河南省实验中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

河南省实验中学2025一2026学年下期期中试卷答案 题号 1 2 4 、6 6 7 P 9 10 答案 D C A C D C C D ACD ACD 题号 11 答案 AB 12.2+√2 13.7v6 14.√2 6 15.(1)a=1(2)c=-1或c=4. 【详解】(1)复数z=a+2i,22=2-i,a∈R, 则互=0+24-20.2+a+41 22-i55 (2a-2=0 因为三是纯虚数，所以5 a+4 ，解得a=1 5 (5*0 (2)由(1)得z,=1+2i,322=(1+2i)(2-i)=4+3i 由题意得，点O,A,B的坐标分别为(0,0)，(4,3)，(c,2-c), 所以0A=(4,3),0B=(c,2-c),因为AB=08-0A=5, 所以V(4-c)+(1+c)2=5,解得c=-1或c=4 13 16.2子a9 20 【详解】(1)在△ABC中，由正弦定理及2 asin A=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC得： 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,化简可得：b2+c2-a2=-bc, 由余弦定理得csA6+C二C=-号，又0<A<元，所以A=2π 2bc 3 …7 (2)AD是△ABC的角平分线，则∠BAD=∠DAC= 31 由SABC=SABD+SAC4D可得 Ibcsin 2z=I cx ADxsin+bx ADxsin 2 321 32 3 因为b=4,c=5,即有20=5AD+41D,放4D=20 9 15 答案第1页，共4页 17.【详解】(1) 取PB的中点Q,连接QF,EQ, 因为点E,F分别为AD,PC的中点， 由题意可证得Or1/BC,且Qr-BC=QE,BC/1DE, 所以QE/IDE,且QE=DE, 所以四边形DEQF为平行四边形，所以DF/1QE, 而DF丈平面PBE,QEC平面PBE, 所以DFII平面PBE. 6 (2)设平面PCD∩平面PBE=I, 由(1)可得DF/I平面PBE, DFG平面PCD, 所以DF/Il. 10 (3) 在棱AB上存在点N为AB的中点，连接EN,BD, 因为E为AD的中点，所以EN//BD,ENE平面FBD,BDC平面FBD, 所以ENII平面FBD, A t时=1 15 18.(1)-1;(2)-9;(3)AP.AC不是定值，取值范围为[72,81 【详解】)因为亚-配，不-2m,所以F-C+F号c-号沉-而号亚 又因为厅=丽+而，所以=号分所以x+2y=1 1 4 (2)因为C-丽+D,所以C旺=（丽+而兮0-孤-0-号而名D, 31 在菱形4BCD中，AB=A0=6,所以AC.EF=-2AD-4Dc0s∠BAD=-×36-×36×-9,所以 6 6 6 6 AC.EF=-9 9 (3)以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系 由菱形边长为6，∠BAD=60°，得A(0,0),B(6,0),D(3,3V3),C(9,3√3)， 因为G配.易为.曲示=2历可有3， 答案第2页，共4页 P在线段EF上，则AP=A正+EF,九∈[0，]： 亚-停.C=0,所孤C=8,又c乐-9 所以AP.AC=(AE+EF)·AC=81-9元，又因为∈[0，]，所以AP.AC∈[72,81] 故不是定值，取值范围为[72,81] 17 1901@29:e2+2w5 【详解】(I)~AB+AC=AB-AC,则AB+AC=AB-AC， .AB'+24B.AC+AC'=AB'-24B.AC+AC', 4B4C=0→61C,故4=受 .4 (2)由(1)知4=牙，所以△ABC的三个角都小于120， 由费马点定义知∠APB=∠BPC=∠APC=120°， 设PA=x,PB=y,PC=z,由SAPs+S,Brc+SAc=SABc, 整理得5+g5+5-×2,整理得+z+z .4v5 +-x. 221 22 22 则两阳+丽+网c=(引(》如〔》分4 ..9 3 3 (3)因为点P为△ABC的费马点，所以∠APB=∠BPC=∠CPA=120°， PB =m PA,PC=nPA,PA=x,m>0,n>0,x>0, 由PB+PC=tPA,得m+n=t. 由余弦定到得4=r+m-2mcos-++小2， 4C2=x+r2x-2r2cos20=(n+n+) BCP-mx+nx-2mmxcos-(m+n+mn)x, 3 由AC+AB=BC，得(n2+n+1)x2+(m2+m+1)x2=(m2+n2+mm）x2, m+n+2=mn,又m>0,n>0,所以m+n+2=mn≤ m+n2 2 当且仅当m=n,结合m+n+2=mn,解得m=n=1+√3时，等号成立， 又m+n=t,所以t2-4t-8≥0，解得t≥2+2V3或t≤2-2W3(舍去)， 答案第3页，共4页 故t的最小值为2+2√3. 17 答案第4页，共4页河南省实验中学2025一2026学年下期期中试卷 高一数学 (时间：120分钟，满分：150分) 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的)· 甘2，则z的虚部为() 1,已知2=1+2i A.i B.-i C.1 D.-1 2.已知不重合的直线m、n、I和平面a,下列命题中真命题是() A.如果l不平行于a,则a内的所有直线均与1异面 B.如果mca,n丈a,n、n是异面直线，那么n与a相交 C.如果mca,n/la,m、n共面，那么m/n D.如果m/n,那么m平行于经过n的任何平面 3.已知a,b是两个单位向量，且向量ā+46在向量a上的投影向量为3ā，则向量a,b的 夹角0=() h.音 π6 C. 4.已知在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin2C=sin2A+sin2B +sin Asin B,则C=() A君 2π C. 5π 3 D. 6 5.如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF=3FE,记BA=a, BC=,则CF=() A. B.C. P 6.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度 为15°，向山顶前进100m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD=50m, 高一数学第1页（共4页） 山坡对于地平面的坡度为0，则c0s0等于() A. 3 2 B. 2 2 C.-1 D.√2-1 A工 7.在△M8C中，角48，C所对的边为a6,c,b-c2=2-c,D=C,若B=4 BC=3,则BD长为() h. B. 8 C. 3 D.10 3 8.已知非零向量B与AC满足 AB AC BC=0,-AC=2V2,14B+4CH 6√2，点D是△ABC的边AB上的动点，则DB.DC的最小值为() 1 A.-1 B. C.-2 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)· 9.已知向量ā=（-6,3)，6=(（1，t),则（) A.当a+6=（-5,4)时，t=1 B.当a15时，【=片 C.a与b夹角为锐角时，则t的取值范围为(2，∞) D.当t=3时，a在五上的投影向量为 品品) 10.对于△ABC有如下命题，其中正确的是() A.若sin2A+sin2B+cos2C<1,则△ABC为钝角三角形 B.若AB=V3,AC=1,B=30,则△ABC的面积为 2 C.在锐角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立 D.若B=亏a=26,且△MBC有两解，则6的取值范围是3,2) 高一数学第2页（共4页) 11.在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，点E为棱DD的中点，点F是正方形CDDC 内一动点（包括边界)，则（) A.三棱锥B-ABF的体积为定值 B.若BFI1平面ABE,则点F的轨迹长度是√2 C.当点9在直线BC上运动时，A2+QC的最小值是2√5· D.若点F是楼CD,的中点，则平面A,BF截正方体所得截面的周长为2√2+2√5+2 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.如图所示，直观图四边形A'B'CD'是一个底角为45°，腰 A D 和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 13.在正四棱台ABCD-AB,CD,中，AB=2,AB,=1,A4=√2，则该棱台的体积为 14. 已知函数f(x)= 1 ，向量，2，马是平面内三个不同的单位向量，其中向量 -1,x< 2 马，相互垂直，且满足(·8)+∫（日·马）+f(g·g)≥1，则g+)的最大值是一 四、解答题（本题共5小题，共77分解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤）. 15.(13分)已知复数云，=a+2i,z2=2-i,且4是纯虚数，其中a为实数，i是虚数 2 单位 (1)求a的值： (2)在复平面内，0为坐标原点，向量OA,O对应的复数分别是z22,c+(2-c)i,若 A丽=5，求实数c的值 16.（15分)已知△ABC中，a,b,C分别为内角A,B,C的对边，且2 asin A=(2b+c)sin B +(2c+b)sinC 高一数学第3页（共4页） (1)求角A的大小： (2)设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且b=4,c=5,求AD的长度. 17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，点E,F分别为AD, PC的中点，设平面PCD∩平面PBE=l. (1)证明：DF/平面PBE: (2)证明：DF/1l: (3)在棱AB上是否存在点N,使得EN/1平面FBD?若存在， 求出仪的值：若不存在，说明理由。 NB 18.(17分)在菱形ABCD中，=6，∠BAD=60°，BE=号BC,C=2而. (1)若EF=xAB+yAD,求3x+2y的值： (2)求AC.EF的值： (3)若P在线段EF上的动点，问P,AC是否为定值？若是，求该定值：若不是，求P.AC 的取值范围. 19.（17分)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是： “在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学 家托里拆利给出了解答：当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC= ∠C0A=120°的点O即为费马点：当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶 点为费马点.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A丽-AC=AB+AC (1)求A: (2)若b=1,c=2,且点P为△ABC的费马点，求PA.PB+PB.PC+PC.PA: (3)设点P为aABC的费马点，PB+PC=P4,求t的最小值. 高一数学第4页（共4页）