精品解析：北京市房山区2025-2026学年高三年级第二次综合练习数学试题

房山区2026年高三年级第二次综合练习 数学 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 宁夏青铜峡一百零八塔，始建于西夏，是我国现存规模最大、布局最规整的藏传塔群．塔群依山而建，共行，呈等腰三角形整齐排列，总数恰为座，自上而下数量依次构成数列．已知的前项和，从第项到第项构成等差数列，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，点满足，为坐标原点，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 设点，若在圆上存在点，使得，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数 若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 10. 设 ，数列满足， ，，则下列命题中恒成立的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 抛物线的准线方程是_______ 12. 在中，，则______；若，为钝角，则边的一个取值为______． 13. 我国古代圆柱形粮仓设计精巧，充分体现了古人的工程智慧．某仿古粮仓设计要求圆柱底面直径与高之和为12，若不计壁厚，则该粮仓容积的最大值为____． 14. 已知矩形中，，．若点为中点，则____；若点满足（），则的取值范围是____． 15. 设集合，，给出下列四个结论： ① 且 ； ② 且 ； ③ 若，则且； ④ 若且，则． 其中正确结论的序号是____． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数． （1）若，求的值； （2）从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，使得函数存在，求的单调递增区间． 条件①：函数的最大值为； 条件②：函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为； 条件③：函数满足． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 4月23日是世界读书日．某市调研小学生阅读状况，得到男生、女生最喜爱的一种阅读内容的频率分布如下图： 假设不同学生的选择相互独立．用频率估计概率． （1）从该市小学生中随机抽取名男生，估计他最喜爱的阅读内容为科学类（包括自然科学和社会科学）的概率； （2）从该市小学生中随机抽取名男生和名女生，记这人中最喜爱的阅读内容为漫画的人数为，求的分布列和数学期望； （3）从该市小学生中随机抽取名男生，用“”表示他最喜爱的阅读内容为科学类，“”表示他最喜爱的阅读内容不是科学类；从该市小学生中随机抽取名女生，用“”表示她最喜爱的阅读内容为科学类，“”表示她最喜爱的阅读内容不是科学类．判断方差与的大小．（结论不要求证明） 18. 如图，三棱柱中，，，平面平面． （1）求证：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）设点 为线段 上任意一点（且不与点 ， 重合），求证：直线 与平面相交． 19. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，直线与椭圆交于点，. （1）求椭圆的标准方程与离心率； （2）若直线与圆 交于点，，直线，与椭圆的另一个交点分别为点，，求证：对任意，直线过定点． 20. 已知函数，． （1）若曲线与直线相切，求切点的坐标和实数的值； （2）若对任意实数，都存在实数，使得，求的取值范围； （3）对给定的 ，任意，直线与曲线，的交点分别为，求的最小值． 21. 由个实数组成的有序数组称为维向量．维向量，，当且仅当时，．对任意，定义：；．设集合为偶数．令集合 存在，使得，． （1）写出集合的所有元素； （2）判断与是否属于集合，并说明理由； （3）若，求证：“”的充要条件为“为偶数，且”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 房山区2026年高三年级第二次综合练习 数学 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据补集的定义计算，需注意集合中元素的取值范围要求． 【详解】根据补集的计算法则可知：. 2. 设复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数得乘除法运算求得复数z，然后根据共轭复数得概念即可得出答案. 【详解】解：因为，所以， 所以. 故选：A. 3. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出二项式的通项公式，令的指数为，解得的值可得答案. 【详解】的展开式的通项公式 ， 令，解得， 所以的系数为. 故选：A. 4. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】选项A，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，， 是奇函数， 在上是单调递增函数， 在定义域上不是单调递增函数，故选项A错误； 选项B，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，， 不是奇函数，故选项B错误； 选项C，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，， 是奇函数， 都是定义域上的单调递增函数，是定义域上的单调递增函数， 故选项C正确； 选项D，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，，是奇函数， 当时，，当且仅当时，即时等号成立， 当时，单调递减；当时，单调递增， 当时，单调递减；当时，单调递增； 故选项D错误. 5. 宁夏青铜峡一百零八塔，始建于西夏，是我国现存规模最大、布局最规整的藏传塔群．塔群依山而建，共行，呈等腰三角形整齐排列，总数恰为座，自上而下数量依次构成数列．已知的前项和，从第项到第项构成等差数列，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用等差数列求和公式，得到与的关系，再求的值. 【详解】因为数列从第5项开始是等差数列， 所以， ， . 6. 已知，，点满足，为坐标原点，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以点轨迹是以、为焦点的双曲线的右支， 由题意得：且，即得，， 所以双曲线为，其中， 设直线的方程为，联立，消去得， 因，则，即得，则，解得：. 7. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用正余弦函数的单调性以及大边对大角判断即可得出结论． 【详解】判断： 根据正弦定理，则， 因为，等价于； 根据大边对大角，可得：； 因为，余弦函数在上单调递减， 故；充分性得证； 判断： 因为余弦函数在上单调递减，， 故，根据大角对大边可知； 根据正弦定理，故； 必要性得证； 综上，“”是“”的充要条件． 8. 设点，若在圆上存在点，使得，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出且为圆的切线时的的值，由是最大角可得的范围． 【详解】如图，固定，则在圆上移动过程中， 当为切线时，最大， 设其最大值为，最小值为，且能取得内所有值， 所以的范围是， 若在圆上存在点，，则有, 所以，由图可知，所以. 9. 已知函数 若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】参变量分离，构造新函数求导判断单调性求值域转化成函数交点问题 【详解】若存在非零实数，使得， 则函数与有公共点， 即有根， 即与有公共点， ， 设， ， 故在上单调递减，且， 所以在上，， 即，所以在上单调递减， 因为，时， 所以，即，所以. 当时，在上无解， 当时，在上无解， 所以 当时，令，则，0， 代入解析式得， ，代入解析式得， 因为，所以 又，两边除以，得，即 故当时可与时化为同一方程，同理可证， 综上， 10. 设 ，数列满足， ，，则下列命题中恒成立的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】A选项可以利用放缩法依次计算，BCD三个选项可以举反例进行判断. 【详解】A选项，若，则，则 ， 则数列是递增数列，，， ，， ， ，，所以，所以A选项正确； B选项，若，则，， 取，则，故数列是常数列，各项均为，所以B选项错误； C选项，若，则 ，取，则 ， ， ，周期为2，所以，所以C选项错误； D选项，若，则 ，取，则 ， ，，所以D选项错误. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 抛物线的准线方程是_______ 【答案】 【解析】 【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及，再直接代入即可求出其准线方程. 【详解】因为抛物线的标准方程为，焦点在y轴上， 所以：，即，所以， 所以准线方程为：， 故答案是：. 【点睛】该题考查的是有关抛物线的几何性质，涉及到的知识点是已知抛物线的标准方程求其准线方程，属于简单题目. 12. 在中，，则______；若，为钝角，则边的一个取值为______． 【答案】 ①. ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】由已知应用二倍角正弦公式结合特殊角求解，取特殊角由正弦定理可得，结合两角差正弦公式计算求解. 【详解】因为中，，则，且， 所以，，所以， 因为为钝角，所以，即得， 取，满足为钝角， 由正弦定理得， 所以（答案不唯一）； 13. 我国古代圆柱形粮仓设计精巧，充分体现了古人的工程智慧．某仿古粮仓设计要求圆柱底面直径与高之和为12，若不计壁厚，则该粮仓容积的最大值为____． 【答案】 【解析】 【分析】设圆柱底面直径为，高为，由题意得，将容积表示为单变量函数，利用导数法找极值点，再判断极值是否为最值. 【详解】设圆柱底面直径为，高为，由题意得，即， 圆柱容积：， 求导得：， 令，在内得临界点： 当时，单调递增； 当时，单调递减； 因此时取得最大值，代入得：. 14. 已知矩形中，，．若点为中点，则____；若点满足（），则的取值范围是____． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】根据题意，建立坐标系，根据条件，代入数量积公式，即可求得答案，再根据数量积公式结合计算求解. 【详解】以AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，则， 可得：； 因为，则，， ， 所以的取值范围是 15. 设集合，，给出下列四个结论： ① 且 ； ② 且 ； ③ 若，则且； ④ 若且，则． 其中正确结论的序号是____． 【答案】②③ 【解析】 【详解】1.当时，恒成立，与条件矛盾， 解得或，所以不在中； 2. 当，即时 有两个零点，分别为， 由集合中条件得，解得， 所以； 3. 当，即时，有两个零点，分别为， 由集合中条件得，解得， 所以； 综上所述 是开口向上的二次函数，在上不可能恒为负，所以， 对于①，且 ，①错误； 对于②，且 ，②正确； 对于③，若，则且，③正确； 对于④，若且，则或，④错误． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数． （1）若，求的值； （2）从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，使得函数存在，求的单调递增区间． 条件①：函数的最大值为； 条件②：函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为； 条件③：函数满足． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）选择①②，则函数的单调递增区间为； 选择①③，则函数不存在； 选择②③，则函数的单调递增区间为. 【解析】 【分析】（1）把0代入即可计算； （2）选择①②，①③，②③不同的条件组合进行分析，通过函数最值、周期及奇偶性计算出的值，再判断函数是否存在，最后求出的单调递增区间. 【小问1详解】 ，解得. 【小问2详解】 ， 其中为辅助角，. 选择①②，则由条件②可知的最小正周期为，所以， 则， 由条件①函数的最大值为可得，解得 ，或（舍去） 所以，， 由，得， 故的单调递增区间为； 选择①③，则由条件③函数满足可知为上的奇函数， 则，那么，， 此时，， 与条件①：函数的最大值为相矛盾，函数不存在； 选择②③，则由条件②可知的最小正周期为，那么， 则， 由条件③函数满足可知为上的奇函数，则， 由，可得， 此时，， 由，得， 故的单调递增区间为. 17. 4月23日是世界读书日．某市调研小学生阅读状况，得到男生、女生最喜爱的一种阅读内容的频率分布如下图： 假设不同学生的选择相互独立．用频率估计概率． （1）从该市小学生中随机抽取名男生，估计他最喜爱的阅读内容为科学类（包括自然科学和社会科学）的概率； （2）从该市小学生中随机抽取名男生和名女生，记这人中最喜爱的阅读内容为漫画的人数为，求的分布列和数学期望； （3）从该市小学生中随机抽取名男生，用“”表示他最喜爱的阅读内容为科学类，“”表示他最喜爱的阅读内容不是科学类；从该市小学生中随机抽取名女生，用“”表示她最喜爱的阅读内容为科学类，“”表示她最喜爱的阅读内容不是科学类．判断方差与的大小．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）的分布列为 数学期望 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干将对应的频率相加即可； （2）先确定的取值范围，分别计算对应的概率，列出分布列，再根据期望公式求解即可； （3）均服从两点分布，分别计算方差，比较大小即可. 【小问1详解】 记事件B为“从该市小学生中随机抽取名男生，他最喜爱的阅读内容为自然科学”， 记事件C为“从该市小学生中随机抽取名男生，他最喜爱的阅读内容为社会科学”， 由图可知， 记事件A为“从该市小学生中随机抽取名男生，他最喜爱的阅读内容为科学类”， 则； 【小问2详解】 的取值范围为， “从该市小学生中随机抽取名男生，他最喜爱的阅读内容为漫画”的概率为， “从该市小学生中随机抽取名女生，她最喜爱的阅读内容为漫画”的概率为， ， ， ， ， 的分布列为 数学期望. 【小问3详解】 ，理由如下： 由（1）可知，男生喜爱科学类的概率为，女生喜爱科学类的概率为， 均服从两点分布，故；， 故. 18. 如图，三棱柱中，，，平面平面． （1）求证：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）设点 为线段 上任意一点（且不与点 ， 重合），求证：直线 与平面相交． 【答案】（1）证明：平面平面,平面平面， ，平面， 平面， 平面，. （2）； （3）证明：设，，， 平面的法向量为， 假设直线 与平面平行，则， 则，解得， 则，此时点 和 重合， 这与点 为线段 上任意一点（且不与点 ， 重合）相矛盾， 故直线 与平面不平行， 又点平面，故直线平面， 则直线 与平面相交. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得到平面，利用线面垂直的定义得到. （2）求出平面的法向量，平面的法向量，利用向量夹角公式求结论. （3）假设直线 与平面平行，得到点 和 重合，再说明平面，从而得到直线 与平面相交. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取 的中点，连接， ，, 平面平面,平面平面,平面, 平面， ， 以为原点，为 轴，为轴， 过作平行于 的直线为轴建立空间直角坐标系， ，， 设平面的法向量为， ， ， 设，则，则， 取平面的法向量为， 设平面和平面的夹角为 ，则， 则平面和平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，直线与椭圆交于点，. （1）求椭圆的标准方程与离心率； （2）若直线与圆 交于点，，直线，与椭圆的另一个交点分别为点，，求证：对任意，直线过定点． 【答案】（1），离心率. （2） 由，解得或， 不妨设，，因为，所以，， 设直线的方程为，则，， 由，消去整理得， 则，所以，， 当时，直线趋向于椭圆在点处的切线，此时直线过点，下面就一般情况验证. 则， 同理，可得，所以， 所以三点共线. 所以对任意，直线过定点. 【解析】 【分析】（1）根据题意建立方程求得，进而求得标准方程，再根据关系求得，求得离心率； （2）由题，不妨设，，设直线的方程为，则，，与椭圆方程联立，求出点的坐标；由时，猜想直线过点，求出验证. 【小问1详解】 由题意得，，解得，所以椭圆的方程为. 因为，所以离心率. 【小问2详解】 略 20. 已知函数，． （1）若曲线与直线相切，求切点的坐标和实数的值； （2）若对任意实数，都存在实数，使得，求的取值范围； （3）对给定的 ，任意，直线与曲线，的交点分别为，求的最小值． 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设出切点坐标，根据导数的几何意义列式计算得解； （2）构造函数，求导，分和讨论求解； （3）设，，则，，可得，由（2）可得，运算得解. 【小问1详解】 设切点为，则，， 由，得切线的斜率， 所以，解得，，， 所以切点的坐标为，. 【小问2详解】 设，则， 当时，，则，即在上单调递增， 对任意的实数，都存在实数，使得； 当时，由，得，即在上单调递增， 由，得，所以在上单调递减， 所以， 所以存在，对任意，，不合题意； 所以的取值范围为. 【小问3详解】 因为与，的交点分别为， 所以可设，，则，， 所以， 由（2）知当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以， 因为，所以，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以当，即时，的最小值为. 21. 由个实数组成的有序数组称为维向量．维向量，，当且仅当时，．对任意，定义：；．设集合为偶数．令集合 存在，使得，． （1）写出集合的所有元素； （2）判断与是否属于集合，并说明理由； （3）若，求证：“”的充要条件为“为偶数，且”． 【答案】（1）集合 （2） （3）证明： 充分性： 设，因为， 所以当方程组恒成立时，解得， 因为为偶数，且， 所以方程组解中的所有分式的分子都是偶数(两数之和为偶数，则两数之差也为偶数)， 因此所有必为整数，即方程组至少存在一组整数解，所以，充分性成立； 必要性： 因为，所以至少存在一组整数解使得方程组恒成立， 令，则，即，且为偶数，必要性成立. 【解析】 【分析】(1)利用的和只能为0或2或4分类讨论求解 (2)列方程求解，分析解中是否满足全为整数 (3)令是让四组配对和相等的关键 【小问1详解】 因为， 所以， 因此集合A的元素由唯一确定. 因为，且为偶数， 所以和只能为0或2或4； 当 ：； 当： 当： 综上所述， 【小问2详解】 结论为，理由如下： 由(1)可得，取，为便于计算，将后续数据纵向排列， 即 因为 ， 所以 又因为， ， 所以. 若，则至少存在一组整数使等式恒成立，即， 解得方程组通解为，取得，即; 若，则至少存在一组整数使等式恒成立， 即，解得方程组通解为， 因为，所以不存在一组整数解使得方程组恒成立，所以. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $