1分钟跳绳即为所求， ∴选择篮球、健身长拳、1分钟跳绳组合最多有13人， 故答案为：13；13． 17．（1）；（2） 【分析】本题主要考查了实数的运算，解二元一次方程组，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）根据算术平方根，立方根，绝对值的性质求解即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：（1） ． （2） ①×3，得③ ②+③，得， 解得． 把代入①，得 ， 解得． 所以这个方程组的解是． 18．，数轴见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别求出两个不等式的解集，再求出公共部分，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 由①，得， 解得． 由②，得， 解得． 所以，原不等式组的解集是． 在数轴上表示为： 19．见解析 【分析】本题考查了垂线的定义，平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题关键．由垂直的定义可得，根据平行线的性质，可得，从而得出，证明出． 【详解】证明：∵， ∴．（垂直的定义） ∵， ∴．（两直线平行，同位角相等） ∵， ∴． ∴．（内错角相等，两直线平行） ∴． ∴． 20．(1)，，图见解析 (2)①；②或 【分析】本题考查在平面直角坐标系中的平移，三角形的面积，正确画出图像是解题的关键． （1）由向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得，即可解答． （2）①根据由向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得，即可解答；②设点到的距离为，则三角形的面积．由，得到，即点的纵坐标为3或，列出方程或，即可解答． 【详解】（1）解：当时，，由向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得，则三角形按照该平移路径得到三角形， 如图所示 ，． （2）①由向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得； 故答案为：． ②∵轴， ∴． 设点到的距离为，则三角形的面积． ∴． ∴点的纵坐标为3或． ∴或． ∴或． 21．(1)“航天探索盒”采购75个，“AI机器人盒”采购25个。 (2)第二次补货时，采购“航天探索盒”45个，采购“AI机器人盒”14个。 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设“航天探索盒”采购个，“AI机器人盒”采购个，利用总利润每个“航天探索盒”的销售利润购进数量每个“AI机器人盒”的销售利润×购进数量，结合购进“航天探索盒”和“AI机器人盒”的数量及销售后获得的总利润，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）第二次采购“航天探索盒”个，则采购“AI机器人盒”个，，根据“航天探索盒”采购数量不少于44个且第二次销售利润不少于382元，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合均为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：设“航天探索盒”采购个，“AI机器人盒”采购个， 根据题意得： 解得： 答：“航天探索盒”采购75个，“AI机器人盒”采购25个。 （2）解：第二次采购“航天探索盒”个，则采购“AI机器人盒”个， 根据题意得： ， 解得：， 又 ∵均为正整数， ， 个 ∴第二次补货时，采购“航天探索盒”45个，采购“AI机器人盒”14个。 22．(1)①见解析；②45 (2)①少；② 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，频数分布表，频数分布折线图： （1）①用成绩为分别的人数除以其人数占比求出参与调查的人数再乘以成绩在分钟的人数占比，求出成绩在分钟的人数，进而补全统计图即可；②用280乘以样本中成绩在分别的人数占比即可得到答案； （2）①根据统计图即可得到答案；②根据统计图即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴成绩在分钟的人数为4人， 补全统计图如下： ②人， ∴估计该年俱乐部中成绩x满足的人数为45人； （2）解：①由统计图可知，小赵2024年的比赛用时为80分钟，小赵2023年的比赛用时大于90分钟， ∴小赵2024年的比赛用时比2023年的比赛用时少； ②如图所示，由统计图可知在左上方的点少于右下方的点，即2024年成绩比2023年成绩好的人数多于不好的人数， ∴． 23．(1)-9 (2)1、2 (3)5 【分析】该题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，解题的关键是理解新定义． 【详解】（1）解： （2）由题意得：3(x+1)-(x-2)≤10, 3x+3-x+2≤10, 2x+5≤10, 2x≤5, x≤2.5 所以x的正整数解为1、2 （3）根据定义将方程组转化为： ①+②得：2x+2y=m-4, 即x+y=m-4 x+y>0 , 解得m>4 m的最小整数值为5 24．(1)①补图见解析；② (2)①，证明见解析；②，证明见解析 【分析】（）①根据题意补全图形即可；②由角平分线的定义得，由平行线的性质得，进而根据角的和差即可求解； （）①由垂直可得，进而根据平行线的判定即可求证；②由角平分线的定义和平行线的性质可得，即得，由根据平行线的性质可得，即得，再根据三角形的外角性质即可求证； 本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角性质等，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：①补图如下： ②∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①． 证明：如图，∵，， ∴， ∴； ②． 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 25．(1)见解析 (2)或或 【分析】（1）过点F作，根据平行线的性质证明，，根据，即可得出结论； （2）分三种情况进行讨论：当点P在点Q左侧，点N在点E右侧时，当点P在点Q左侧，点N在点E左侧时，当点P在点Q左侧时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】（1）解：过点F作，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：当点P在点Q左侧，点N在点E右侧时，延长交于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点P在点Q左侧，点N在点E左侧时，延长交于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点P在点Q左侧时，延长交于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴； 综上分析可知：，与之间的数量关系为或或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，平行公理的应用，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 26．(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了新定义、坐标与图形变化—平移、一元一次方程的应用，理解线段的“感应点”的定义，运用数形结合思想是解题的关键． （1）由题意得，，轴，将线段向下平移2个单位长度得到线段，在坐标系中画出图形，再根据线段的“感应点”的定义即可得出结论； （2）结合点和点的坐标可得，点在直线上，点在直线上，根据线段上存在线段的“感应点”，得到线段与正方形有交点，再结合图形对线段的位置进行分析即可求解； （3）由题意得，，轴，将线段向右平移个单位长度得到线段；再根据题意分析出线段的“感应点”所在的区域，记此时的区域为区域，根据线段的“感应点”都是线段的“方田点”，得到正方形的边都落在区域，再结合图形对正方形的位置进行分析即可求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，轴， 由题意得，将线段向下平移2个单位长度得到线段， ∴，， 画图如下： 由图可知，点和是线段的“感应点”； 故答案为：，； （2）解：∵点， ∴点在直线上，点在直线上， ∴线段介于直线和直线之间， 当点恰好落在点上，则，解得， 当点恰好落在点上，则，解得， 当点恰好落在线段上，则， 当点恰好落在线段上，则， ∴由图可得，当时，线段与正方形有交点， ∴若线段上存在线段的“感应点”，则的取值范围是； 故答案为：； （3）解：∵点， ∴，轴， 由题意得，将线段向右平移个单位长度得到线段， ∴，， ∴线段的“感应点”在正方形的边上， ∵点是线段的“感应点”， ∴点在正方形的边上， 将正方形向下平移3个单位长度，得到正方形， ∵点向下平移个单位长度，得到点， ∴点落在正方形的边上， 将正方形和正方形分别向右平移3个单位长度，得到正方形和正方形， 由题意得，将线段向右平移3个单位长度得到线段， ∴点和点分别落在正方形和正方形的边上， ∴由图可得，线段的“感应点”组成正方形内部区域及边界，且不含正方形内部区域，记此时的区域为区域； 当点恰好落在点上，正方形的边都恰好落在区域， ∵，， ∴； 当点恰好落在点上，正方形的边都恰好落在区域， ∵，， ∴，， 解得：； 当点恰好落在点上，正方形的边都恰好落在区域， ∵，， ∴，， 解得：； 当点恰好落在点上，正方形的边都恰好落在区域， ∵，， ∴； ∴结合图形可得，若线段的“方田点”都是线段的“感应点”，则的取值范围为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京初一数学下学期期末测试卷 双向细目表 考查范围：相交线与平行线、实数、平面直角坐标系、二元一次方程组、不等式与不等式组、数据的收集、整理与描述 题号 难度 知识点 能力层级 核心素养 一、单选题 1 容易 求一个数的算术平方根,无理数判断 识记 数学抽象 2 适中 判断点所在的象限 理解 直观想象 3 容易 判断全面调查与抽样调查 理解 数据意识 4 较易 不等式的性质 应用 运算能力 5 较易 根据平行线的性质求角的度数,垂线的定义理解,对顶角相等 应用 推理能力 6 适中 求一元一次不等式的解集,在数轴上表示不等式的解集 理解 数形结合 7 适中 由一元一次不等式组的解集求参数 综合 推理能力 8 适中 判断命题真假,相反数的定义,求一个数的平方根,求点到坐标轴的距离 理解 逻辑推理 9 较易 二元一次方程组的实际应用（整体思想） 综合 模型意识 10 适中 折线统计图,求条形统计图的相关数据 综合 数据分析 二、填空题 11 较易 垂线段最短 应用 直观想象 12 较易 利用算术平方根的非负性解题,绝对值非负性,已知字母的值 ，求代数式的值 应用 运算能力 13 较易 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项,已知一个数的平方根，求这个数,求一个数的立方根 综合 数学抽象 14 较易 根据平行线的性质求角的度数 应用 推理能力 15 较易 二元一次方程的解,已知式子的值，求代数式的值 探究 模型意识 16 较难 逻辑推理与论证 综合 数据分析 三、解答题 17 适中 实数的混合运算,加减消元法,求一个数的算术平方根,求一个数的立方根 运算 运算能力 18 适中 在数轴上表示不等式的解集,求不等式组的解集 应用 数形结合 19 较易 根据平行线判定与性质证明,垂线的定义理解 推理 逻辑推理 20 适中 利用网格求三角形面积,坐标系中的平移,平移(作图) 综合 几何直观 21 适中 销售、利润问题(二元一次方程组的应用),一元一次不等式组的其他应用 建模 模型意识 22 较易 频数分布表,频数分布直方图,频数分布折线图,由样本所占百分比估计总体的数量 综合 数据意识 23 适中 新定义运算、不等式组和方程组结合的问题 探究 数学抽象 24 适中 根据平行线的性质探究角的关系,根据平行线判定与性质求角度,角平分线的有关计算,三角形的外角的定义及性质,根据平行线的性质求角的度数,内错角相等两直线平行 推理 逻辑推理 25 较难 根据平行线的性质探究角的关系,三角形的外角的定义及性质,平行公理的应用 综合 推理能力 26 较难 新定义问题、坐标与几何 探究 数学抽象 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京初一数学下学期期末测试卷 姓名__________________ 得分_______________________ 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1．在实数、、、中，无理数是（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中有下列四个点，在第二象限的点是（　　） A． B． C． D． 3．下列调查中，最适合采用全面调查的是（    ） A．对乘坐飞机的旅客进行安检 B．调查某批次汽车的抗撞击能力 C．调查某市居民垃圾分类的情况 D．调查市场上冷冻食品的质量情况 4．若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．智慧校园中，两条无人驾驶接驳车轨道，巡检机器人沿路线EF进行巡检，在点E处设置了一块与巡检路线垂直的激光感应屏EG，如图若机器人扫描角∠1=37°，求系统识别角∠2的度数（   ） A． B． C． D． 6．如图，是一个不等式的解集在数轴上的表示，则这个不等式是下列选项中的（    ） A． B． C． D． 7．若关于的不等式组的解集为，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．以下四个命题中，是真命题的是（　　） A．若，则 B．9的平方根是3 C．的相反数是它本身 D．点到两条坐标轴的距离都是1 9．（原创）2024 年 7 月 27 日，"北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作" 成功列入《世界遗产名录》.某文创店推出 "中轴线申遗成功" 纪念徽章和书签，已知 2 枚徽章和 3 枚书签共需 85 元，3 枚徽章和 2 枚书签共需 90 元，设每枚徽章元，每枚书签元，则购买 1 枚徽章和 1 枚书签共需（　　） A．30元 B．35元 C．40元 D．45元 10．近年来，中国的新能源汽车产业蓬勃发展，为经济发展注入了强劲动力．通过对规模以上工业企业（即年主营业务收入万及以上的工业企业）工业生产报表按月进行全面调查（月份数据免报），下图统计了年月年月期间规模以上工业新能源汽车的相关数据，其中条形图为新能源汽车每月的日均产量，折线图为每月日均产量的同比增速，同比增速．由图判断，下列描述中所有正确的是（    ） 年月年月期间，新能源汽车的产量保持同比增长，发展态势良好； 年的四个季度中，第四季度为新能源汽车的生产旺季； 年月的新能源汽车日均产量低于年月的新能源汽车日均产量． A． B． C． D． 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．如图，小明在长方形的篮球场上沿直线进行折返跑训练，他从场地一边的P点处出发，选择到对面的 （填A，B或C）点处折返一次回到P点时，跑过的路程最短． 12．（原创）"心有凌云志，手可摘星辰".若，则的值为 ． 13．一个正数的两个平方根是和，则的立方根为 . 14．在航天光学实验中，两束平行激光之间放置一幅测量三角板，如图，若激光偏转角∠1=15°，则的度数为 ． 15．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的要求重新填数如图2所示，则的值是 ． 16．根据北京初中学业水平体育与健康科目现场考试的最新要求，考生除了素质项目I必选外，还需要从运动能力I、运动能力II、素质项目II中各自主选择1项，即每名考生应参加共四项考试内容．某班所有男生的自主选择项目及人数统计如下： 运动能力I 人数 运动能力II 人数 素质项目II 人数 篮球 16 健身长拳 26 1分钟跳绳 17 足球 12 游泳 4 实心球 排球 2 表中的 ；若已知选择排球的两位同学均选择了健身长拳和1分钟跳绳的组合，选择游泳的四位同学选择其他两类组合的情况各不相同，则选择篮球、健身长拳、1分钟跳绳组合最多有 人． 三、解答题（本题共52分，第17-18题，每小题4分，第19-21题，每小题5分，第22题4分，第23-25题，每小题6分，第26题7分） 17．（1）计算：； （2）解方程组：． 18．解不等式组，并将解集表示在数轴上． 19．如图，，垂足为点，与相交于点，点在的延长线上，交于点，．求证：． 请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵， ∴_______．（__________）（填推理的依据） ∵， ∴________．（_________）（填推理的依据） ∵， ∴________． ∴________________．（_________）（填推理的依据） ∴_______________． ∴． 20．在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别是，，，其中．平移三角形，得到三角形，点的对应点为，点，的对应点分别为，． (1)当时，三角形如图所示．在图中画出三角形，并写出点，的坐标； (2)过点作轴于点，连接． ①直接写出点的坐标（用含的式子表示）； ②若三角形的面积为6，求的值． 21．（原创）学校科技节准备推出“航天探索盒”和“AI机器人盒”两种校园文创盲盒，相关信息如下表所示： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） 航天探索盒 40 46 AI机器人盒 50 58 (1)学校首次共采购100个盲盒，全部售完后共盈利650元，求两种盲盒各采购多少个？（请列方程组求解）． (2)第二次补货时，学校计划继续采购两种盲盒（两种盲盒均需采购），购货资金恰好为2500元，其中“航天探索盒”采购数量不少于44个，第二次销售利润不少于382元，请写出所有符合条件的采购方案。 22．为了解某长跑俱乐部成员的跑步成绩情况，某学校的长跑社团收集了该俱乐部2023年和2024年半程马拉松“大师赛”的比赛成绩，分为两个研究小组进行调查研究． (1)第一个研究小组随机抽取了该俱乐部2023年一些成员的比赛成绩，部分统计结果如下： 成绩x（分钟） 频数（人） 频率 2 0.04 0.08 8 17 0.34 10 0.20 3 0.06 5 0.10 1 0.02 合计 1 ①请把上面的频数分布直方图补充完整； ②在2023年，该俱乐部共有280名成员，根据上面的统计结果估计该年俱乐部中成绩x满足的人数为______（结果精确到个位）； (2)第二个研究小组从该俱乐部2023年和2024年均参加了半程马拉松“大师赛”的选手中抽取了30名选手的跑步成绩，绘制了统计图（如图所示）． 请根据以上信息解答下面的问题： ①小赵2024年的比赛用时比2023年的比赛用时______（填“多”“少”）； ②将这30名选手中2024年成绩优于2023年成绩的人数记为m，其余选手人数记为n，则m______n（填“”“”“”）． 23．（原创）古人云："一分耕耘，一分收获".在数学中我们定义一种新运算 "耕耘收获运算"：对于任意两个有理数、，规定，寓意 "三份耕耘一份收获"，激励同学们付出努力才能收获成功.例如：. （1）计算：的值； （2）若，求的正整数解； （3）若关于、的方程组的解满足，求的最小整数值. 24．在四边形中，，平分交于点，延长交于点．点为线段上的动点，连接，过点作交于点． (1)当点与点重合时， ①依题意补全图； ②若，则___________； (2)当点运动到某个位置时，恰好使得． ①猜想与的位置关系，并证明； ②平分交于点．用等式表示的数量关系，并证明． 25．如图，已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F在两条平行线之间，连接、． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，点P、Q是直线上的两点，点G在点P、Q之间，且，点M在线段上，过点M作射线交于点N（点N不与点E重合），试探究，与之间的数量关系，并说明理由． 26．在智慧地图系统中，定义一种“感应边界”，如图在平面直角坐标系中，对于点和长度为的线段给出如下定义：若线段平行于轴（或与轴重合），则将线段向下平移个单位长度，得到线段；若线段平行于轴（或与轴重合），则将线段向右平移个单位长度，得到线段．若点在以为顶点的正方形感应区域边界上，则称点是线段的“感应点”． 已知点的坐标为，点的坐标为． (1)在这四个点中，___________是线段的“感应点”； (2)点，若线段上存在线段的“感应点”，则的取值范围是___________； (3)点，点是线段的“感应点”，将点向下平移个单位长度，得到点．若线段的“感应点”都是线段的“感应点”，直接写出的取值范围 学科网（北京）股份有限公司 $