数列迭代——蛛网图专题讲义-2026届高三数学三轮冲刺复习

数列迭代一一 蛛网图专题讲义 【知识要点】 1.适用对象形如a+1=f(a )的一阶递推数列，用来快速判断： 单调性、增减趋势、是否收敛、极限大小、震荡还是单调。 2.两条基准线原理 y=f()(迭代曲线)，输入0n,输出+1，完全对应数列递推规则。 y=尤（恒等直线），作用：把上一项的输出，转成下一项的输入。 在此处键入公式。 数学逻辑：点(a,0)在曲线y=fW)上，点aa在直线yx上 3.不动点核心定义 解方程f()=x,根X0叫不动点。 (1)数列若收敛，极限一定是不动点 (2)蛛网图所有迭代，最终都往不动点靠 4.作图原理步骤 (1)建坐标系，画出y=f(x)和y=x (2)标出初始值4 (3) 竖线上去：(a,0)向上交曲线于(a,42） (4)横线拐回：水平左/右交y=x于(4，a2) (⑤)重复“竖线→横线”，形成折线路径，就是蛛网图 例如：数列a,满足递推1=0,2， a X 第一步，先求不动点：x=x2,得到x=0或者x=1 第二步，根据初值4分情况讨论 (1)若0<4<1，迭代后数列单调递减，极限为0《蛛网图向(0,0)收敛) （2)若4=0或者4=1，数列是常数列 （3)若4>1，迭代后数列单调递增，发散到十0（蛛网图远离不动点） (4)若4<0，运代后4=口>0，后续按止项桁况分析 【高考真题】 【例1】(2023北京)数列a,满足-4a-6+6 下列说法正确的是(B) A.若a=3,则a,3是递减数列，M∈R,使得n>m时，a,>M B.若4=5，则{a,3是递增数列，M≤6，使得n>m时，a,<M C.若a=7,则{a}是递减数列，M>6,使得n>m时，a.>M D.若a=9,则a是递增数列，3M∈R,使得n>m时，a,<M 解折：由一4-6+6→=45=65=8 当a=3时，{an}是递减数列，且当n→+0，a。→-0，A错误 当4=5时，{a}是递增数列，且当n→+0，a,→6，A正确 当a=7时，{a}是递减数列，且当n→+，a,→6，不存在M>6,C错误 当4=9时，{a}是递增数列，且当n→+0，a,→+∞，D错误 y -65 y=- y=x 468 41=1,an1= a 【例2】(2021年浙江)已知数列a,}满足 +Va。,记数列{a}的前n项和S,则 (A) A. 2下Sm<3 B.3<S1o0<4 9 9 4<S10< 2 <So<5 C. D.2 1+-x…21+E- 11 f()=x f(x)=- 2√x= 2 2+√x 解析：由迭代函数 =1+, (1+Vx)2 a+"2+<1 X= →x=0 不动点：1+Vx ,图象如下： x)= 1+风 (a,a) (dz,a3) 0<a。<1,al=1 由蛛网图可知{a,}单调递减， an 1+an 1-1 100 a=2…8…824> S10=∑ an>- =21、3 1- 2%> 2 an an-2 az a 所以 →a,-a=aV瓦，→a1=80<2-a=2a-Va) aa+1= anan+an 下界： 1+an 2 所以5m<1+2(Va-Va+4,-a,+…+-Vam)=1+2a-Vam)=3-2Vg<3 1 【例3】(2022年浙江)己知数列a}满足 4=l,a=a,-3a,neN) ,则(B) A. 2<100a0<2 5 B.2 <100am<3 3<100a0<2 7 D.2 <100ao0<4 解析：由迭代函数 3+ f(x)= 不：0 图象如下： 由蛛网图可知a,}单调递减，0<a,<1 13=1+1 111 a41an(3-a）a。3-ana1a。3-an 11_1 累加法a4台3-a 1111 1+ml<L<1+n 由于a}单调递减，0<a,<133-a3-a2 所以3a,12 2 3 7a,< n+2 300 2.99<3 n=100代入， 100aow<102 排除C,D项 假设 00a之2.即ao>0.025,我们试试反推法 1240 1=+22>1+号x9=4 1 1>1+ 99 假设41o0≤0.025，那么41 awa台3-a 与已知40 盾 100a10> 5 所以 【典型例题】 a=1,a,=In(a,+1)--4(nEN) 【例1】(2026届武汉高三4调)已知数列a,}满足 an+1 ,则 (B) 42026> a2025 A.a2026>02025 B. 1+42025 11>1 1>2026 C.a202sa2026 D.a2026 四x+）f因51x+1-1 x+1(x+1)2(x+1)2 ∈(0,1) 解析：由迭代函数 x=In(x+1)-x -→x=0 不动点： ,图象如下： (a,a) (a,a) 由蛛网图可知a,}单调递减，0<a。<1 所以A错误 gG=n(x+D-1+x,xe0,1)8a=7 -2=x-1 B.设 x+10 g()单减，且g0)=0,所以8()<0B错误 C项.由B知， C错误 1-1>1 D项，由a1a。知，累加法 1=1-1+1- 1+.…+1-1+1>2025+1=2026 020264202602025420250202 az aa 【例2】（人教A版选择性必修二P52)在数列化}中，=1，X,=1+l+x), nEN 试用数学归纳法证明：X,>0,并比较。，1的大小关系 y=x+m(x+1) y=x 05 分标透代函数=x+hr+)广=1+ >1 x+1 不动点：r=x+lhl+x)→x=0 数列}单调递减，且0<≤] 证明： 当n=1时，x=1>0 结论成立 假设当n=k时，4>0成立 气%=+1时.设=x+n(r+.f=1+ ->0 x+1 f田在0，+w)上单调递增，f)>0 由=x+lnl+x4)>0知，4>0 成立 由数学归纳法知：，n∈N'Xn>0, 比较xnxa+1大小关系， 由题意知X,-x=lnl+),而x1>0,则hl+xa+)>0 所以 x,-X1>0,所以x>x1 【例3】（多选题）设函数f)=2x+ 3, 5 数列{a.}满足a=4,a1=f(a,),则(BCD) 0n+1 A·a,=3 B.数列 a-1 是等比数列 C.1<an≤1+ 3司 D.) x=2x+1 →x=±1 解析：不动点：”x+2 对于A: 层 →41=2 A错 2an+1 +1 a-120,+1,=3.%+1 am+1+1_an+2 an-1 对于B: 9*21 ,B正确 9+1 =3 0n+1 3n 2 对于C:由于首项41，公比为3，所以0-1 n=1+ ，故 3”1>1 2123-1-(3”-1）1-3- 由于3”33g-)3,6-D≤0 y 4,s1+-1 ,所以 -1 C正确 a) 2an+1 2+am≥2 a,+2 1+2am 2a,+1.2+a1=2,D正确 an+21+2a 【例4】（多选题）已知数列a}满足 a41=sin兰(neN 2 ,记数列a}前n项 和为S,则对于任意的n∈N*,下列结论正确的是() A.存在k∈N*,使ak=1 B.数列an单调递增 31 ,a124,+4 2an1≤2a+Sn D 迭代函数y=sinx,不动点x=sinx→，=0，戈3=π 由图1知数列a,单调递增，且0，∈〔兮 ,所以A错，B正确 3 2 -4-1>4->>1>0 3-1a-1a,-i 4-1 an-1 1-a1<3 1-an) 对于C: ，故 C正 确 1 =2=2>4>…>a1>1 3 2= 41a2 an 对于D如图2， 3 ·所以81s3 9, 而2a,1≤24+从.，知20，≤2a+S.,故需证明：201-20，≤0，所以D正确 (图1) (图2) 【例5】(2026届成都二诊》在数列a,中，4=1，a=Va,+2,设a,的前n项 和为八。.记[內表示不超过的最大整数 a)求[S,[,[S] (2)是否存在常数A,@(4>0,0<@<2m),使得 a=Acos- 2”？若存在，求A和0的 值；若不存在，请说明理由： 3)求2++[2S,+++[2S.+ 解析：解：1)因为4=1，所以8=1，故[S] 又4=a+2,故4，=V5.S=1+5e(2,3,所以[S]=2 ,=W5+2=5S=1+5+5+1-1+5+6+5 同理 √2，故 √2 2 6+V2 因为 后到85 2 所以 Acos- =1, a=1, 2由a,=5,程 Hcos"、 =5. cos- =2c0s20 1 16 因为 1,所以7示-1，解得A=2(合负). 01 0< 2π cos 故 22.又 <π 0= 2 an=2cos 所以 3.故 3×2"-可 Va,+2=1 2 此时， 3×2” =2cos、元 3×2=0n1 0= 2π 所以存在A=2, 3满足题意、 (3) 法一： 当n=1时8=1，所以2S+川=3 当n≥2时，因为4，<2，所以5，<1+2-)=2n-1.故2S,+1<4n-1 设函数 (mx)1-0 =23x=2-46m3>2- 3×2(n≥2) 所以 水k心君aw5 =-0) 3>2-)易≥0-0日2前21-2≥2刘 3 综上，当n≥2时，4n-2<2,+1<4n-1,放2S,+]=4n-2 令7=[2S++[2,+小++2s.+刊，则当n≥2时 无=3-[6+10*…+4m-2-=3+a-[6+-2刃-2r+1 2 又因为了=3满足7=2m+1,所以7，=2n+1,n∈N. 法三：(3) 分析：由迭代函数f()=Vx+2】 不动点：x=Vx+2→x=2,图象如下： y=x+2 y=x 由蛛网图可知a,}单调递增，则1≤a,<2 解析：由数学归纳法证明：1≤a,<2 当n=2时，42=V2∈0,2) 假设当n=k时，a:∈(1,2) 则n=k+1时，a1=V2+ae0,2) 01-2-=V0+2-2VQn+2-2 1 a,-2a-2(Wan+22-4Van+2+2 2-v5 由于4=-1，Sn-2n=a-2+4-2++a2-2m 所以n之2时， 1+5,1+52-r=0-2-801<5-2n< -)44 2 2 1-(2-V3) 33 1- 4n-5+(5+12-5)<2S.+1<4n-5+8白 故 334 先看左侧4n-5+(V5+12-5)=4n-2+2-5+(W5+12-y>4n-2 白s4n-5+2=4n-1 再看右侧 33 所以当n≥2时，[2S,+]=4n-2 令T,=[2+]+[2S,+++2S,+刊，则当n≥2时， 7.-3+[6+10++4n-2刃=3+-[6+4-2刃-2r+1 2 又因为了=3满足T,=2+1,所以7，=2n+1,neN. 【练习】 1.已知数列{an}满足a1=e,-2+1(n∈N,e为自然对数的底数)，且对任意的M>0都存 在neN,使得la。-2<M成立，则数列{a,}的首项a须满足(C) A.a≤1 B.1≤a≤2 C.a≤2 D.4≥2 【解析】设fx)=e-x-1,令∫'()=e-1=0,得到x=0. 当x∈(-o,0)时，f"()<0,f)单调递减： 当x∈(0，+o)时，"(x)>0,f(x)单调递增： 故f()≥f(0)=0,即e≥x+1(当且仅当时x=0取等号). 故01=e-2+1≥a。-2+1+1(当且仅当时a,=2取等号). 即a12a,.要使对任意的M>0都存在n∈N,使得|a,-2<M成立， 显然4=2时，a,=2，一定能满足题意： 当4>2时，a>2，如图此时不满足题意； 当4<2时，a。<2,如图此时满足题意： 综上，4≤2. 故选：C 2.(多选题)己知数列{a}满足a,=2,a1=√an+1,n∈N,则(BCD) A.as>a B.数列an}是递减数列 c.1+5 <a2≤2 2 0.a21+ 21 分析：由迭代函数f()=Vr+1, 不动点： x=+1sx=1+5 2(负根舍去)，图象如下： y=x+1 y=X 1+5 由蛛网图可知a子单调递减，则2 <an≤2 故BC正确 D项，用数学归纳法尝试 3.(多选题)设数列 的前项和为， ,则 A B. C.S5o<1 D. 解析：迭代函数f(x)=e-x-1f"(x)=e-1 不动点x=e*-x-1→e-2x-1=0.g(x)=e-2x-l,g'(x)=e-2 g'()=e-2在(0,1n2)递减.（血2，+0）递增，g(0)=0,g(2)>0 8(0的零点有两个，x=0,名∈（山，2） 蛛网图如图： 1 对于A: 24=e-5-31 a 24 A正确 对于B:蛛网图可知 a.. 单减，且 B错误 >f(a,)>4>4>>0u 1 对于C: az as an *2好14211 十 所以 22C正确 3<a5+50-21.21= 5“24,=84<8×43230.D正确数列迭代一一蛛网图专题讲义 【知识要点】 1.适用对象形如a1=f(a,）的一阶递推数列，用来快速判断： 单调性、增减趋势、是否收敛、极限大小、震荡还是单调。 2.两条基准线原理 y=f(x)(迭代曲线)，输入an,输出a+,完全对应数列递推规则。 y=x(恒等直线)，作用：把上一项的输出，转成下一项的输入。在此处键入公式。 数学逻辑：点(an,an)在曲线y=f(x)上，点(an+,an+)在直线y=x上 3.不动点核心定义 解方程f(x)=x,根X叫不动点。 (1)数列若收敛，极限一定是不动点 (2)蛛网图所有迭代，最终都往不动点靠 4.作图原理步骤 (1)建坐标系，画出y=f(x)和y=x (2)标出初始值a1 (3)竖线上去：(a,0向上交曲线于(4，a2) (4)横线拐回：水平左/右交y=x于(a,a2) (⑤)重复“竖线→横线”，形成折线路径，就是蛛网图 例如：数列{an}满足递推a=a,2, 第一步，先求不动点：x=x2,得到x=0或者x=1 第二步，根据初值4，分情况讨论 (1)若0<4<1，迭代后数列单调递减，极限为0（蛛网图向(0,0）收敛) (2)若4=0或者4=1，数列是常数列 (3)若4>1，迭代后数列单调递增，发散到+0（蛛网图远离不动点） (4)若4<0，迭代后42=a,2>0,后续按正项情况分析 【高考真题】 【例1】2023~北京)数列a}满足a-a-6+6,下列说法正确的是(B) A.若a,=3，,则a,}是递减数列，M∈R,使得n>m时，a,>M B.若a,=5,则{a,}是递增数列，M≤6，使得n>m时，a,<M C.若a,=7,则{a,}是递减数列，M>6,使得n>m时，an>M D.若a,=9,则{a,}是递增数列，M∈R,使得n>m时，a。<M 【例2】221年蒲江已奥数列a,满足a=:石·记数列a,的前n项和S,则 (A) A. 2<Sm<3 B.3<S10<4 64号 D. 【例3】(2022年浙江) 已知数列a,}满足4=la=a-3a,(n∈N),则（B） A.2<100am<2 B. 5 <100ao0<3 2 C.3<100am<2 210am<4 D. 【典型例题】 【例1】K2026届武汉高三4调)已知数列a,}满足a,=1,a1=n(a,+1)-an∈N),则( a。+1 A.a2026>a2025 B.a2026>1+a2025 a2025 c.1-1>1 D. 1>2026 0202502026 a2026 【例2】（人教A版选择性必修二P52)在数列{x}中，=1，xn=xn+1+ln(1+xm+1), ,n∈N试用数学归纳法证明：Xn>0,并比较xn,x+1的大小关系 【例3】（多选题）设函数fx)=2x+ 数列a满足4-子=e小.则【） A.a1=3 B.数列 m+1 a-1 是等比数列 C.1<a,s1+ 31 D.f(a,)+ >2 【例4】（多选题）已知数列1o,}满是a,∈写7，aH=sn受a∈N,记数列a}前n项和 为S,,则对于任意的n∈N*,下列结论正确的是() A.存在k∈N*,使ak=1 B.数列{an}单调递增 31 C.am2n+4 D.2an1≤2a1+Sn 4 【例5】(2026届成都二诊)在数列{a}中，4=1，an1=Van+2,设{a}的前n项和 为Sn记[x]表示不超过的最大整数. 1)求[S],[S],[S: (2)是香存在常数A,@A>0,0<0<2n,使得a,=Ac0s”?若存在，求A和0的值： 2 若不存在，请说明理由； (3)求[2S,+1+[2S2+1+…+[2Sn+1. 【练习】 1.己知数列{a}满足a+1=e,-2+1(n∈N,e为自然对数的底数)，且对任意的M>0都存在 neN,使得a.-2<M成立，则数列an}的首项a,须满足() A.a1≤1 B.1≤a1≤2 C.a≤2 D.a≥2 2.（多选题)已知数列a}满足a,=2,a1=√an+1,n∈N',则() A.as>aa B.数列an}是递减数列 c.1+V5 1 <a2≤2 D.a 21+- 21-1 3.（多选题）设数列a,}的前项和为S.,4=2’a=e心-a,-1,则() Aa B.a<as C.Sso<1 D.a5<3a1-5a3