题号猜押09 福建中考数学22-23题（5大考点，解答题）（福建专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

函学科网·上好课 www zxxk com 题号猜押0福建中考数学22-23 押题预测 。考点1尺规作图 1.(1)解：如图所示，点E就是所求作的点， :BC是O0的直径， .LBEC=90°， 即BE⊥CE, 即点E满足要求； (2)如图，设AB=r,BC=a. :四边形ABCD是矩形， .AD∥BC,∠D=90°，AD=BC=a,AB=DC=BE=r, .LBCE=∠CFD, BE⊥CE, .∠BEC=LD=90°. .△BCE≌△CFD(AAS), :DF=EC. 由勾股定理，得：CE2=BC2-BE2=a2-r2, DF2=a2-r2. AF:DF=1:3, 03 DF=3 a, 4 4 1/44 上好每一堂课 题（解答题） 学科网·上好课 6=a2-, 7a2=16r2, ·sin∠ECB=BE=r-V万 BC a 4 2.(1)解：如图：点D即为所求. (2)证明：由(1)作图可知：AD=DC, DA=DE, .DA=DE=DC, :∠DAE=∠DEA,∠DEC=∠DCE, .∠DAE+∠DCE+∠AEC=180°， ∴.∠DAE+∠DCE+∠DEA+∠DEC=180°， .2(∠DEA+∠DEC)=180°， :.∠DEA+∠DEC=90°，即∠AEC=90°， .CE⊥AB 3.(1)如图： B (2)由(1)作图，设⊙0与AC的交点为H, .BC=15,AC=14,AB=13 设AH=xHC=14-x ww.zxxk.com 上好每一堂课 连接BH,∴.∠BHC=90° 2/44 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BH2=132-x2=152-(14-x)2 解得：x=5 ..AH=5 .BH=12 连接OP,由(1)作图知CP平分∠BCA .∠PCA=∠BCP 又.OP=OC .∠OPC=∠BCP ∴.∠OPC=∠PCA ..OPICA ∴.OP⊥BH与点Q :.BQ-BH-6 又B0=15 :.00=2 ∴PQ=3 .BP=3/5 B 0 H 【点晴】此题主要考查了尺规作图中垂直平分线，角平分线及圆的画法和相似比及勾股定理等知识，解题 的关键是构建直角三角形及找到关键相似三角形 4.(1)解：如下图所示，正方形DEBF即为所求作的正方形， 3/44 命学科网·上好课 www zxxk com M (2)解：取OA的中点N,连接MN, D 由作图可知：OF=OB :四边形ABCD是菱形，AB=10,AC=16 .OA=OC=AC=8,AC L BD,OB=AB2-0A2=6, 2 ∴.0F=0B=6, 又：点N是OA的中点，M是AB的中点， :ON=OA=4,MN∥BD, ∠MNF=∠BOC=90°，MN=5OB=3, 、) .FN=0N+0F=10,MF=VFN2+MN2=V102+32=√109 >考点2代数推理 1.(1)解：：实数m、n满足，m2+bm+4=0,n2+bn+4 ∴.m、n是一元二次方程x2+bx+4=0的两个不相等的根. .△=b2-4×4×1=b2-16>0, 即b2-16的值恒为正数 (2)证明：：m、n是一元二次方程x2+bx+4=0的两个根， .m+n=-b,mn=4, 4/44 上好每一堂课 0且m≠n, 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 11 m n =n2+m2 m'n2 (m+n2-2mn (n2 (-b)2-2×4 42 b2-8 16 由(1)得b2-16>0, .b2>16, 1,1、16-8_1 m+京>16=2 2.解：(1)：45-5×2=35,35能够被7整除； .455能被7整除； (2)由题意可得：ab-2c=10a+b-2c; (3)由(2)可得ab-2c=10a+b-2c, :ab-2c能被7整除， .ab-2c=10a+b-2c=7k(k为整数)， ∴b=7k-10a+2c, ∴.abc=100a+10b+c=100a+10(7k-10a+2c+c=70k+21c=710k+3c, ∴.三位数abc能被7整除； (4)①abc=100a+10b+c, a-b+c是11的倍数， .a-b+c=11k(k为整数)， .b=a+c-11k, .abc=100a+10(a+c-11k)+c=110a-110k+11c=11(10a-10k+c, ∴.abc是11的倍数；故①正确； ②abc=100a+10b+c, :a+b-c是11的倍数， .a+b-c=11k(k为整数)， 5/44 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 c=a+b-11k, .abc-100a+10b+a+b-11k=101a+11b-11k,不一定是11的倍数，故②错误； ③abcd=1000a+100b+10c+d, :a+b-c+d是11的倍数， .a+b-c+d=11k(k为整数)， .c=a+b+d-11k, ∴.abcd=1000a+100b+10(a+b+d-11k)+d=1010a+110b+11d-110k,不一定是11的倍数，故③错误； 综上所述，正确的是①， 3.(1)解：x+y=5a,y=4x, .x+4x=5a x=a,则y=4a, x,y是正实数，则a>0, :xy=2a2+10, ∴.a.4a=2a2+10 解得：a=V5(负值舍去) (2)解：：x+y=5a, .x=5a-y, .a<x<2a, ..a<5a-y<2a .3a<y<4a 又以x,y,4a为边长的三角形是直角三角形， ∴4a为直角三角形的斜边，x,y是直角三角形的直角边 .x2+y2=(4a2=16a2 又：x2+y2=(x+y)2-2xy=(5a2-2×2a2+10=21a2-20 .16a2=21a2-20 .a=2（负值舍去) 该三角形的面积为y=2a+10-2x2+10)=9 2 6/44 面学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.解：(1)由题意得，”<”， m+a m 故答案为：<： (2)由题意得，此时盐水浓度为”+a m+a :盐水变得更咸了， n+a、n m+a m 故答案为： n+a n+a n 一>一 m+a m+a m (3):在ABC中，三条边的长度分别为x、y、2, x>0,y>0,z>0, x+x、xy+y y,+> x+y+zy+z’x+y+zx+z’x+y+zx+y x+少+2 <2x +2:-2x+y+=2: -+2y+ y+z x+z x+y x+y+z x+y+z x+y+z x+y+z .._ ->_y y y+2>x+y+2’x+2>x+y+2’x+y>x+y+2 -t_y ->-x -t-y x+y+2=1, 'y+z x+z x+y x+y+z x+y+z x+y+z x+y+z :1<x+y+2 <2 y+z x+z x+y ◆考点3以二次函数为背景的推理与计算（难度中等） 1.(1)解：点A2,0)在抛物线y=ax2+bx上， .4a+2b=0,即b=-2a, :a=-1, b=2, .y=-x2+2x=-(x-1)2+1, .该抛物线的顶点坐标为1，). (2)解：如图，过点B作BD⊥x轴于点D,过点C作CE⊥x轴于点E, DA 号：b=-2a, 7/44 函学科网·上好课 :.该抛物线的表达式为y=ax2-2ax, 设点Bm,am2-2am,Cn,an2-2an, BD am2-2am OD m CE 2an-an2,OE n, 在RAB0D和RtAC0E中，an∠BOD=BD-am-2am=am-2a OD m .tan∠BOD-tan∠COE=am-2a-2a+an=am+n-4a. m+n=4, :tanBOD tanCOE 4a-4a=0, .tan/BOD=tanC0E,即∠BOD=∠C0E, :OA平分∠BOC. 2.（1)解：：抛物线y=ax2-4ax+2(a≠0)， 62 :抛物线的对称轴为直线x=2; (2)①解：当a>0时，：点A(x,m),B(x2,b)均在抛物线上，且对 .点Ax,m)为抛物线的顶点， 由(1)得，当x=2时，y=a×22-4a×2+2=-4a+2 m=-4a+2; 当a<0时，抛物线开口向下，函数值没有最小值，故不符合题意； 综上：m=-4a+2; ②证明：：点C(-2,n在抛物线y=ax2-4ax+2(a≠0)上， .n=a×-2)-4a×-2)+2=12a+2 .mn=-4a+2)12a+2 =-48a2+16a+4 (1216 =48a-6+3 .-48<0, 由①可得a>0, 8/44 上好每一堂课 tan∠CoE=CE_2an-an2 OE =2a-an, n 于任意x2,都有m≤b. 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :当a石时，m取得最大值，即m 16 3 3.(1)解：：抛物线y=ax2-2过点M-2,-1, :-1=4a-2,解得a=4 1 1 ·抛物线的解析式为y=二x2-2: 4 (2)解：①.Am,m+t,Bn,n+t, 设直线AB表达式为y=c+b, m+t=km+b 则 n+t=am+b’ k=1 解得： (b=1' .AB所在直线的解析式为y=x+t, 联立得二x2-2=x+t, 1 整理得二x2-x-2-t=0, 4 由题意m和n是方程二x2-x-2-1=0的两个实数根， ~1 m+n=- =4 1 4 ②过点A和B作直线CM的垂线，垂足分别为D和E, M :点Am,m+),Bm,n+)为抛物线y=x2-2上的不同两点， d （4 :MD=m+2,AD=1-m,ME=n+2,BE=2n2-1, 9/44 学科网·上好课 www zxxk com .AD 1-m2 n2-1 4 0=m+242-m’证、4 1 ME=n+2=4n-2' .m+n=4, .2-m=n-2, 即2-m=4n-2, 1 4 AD BE MD ME ∴.tan∠AMD=tan∠BME, .∠AMD=∠BME, .MC平分∠AMB. 4.(1)解：当y=0时，ax2+bx=0, :a<0 .b2-4a>0,抛物线开口向下， ∴.抛物线与x轴有2个交点， .x轴下方的抛物线上必有2个点到x轴的距离为4， :二次函数y=ax2+bxa<0)的图象上有且只有三个点到x轴的距离为4 :.x轴上方的抛物线上只有1个点到x轴的距离为4， 令y=4,则ax2+bx=4,即ax2+bx-4=0 故4=b2-4×a×-4)=0, ∴.a= 1b; 16 (2)解：①若x-2)(x2-2)>0,则总有y≠y2 x,x2都大于2或者都小于2时，≠y2, 而a<0 说明函数在x>2范围内y随着x的增大而减小，在x<2的范围内，y随着 y1≠y2 .对称轴为直线x=2, -b=2,则b=-4a, a=, 10/44 上好每一堂课 x的增大而增大，这样才能保证 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :a=16 (-4aj2, 又a≠0 解得a=-1, :抛物线表达式为y=-x2+4x; ②点(m,p),（n,p均在二次函数y=-x2+4x的图象上，且纵坐标相同， “.由二次函数的对称性得这两点关于对称轴直线x=2对称，则m+”=2, 2 ∴.m+n=4, ∴.n=4-m, :点m,p)在图象上， .p=-m2+4m=m4-m, .p=mn, 等式左边-m-4--川-” mn m (m-42_n m 考点4三点共线（三线共点）问题 1.解：(1) A B 则四边形ABCD就是所求作的四边形 (2):AB∥CD,.∠ABP=∠CDP,∠BAP=∠DCP, A4BP ACDP.AB-4P CD CP :M,N分别为AB,CD的中点， 4B-2AM CD=2CN,:AM=4P ·CNCP 连接MP,NP,又：∠BAP=∠DCP, 11/44 面学科网·上好课 ∴△APM∽△CPN,.∠APM=∠CPN, :点P在AC上.∠APM+∠CPM=180°，.∠CPN+∠CPM= .M,P,N三点在同一条直线上. B 2.(1)作图如下： R /B 四边形ABCD是所求作的四边形； (2)设直线BC与AD相交于点S, s(S) DCIIAB, .△SBA∽△SCD, SA。AB SD DC 设直线PO与AD相交于点S', S'A PA 同理SDQD :P,Q分别为AB,CD的中点， .PA-AB QD-DC 12/44 上好每一堂课 180°， 学科网·上好课 www zxxk com PA AB OD DC S'A SA S'D SD S'D+AD SD+AD S'D SD ADAD ÷sDSD .S'D =SD, :点S与S'重合，即三条直线AD,BC,PQ相交于同一点. 121 3。（1D解：：抛物线y=4-2mr+c的顶点坐标为4。-， 2m 4, 2× 4 ∴.m=4, :抛物线经过C(0,3, .C=3, 起鹭线解折式为y-2x+3: 2)解：①在y--2x+3中，当y-子-2x+3-0时，解得x 4 A2,0),B(6,0, :经过(O,-2)的直线1∥x轴，过点B作BH⊥1于点H, H6,-2; 设直线AD解析式为y=x+b, 2k+b=0 4k+b=-1’ 1 k=- 2， b=1 直线40解折武为y=分x+1, 在)=方+1中，当x=6时，y=2x6+1=2. 13/44 上好每一堂课 2或x=6, 函学科网·上好课 点H(6,-2)在直线AD上， A,D,H三点共线； 4.（1)解：如图，即为所作： E D B (2)证明：连接AE,如图： D B 当D为AB的中点，则AD=DB, :DE=DP,∠ADE=∠BDP, :△ADE≌△BDP(SAS), .∠DAE=∠DBP, AB=AC, ∠ABC=LACB, 由旋转得，CA=CE,CB=CD,∠BCD=∠ACE, :∠ABC=∠BDC-180P-∠BCD,∠CAE=∠CEA .ZABC ZCAE LACB=∠CAE, .AE∥BC, .∠DAE+∠ABC=180°， .∠DBP+∠ABC=180°， 点P,B,C三点共线， zxxk com 上好每一堂课 180°-∠ACE 14/44 学科网·上好课 www zxxk com 。考点5黄金分割问题 1.(1)解：①将图1补充完整如图所示. ②解：设正方形ABCD的边长为2a,则PB=a,BC=2a ∴PC=VPB2+BC2=√5a, PF=PC=5a :BF PF-PB=(5-1)a BCBC 2aV5+1 CE BF （5-1a 2 (2)n= 360° 5 72° 如图所示， 0 A B 依题意，A0=B0,AB=a,∠A0B=72 过点O作OC⊥AB于点C, 240c-40B=36 在RtAAOC中，A0=R .AC=A0sin360°=Rsin360°， .as =2Rsin360 (3)如图，延长AB至D,使得AB=BD,连结CD 15/44 系一母拼丁 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C :∠ABC=90°，即BC⊥AD,则BC垂直平分AD A B D :CA=CD又∠ACB=18 LA=∠CDA=90°-18°=72° 过点D作LCDA的平分线DE,交AC于点E,则∠ADE=】∠CDA=36°， ∠AED=180°-∠A-∠ADE=72° 则∠DAE=∠CAD,∠AED=∠ADC ,△DAE∽ACAD .AD-AE AC AD 法1：设AB=a,AC=b,则AD=2a 又CE=DE=AD=2a :AE=AC-CE=b-2a .2a b-2a b 2a 即4a2+2ab-b2=0 48+2号-1=0，解得-1±5 4Q）2 b 名为正数，片91+6 :sinC=48-0--l+5 AC b 4 法2：由题意知AD是AC、AE的比例中项， 由任务一结论，可知D-5-1, AC 2 又AD=2AB, AB 2AD 5-1 AC AC 4 2.(1)如图，点D即为所求： 16/44 高学科网·上好课 D 万 (2)设BC=a,AB=b, AB=AC, .∠ABC=LC, AD BD, .∠A=∠ABD=∠DBC, :∠BDC是△ABD的外角， .LBDC=∠A+LABD, .LBDC=LABC=∠C, .BD=BC, :ZBDC ZC, .BC=BD =a, :∠C=2∠A, .LBDC=∠C=2LA, 又：∠BDC=∠DBA+LBAC, .∠DBA=LBAC, .AD =BD=BC=a, 则CD=AC-AD=b-a, .∠C=∠C,∠BDC=∠ABC, .△BDC~△ABC, CD_BC,即b-a-a BC AC a b a2+ab-b2=0, .b≠0， b www.zxxk.com 17/44 系一母拼丁 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得0=1+5或-1-5 2 (不合，舍去)， 如图1，过A作4E1BC丁点E,则BE=CE-号 0 sm<84c=细<C45-名-8145 AC b 2b 4 3.(1)解：根据题意可得EF=AB=BC=2,CF=)BC=1, 在直角三角形DEF中，由勾股定理得：DF=√EF2+DE2=√22+1P=√5， 由折叠的性质可得：FG=DF=√5， 故答案为：√5； (2)解：图7中还有黄金矩形ABGH, 证明：：AB=2,BF=BC=1,FG=5, 2 BG=BF+FG=5+1, AB 2V5-1 BG V5+12, :矩形ABGH是黄金矩形： (3)解：在黄金矩形ABCD中，设AB=(5-1x,则BC=2x, 51=*2ax5-m-5-E 2 ED=CF=BC-AB=3-5x m-2g-5x.8-i 2 同理可得m=×2π×(2V5-4x=25-4rx】 4 2 :m+n=6-5x+25-4rx-5-1x 2 2 2 .1=m+n. 4.（1)解：当=1时，得y=- :0B=a+1,AB=aa>0, :点Aa+1,a, 18/44 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :点A在y=的图象上， 1 ∴.a= a+1’ a2+a-1=0, △=1+4=5>0， 2 1,4=51<0(舍去. 2 as5-1 2 (2)证明：过点C作CD⊥x轴于点D, A B D 又：AB⊥x轴， :L0BA=LBDC=90°， :BC∥OA, .∠AOB=∠CBD, .△AOBn△CBD, BC CD BD OA AB OB' 设 =m,其中>0，则CD_BDB BC =n, OA AB OB OA :BC=nOA,BD nOB CD nAB,OD=(OB+BD)=(n+1 OB, :点A、C在y=k>0)图象上， .k=OBAB=ODCD ..OB AB =(n+1 OBmAB, .n2+n-1=0, △=1+4=5， m=51,,=5-10(會去)， 2 2 19/44 命学科网·上好课 www zxxk.com n=5-1 郎BC OA 2 BC的值是“黄金比， O 通关特训 1.(1)解；如图所示，点D即为所求； D (2)解：如图所示，设BF交AC于J点，过J点作JT⊥BC于T点， D :∠JBC=LJCB, :JB=JC, :.BT=CT=-BC=4a, 在Rt△CT中，：tan∠jCT=Jr-3 CT 4 :JT=3a, :JC =JT2+CT2=5a, :BJ=5a, :∠DCJ=∠DBC,∠JDC=∠CDB, △DCJn△DBC, DJ JC 5 DC BC 8' 设DJ=5x,则DC=8x, :△DCJ∽aDBC, DCDB,即8r DJ DC 85x+5a 20/44 上好每一堂课 设BC=8a, 学科网·上好课 25 解得x= 390, ..BD=DJ+BJ=5a+5x= 320 3g0. BD 40 BC 39 2.(1)解：如图，⊙0即为所求； B (2)证明：过O作OE⊥AC于点E, :O0与边AB相切于点D, .OD⊥AB, 由作图可知AO平分∠BAC, .0D=0E, :0D是00的半径， .OE是⊙0的半径， .AC是O0的切线. 3.(1)解：如图：⊙0为所作. D B (2)解：连接0D, 在ABC中，：∠ACB=90°，AC=3,BC= ww zxx k com 4, 21/44 系一母拼丁 命学科网·上好课 www.zxxk.com AB=√AC2+BC2=32+42=5, AC⊥BC,且点O在AC上， .BC为O0的切线， :AB与OO相切于D, :BD =BC=4, AD=AB-BD=5-4=1, 设⊙0的半径为r, 在Rt△OAD中， AD2+0D2=0A2, .12+2=(3-r）2, 解得：r号即00的半径为号 4.(1)解：如图所示，△DBE即为所求； D B (2)解：如图， B :LC=90°，AC=8,BC=6, .AB=AC2+BC2=10, 由(1)可得AB=BD=10,AC=DE=8,BC=BE=6,∠C= .AE=AB-BE=10-6=4, AD=V√AE2+DE2=V42+82=45, :∠ABD的平分线BF交AD于点F,AB=BD=10, 22/44 上好每一堂课 ∠DEB=90°， 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 Ar=DF-号4D, r-号0=2w5 5.(1)解：p是奇数，理由如下： :n是正整数，m=n+1, :m,n是一个奇数、一个偶数， t=mn是偶数， :奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数， s=m2+n2是奇数，t2是偶数， p=s+t是奇数加偶数，结果为奇数； (2)证明：：s=m2+n2,t=mn,m=n+1, s=n+12+n2=2n2+2n+1,t=nn+1=n2+n, .p=s+12 =2n2+2n+1+(n2+n =(n2+n+1, 即P是完全平方数， 6. (1)解：(x2+3x 4到x-x+4x-x-到 根据题意得：x2+3x-4是x3+ax2+bx+c的一个因式， .x2+3x-4=0,即x=-4,x=1是方程x3+ax2+bx+c=0的解， a+b+c=-1① 16a-4b+c=64②' ①×4+②得：4a+c=12, 即4a+c的值为12； (2)解：4a+c=12, a=3- 4 .c≥a>1, 1<3-c, 23/44 函学科网·上好课 www zxxk.com 解得冬c<8 :a,c为大于1的正整数， 0=3,4,5,6,7,但a=3分a也是正整数， .c=4,a=2, 将c=4,a=2代入①得，2+b+4=-1, 解得b=-7. 7.(1)证明：：a+b=mn, .a2-b2+2mnb =a2-b2+2a+b)b =a2-b2+2ab+2b2 =a2+2ab+b2 =(a+b)2 :(a+b)2≥0 .a2-b2+2mnb为非负数. (2)不可以，理由如下： :a,b,m,n为整数，n为偶数， .m为偶数， a+b=mn, a+b为偶数， ∴.a,b同为偶数或者同为奇数， .a-b为偶数， 若am-bm为奇数，则a-bm为奇数， .a-b为奇数， .a-b为奇数与a-b为偶数矛盾， .am-bm不可以为奇数， 8.(1)解：(1)√5+√3是8+2√15的完整平方根， 理由如下： 24/44 系一母拼丁 命学科网·上好课 5+5=5+25+3=8+2W5, 即8+215=(5+V5. .√5+√5是8+215的完整平方根. (2):a+2√b的完整平方根是√m+√n, i.a+21B=(Vm+vn. .a+2√b=m+n+2√mn a,b,m,n都是整数， .a=m+n,b=mn. (3):a+2Vb是完整根式， :不妨设a+2b=(Nm+√n,其中m,n都是整数. 由(2)得，a=m+n,b=mn. a2-4b=(m+n2-4mn=(m-n2. :m,n都是整数， ∴(m-n为完全平方数 a2-4b一定是完全平方数. 9.(1)把x=0代入y=4x-8x x+4,得y=4, 3 3 .C0,4), 把y=0代入y=- 42_8 3x+4,得-÷x2-。 3x+4=0, 解得x=-3,x2=1, :点A在点B的左侧， .A(-3,0),B(1,0). 设线段AC所在直线的函数表达式为y=c+b; -3k+b=0 b=4 25/ k.com 44 系一母拼丁 学科网·上好课 www zxxk.com 4 解得 b=3 :线段4C所在直线的函数表达式为y=3x+4: 4 (2):点P在抛物线y=-x2-8 x+4上， 3 3m+4, 设点P的坐标为m,-{m2-8m :PE⊥x轴于点E,交AC于点F, 4 点E的坐标为(m,0),点F的坐标为m,m+4: PF=-4 4 m-4m,EF=写m+4, :点P在线段AC上方的抛物线上， .-3<m<0, PF=EF, 4 4 六m-4m=3m+4, 解得m=-1或m=-3（舍去)， :点P的坐标为-13 16 10.(1)解：把1,3代入y=-x2+bx,得：-1+b=3, .b=4, y=-x2+4x; (2)①当x=2t,h=-1时，则：M(2t,y),N(3t,y1-1,代入y=-x -(22+42=乃，整理，得：5f-4-1=0, -(3)2+43t=y-1 解得：t=1或t=5 1 ②x=t-1时，则：M(t-1,y),N(2t-1,y+h), -(t-1)+4(t-1)=y -(2t-12+42t-1=y,+h 整理，得：h=-3t2+6t=-3(t-1)+3, 26/44 上好每一堂课 2+4x,得： 函学科网·上好课 www zxxk.com :-3<0 当t=1时，h有最大值为3. 11.(1)将B3,0,C0,3)代入y=-x2+bx+c得 -9+3b+c=0 C=3 b=2 解得 c=3 y=-x2+2x+3=-(x-12+4 该二次函数的顶点坐标为1,4) (2)当y=0时，-x2+2x+3=0, 解得x,=-1,x2=3 A-1,0) :SAABC= *4x3=6, :△PBC的面积是ABC面积的一半， .S△PBc=3 设直线BC的解析式为y=kcx+d, 将B(3,0),C03)代入得 3k+d=0 d=3 k=-1 解得d=3 .直线BC的解析式为y=-x+3, 作PD⊥x轴交BC于D, 27/44 系一母拼丁 学科网·上好课 B 设Pa,-a2+2a+3, 则D(a,-a+3 .PD=-a2+2a+3--a+3=-a2+3a C.SAPBG=7x PDx BO=-3 9 a2+ a 2 3 0+3=3 9 整理得a2-3a+2=0 解得a1=1,4=2, 当a=1时，P(1,4) 当a=2时，P(2,3 12.(1)解：由题意得A(12,0),B(6,9). 设抛物线的表达式为y=ax2+bx, 将A(12,0),B(6,9代入，得： 0=144a+12b, 解得 /as-1 41 9=36a+6b. b=3. :.抛物线的表达式为y= 1x+3x (2):平屋面CD离底面的距离为5m, .令y=5,得5=- 1x2+3x, 解得xF=2,xD=10. .CD=0.6+10=10.6. www.Zxx k.com 28/44 系一母拼丁 面学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .平屋面CD的长为10.6m. (3)如图，过点D作DG⊥CE于点G. B E H 在Rt△CDG中，∠CGD=90°，∠ECD=12°， CG=CDc0s12°≈10.6×0.978=10.37m, DG=CDsin12°≈10.6x0.208=2.20m. 在Rt DEG中，∠DGE=90°，∠CED=30°， EG= DG _2.20 tan30°- =2.20×V5≈2.20×1.732=3.81m 3 3 CE=CG+GE=3.81+10.37=14.18m. 如图，过点E作EH⊥CD,交CD延长线于点H,交x轴于点Q. 易得四边形CHQP为矩形， 在Rt△CEH中，∠CHE=90°， CH=CEc0sl2°≈14.18×0.978=13.86m, .PQ=CH=13.86m, :AP=0P+0A=0.6+12=12.6m, .AQ=13.86-12.6=1.26≈1.3>0.5. 设计符合要求. 13.(1)证明：解法一：连接0D交AC于点G,连接0C, E D G 0 :D是AC的中点， AG-CG-AC.ODLAC. 29/44 命学科网·上好课 .∠DGC=90°， :AB为直径， .∠ACB=90°， .∠ACE=90°， :DE⊥BC, LE=90°， .四边形DGCE为矩形， DE-CG-TC. .AC=2DE 解法二：延长AD,CE相交于点N. 0 :AB为直径， .∠ACB=∠ADB=∠BDN=90°. :D是AC的中点， :AD=CD, LABD=∠CBD. 又：BD=BD, .△ABD≌△NBD, .AD ND :DE⊥BC, LDEB=90°=∠ACB, .DE∥AC, DE ND 1 AC NA2' www.zxxk.com 30/44 系一母拼丁 学科网·上好课 www.zxxk.com :AC=2DE; (2)解：解法一：由(1)知，AG=CG, 又.0A=0B, .BC=20G, 由(1)知，四边形DGCE为矩形， D 0 B .DE∥GC,DO∥EC,DE=GC, BC BF CE DF 且∠DOF=LBEF,LODF=∠EBF, .△DOFn△BEF, “器號， BC BE ·CEOD 设BC=2a,CE=b, BE=BC+CE=2a+6,OD=0G+DG=1BC+CE-a+b, 2a 2a+b b a+b b=√2a, EF CE=b= OF OG a 解法二：过O作AC的平行线交BC于点H, D B 31/44 盖系一母拼丁 函学科网·上好课 www zxxk.com 则CE-C,Bh-0g-1, OH EH'CH OA .BH=CH, .AC=20H, 由(1)得，AC=2DE, .OH=DE, CF EC DE EH 由(1)得，∠BCF=∠BED=90°， 又：∠CBF=∠EBD, .△BCF∽aBED, CF BC DE-BE' ECBC EH BE 设BC=2a,EC=b,则CH=a,EH=a+b，,BE=2a+b, b 2a a+b 2a+b' ..b=v2a, EF_EC=b=2 OF FO a 14.（1)解：AB为00直径， .∠ACB=90°， :C,D为O0上的点，AC=2,BC=4, .∠ADC=∠ABC, .tan∠ADC=tan∠ABC= AC 2 1 BC4=2 (2)①解：CD2=4AE,BE; 理由：由(1)得∠ACB=90°，∠ADC=∠ABC, .∠ABC+∠BAC=90°， ZACD ZABC, ∴AC=AD,AB为O0直径， :AB垂直平分CD,即CE=CD,∠AEC=∠BEC=90°， 2 又：∠ACD=∠ABC, 32/44 系一母拼丁 函学科网·上好课 www zxxk.com .△AEC∽△BEC, AE CE CE BE 12 .CE2=AE.BE 即CD2=4AE·BE; ②连接BF,FD,CO, B 由09CB=CD,4B1cD, :CF∥AB, CF⊥CD,即CDF为直角三角形，∠DCF=90°， DF为O0直径， .tan∠CDF= CF 13 D3=3, ∴.∠CDF=30°，∠CFD=60°， :0C=0F, :△COF是等边三角形， ∠0CF=∠0FC=60°， :CF∥AB, :LA0C=∠0CF=∠0FC=LB0F=60°， 同理可得∠BAC=60°， LBAC=LB0F=60°， .FO∥CA, FG‖CA, .F,G,D三点共线. 15.(1)解：由旋转的性质，得AF=AD,∠DAC=60°. :△ABC是等边三角形， 33/44 系一母拼丁 函学科网·上好课 .∠BAC=60°，AB=AC. .∠FAB=∠DAC :AF=AD,∠DAC=∠FAB,AC=AB, △DAC≌△FAB(SAS), .LADC=∠AFB; (2)解：①由平移的性质，得EF∥AB, ∠AFE=∠FAB=60°， 连接DF, D E F G A 由(1)得AF=AD,∠DAC=60°， .△DAF是等边三角形，∠AFD=60°=∠AFE, D,E,F三点在同一条直线上： ②延长DC交AB的延长线于点Q, G A B .EF∥AB, .△DEG∽△OAG, DE EG ·QAAG 又EG=2AG, DE_EG=2, OA AG .DE =2A0 w Zxxk com 3444 系一母拼丁 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 设AC=a,CF=b,则AB=EF=a, :△DAF是等边三角形， .AF=DF=a+b, .DE=DF-EF=a+b-a=b. 六M0-0s b :EF∥AB, .△ACQ∽△FCD, 6 FDFC,即2-a, A0 AC a+bb 整理得：2a2+2ab-b2=0, 解得：a=1+56或a=1-56(舍去 2 2 作CH⊥AD,垂足为H,则∠DHC=∠AHC=90°， :△DAF是等边三角形， .∠HAC=60°， 在R1aAHC中，AC=a,则CH=5a, 2a.AH=1 a, 0*26 :DH AD-AH=AF-AH AC+CF-AH=a+b-1a 2 5 在R1aDHC中，an∠HDc=CH-2a 3a DH=a+2b=a+2b' 2 3x-l+ ∴tan∠ADC=tan∠HDC= 2 b3-5 =2-V3」 -1+56+2b 3+V5 2 16.(1)证明：在ABC中，AB=AC :ZABC ZACB :∠ACB与∠ADB是弧AB所对的圆周角. .∠ACB=∠ADB .∠ABC=∠ADB. :△ADE是△ADC沿直线AD翻折得到的，点C的对应点是点E .△ADE≌△ADC 35/44 高学科网·上好课 :∠ADE=∠ADC :四边形ABCD内接于圆O ·∠ADC+∠ABC=180° ·∠ADE+∠ADB=180° :点B,D,E三点共线 (2)解：DM⊥BD. ∠BDM=∠EDM=90° 在RtABDM中，BC=CM=2. .DC=BC=CM=2 :在⊙0中，∠BAC=∠DAC=30°， :四边形ABCD内接于圆O :∠BCD+∠BAD=1809 ∠BCD+∠DCM=180°， .∠DCM=∠BAD=60° .△DCM是等边三角形 .DM DC=2, .:△ADE≌△ADC DC DE 2, 在Rt△DEM中，DE=DM=2 .EM=2√2 (3)过点D作DF⊥BM于F点， .∠DFB=909 在Rt BDF中，DF2+BF2=BD 在Rt CDF中，DF2+CF2=CD2 分两种情况讨论： 若DF在CD的右侧，点C在线段BF www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BAD=∠BAC+∠DAC=60° 上，如备用图1， 36/44 函学科网·上好课 www zxxk.com E ∴.CF<BF, B C F M 备用图1 :CD<BD 若DF在CD的左侧，如备用图2，点C在线段BF的延长线上 C 备用图2 过点A作AG⊥BC于G点， :点F在线段CG上，BG=CG=BC .CF<BF, :CD<BD 综上所述，CD<BD :△ADE≌AADC :DC=DE :DE<BD :DM⊥BD ∠BDM=∠EDM=90° 在Rt△BDM中，BD2+DM2=BM2 在Rt△EDM中，DE2+DM2=EM2 .BM EM 17.解：任务1： 问题1： 点H是BC的黄金分割点，理由如下： 由旋转可得：CH=AG,BH=DG,AD=BC, 37/44 系一母拼丁 学科网·上好课 G为AD的黄金分割点， AG DG DG AD CH BH BH BC :点H是BC上的黄金分割点； 问题2： 直线GH不是四边形ABCD的黄金分割线， 理由：：CH=AG,BH=DG, 在口ABCD中，BC∥AD, ·S四边形ABHG=S图边形cDGH, S边形4G=1≠S边形CD0L S边形CDGH S四边形ABCD 直线GH不是四边形ABCD的黄金分割线， 故答案为：直线GH不是四边形ABCD的黄金分割线； 任务2： BC边上存在点M,使得直线GM是四边形ABCD的黄金分割线 过点G作GM∥AB交BC于点M,则GM是四边形ABCD的黄金 如图： B M H C D 在ABCD中，BC∥AD, 又：GM∥AB, ·四边形ABMG是平行四边形， 又：CD∥AB, GM∥CD, :四边形CDGM是平行四边形， G为AD的黄金分割点， 38/44 上好每一堂课 分线， 函学科网·上好课 www zxxk.com AG DG DG AD S四边形ABMG S四边形CDGM S四边形CDGM S四边形ABCD 则GM是四边形ABCD的黄金分割线， 点M即为所求的点； 任务3： 正确，理由如下： 如图： B H G是AD的黄金分割点， A G D AG DG DG AD S4=4G S.DBG.=DG SDBG DG S.ABD AD’ S.4BG DBG SDBG S。ABD ·BG是三角形ABD的黄金分割线； 任务4： 证明：连接BG,如图： B :GF∥BE, D S.BGF =S.EGF,SBEF =S.GEF .SABG=S。AEF,SDBG=S四边形BDEF, :点G是△ABD的边AD的黄金分割点， 39/44 系一母拼丁 函学科网·上好课 WW AG DG DG AD S.ABG S.DnG S。ABD S四边形BDEE S四边形BDEF :直线EF是△ABD的黄金分割线 18.(1)解：如图所示，⊙A即为所求作： D (2)解：根据题意，作出图形如下： D G B 设∠ADB=a,⊙A的半径为r, :BD与⊙A相切于点E,CF与⊙A相切于点G, .AE⊥BD,AG⊥CG,即∠AEF=∠AGF=90°， .CF⊥BD ·∠EFG=90°， .四边形AEFG是矩形， 又AE=AG=r, .四边形AEFG是正方形， ∴.EF=AE=r, w zxxk com 40/44 系一母拼丁 命学科网·上好课 www.zxxk.com 在Rt△AEB和Rt△DAB中，∠BAE+∠ABD=90°，∠ADB+∠ .∠BAE=∠ADB=a, 在Rt△ABE中，tan∠BAE=BE AE .BE r tan a, :四边形ABCD是矩形， .AB∥CD,AB=CD, .LABE=LCDF,又LAEB=∠CFD=90°， .△ABE≌△CDF, .BE DF =r tan a, ∴.DE=DF+EF=r tan a+r, 在R△4DE中，an∠ADE=AE,即DE:tana=AE, DE .(rtana+r）tana=r,即tan2a+tana-1=0, .tana >0, :ana=5L,即an∠ADB的值为5- 19.（1)证明：：DE AC,DF‖AB, .四边形AEDF为平行四边形， .DF=AE, EG=EA, .EG=DF .AB=AC, .∠ABC=LACB. .DF∥AB, .ZFDC ZABC .ZFDC ZACB, .DF=FC, .EG=FC, :DE∥AC, :.四边形CFEG是平行四边形. 41/44 上好每一堂课 ABD=90°， 可学科网·上好课 www.zxxk.com (2)解：当B、G、F三点共线时，由(I)知：四边形AEDF, .AF =DE,FC=EG, :DE∥AC, :.四边形AEDF与四边形CFEG面积的比值= AF FC AB=AC, .∠ABC=∠ACB, :DE I AC,DF‖AB, .∠EDC=∠ACB,∠FDC=∠ABC, .ZACB=ZFDC=ZEDC ZABC .DF=FC,DE=BE .FC=DF AE=EG,AF=DE=BE, FC=DF=AE=EG=x,AF=DE=BE=y, :DE∥AC, ∴.△BGE∽△BFA, EG BE y x+y .y2-y-x2=0, 即 y-1=0, :△=(-1-4×(-1=5>0， :上-1+5或-5 <0(负数不合题意，舍去)， 2 2 :四边形AEDF与四边形CFEG面积的比值为+⑤ 2 20.(1)解：∠C=90°， .∠ABC+∠CAB=90°， :AD平分∠CAB, .∠CAB=2∠CAD=2LBAD, AD BD, ∴.∠BAD=∠ABC=∠CAD=30°， .∠ADB=180°-∠BAD-∠ABC=120°， .∠ADB的度数为120°； 42/44 上好每一堂课 四边形CFEG均为平行四边形， 函学科网·上好课 www.zxx k.co m (2)证明：如图1，连接DE,过点B作BH⊥DE于点H,则∠DBH+ H B 图1 由旋转得BD=BE, .∠DBH=∠EBH=∠DBE, :∠C=90°， .∠CBA+∠CAB=90°， :LABE=90°， .LCBA+∠DBE=90°， .∠CAB=∠DBE, :AD平分∠CAB, :∠CAD=∠CAB=∠DBE=∠DBH, 2 :ZCDA=ZBDH, :∠CDA+∠ADB=180°， .LBDE+∠ADB=180°， .∠ADE=180°， A,D,E三点在同一直线上. (3)解：如图2，过点D作DG⊥AB于G, ● 56 2 (7 图2 :∠C=90°，即DC⊥AC,AD平分∠CAB, .DC=DG 43/44 上好每一堂课 ∠BDH=90°， 函学科网·上好课 www zxxk.com :∠7+∠2=∠4+∠2=90°， .∠4=∠7， :∠4=∠7，∠BGD=∠EFB=90°，BE=BD, △BEF≌△DBG(AAS), .BF=DG=CD=3, :EF⊥BC, LEFB=∠EFC=90°， 在Rt△BEF中，由勾股定理得BE=√EF2+BF2=5, .BD BE =5, .DF BD-BF=2, 在Rt△DEF中，由勾股定理得DE=√DF2+EF2=2V5, :LC=∠EFC=90°，∠5=∠6， .△ACD∽△EFD, AD CD AD 3 EDDF,即 V52,解得AD=3V5, :AE =55, 在Rt△ABE中，由勾股定理得AB=√AE2-BE2=10, AB的长为10. 44/44 系一母拼丁 题号猜押0 福建中考数学22-23题（解答题） 考点1 尺规作图 1．（2025·福建泉州·二模）如图，四边形是矩形，以点B为圆心，长为半径作，交于点M． (1)在上求作一点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，延长线段交于点F，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作的垂直平分线，交于点O，以O为圆心，以为半径作与交于点E，则点E满足要求； （2）设，．由四边形是矩形得到，，，，证明，则．由勾股定理得：，则．，得到，，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，点E就是所求作的点， ∵是的直径， ∴， 即， 即点E满足要求； （2）如图，设，． ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． 由勾股定理，得：， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·福建厦门·一模）如图，在中，． (1)在上求作一点D，使；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，在AB上存在点E满足，连接．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）用尺规作图作出线段的中点即可； （2）由（1）作图可知：，再结合可得，利用等边对等角、三角形内角和定理、角的和差可得，进而证明结论． 【详解】（1）解：如图：点D即为所求． （2）证明：由（1）作图可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 3．（2026·福建泉州·一模）如图，△ABC中 （1）请你利用无刻度的直尺和圆规在平面内画出满足PB2＋PC2＝BC2的所有点P构成的图形，并在所作图形上用尺规确定到边AC、BC距离相等的点P．（作图必须保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接BP，若BC＝15，AC＝14，AB＝13，求BP的长． 【答案】（1）见解析；（2）BP＝ 【分析】（1）根据PB2＋PC2＝BC2得出P点所构成的圆以BC为直径，根据垂直平分线画法画出O点，补全⊙O，再作∠ACB的角平分线与⊙O的交点即是P点. （2）设⊙O与AC的交点为H，AH＝x，得到AH、BH，根据题意求出OP∥AC，即可得出OP⊥BH，BQ＝BH，OQ=CH,求出PQ，根据勾股定理求出BP. 【详解】(1)如图： （2）由（1）作图，设⊙O与AC的交点为H，连接BH，∴∠BHC＝90° ∵BC＝15，AC＝14，AB＝13 设AH＝x ∴HC＝14－x     ∴ 解得：x＝5    ∴AH＝5     ∴BH＝12. 连接OP，由（1）作图知CP平分∠BCA       ∴∠PCA＝∠BCP 又∵OP＝OC      ∴∠OPC＝∠BCP          ∴∠OPC＝∠PCA ∴OP∥CA ∴OP⊥BH 与点Q    ∴BQ＝BH＝6    又BO＝ ∴OQ＝   ∴PQ＝   ∴BP＝. 【点睛】此题主要考查了尺规作图中垂直平分线，角平分线及圆的画法和相似比及勾股定理等知识，解题的关键是构建直角三角形及找到关键相似三角形. 4．（2026·福建泉州·一模）如图，在菱形中，． (1)求作正方形，使得点E，F在对角线上，且点在点的左边；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在（1）的条件下，是的中点，连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点O，以为半径，点O为圆心作圆交于点E和点F，再作四边形即可．根据作图可知，，则四边形是正方形； （2）利用勾股定理求出，取的中点N，连接，可知利用中位线定理求出和，并证明，继而求出，再用勾股定理求即可． 【详解】（1）解：如下图所示，正方形即为所求作的正方形， （2）解：取的中点N，连接， 由作图可知： ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 又∵点N是的中点，是的中点， ∴，， ∴ ∴，． 考点2 代数推理 1．（2025·福建·一模）已知实数m、n满足，，且． (1)试说明的值恒为正数； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）把m、n看作一元二次方程的两个不相等的根，然后利用根的判别式求解即可； （2）由根与系数的关系得，，然后把通分后代入整理可得结论成立． 【详解】（1）解：∵实数m、n满足，，且， ∴m、n是一元二次方程的两个不相等的根． ∴， 即的值恒为正数． （2）证明：∵m、n是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴ ． 由（1）得， ∴， ∴． 2．（2025·福建福州·一模）我们知道能被3整除的数的规律，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数就能被3整除． 例如，三位数108，，9可以被3整除，108就能被3整除． 【发现】将三位数去掉末尾数字得到两位数，再用减去的2倍所得的差为．若能被7整除，则三位数就能被7整除． 【验证】如，对于三位数364，，28可以被7整除，364就能被7整除． （1）用上述方法判断455能否被7整除？ 【探究】（2）请用含，，的代数式表示 ； （3）结合（2）论证“发现”中的结论正确． 【迁移】（4）下列结论正确的是 ．（填序号） ①在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ②在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ③在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； 【答案】（1）455能被7整除；（2）；（3）见解析；（4）① 【分析】本题考查了数的整除、整式加减的应用、有理数的混合运算、列代数式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出，结合能够被整除即可得解； （2）根据题意表示出代数式即可； （3）由（2）可得，由题意可得（为整数），推出，表示出，即可得解； （4）仿照（3）的方式逐项分析即可得解． 【详解】解：（1）∵，能够被整除； ∴455能被7整除； （2）由题意可得：； （3）由（2）可得， ∵能被7整除， ∴（为整数）， ∴， ∴， ∴三位数能被7整除； （4）①， ∵是11的倍数， ∴（为整数）， ∴， ∴， ∴是11的倍数；故①正确； ②， ∵是11的倍数， ∴（为整数）， ∴， ∴，不一定是11的倍数，故②错误； ③， ∵是11的倍数， ∴（为整数）， ∴， ∴，不一定是11的倍数，故③错误； 综上所述，正确的是①． 3．（2026·福建厦门·一模）已知正实数，满足，． (1)若，求实数； (2)已知，以，，为边长的三角形是直角三角形，求该三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入，可得到，用表示的式子，再代入求解， 结合为正实数舍去负根得到结果 （2）先判断出的范围，得出，进而得出为直角三角形的斜边，根据勾股定理，完全平方公式建立方程求得的值，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴，则， ∵，是正实数，则， ∵， ∴ 解得：（负值舍去） （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴ 又∵以，，为边长的三角形是直角三角形， ∴为直角三角形的斜边，，是直角三角形的直角边 ∴ 又∵ ∴ ∴（负值舍去） ∴该三角形的面积为 4．（2026·福建泉州·一模）【生活观察】数学来源于生活，生活中处处有数学．在生活中，我们常用盐的质量与盐水的质量的比表示盐水的浓度． （1）现有m克盐水中含n克盐，则盐水的浓度为．加入a克水，则盐水浓度为．生活经验告诉我们，盐水加水后会变淡，由此得到不等式：______（填“”、“”或“”）． 【数学思考】 （2）将（1）中的“加入a克水”改为“加入a克盐”，充分搅拌后全部溶解，感觉盐水变得更咸了，此时盐水浓度为______，由此得到新的不等式______（用含a、m、n的式子表示），试证明你发现的新的不等式． 【结论运用】 （3）在中，三条边的长度分别为x、y、z，试运用（1）、（2）中的不等式，证明：． 【答案】（1）；（2）；；（3）见解析 【分析】本题主要考查了不等式的性质，正确得到，是解题的关键。 （1）根据盐水加水后会变淡可知加水后的盐水浓度小于未加水时盐水的浓度，据此可得答案； （2）根据盐水浓度等于盐的质量除以盐水的质量可得第一空答案，根据加盐后会变咸可知加盐后的盐水浓度大于未加盐时盐水的浓度，据此可得答案； （3）根据（1）（2）可得，，，，，，再由不等式的性质证明即可． 【详解】解：（1）由题意得，， 故答案为：； （2）由题意得，此时盐水浓度为， ∵盐水变得更咸了， ∴， 故答案为：；； （3）∵在中，三条边的长度分别为x、y、z， ∴， ∴，，， ∴； ∵，，， ∴， ∴． 考点3 以二次函数为背景的推理与计算（难度中等） 1．（2026·福建泉州·一模）如图，抛物线与x轴交于点，点B与点C是该抛物线上的两点，且点B在第一象限，点C在第四象限，连接，． (1)当时，求该抛物线的顶点坐标； (2)记点B与点C的横坐标分别为m与n，试证明：当时，平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）首先利用待定系数法求出抛物线解析式，然后配方成顶点式求解即可； （2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设点，，然后表示出，，，，然后证明出，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ，即， ， ， ， ∴该抛物线的顶点坐标为． （2）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ∴该抛物线的表达式为， 设点，， 则，，，， 在和中，，， ． ， ， ，即， 平分． 2．（2026·福建漳州·一模）已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)若点均在抛物线上，且对于任意，都有． ①求的值（用含的代数式表示）； ②求证：． 【答案】(1)直线 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式求解即可； （2）①分和两种情况讨论，利用二次函数的图象与性质求解即可；②先求出，再用的代数式表示出，再根据二次函数的性质求证即可． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）①解：当时，∵点均在抛物线上，且对于任意，都有． ∴点为抛物线的顶点， 由（1）得，当时， ∴； 当时，抛物线开口向下，函数值没有最小值，故不符合题意； 综上：； ②证明：∵点在抛物线上， ∴ ∴ ， ∵， 由①可得， ∴当时，取得最大值，即． 3．（2026·福建莆田·二模）已知抛物线过点． (1)求抛物线的解析式； (2)点，为该抛物线上的不同两点，其中．垂直y轴，垂足为C，连接．求证： ①； ②平分． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①由题意得所在直线的解析式为，联立得到，即和是方程的两个实数根，利用根与系数的关系求解即可； ②过点和作直线的垂线，垂足分别为和，得到点，，求得，，推出，利用正切函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①∵，， 设直线表达式为， 则， 解得：， ∴所在直线的解析式为， 联立得， 整理得， 由题意和是方程的两个实数根， ∴； ②过点和作直线的垂线，垂足分别为和， ∵点，为抛物线上的不同两点， ∴点，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 4．（2026·福建南平·二模）二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离为4． (1)求a，b应满足的数量关系； (2)已知二次函数的图象上任意两点，满足：若，则总有． ①求该二次函数的表达式； ②试说明：对于该二次函数图象上两点，（其中且），都有． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】（1）先确定轴下方的抛物线上必有2个点到x轴的距离为，那么轴上方的抛物线上只有1个点到x轴的距离为，令，则，即，那么该方程有2个相等的实数根，据此即可求解； （2）①先确定出抛物线的对称轴为直线，则，那么，再结合即可求解； ②根据二次函数的对称性可得，则，由点在图象上，得到，故，再代入证明即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵ ∴，抛物线开口向下， ∴抛物线与轴有2个交点， ∴轴下方的抛物线上必有2个点到x轴的距离为， ∵二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离为4 ∴轴上方的抛物线上只有1个点到x轴的距离为， 令，则，即 故， ∴； （2）解：①若，则总有 ∴都大于2或者都小于2时，， 而 说明函数在范围内随着的增大而减小，在的范围内，随着的增大而增大，这样才能保证 ∴对称轴为直线， ∴，则， 而， ∴， 又 ∴解得， ∴抛物线表达式为； ②∵点，均在二次函数的图象上，且纵坐标相同， ∴由二次函数的对称性得这两点关于对称轴直线对称，则， ∴， ∴， ∵点在图象上， ∴， ∴， 等式左边 ∴． 考点4 三点共线（三线共点）问题 1．（2020·福建·中考真题）如图，为线段外一点． （1）求作四边形，使得，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的四边形中，，相交于点，，的中点分别为，求证：三点在同一条直线上． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析 【分析】（1）按要求进行尺规作图即可； (2)通过证明角度之间的大小关系，得到，即可说明三点在同一条直线上． 【详解】解：（1） 则四边形就是所求作的四边形． （2）∵，∴，， ∴，∴． ∵分别为，的中点， ∴，，∴． 连接，，又∵， ∴，∴， ∵点在上∴，∴， ∴三点在同一条直线上． 2．（2024·福建莆田·一模）如图，已知线段，垂足为a． （1）求作四边形，使得点B，D分别在射线上，且，，；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）设P，Q分别为（1）中四边形的边的中点，求证：直线相交于同一点． 【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）根据，点B在射线上，过点A作；根据等边三角形性质，得，分别过点A、B，为半径画圆弧，交点即为点C；再根据等边三角形的性质作CD，即可得到答案； （2）设直线与相交于点S、直线与相交于点，根据平行线和相似三角形的性质，得，从而得，即可完成证明． 【详解】（1）作图如下： 四边形是所求作的四边形； （2）设直线与相交于点S， ∵， ∴， ∴ 设直线与相交于点， 同理． ∵P，Q分别为的中点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点S与重合，即三条直线相交于同一点． 3．（2024·福建泉州·二模）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，顶点D的坐标是． (1)求该抛物线的解析式； (2)经过的直线轴，过点B作于点H． 求证：A，D，H三点共线； 【答案】(1) (2)证明见解析； 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数的性质，求二次函数解析式，勾股定理和勾股定理的逆定理： （1）利用对称轴公式求出；代入点C坐标即可求出c，进而求出解析式； （2）先求出A、B坐标，进而求出点H坐标，再求出直线解析式，最后验证点H是否在直线上即可； 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴， ∵抛物线经过， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：①在中，当时，解得或， ∴， ∵经过的直线轴，过点B作于点H， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴点在直线上， ∴A，D，H三点共线； 4．（2025·福建厦门·二模）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转，当点B恰好落到边上的点D时，得到，延长到点P，使得，联结． (1)根据题意，补全图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若D为的中点，求证：P、B、C三点在同一条直线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先作，以为圆心为半径画弧与射线交点即为点，连接并延长，以为圆心，为半径画弧与射线相交，交点即为点，再连接； （2）连接，先证明，得到，再根据旋转的性质以及等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理证明，则，那么，即可证明． 【详解】（1）解：如图，即为所作： （2）证明：连接，如图： 当D为的中点，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由旋转得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点三点共线． 考点5 黄金分割问题 1．（2024·福建泉州·模拟预测）某中学九年级（1）班开展“发现与探究黄金分割”为主题的综合实践活动，爱思考的小丽积极响应，认真做好下面项目及任务． 一、收集资料，阅读理解 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（，约前408年—前355年）发现：将一条线段分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做的比例中项），则可得出这一比值等于0.618…．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点． 黄金分割被视为最美丽的几何学比率，并广泛地应用于建筑和艺术中，如埃及的金字塔，女神维纳斯的雕像等，就是在日常生活中，黄金分割也处处可见．如演员在舞台上表演，站在黄金分割点上，台下的观众看上去感觉最好．有人发现，人的肚脐高度和人体总高度的比值接近于黄金比．就连普通树叶的宽与长之比，蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也都接近于0.618．还有黄金矩形（即长与宽之比为黄金比）、黄金三角形（顶角为的等腰三角形）等，五角星中更是充满了黄金分割．让我们去发现大千世界中奇妙无比的黄金分割吧！ 二、动手操作，直观感知 任务一：如图1，已知正方形，点是的中点．连结，以点为圆心，为半径作弧，与的延长线交于点，过点作于，与的延长线交于点，则所得到的四边形是黄金矩形． ①根据题意，利用尺规作图，将图1补充完整； ②写出黄金矩形的两边与之比，即______（结果保留根号） 三、探究延伸，灵活运用 任务二：如果正边形的中心角等于，其外接圆半径为，则______，其边长与的关系式为______；（用三角函数表示） 任务三：如图2，在中，已知，求的值．（结果保留根号） 请结合上述材料，解决下面问题： (1)补全任务一①、②所缺的内容； (2)根据任务二，写出______，边长与R的关系式为______；（用三角函数表示） (3)完成任务三问题的解答． 【答案】(1)①见解析；② (2)5； (3) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，正多边形的中心角，解直角三角形； （1）①根据题意补全图形，即可求解； ②设正方形的边长为，则，，勾股定理求得，进而求得，再求比值，即可求解； （2）根据，进而解直角三角形，即可得出与的关系； （3）延长至，使得，连结．过点作的平分线，交于点，证明，根据相似三角形的性质得出；法1：设，则，根据比例式得出，进而得出，根据正弦的定义即可求解；法2：由题意知是的比例中项，由任务一结论，可知，又，再根据正弦的定义即可求解． 【详解】（1）解：①将图1补充完整如图所示． ②解：设正方形的边长为，则， ∴， ∵ ∴ ∴ （2） 如图所示， 依题意，，， 过点作于点， ∴ 在中， ∴， ∴ （3）如图，延长至，使得，连结． ，即，则垂直平分 又 过点作的平分线，交于点，则， 则 法1：设，则 又 即 ，解得 为正数， ． 法2：由题意知是的比例中项， 由任务一结论，可知， 又， ． 2．（2023·福建泉州·模拟预测）已知中，，．    (1)在边上求作一点D，使得； (2)求的值． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）作的角平分线交于点D，点D即为所求． （2）设，，利用相似三角形的性质构建一元二次方程求解． 【详解】（1）如图，点D即为所求：    （2）设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 则， ∵，， ∴，   ，即 ， ， ∵， ∴， 解得 或（不合，舍去）， 如图1，过A作于点E，则， ∴． 3．（2025·福建龙岩·二模）综合与实践——黄金矩形． 宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调匀称的美感，它常见于艺术、建筑、自然界中，如图1中的希腊巴特农神庙和图2中达芬奇的画作《蒙娜丽莎》．今天我们追随先哲们的脚步，利用纸片来折出黄金矩形，创造数学美！            如图3，矩形纸片的宽，小明按如下步骤操作． 第一步：如图4，沿折叠，使点落在长边上的点处，连接，得正方形； 第二步：对折正方形，使边与重合，得折痕，并展开，如图5，则； 第三步：连接，沿折叠，使点落在延长线上的点处，如图6，则的长为 ① ； 第四步：过点折叠纸片，得折痕，使，交于点，并展开，如图7，则矩形为黄金矩形．        (1)补全小明操作过程中①所缺的内容______； (2)聪明的小慧发现，在图7中，除了黄金矩形外，还有另一个黄金矩形，请找出这个矩形，并给予证明． (3)小慧根据（2）题进一步发现，在黄金矩形中折去正方形，从而留下的矩形即为黄金矩形．类似于“勾股树”，黄金矩形也能不断“生长”，可以在图8中继续折出更多的黄金矩形、黄金矩形，……如图9，小慧用弧线将折得的不断分割的黄金矩形的分割点连结起来，便会形成一条曲线，通常被称为“黄金螺线”．自然界的很多植物、建筑、艺术作品中都有“黄金螺线”的影子．记、、的弧长分别为、、，请探究、、满足的数量关系． 【答案】(1) (2)另一个黄金矩形是矩形，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质及勾股定理可算得答案； （2）根据黄金矩形的定义及正方形的性质，可得四边形为黄金矩形； （3）在黄金矩形中，设, 则, 利用题中给出的信息，分别求出, 然后分别验证选项是否成立即可. 【详解】（1）解：根据题意可得， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 由折叠的性质可得：， 故答案为：； （2）解：图7中还有黄金矩形， 证明：∵，，， ∴， ∴， ∴矩形是黄金矩形； （3）解：在黄金矩形中，设, 则, ， , , 同理可得, ， . 4．（2025·福建泉州·一模）把一条线段分割为两部分，较长部分与全长的比值等于较短部分与较大的比值．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，被称为黄金分割；其比值是，称之为“黄金比”．如图，点、是反比例函数在第一象限内图象上的任意点，轴于点，连结． (1)若，，，试求的值； (2)若，求证：的值是“黄金比”． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意得出点坐标、反比例函数解析式，再将点坐标代入解析式即可求出； （2）证明，由相似三角形的性质可得，设，其中，则，推得，，，，由点、在图象上可得，配方法解一元二次方程求出的值即可得证． 【详解】（1）解：当时，得， ，， 点， 点在的图象上， ， ， ， ，(舍去)， ． （2）证明：过点作轴于点， 又轴， ， ， ， ， ， 设，其中，则， ，，，， 点、在图象上， ， ， ， ， ，（舍去）， 即， 的值是“黄金比”． 1．（2025·福建福州·二模）如图，在中，． (1)尺规作图：求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，尺规作图—作与已知角相等的角，熟知相关知识是解题的关键． （1）先作，再作，交于点D，则点D即为所求； （2）设交于点，过点作于点，设，由等边对等角得到， 则，解直角三角形得到，则可求出，证明，得到，设，则，，解得， 可求出，据此可得答案． 【详解】（1）解；如图所示，点D即为所求； （2）解：如图所示，设交于点，过点作于点，设， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ，即， 解得， ． ． 2．（2025·福建龙岩·二模）如图，已知中，． (1)求作，使圆心在边中点，且与边相切于点；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：是的切线． 【答案】(1)作图见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，作垂线，切线的判定与性质，角平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先作角平分线，交于点，然后过作的垂线，以为半径作圆即可； （）过作于点，由与边相切于点，则，由作图可知平分，所以，然后根据切线的判定方法即可求证． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：过作于点， ∵与边相切于点， ∴， 由作图可知平分， ∴， ∵是的半径， ∴是的半径， ∴是的切线． 3．（2025·福建厦门·二模）如图，在中，． (1)在边上确定一点O，以O为圆心，为半径作，使得与边相切于点D；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)已知，，在所作的图形中，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了基本作图，勾股定理，切线的性质，切线长性质，熟练掌握性质是解题的关键． （1）根据题意，只需作的平分线，与的交点就是所求作的圆心O． （2）根据勾股定理，切线的性质计算即可． 【详解】（1）解：如图：为所作． （2）解：连接， 在中，，，， ， ，且点在上， 为的切线， 与相切于， ， ， 设的半径为， 在中， ， 解得：，即的半径为． 4．（2025·福建厦门·二模）如图，在中，， (1)尺规作图： 将绕点B按顺时针方向旋转得到，使得点C的对应点E恰好落在线段上；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接的平分线交于点F，连接．求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，旋转的性质； （1）先以为圆心，为半径画弧与的交点即为，再分别以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧交点即为； （2）由（1）可得，，，，即可求出，再根据的平分线结合等腰三角形的三线合一得到，最后根据斜边中线得到． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图， ∵， ∴， 由（1）可得，，，， ∴， ∴， ∵的平分线交于点F，， ∴， ∴． 5．（2026·福建泉州·一模）已知实数满足，且是正整数，． (1)请判断是奇数，还是偶数？并说明理由； (2)求证：是完全平方数． 【答案】(1)是奇数，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据是正整数，，可知是一个奇数、一个偶数，进而可判断出、的奇偶，进而可得结论； （2）将代入中得、，再代入，得，将看作一个整体，根据完全平方公式的结构变形，即可得证． 【详解】（1）解：是奇数，理由如下： ∵是正整数，， ∴是一个奇数、一个偶数， ∴是偶数， ∵奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数， ∴是奇数，是偶数， ∴是奇数加偶数，结果为奇数； （2）证明：∵， ∴，， ∴ ， 即是完全平方数． 6．（2025·福建泉州·二模）已知a，b，c为有理数，且多项式能够写成的形式． (1)求的值． (2)若a，b，c为整数，且，试求a，b，c的值． 【答案】(1)12 (2)，， 【分析】此题考查的是整式的除法，多项式除以多项式． （1）由于是的一个因式，，则说明当时，，从而得到关于a，b，c的两个等式，对两个等式变形，可得； （2）由结合，即可求出的范围，但是a，c为大于1的正整数，且，可求出，从而求出、． 【详解】（1）解：， 根据题意得：是的一个因式， ∴，即，是方程的解， ∴， 得：， 即的值为12； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵a，c为大于1的正整数， ∴，4，5，6，7，但，a也是正整数， ∴，， 将，代入①得，， 解得． 7．（2025·福建三明·二模）已知整数a，b，m，n满足． (1)求证：为非负数； (2)若n为偶数，判断是否可以为奇数，说明你理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)不可以，理由见详解 【分析】本题主要考查了完全本小题考查整式的运算、因式分解、奇数偶数等基础知识：考查运算能力、推理能力以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力． （1）把代入，利用完全平方公式分解因式，利用平方的非负性质即可证明． （2）由a，b，m，n为整数，n为偶数，可得出为偶数，进而可得出为偶数，为偶数，若为奇数，则为奇数，则为奇数，与为偶数矛盾，则不可以为奇数． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵ ∴为非负数． （2）不可以，理由如下： ∵a，b，m，n为整数，n为偶数， ∴为偶数， ∵， ∴为偶数， ∴a，b同为偶数或者同为奇数， ∴为偶数， 若为奇数，则为奇数， ∴为奇数， ∴为奇数与为偶数矛盾， ∴不可以为奇数． 8．（2025·福建宁德·二模）定义：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． (1)判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由； (2)若完整根式的完整平方根是，请用含，的代数式分别表示，； (3)若是完整根式，证明：一定是完全平方数． 【答案】(1)是的完整平方根，奸恶计息 (2)， (3)见解析 【分析】本题考查完整根式，完整平方根的理解； （1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （2）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； 【详解】（1）解：（1）是的完整平方根， 理由如下： 即． ∴是的完整平方根． （2）∵的完整平方根是， ∴． ∴． ∵，，，都是整数， ∴，． （3）∵是完整根式， ∴不妨设，其中，都是整数． 由（2）得，，． ∴． ∵，都是整数， ∴为完全平方数． ∴一定是完全平方数． 9．（2025·福建龙岩·一模）如图，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点，连接． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式． (2)是线段上方抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点．当时，求点的坐标． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题考查了二次函数与x轴和y轴的交点问题、求一次函数不等式、线段问题，熟练待定系数法是解题的关键． （1）把和分别代入即可求出A，B，C三点的坐标，然后利用待定系数法即可求出所在直线的函数表达式； （2）设点的坐标为，根据题意表示出，，然后利用列方程求解即可． 【详解】（1）把代入，得， ， 把代入，得， 解得，， 点在点的左侧， ，． 设线段所在直线的函数表达式为； ∴ 解得 ∴线段所在直线的函数表达式为； （2）点在抛物线上， 设点的坐标为， 轴于点，交AC于点， 点的坐标为，点的坐标为， ，， 点在线段AC上方的抛物线上， ， ， ， 解得或（舍去）， 点的坐标为． 10．（2025·福建厦门·二模）已知抛物线经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)点，在该抛物线上． ①若，时，求的值； ②若，求的最大值． 【答案】(1) (2)①或②3 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①根据，，得到，，代入解析式进行求解即可； ②根据，得到，，代入解析式后，得到关于的函数解析式，利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴， ∴； （2）①当，时，则：，，代入，得： ，整理，得：， 解得：或； ②时，则：，， ∴， 整理，得：， ∴当时，有最大值为3． 11．（2025·福建三明·二模）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． (1)求该二次函数的顶点坐标； (2)若是二次函数图象上的一点，且点在第一象限，的面积是面积的一半，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程综合. （1）将代入求出解析式，化为顶点式即可； （2）先求出，进而求出，，设直线的解析式为，求得直线的解析式为，设，得到，根据列方程计算即可. 【详解】（1）将代入得 解得 ∴ ∴该二次函数的顶点坐标为 （2）当时，， 解得， ∴ ∴， ∵的面积是面积的一半， ∴ 设直线的解析式为， 将代入得 解得 ∴直线的解析式为， 作轴交于D， 设， 则 ∴ ∵ ∴ 整理得 解得，， 当时， 当时，. 12．（2025·福建宁德·二模）学完二次函数知识后，小明利用抛物线设计了一个如图1所示的公园休憩凉亭，凉亭的支柱为抛物线的一部分，为保护支柱，要求设计时让每个柱脚到屋檐铅垂线的距离不小于．图2是凉亭的截面图，其中抛物线柱脚之间的距离，抛物线柱的最高点离地面的距离为，平屋面离地面的距离为，其一端恰好在抛物线柱上，根据设计要求，柱脚到过屋檐的铅垂线的距离，斜屋面与平屋面的夹角，档板与斜屋面的夹角． (1)在图2所示的平面直角坐标系中，求出抛物线的函数表达式； (2)求平屋面的长；（结果精确到） (3)判断柱脚到过屋檐的铅垂线的距离是否满足设计要求？（结果精确到） （参考数值：，，，） 【答案】(1) (2) (3)设计符合要求 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法、解直角三角形等知识，熟练掌握待定系数法、解直角三角形等知识是关键． （1）利用待定系数法进行解答即可； （2）令，得，解得，．即可求出答案； （3）过点作于点．求出．得到．过点作，交延长线于点，交轴于点．求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，． 设抛物线的表达式为， 将，代入，得： 解得 ∴抛物线的表达式为． （2）∵平屋面离底面的距离为， ∴令，得， 解得，． ∴． ∴平屋面的长为． （3）如图，过点作于点． 在中，，， ， ． 在中，，， ． ∴． 如图，过点作，交延长线于点，交轴于点． 易得四边形为矩形， 在中，， ， ∴， ∵， ∴． ∴设计符合要求． 13．（2026·福建三明·二模）如图1，C是以为直径的半圆O上一点，D是的中点，交的延长线于点E，，相交于点F． (1)求证：； (2)如图2，若O，F，E三点共线，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点G，连接，由D是的中点结合垂径定理的推论得，，再由得到四边形为矩形，，即可证明； （2）根据三角形中位线得到，由，，，得到，即可证明，得到，设，，则，，代入整理得，即可得到． 【详解】（1）证明：解法一：连接交于点G，连接， ∵D是的中点， ∴，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴； 解法二：延长，相交于点N． ∵为直径， ∴． ∵D是的中点， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：解法一：由（1）知，， 又∵， ∴， 由（1）知，四边形为矩形， ∴，，， ∴， 且，， ∴， ∴， ∴， 设，， 则，， ∴， ∴， ∴． 解法二：过O作的平行线交于点H， 则，， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， 由（1）得，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，，则，，， ∴， ∴， ∴． 14．（2026·福建厦门·一模）如图1，在中，为直径，C为上的点，且在直径上方，D为上的点，且在直径下方，C，D不与A，B重合，交于点E． (1)若，，求； (2)当时． ①如图2，试探究，，的数量关系，并说明理由； ②如图3，过C作，交于点F，过F作，交于点G，当时，求证：F，G，D三点共线． 【答案】(1)； (2)①；②证明见详解． 【分析】（1）由题意得，，根据计算即可； （2）①由（1）得，，证垂直平分，得，证得，代入化简即可；②连接，，，证为直角三角形，求得，，进而证明是等边三角形，证明，根据平行公理即可解答． 【详解】（1）解：∵为直径， ∴， ∵C，D为上的点，，， ∴， ∴； （2）①解：； 理由：由（1）得，， ∴， ∵， ∴，为直径， ∴垂直平分，即，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即； ②连接，，， 由①得，， ∵， ∴，即为直角三角形，， 为直径， ∵， ∴，， ， 是等边三角形， ， ∵， ， 同理可得， ， ， ， ∴F，G，D三点共线． 15．（2026·福建泉州·一模）如图1，在等边三角形中，为边延长线上的一点，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)如图2，将线段BF沿方向平移的长度得到线段与相交于点，连接． ①求证：三点在同一条直线上； ②当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）运用旋转的性质得到，，从而证明，即可得证； （2）①由平移的性质可知，连接，则是等边三角形，证明，从而证明三点在同一条直线上； ②延长交的延长线于点Q，证明可得，设，，则，则，，再证明，可得，从而找到a与b的关系即，解得，作，求出和，从而利用求解即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质，得，． ∵是等边三角形， ∴， ． ∴ ∵，，， ∴， ∴； （2）解：①由平移的性质，得， ∴， 连接， 由（1）得，， ∴是等边三角形，， ∴三点在同一条直线上； ②延长交的延长线于点Q， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 设，，则， ∵是等边三角形， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理得：， 解得：或(舍去) 作，垂足为，则， ∵是等边三角形， ∴， 在中，，则，， ∴， 在中，， ∴． 16．（2025·福建南平·二模）如图，内接于⊙O ，，点是弧上的动点，是沿直线翻折得到的，的对应点是点于点，交延长线于点，连接． (1)求证：点三点共线； (2)当，时，求线段的长； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）证明即可证明结论成立； （2）求出，由得到，在Rt中，，即可求出答案； （3）分两种情况画出图形证明，在Rt中，，在Rt中，，即可得到结论． 【详解】（1）证明：在中， 与是弧所对的圆周角． ． 是沿直线翻折得到的，点的对应点是点 ∴ 四边形内接于圆 点三点共线． （2）解：． 在中，． 在中，， 四边形内接于圆 ， 是等边三角形 ， ∵ ， 在Rt中， （3）过点作于点， 在Rt中， 在Rt中， 分两种情况讨论： 若在的右侧，点在线段上，如备用图1， 若在的左侧，如备用图2，点在线段的延长线上 过点作于点， 点在线段上， 综上所述， 在Rt中， 在Rt中， ． 17．（2024·福建莆田·二模）根据以下素材，探索完成任务． 素材 定义：如图，点将线段分成两部分，如果，那么点称为线段的黄金分割点． 素材 某兴趣小组在进行研究性学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出黄金分割线的定义：直线将一个面积为的图形分成面积分别为，的两部分，如果，那么直线称为该图形的黄金分割线． 素材 平行四边形是中心对称图形：在同一平面内，一个三角形绕其中一边的中点旋转，其余两边与旋转后相对应的两边组成一个平行四边形，例如，图中的绕的中点旋转后与原三角形组成一个平行四边形如图．    问题解决 任务 问题：如图，边上黄金分割点旋转后的对称点是否也是边上的黄金分割点？请写出你的判断结论，并说明理由． 问题：直线是不是四边形的黄金分割线？请写出你的判断结论：______ ． 任务 请在图探索：边上是否存在点，使得直线是四边形的黄金分割线？如果存在，请说明点的位置；如果不存在，请说明理由． 任务 兴趣小组探索图时猜想：在中，若点为边上的黄金分割点，连接，则直线是的黄金分割线，你认为对吗？为什么？ 任务 兴趣小组探索图时还发现：若点是的边的黄金分割点，过点任意作一条直线交于点，再过点作交于点，则直线是的黄金分割线，请你给出证明． 【答案】任务：问题：是，见解析；问题2：不是；任务2：存在，过点作交于点，则是四边形的黄金分割线；任务3：对，见解析；任务4：见解析 【分析】任务：问题：由旋转可得：，，，又为的黄金分割点，知，故，点是上的黄金分割点； 问题：根据，，可得，由黄金分割线的定义可知直线不是四边形的黄金分割线， 任务： 过点作交于点，则点即为所求的点； 任务： 由是的黄金分割点，得，又，，故，从而是三角形的黄金分割线； 任务： 连接，由 ，得，，故，，根据点是的边的黄金分割点，可得，即得，直线是的黄金分割线． 【详解】解：任务： 问题： 点是的黄金分割点，理由如下： 由旋转可得：，，， 为的黄金分割点， ， ， 点是上的黄金分割点； 问题： 直线不是四边形的黄金分割线， 理由：，， 在中，， ， ， 直线不是四边形的黄金分割线， 故答案为：直线不是四边形的黄金分割线； 任务： 边上存在点，使得直线是四边形的黄金分割线， 过点作交于点，则是四边形的黄金分割线， 如图：    在中，， 又， 四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是平行四边形， 为的黄金分割点， ， ， 则是四边形的黄金分割线， 点即为所求的点； 任务： 正确，理由如下： 如图：   是的黄金分割点， ， ，， ， 是三角形的黄金分割线； 任务： 证明：连接，如图：   ， ，， ，， 点是的边的黄金分割点， ， ， ， 直线是的黄金分割线． 18．（2022·福建·中考真题）如图，BD是矩形ABCD的对角线． (1)求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求的值． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）先过点A作BD的垂线，进而找出半径，即可作出图形； （2）根据题意，作出图形，设，⊙A的半径为r，先判断出BE＝DE，进而得出四边形AEFG是正方形，然后在Rt△ABE中，根据勾股定理建立方程求解，再判定，根据，，在Rt△ADE中，利用，得到，求解得到tan∠ADB的值为． 【详解】（1）解：如图所示，⊙A即为所求作： （2）解：根据题意，作出图形如下： 设，⊙A的半径为r， ∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G， ∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°， ∵CF⊥BD， ∴∠EFG＝90°， ∴四边形AEFG是矩形， 又， ∴四边形AEFG是正方形， ∴， 在Rt△AEB和Rt△DAB中，，， ∴， 在Rt△ABE中，， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴，AB＝CD， ∴，又， ∴， ∴， ∴， 在Rt△ADE中，，即， ∴，即， ∵， ∴，即tan∠ADB的值为． 19．（2025·福建福州·二模）如图1，在等腰三角形中，，为边上一点，且，过点分别作交于点，交于点，在上截取，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，当三点共线时，求四边形与四边形面积的比值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）利用平行四边形的判定与性质得到，则，利用等腰三角形的性质和平行线的性质以及等腰三角形的判定定理得到，再利用平行四边形的判定定理即可证明结论； （2）利用平行线之间的距离相等和平行四边形的性质得到四边形与四边形面积的比值，利用平行线的性质和等腰三角形的性质与判定得到，设，利用相似三角形的判定与性质求得即可解答． 【详解】（1）证明∶∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：当B、G、F三点共线时，由(1)知：四边形，四边形均为平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形与四边形面积的比值， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即， ∵， ∴或(负数不合题意，舍去)， ∴四边形与四边形面积的比值为． 20．（2023·福建龙岩·一模）在中，，的平分线交于点D，将绕点B顺时针旋转到与在的同一侧，且，过点E作于点F．    (1)如图1，若，求的度数； (2)求证：A，D，E三点在同一直线上； (3)如图2，若，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)10 【分析】（1）由，可得，由平分，可得，由，可得，根据，计算求解即可； （2）如图1，连接，过点B作于点H，则，由旋转得，，由，，可得，由平分，可得，则，由，，可得，进而可证A，D，E三点在同一直线上； （3）如图2，过点D作于G，由角平分线的性质定理可得，由，可得，证明，则，在中，由勾股定理得，则，，在中，由勾股定理得，证明，则，即，解得，，在中，由勾股定理得，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）证明：如图1，连接，过点B作于点H，则，    由旋转得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴A，D，E三点在同一直线上． （3）解：如图2，过点D作于G，    ∵，即，平分， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的长为10． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押0 福建中考数学22-23题（解答题） 考点1 尺规作图 1．（2025·福建泉州·二模）如图，四边形是矩形，以点B为圆心，长为半径作，交于点M． (1)在上求作一点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，延长线段交于点F，若，求的值． 2．（2026·福建厦门·一模）如图，在中，． (1)在上求作一点D，使；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，在AB上存在点E满足，连接．求证：． 3．（2026·福建泉州·一模）如图，△ABC中 （1）请你利用无刻度的直尺和圆规在平面内画出满足PB2＋PC2＝BC2的所有点P构成的图形，并在所作图形上用尺规确定到边AC、BC距离相等的点P．（作图必须保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接BP，若BC＝15，AC＝14，AB＝13，求BP的长． 4．（2026·福建泉州·一模）如图，在菱形中，． (1)求作正方形，使得点E，F在对角线上，且点在点的左边；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在（1）的条件下，是的中点，连接，求的长． 考点2 代数推理 1．（2025·福建·一模）已知实数m、n满足，，且． (1)试说明的值恒为正数； (2)求证：． 2．（2025·福建福州·一模）我们知道能被3整除的数的规律，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数就能被3整除． 例如，三位数108，，9可以被3整除，108就能被3整除． 【发现】将三位数去掉末尾数字得到两位数，再用减去的2倍所得的差为．若能被7整除，则三位数就能被7整除． 【验证】如，对于三位数364，，28可以被7整除，364就能被7整除． （1）用上述方法判断455能否被7整除？ 【探究】（2）请用含，，的代数式表示 ； （3）结合（2）论证“发现”中的结论正确． 【迁移】（4）下列结论正确的是 ．（填序号） ①在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ②在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ③在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； 3．（2026·福建厦门·一模）已知正实数，满足，． (1)若，求实数； (2)已知，以，，为边长的三角形是直角三角形，求该三角形的面积． 4．（2026·福建泉州·一模）【生活观察】数学来源于生活，生活中处处有数学．在生活中，我们常用盐的质量与盐水的质量的比表示盐水的浓度． （1）现有m克盐水中含n克盐，则盐水的浓度为．加入a克水，则盐水浓度为．生活经验告诉我们，盐水加水后会变淡，由此得到不等式：______（填“”、“”或“”）． 【数学思考】 （2）将（1）中的“加入a克水”改为“加入a克盐”，充分搅拌后全部溶解，感觉盐水变得更咸了，此时盐水浓度为______，由此得到新的不等式______（用含a、m、n的式子表示），试证明你发现的新的不等式． 【结论运用】 （3）在中，三条边的长度分别为x、y、z，试运用（1）、（2）中的不等式，证明：． 考点3 以二次函数为背景的推理与计算（难度中等） 1．（2026·福建泉州·一模）如图，抛物线与x轴交于点，点B与点C是该抛物线上的两点，且点B在第一象限，点C在第四象限，连接，． (1)当时，求该抛物线的顶点坐标； (2)记点B与点C的横坐标分别为m与n，试证明：当时，平分． 2．（2026·福建漳州·一模）已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)若点均在抛物线上，且对于任意，都有． ①求的值（用含的代数式表示）； ②求证：． 3．（2026·福建莆田·二模）已知抛物线过点． (1)求抛物线的解析式； (2)点，为该抛物线上的不同两点，其中．垂直y轴，垂足为C，连接．求证： ①； ②平分． 4．（2026·福建南平·二模）二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离为4． (1)求a，b应满足的数量关系； (2)已知二次函数的图象上任意两点，满足：若，则总有． ①求该二次函数的表达式； ②试说明：对于该二次函数图象上两点，（其中且），都有． 考点4 三点共线（三线共点）问题 1．（2020·福建·中考真题）如图，为线段外一点． （1）求作四边形，使得，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的四边形中，，相交于点，，的中点分别为，求证：三点在同一条直线上． 2．（2024·福建莆田·一模）如图，已知线段，垂足为a． （1）求作四边形，使得点B，D分别在射线上，且，，；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）设P，Q分别为（1）中四边形的边的中点，求证：直线相交于同一点． 3．（2024·福建泉州·二模）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，顶点D的坐标是． (1)求该抛物线的解析式； (2)经过的直线轴，过点B作于点H． 求证：A，D，H三点共线； 4．（2025·福建厦门·二模）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转，当点B恰好落到边上的点D时，得到，延长到点P，使得，联结． (1)根据题意，补全图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若D为的中点，求证：P、B、C三点在同一条直线上． 考点5 黄金分割问题 1．（2024·福建泉州·模拟预测）某中学九年级（1）班开展“发现与探究黄金分割”为主题的综合实践活动，爱思考的小丽积极响应，认真做好下面项目及任务． 一、收集资料，阅读理解 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（，约前408年—前355年）发现：将一条线段分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做的比例中项），则可得出这一比值等于0.618…．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点． 黄金分割被视为最美丽的几何学比率，并广泛地应用于建筑和艺术中，如埃及的金字塔，女神维纳斯的雕像等，就是在日常生活中，黄金分割也处处可见．如演员在舞台上表演，站在黄金分割点上，台下的观众看上去感觉最好．有人发现，人的肚脐高度和人体总高度的比值接近于黄金比．就连普通树叶的宽与长之比，蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也都接近于0.618．还有黄金矩形（即长与宽之比为黄金比）、黄金三角形（顶角为的等腰三角形）等，五角星中更是充满了黄金分割．让我们去发现大千世界中奇妙无比的黄金分割吧！ 二、动手操作，直观感知 任务一：如图1，已知正方形，点是的中点．连结，以点为圆心，为半径作弧，与的延长线交于点，过点作于，与的延长线交于点，则所得到的四边形是黄金矩形． ①根据题意，利用尺规作图，将图1补充完整； ②写出黄金矩形的两边与之比，即______（结果保留根号） 三、探究延伸，灵活运用 任务二：如果正边形的中心角等于，其外接圆半径为，则______，其边长与的关系式为______；（用三角函数表示） 任务三：如图2，在中，已知，求的值．（结果保留根号） 请结合上述材料，解决下面问题： (1)补全任务一①、②所缺的内容； (2)根据任务二，写出______，边长与R的关系式为______；（用三角函数表示） (3)完成任务三问题的解答． 2．（2023·福建泉州·模拟预测）已知中，，．    (1)在边上求作一点D，使得； (2)求的值． 3．（2025·福建龙岩·二模）综合与实践——黄金矩形． 宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调匀称的美感，它常见于艺术、建筑、自然界中，如图1中的希腊巴特农神庙和图2中达芬奇的画作《蒙娜丽莎》．今天我们追随先哲们的脚步，利用纸片来折出黄金矩形，创造数学美！            如图3，矩形纸片的宽，小明按如下步骤操作． 第一步：如图4，沿折叠，使点落在长边上的点处，连接，得正方形； 第二步：对折正方形，使边与重合，得折痕，并展开，如图5，则； 第三步：连接，沿折叠，使点落在延长线上的点处，如图6，则的长为 ① ； 第四步：过点折叠纸片，得折痕，使，交于点，并展开，如图7，则矩形为黄金矩形．        (1)补全小明操作过程中①所缺的内容______； (2)聪明的小慧发现，在图7中，除了黄金矩形外，还有另一个黄金矩形，请找出这个矩形，并给予证明． (3)小慧根据（2）题进一步发现，在黄金矩形中折去正方形，从而留下的矩形即为黄金矩形．类似于“勾股树”，黄金矩形也能不断“生长”，可以在图8中继续折出更多的黄金矩形、黄金矩形，……如图9，小慧用弧线将折得的不断分割的黄金矩形的分割点连结起来，便会形成一条曲线，通常被称为“黄金螺线”．自然界的很多植物、建筑、艺术作品中都有“黄金螺线”的影子．记、、的弧长分别为、、，请探究、、满足的数量关系． 4．（2025·福建泉州·一模）把一条线段分割为两部分，较长部分与全长的比值等于较短部分与较大的比值．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，被称为黄金分割；其比值是，称之为“黄金比”．如图，点、是反比例函数在第一象限内图象上的任意点，轴于点，连结． (1)若，，，试求的值； (2)若，求证：的值是“黄金比”． 1．（2025·福建福州·二模）如图，在中，． (1)尺规作图：求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，求的值． 2．（2025·福建龙岩·二模）如图，已知中，． (1)求作，使圆心在边中点，且与边相切于点；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：是的切线． 3．（2025·福建厦门·二模）如图，在中，． (1)在边上确定一点O，以O为圆心，为半径作，使得与边相切于点D；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)已知，，在所作的图形中，求的半径． 4．（2025·福建厦门·二模）如图，在中，， (1)尺规作图： 将绕点B按顺时针方向旋转得到，使得点C的对应点E恰好落在线段上；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接的平分线交于点F，连接．求的长． 5．（2026·福建泉州·一模）已知实数满足，且是正整数，． (1)请判断是奇数，还是偶数？并说明理由； (2)求证：是完全平方数． 6．（2025·福建泉州·二模）已知a，b，c为有理数，且多项式能够写成的形式． (1)求的值． (2)若a，b，c为整数，且，试求a，b，c的值． 7．（2025·福建三明·二模）已知整数a，b，m，n满足． (1)求证：为非负数； (2)若n为偶数，判断是否可以为奇数，说明你理由． 8．（2025·福建宁德·二模）定义：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． (1)判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由； (2)若完整根式的完整平方根是，请用含，的代数式分别表示，； (3)若是完整根式，证明：一定是完全平方数． 9．（2025·福建龙岩·一模）如图，抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点，连接． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式． (2)是线段上方抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点．当时，求点的坐标． 10．（2025·福建厦门·二模）已知抛物线经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)点，在该抛物线上． ①若，时，求的值； ②若，求的最大值． 11．（2025·福建三明·二模）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． (1)求该二次函数的顶点坐标； (2)若是二次函数图象上的一点，且点在第一象限，的面积是面积的一半，求点的坐标． 12．（2025·福建宁德·二模）学完二次函数知识后，小明利用抛物线设计了一个如图1所示的公园休憩凉亭，凉亭的支柱为抛物线的一部分，为保护支柱，要求设计时让每个柱脚到屋檐铅垂线的距离不小于．图2是凉亭的截面图，其中抛物线柱脚之间的距离，抛物线柱的最高点离地面的距离为，平屋面离地面的距离为，其一端恰好在抛物线柱上，根据设计要求，柱脚到过屋檐的铅垂线的距离，斜屋面与平屋面的夹角，档板与斜屋面的夹角． (1)在图2所示的平面直角坐标系中，求出抛物线的函数表达式； (2)求平屋面的长；（结果精确到） (3)判断柱脚到过屋檐的铅垂线的距离是否满足设计要求？（结果精确到） （参考数值：，，，） 13．（2026·福建三明·二模）如图1，C是以为直径的半圆O上一点，D是的中点，交的延长线于点E，，相交于点F． (1)求证：； (2)如图2，若O，F，E三点共线，求． 14．（2026·福建厦门·一模）如图1，在中，为直径，C为上的点，且在直径上方，D为上的点，且在直径下方，C，D不与A，B重合，交于点E． (1)若，，求； (2)当时． ①如图2，试探究，，的数量关系，并说明理由； ②如图3，过C作，交于点F，过F作，交于点G，当时，求证：F，G，D三点共线． 15．（2026·福建泉州·一模）如图1，在等边三角形中，为边延长线上的一点，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)如图2，将线段BF沿方向平移的长度得到线段与相交于点，连接． ①求证：三点在同一条直线上； ②当时，求的值． 16．（2025·福建南平·二模）如图，内接于⊙O ，，点是弧上的动点，是沿直线翻折得到的，的对应点是点于点，交延长线于点，连接． (1)求证：点三点共线； (2)当，时，求线段的长； (3)求证：． 17．（2024·福建莆田·二模）根据以下素材，探索完成任务． 素材 定义：如图，点将线段分成两部分，如果，那么点称为线段的黄金分割点． 素材 某兴趣小组在进行研究性学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出黄金分割线的定义：直线将一个面积为的图形分成面积分别为，的两部分，如果，那么直线称为该图形的黄金分割线． 素材 平行四边形是中心对称图形：在同一平面内，一个三角形绕其中一边的中点旋转，其余两边与旋转后相对应的两边组成一个平行四边形，例如，图中的绕的中点旋转后与原三角形组成一个平行四边形如图．    问题解决 任务 问题：如图，边上黄金分割点旋转后的对称点是否也是边上的黄金分割点？请写出你的判断结论，并说明理由． 问题：直线是不是四边形的黄金分割线？请写出你的判断结论：______ ． 任务 请在图探索：边上是否存在点，使得直线是四边形的黄金分割线？如果存在，请说明点的位置；如果不存在，请说明理由． 任务 兴趣小组探索图时猜想：在中，若点为边上的黄金分割点，连接，则直线是的黄金分割线，你认为对吗？为什么？ 任务 兴趣小组探索图时还发现：若点是的边的黄金分割点，过点任意作一条直线交于点，再过点作交于点，则直线是的黄金分割线，请你给出证明． 18．（2022·福建·中考真题）如图，BD是矩形ABCD的对角线． (1)求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求的值． 19．（2025·福建福州·二模）如图1，在等腰三角形中，，为边上一点，且，过点分别作交于点，交于点，在上截取，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，当三点共线时，求四边形与四边形面积的比值． 20．（2023·福建龙岩·一模）在中，，的平分线交于点D，将绕点B顺时针旋转到与在的同一侧，且，过点E作于点F．    (1)如图1，若，求的度数； (2)求证：A，D，E三点在同一直线上； (3)如图2，若，，求的长． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $