精品解析：广东省深圳市南山区深圳市育才中学本部（新校区）2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题

育才中学2025-2026学年第二学期高一期中学业诊断 数学试题 2026.4 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一、单选题 1. 若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 若平面向量与方向相反，且，则（　　） A. B. C. D. 3. 如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，则原图形是（ ） A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 梯形 4. 已知的内角的对边分别为，若的面积等于，则角（ ） A. B. C. D. 5. 已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 设的内角，，所对的边长分别为，，，若，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 7. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆的圆周在圆锥的侧面上，则圆柱的侧面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形中，分别为边上的动点，且.则的最小值为（ ） A. 8 B. 16 C. D. 二、多选题 9. 复数，，的共轭复数为，则（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若在复平面内对应的点位于第四象限，则 10. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则△ABC为钝角三角形 C. 若，，，则符合条件的△ABC有两个 D. 若，则△ABC为等腰三角形或者直角三角形 11. 如图，正四面体的四个顶点都在球的表面上，且球的表面积为，则（ ） A. B. 四面体的体积为 C. 过点且平行于平面的平面截四面体所得的截面面积为 D. 过三点的平面截四面体所得的截面面积为 三、填空题 12. 在中，已知三边之比为，则该三角形的最小角的余弦值为______________． 13. 若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______. 14. 如图，O是圆台上底面的圆心，A，B是圆台下底面圆周上的两个动点，MN是圆台的一条母线，记圆台的上、下底面圆的半径分别为r，R.若，平面OAB，且线段AB长度的最小值为6，则该圆台的体积为__________. 四、解答题 15. 已知复数． （1）求； （2）求的最小值； （3）若的实部大于，求的取值范围． 16. 如图，在平行四边形中，，，，，. （1）用向量，表示向量，； （2）求向量，夹角的余弦值. 17. 在中，角所对的边分别是，且. （1）求； （2）若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； （3）若是的角平分线，，，求的长. 18. 如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且 （1）求证：D，B，F，E四点共面； （2）求证：平面； （3）棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且． （1）求角； （2）若，的周长为，求的面积； （3）若，过点在所在平面内作，且，求线段的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 育才中学2025-2026学年第二学期高一期中学业诊断 数学试题 2026.4 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一、单选题 1. 若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数相等直接求解即可. 【详解】因为，所以，所以． 故选：C 2. 若平面向量与方向相反，且，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线设出向量的坐标，然后由向量的模的坐标表示列方程可解. 【详解】因为与方向相反，且， 所以， 所以，解得， 所以. 3. 如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，则原图形是（ ） A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 梯形 【答案】C 【解析】 【详解】在矩形中，， 所以直观图还原得. 四边形为平行四边形，， ，所以，， 则. 所以，故原图形为菱形. 4. 已知的内角的对边分别为，若的面积等于，则角（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用三角形的面积公式和余弦定理，化简得到，进而求得角的值. 【详解】因为的面积等于，可得， 整理得，即，即， 因为，所以. 5. 已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定等式，结合复数的几何意义确定z在复平面内对应的点的轨迹即可. 【详解】由复数z满足，得z在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，5为半径的圆， 圆心到实轴、虚轴的距离都大于5，且圆心在第四象限， 所以z在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D 6. 设的内角，，所对的边长分别为，，，若，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理化边为角，利用两角和的正弦公式，结合同角三角函数商数关系即可求解. 【详解】因为，由正弦定理化边为角可得， 因为， 所以， 整理可得，所以，即，所以. 7. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆的圆周在圆锥的侧面上，则圆柱的侧面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将圆柱侧面积的最大值问题，转化为关于圆柱底面半径的二次函数的最值问题. 【详解】由的底面半径，母线长， 所以圆锥的高. 由题可设圆柱的底面半径为()，高为. 由得，即，截得. 所以圆柱的侧面积 所以当时，侧面积取得最大值为. 8. 如图，矩形中，分别为边上的动点，且.则的最小值为（ ） A. 8 B. 16 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取线段的中点，连接、、，可得出，结合向量模的三角不等式可求得的最小值. 【详解】取线段的中点，连接、、，如下图所示： 因为，所以， 因为四边形为矩形，则， 因为， 所以， 当且仅当与方向相反时，等号成立，故的最小值为. 二、多选题 9. 复数，，的共轭复数为，则（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若在复平面内对应的点位于第四象限，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A若为纯虚数，则即可判断，对于B若，则，即，计算即可判断，对于C若，则，即，利用复数的除法即可判断，对于D若在复平面内对应的点位于第四象限，则解出即可判断. 【详解】对于A：若为纯虚数，则，故A错误； 对于B：若，则，所以，所以，故B正确； 对于C：若，则，所以，故C错误； 对于D：若在复平面内对应的点位于第四象限，则，故D正确； 故选：BD. 10. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则△ABC为钝角三角形 C. 若，，，则符合条件的△ABC有两个 D. 若，则△ABC为等腰三角形或者直角三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理、余弦定理逐一判断即可. 【详解】A选项，根据大角对大边，， 根据正弦定理可得，其中为三角形外接圆半径， 于是，A选项正确； B选项，根据余弦定理结合选项可知，， 由，进而，B选项正确； C选项，根据正弦定理，，结合选项数据，得出， 故这样的三角形不存在，C选项错误； D选项，若，由正弦定理，， 则，而,则或者， 即，或者，即是等腰三角形或者直角三角形，D选项正确. 故选：ABD. 11. 如图，正四面体的四个顶点都在球的表面上，且球的表面积为，则（ ） A. B. 四面体的体积为 C. 过点且平行于平面的平面截四面体所得的截面面积为 D. 过三点的平面截四面体所得的截面面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用球的表面积公式求出球半径，再结合正四面体的结构特征逐项求解判断. 【详解】由球的表面积为，得球的半径，连接并延长交平面于，连接， 则点是正的中心，，， 对于A，由，解得，A正确； 对于B，四面体的体积，B错误； 对于C，过点且平行于平面的平面截四面体所得的截面三角形与相似， 其面积为，C正确； 对于D，延长交于，连接，则是的中点，， 过三点的平面截四面体所得的截面为， 其面积为，D正确. 故选：ACD 三、填空题 12. 在中，已知三边之比为，则该三角形的最小角的余弦值为______________． 【答案】##0.875 【解析】 【详解】 因为三角形三边之比为， 所以可设三边长分别为， 根据三角形大边对大角、小边对小角的性质可知， 对应的角即为该三角形的最小角， ． 13. 若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由向量夹角与数量积正负的关系，列出不等式求解即可. 【详解】由向量与的夹角为钝角， 可得：， 解得， 由当时，，与共线反向，舍去， 所以实数的取值范围为， 故答案为： 14. 如图，O是圆台上底面的圆心，A，B是圆台下底面圆周上的两个动点，MN是圆台的一条母线，记圆台的上、下底面圆的半径分别为r，R.若，平面OAB，且线段AB长度的最小值为6，则该圆台的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将圆台补形成圆锥，根据线面平行可得线线平行，由平行四边形以及等腰梯形的性质，求得圆台的高，结合中位线定理可得圆锥的高，利用圆锥的体积公式，可得答案. 【详解】由题意将圆台补形成圆锥，记顶点为，设底面圆心为， 分别连接并延长交圆台侧面为， 记，连接，如下图： 因为平面，平面，平面平面，所以， 易知，则，易知当时，的长取得最小值为， 可得，即，则，解得， 所以，易知， 因为，，所以， 综上可得圆台的体积为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知复数． （1）求； （2）求的最小值； （3）若的实部大于，求的取值范围． 【答案】（1）2 （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）结合题意求出，再利用共轭复数的定义得到，最后得到即可. （2）利用复数的减法得到，再结合复数的模长公式求解模长，最后利用完全平方式的性质求解最小值即可. （3）利用复数的乘法运算求出，再结合题意建立不等式，求解参数范围即可. 【小问1详解】 因为，所以， 解得，则， 故. 【小问2详解】 因为， 所以， 由复数的模长公式得， 而，得到，即， 故当时，原式取得最小值． 【小问3详解】 因为， 所以， 而的实部大于，则，解得， 故的取值范围为． 16. 如图，在平行四边形中，，，，，. （1）用向量，表示向量，； （2）求向量，夹角的余弦值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）应用向量的加减法及数乘运算化简，再应用平面向量基本定理计算求解； （2）应用平面向量的数量积公式及运算律结合转化法求解模长，最后应用向量余弦公式计算求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以. 因为，所以， 则. 【小问2详解】 因为，所以. 因为，，所以，，， 则， ， ， 故. 17. 在中，角所对的边分别是，且. （1）求； （2）若是边上靠近的三等分点，，，求的面积； （3）若是的角平分线，，，求的长. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换得，再根据三角函数性质即可求得； （2）由题意，进而根据向量模的关系求得，再计算面积即可； （3）根据题意，结合得，再根据余弦定理求解即可. 【小问1详解】 解：因为， 由正弦定理可得， 所以， 所以， 又因为，所以， 所以，又因为，所以， 所以，故； 【小问2详解】 解：因为是边上靠近的三等分点， 所以， 所以， 又因为，，， 所以，化简得， 即，解得或（舍去）， 所以； 【小问3详解】 解：已知平分，且，故， 由 得； 将 ，代入得 ，解得 ∵ ∴ 18. 如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且 （1）求证：D，B，F，E四点共面； （2）求证：平面； （3）棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 连接，因为点E，F分别为棱，的中点，所以， 又在正方体中且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以，所以D，B，F，E四点共面； （2） 连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得， 所以，所以， 又平面，平面，所以平面； （3）存在， 【解析】 【分析】（1）连接，可证四边形为平行四边形，得到，进而可证即可证明； （2）连接、分别交于点H、O，连接，即可证明，从而得到，再根据线面平行判定证明即可； （3）根据题意，首先,则，再由时，根据面面平行的判定证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 存在，且，理由如下： 因为， 所以， ， 又， ， 平面，平面， 平面， 延长交于，延长交于，连接， 为中点，易得， ， 分别为的中点，易得， ，， ，又，即， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 所以平面， 又平面， 平面平面， 所以时，平面平面． 19. 已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且． （1）求角； （2）若，的周长为，求的面积； （3）若，过点在所在平面内作，且，求线段的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据平行向量的坐标公式化简，再结合正弦定理即可求解； （2）根据条件及余弦定理求得，再结合三角形的面积公式即可求解； （3）先设，根据正弦定理分别求出，和关于的表达式，从而得到关于的表达式，进而根据正弦函数的性质即可求出其最大值． 【小问1详解】 由，，且， 则， 则由正弦定理得， 又在锐角中，， 则,即，解得． 【小问2详解】 由，的周长为，则， 又由余弦定理有， 即，得， 所以的面积为． 【小问3详解】 在中，，不妨设，则，， 由正弦定理有， 得，， 在锐角中，由，则， 由正弦定理有，得， 所以 ， 又，则，则，所以， 故，即线段的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $