第9章分式 单元测试卷-2025-2026学年沪科版数学七年级下学期.

2025-2026学年七年级下学期数学单元测试卷 （测试范围：分式） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．若分式有意义，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 2．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．给出下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（   ） A．②③ B．①② C．①③ D．②④ 4．下列说法正确的是（    ） A．当时，分式无意义 B．分式与的最简公分母是 C．当分式值为0时， D．无论为何值，的值总为正数 5．化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 6．我国JX-300型道路抢修车，采用智能施工技术，能快速修复破损路面．该抢修车每小时修复路面的速度是一名工人人工修复速度的3倍，它修复120公里路面比一名工人修复90公里路面所用时间少10个小时，求该型号道路抢修车每小时修复路面多少公里．设该型号道路抢修车每小时修复路面公里，可列方程为（   ） A．B．C． D． 7．下列说法正确的是 （    ） A．分式 的值为，则的值为 B．分式 的分子、分母都乘以，分式的值不变 C．分式 中的，都扩大倍，分式的值不变 D．分式 是最简分式 8．已知，则的值为（    ） A． B． C． D．或1 9．已知关于x的分式方程无解，则k的值为（   ） A．0 B．0或-1 C． D．0或 10．已知为正整数且，且，则计算的结果为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．化简：______． 12．分式和通分后的结果分别为_________，_________． 13．已知当时，分式无意义，当时，分式的值为0，则的值是________． 14．若分式的值为整数，则整数的值为_____． 15．下列结论：①等式成立，则成立；②若有意义，则x的取值范围是且；③若分式的值为0，则x的值为3；④分式的值为整数，则整数x的值有2个；⑤若已知，则整数x的值是3或1或4，其中正确的有_______．（填序号） 16．已知，则的最小值是__________． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．约分： (1)． (2)． 18．计算： (1)； (2)． 19．计算： (1) (2) (3) (4)； (5)先化简，再求值：，其中． 20．已知，求代数式的值． 21．先化简，再求值：，其中m满足． 22．小明在计算机上打m千字的文稿需要ah，小华在计算机上打n千字的文稿需要bh． (1)小明和小华在计算机上平均每小时各打多少千字？ (2)小明和小华在计算机上打文稿的时间分别为2h和3h，他们共打文稿多少千字？ (3)如果小明比小华打字快，那么小明比小华平均每小时多打多少千字？ 23．某校在即将到来的马年新春活动中向商家订购了一批文创产品，其中包括“仙境骏马手账本”和“海市萌马钥匙扣”．若购买3本手账本和4个钥匙扣需花费38元，购买4本手账本和3个钥匙扣需花费46元． (1)请问每本手账本和每个钥匙扣的售价分别为多少元？ (2)由于订购数量颇多，商家决定给予优惠，其中每本手账本降低价格是每个钥匙扣降低价格的5倍．经观测，学校花5400元购进手账本的数量比花1440元购进钥匙扣的数量少200个，请问每个钥匙扣降低的价格是多少元 24．列方程解下列问题： 现有甲、乙两运输公司，已知甲运输公司每天的运输量比乙运输公司每天的运输量多吨，甲运输公司天的运输总量比乙运输公司天的运输总量多吨． (1)求甲、乙两运输公司每天的运输量分别是多少吨？ (2)随着业务的增加，甲、乙两运输公司都提高了运输能力．提高后，每天乙运输公司的运输量较提高前每天的运输量增加同样的数量，且每天甲运输公司的运输量较提高前每天增加的数量是乙运输公司每天增加数量的倍．若甲、乙两运输公司各运输货物吨，乙运输公司比甲运输公司多用天．求乙运输公司每天增加的运输量． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期数学单元测试卷 （测试范围：分式） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．若分式有意义，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式有意义的条件：分母不为0，据此列不等式求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不为0， ∴， 解得：． 2．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的乘除与乘方运算，需依据分式相关运算法则逐一计算各选项并判断正误． 【详解】分式乘法法则为分子相乘作分子、分母相乘作分母，再约分， 选项A：，运算正确； 分式乘方需分子、分母分别乘方， 选项B：，运算错误； ， 选项C：，运算错误； 分式除法需转化为乘法，即除以一个分式等于乘它的倒数， 选项D：，运算错误； 综上，正确答案为A． 3．给出下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（   ） A．②③ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】分式方程是分母中含有未知数的方程，判断每个方程是否含有分母且分母中含有未知数． 本题考查了分式方程的概念，熟练掌握相关内容是解题的关键． 【详解】解：∵ 方程① 中，右边分式分母含有未知数 ， ∴ ①是分式方程． ∵ 方程② 中，左边分式分母 含有未知数 ， ∴ ②是分式方程． ∵ 方程③ 中没有分式，是整式方程， ∴ ③不是分式方程． ∵ 方程④ 中， 是常数系数，没有分母含有未知数， ∴ ④不是分式方程． ∴ 是分式方程的是①②． 故选：B． 4．下列说法正确的是（    ） A．当时，分式无意义 B．分式与的最简公分母是 C．当分式值为0时， D．无论为何值，的值总为正数 【答案】D 【分析】本题考查分式的相关基础概念，包括分式有无意义的条件、最简公分母的确定、分式值为0的条件以及分式值的正负判断，解题关键是掌握分式的基本性质． 【详解】解：A，∵分式无意义的条件是分母，当时，分母，分式有意义， ∴A错误； B，∵最简公分母取系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积， ∴分式与的最简公分母是，不是， ∴B错误； C，∵分式值为需满足分子为且分母不为，由得，又即， ∴，不是， ∴C错误； D，∵对任意都有， ∴，分子， ∴恒成立， ∴D正确． 5．化简的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案． 【详解】解： ． 故选D． 【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则． 6．我国JX-300型道路抢修车，采用智能施工技术，能快速修复破损路面．该抢修车每小时修复路面的速度是一名工人人工修复速度的3倍，它修复120公里路面比一名工人修复90公里路面所用时间少10个小时，求该型号道路抢修车每小时修复路面多少公里．设该型号道路抢修车每小时修复路面公里，可列方程为（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的实际应用，先根据抢修车速度得到工人的修复速度，再利用公式表示出两者的用时，最后根据时间差列出方程． 【详解】解：∵设该型号道路抢修车每小时修复路面公里，则一名工人每小时修复速度为公里．依题意得： ． 7．下列说法正确的是 （    ） A．分式 的值为，则的值为 B．分式 的分子、分母都乘以，分式的值不变 C．分式 中的，都扩大倍，分式的值不变 D．分式 是最简分式 【答案】D 【分析】根据分式的性质，对各选项进行判断即可． 【详解】解：选项A：当时，分式分母为，分式无意义，即选项A错误； 选项B：当时，分式无意义，故选项B错误； 选项C：当，都扩大倍，分式转变为，即分式的值也扩大三倍，故选项C错误； 选项D：无法再进行化简，故是最简分式，选项D正确． 8．已知，则的值为（    ） A． B． C． D．或1 【答案】B 【分析】将变形得到，从而推出，再利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：由条件可知， ， ， 又， ． 9．已知关于x的分式方程无解，则k的值为（   ） A．0 B．0或-1 C． D．0或 【答案】D 【分析】本题考查分式方程无解求参数的值．分式方程无解分为两种情况，一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解使原方程分母为0（即为增根），分情况讨论求解即可． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， ∵该分式方程无解， ∴分两种情况讨论： 情况1：当时， 解得，此时方程无解，符合题意； 情况2：当，即时， 解得， 当或时，原分式方程有增根，方程无解， 即或时，符合题意， 当， 去分母得：， 移项得：， 等式不成立，此种情况无解； 当时，即， 解得，符合题意； 综上，的值为或． 故选：D． 10．已知为正整数且，且，则计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的规律性问题，熟悉掌握运算法则是解题的关键．通过计算序列的前几项，发现序列具有周期性，周期为，每项的乘积为常数，总项数为，恰好是的倍数，因此总乘积为的奇数次幂，结果为． 【详解】∵， ， ， ， ∴序列周期为， 每项乘积：， ∵， ∴． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．化简：______． 【答案】 【分析】先分别将分子分母因式分解，再约去公因式即可得到结果． 【详解】解：． 12．分式和通分后的结果分别为_________，_________． 【答案】 【分析】本题考查了通分，求出最简公分母是解题的关键．先确定最简公分母为是，再按照通分的规则通分即可． 【详解】解：，， 和的最简公分母是， ， ， 故答案为：， ． 13．已知当时，分式无意义，当时，分式的值为0，则的值是________． 【答案】5 【分析】根据分式无意义的条件求出的值，根据分式值为的条件求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：当时，分式无意义， 即， 解得：， 当时，分式的值为， 即且， 解得：， 则． 14．若分式的值为整数，则整数的值为_____． 【答案】0或2或4或6 【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，由分式的值为整数，可推出3能被整除，则可得或或或，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵分式的值为整数， ∴3能被整除， ∵x为整数， ∴是整数， ∵， ∴或或或， 解得或或或， 故答案为：0或2或4或6． 15．下列结论：①等式成立，则成立；②若有意义，则x的取值范围是且；③若分式的值为0，则x的值为3；④分式的值为整数，则整数x的值有2个；⑤若已知，则整数x的值是3或1或4，其中正确的有_______．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了分式的基本性质、分式有意义的条件、分式值为零的条件等知识，对于每个结论，利用分式的基本性质、分式有意义的条件、分式值为零的条件以及整数解的分析进行判断． 【详解】解：结论①：∵， ∴，即，故正确． 结论②：∵有意义， ∴，， ， ∴，，，故错误． 结论③：∵分式值为零 ∴且， ∴，故正确． 结论④：∵的值为整数， ∴为整数， ∴或或， ∴或或或或或， 又为整数， ∴或，共2个整数解，故正确． 结论⑤：当时，符合题意； 当时，不符合题意； 当时，，此时，符合题意， ∴和，故错误． 故答案为∶ ①③④． 16．已知，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算、完全平方式的非负性、不等式的性质、分母有理化等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．先根据分式的混合运算法则得，设，根据完全平方式的非负性和分母有理化，结合不等式的性质求解即可． 【详解】解  ∵， ∴， ∴ ， 设，则， 当时取得等号， ∴， 解得：， ∴，． 因此，当，时，取得最小值． 故答案为：． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．约分： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的约分，掌握找分子分母的公因式，以及处理互为相反的因式的变形技巧是解题的关键． （1）找出分子分母的公因式，直接约去公因式完成约分； （2）先将分子中的变形为，使分子分母出现相同因式，再约去公因式完成约分． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先除法变乘法，再约分即可求出答案． （2）先因式分解，再约分化简即可求出答案． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 19．计算： (1) (2) (3) (4)； (5)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)， 【分析】本题主要考查了分式的加减混合运算，以及分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式加减的运算法则． （1）（2）（3）（4）利用分式的加减运算法则进行计算即可； （5）先利用分式的加减计算法则进行化简，然后代数求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： 将代入上式得， 原式． 20．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据题意可得，再把所求式子的分子和分母都分解因式，再约分，最后利用整体法求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ， ． 21．先化简，再求值：，其中m满足． 【答案】，6 【分析】先根据分式的加法运算法则进行通分运算，再根据分式乘法运算法则，进行运算化简，求出化简后的结果为，结合已知条件，得到，运用整体代入的方法求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， 原式． 22．小明在计算机上打m千字的文稿需要ah，小华在计算机上打n千字的文稿需要bh． (1)小明和小华在计算机上平均每小时各打多少千字？ (2)小明和小华在计算机上打文稿的时间分别为2h和3h，他们共打文稿多少千字？ (3)如果小明比小华打字快，那么小明比小华平均每小时多打多少千字？ 【答案】(1)小明在计算机上平均每小时打千字；小华在计算机上平均每小时打千字 (2)千字 (3)千字 【分析】本题考查了列代数式及分式的加减运算，理解题意是关键； （1）文稿的字数除以打印文稿需要的时间即可得两人打字的速度； （2）由（1）所求分别乘上时间再相加即可； （3）将（1）所求的相减即可． 【详解】（1）解：小明在计算机上平均每小时打千字，小华在计算机上平均每小时打千字； 答：小明和小华在计算机上平均每小时各打千字和千字； （2）解：千字， 答：两人共打文稿千字； （3）解：千字， 答：小明比小华平均每小时多打千字． 23．某校在即将到来的马年新春活动中向商家订购了一批文创产品，其中包括“仙境骏马手账本”和“海市萌马钥匙扣”．若购买3本手账本和4个钥匙扣需花费38元，购买4本手账本和3个钥匙扣需花费46元． (1)请问每本手账本和每个钥匙扣的售价分别为多少元？ (2)由于订购数量颇多，商家决定给予优惠，其中每本手账本降低价格是每个钥匙扣降低价格的5倍．经观测，学校花5400元购进手账本的数量比花1440元购进钥匙扣的数量少200个，请问每个钥匙扣降低的价格是多少元 【答案】(1)每本手账本售价为10元，每个钥匙扣售价为2元 (2)0.2元 【分析】（1）设每本手账本的售价为x元，每个钥匙扣的售价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设每个钥匙扣降低的价格是a元，则每本手账本降低的价格是元，根据题意列出分式方程求解． 【详解】（1）解：设每本手账本的售价为x元，每个钥匙扣的售价为y元， 根据题意得 解得， 答：每本手账本售价为10元，每个钥匙扣售价为2元； （2）解：设每个钥匙扣降低的价格是a元，则每本手账本降低的价格是元，优惠后每本手账本的单价为元，每个钥匙扣的单价为元， 根据题意得 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：每个钥匙扣降低的价格是0.2元． 24．列方程解下列问题： 现有甲、乙两运输公司，已知甲运输公司每天的运输量比乙运输公司每天的运输量多吨，甲运输公司天的运输总量比乙运输公司天的运输总量多吨． (1)求甲、乙两运输公司每天的运输量分别是多少吨？ (2)随着业务的增加，甲、乙两运输公司都提高了运输能力．提高后，每天乙运输公司的运输量较提高前每天的运输量增加同样的数量，且每天甲运输公司的运输量较提高前每天增加的数量是乙运输公司每天增加数量的倍．若甲、乙两运输公司各运输货物吨，乙运输公司比甲运输公司多用天．求乙运输公司每天增加的运输量． 【答案】(1)甲运输公司每天运输量为吨，乙运输公司每天运输量为吨 (2)乙运输公司每天增加的运输量为吨 【分析】（1）设乙运输公司每天的运输量为吨，则甲运输公司每天的运输量为吨，根据甲运输公司天的运输总量比乙运输公司天的运输总量多吨列一元一次方程，求出的值即可得答案； （2）设乙运输公司每天的运输量每天增加吨，则甲运输公司每天的运输量每天增加吨，根据甲、乙两运输公司各运输货物吨，乙运输公司比甲运输公司多用天列方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：设乙运输公司每天的运输量为吨，则甲输货公司每天的运输量为吨， ∵甲运输公司天的运输总量比乙运输公司天的运输总量多吨， ∴， 解得：， ∴（吨）． 答：甲运输公司每天运输量为吨，乙运输公司每天运输量为吨． （2）解：设乙运输公司每天的运输量每天增加吨，则甲运输公司每天的运输量每天增加吨， ∵甲、乙两运输公司各运输货物吨，乙运输公司比甲运输公司多用天， ∴， 解得：， 经检验：是分式方程的解，且符合题意， ∴乙运输公司每天增加的运输量为吨． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $